Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn hệ thức cho trước, cho học sinh lớp 9 bậc THCS

MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận
2.2. Thực trạng của vấn đề
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị

Trang
1
1
1
1
1
1
3
3
19
20

1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1


Những năm gần đây, trong các đề thi vào lớp 10 môn toán đều có dạng bài

toán tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều
kiện cho trước. Đây là một dạng toán khó trong chương trình toán lớp 9. Bởi vì,
việc giải bài toán này đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về phương
trình bậc hai, hệ thức Vi-ét, quan hệ giữa đường thẳng và Parabol, những hằng
đẳng thức đáng nhớ và nhiều phép biến đổi linh hoạt. Tuy nhiên, trong sách giáo
khoa, sách bài tập không có 1 bài tập nào ở dạng trên. Chính vì vậy, học sinh
thường hoang mang khi gặp dạng toán này. Các em không biết phải bắt đầu từ đâu,
trình bày bài như thế nào, vận dụng những kiến thức gì, đặc biệt là đối với học
sinh trung bình, yếu. Còn đối với học sinh khá giỏi, thì đây là một trong những
chuyên đề toán được các em yêu thích, say mê học tập.
Trong quá trình giảng dạy môn toán 9 và ôn thi vào lớp 10 tôi nhận thấy rằng,
việc tìm giao điểm của một đường thẳng và parabol không lấy gì làm khó, chỉ cần
thay vào công thức rồi tính toán là xong. Nhưng đối với dạng bài tập có chứa tham
số m, việc tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân
biệt thỏa mãn điều kiện cho trước thực sự rất khó khăn. Vì vậy, tôi đã mạnh dạn
nghiên cứu đề tài: Rèn luyện kĩ năng giải dạng toán tìm điều kiện của tham số
để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho
trước, cho học sinh lớp 9 bậc THCS, nhằm nâng cao chất lượng môn toán nói
chung và đặc biệt là nâng cao chất lượng thi vào lớp 10.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giáo viên tìm cách hướng dẫn dễ hiểu, dễ nhớ để giúp học sinh giải thành
thạo bài toán “Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai
điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước” với hi vọng nâng cao chất lượng
môn toán, đặc biệt là nâng cao chất lượng thi vào 10.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn như thế nào để học sinh lớp 9 ôn thi vào
lớp 10 giải được dạng toán nêu trong đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức, xây dựng cơ sở lí thuyết;
- Phương pháp điểu tra khảo sát thực tế.

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh;
- Nghiên cứu qua theo dõi, kiểm tra, đánh giá học sinh;
- Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của vấn đề:
+ Phương trình bậc hai một ẩn.
Định nghĩa:
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương
trình có dạng ax 2  bx  c 0 . Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là
các hệ số và a 0
Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
2


Phương trình bậc hai

ax 2  bx  c 0 ( a 0 )
 b 2  4ac
  b 2  ac
( b 2b)
* Nếu   0 thì phương trình có hai * Nếu    0 thì phương trình có hai

nghiệm phân biệt
 b 
;
2a
* Nếu  0

nghiệm phân biệt

 b  
 b   
; x2 
a
a
thì phương trình có * Nếu   0 thì phương trình có
b
 b
nghiệm kép x1  x 2 
nghiệm kép x1  x 2 
2a
a
* Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm * Nếu    0 thì phương trình vô nghiệm
x1 

x2 

 b 
2a

x1 

+ Hệ thức Vi –ét.
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì
b

 S  x1  x 2  a

 P  x .x  c
1 2


a

+ Một số điều kiện liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai:
  0

- Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi  S  0
P 0

  0

- Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  S  0
P 0


- Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là P < 0 (Khi đó hiển nhiên   0 )
+ Đồ thị hàm số y = a x  b ( a  0)
Đồ thị của hàm số y = a x  b ( a  0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng b, song song với đường thẳng y = ax nếu b  0 , trùng với đường
thẳng y = ax nếu b = 0
+ Đồ thị hàm số y = ax2 ( a  0)
- Đồ thị của hàm số y = ax 2 ( a  0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận
trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó gọi là một Parabol với đỉnh O
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
+ Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số y = a x  b (d) và đồ thị hàm số y = ax2 (P)
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình
ax 2  ax  b  ax 2  ax  b 0 (1)
- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai
điểm phân biệt;

- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì đường thẳng (d) tiếp xúc với (P);
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường thẳng (d) không cắt (P).
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3


Đối với giáo viên:
+ Thuân lợi: Là một giáo viên trẻ, có trình độ chuyên môn vững, có 10 năm trực
tiếp giảng dạy môn toán 9 và ôn thi vào lớp 10 nên trong quá trình dạy, bản thân
nắm bắt được việc học sinh tiếp thu mảng kiến thức này như thế nào, học sinh đã
giải thành thạo dạng toán nào và ở dạng nào các em hay mắc sai lầm.
+ Khó khăn: Dạng toán tìm điều kiện của tham số, để đường thẳng cắt Parabol
tại hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước là một trong những dạng toán khó trong
cấu trúc ôn thi môn toán vào lớp 10. Với rất nhiều bài tập phong phú và đa dạng
nhưng trong sách giáo khoa toán 9 và SBT toán 9 không có một bài tập nào ở
dạng này, chỉ có một vài bài trong tài liệu ôn thi vào lớp 10, do đó học sinh ít được
tiếp cận dạng toán vừa nêu. Chính vì vậy, đòi hỏi người giáo viên phải tự tìm tòi,
nghiên cứu trong rất nhiều tài liệu, sắp xếp theo từng chủ đề, từng dạng để cung
cấp cho học sinh.
Đối với học sinh:
+ Thuận lợi: Đa số học sinh lớp 9 ở trường đều ngoan, có ý thức vươn lên trong
học tập. Phụ huynh học sinh quan tâm tạo điều kiện mua đầy đủ sách giáo khoa,
sách bài tập, sách tham khảo cho các em học.
+ Khó khăn: Một bộ phận học sinh trung bình, yếu lười học, lười suy nghĩ, lười
tư duy, làm việc rập khuôn, khi giao bài tập về nhà các em thường sao chép sách
giải, hoặc chép bài của bạn. Vì thế, kĩ năng giải toán của các em rất hạn chế, nhiều
em chưa nắm vững kiến thức thì làm sao có thể vận dụng để giải bài tập được, mà
đây lại là một dạng bài tập khó, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các kiến thức, kĩ
năng, phân tích tổng hợp, tư duy……..
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã khảo sát học sinh với các bài toán sau:

Bài 1. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m - 2 cắt Parabol y = x 2 tại hai
điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 + x2 – 2x1x2 = 10
Bài 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 6x – m cắt Parabol y = x2 tại hai điểm
phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 – x2 = 2
Bài 3. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2(m - 2)x + 5 cắt Parabol y = x 2 tại
hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x12  x22 =18
Kết quả thu được:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9A
35
1
2,9
4
11,4
10
28,6
20
57,1

9B
35
1
2,9
3
8,6
13
37,1
18
51,4
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Từ các nguyên nhân, thực trạng và tình hình thực tiễn đã nêu trên, bản thân
tôi cố gắng tìm tòi các bài tập rồi sắp xếp các bài tập theo dạng từ dễ đến khó, mỗi
dạng đưa ra phương pháp giải và các ví dụ minh họa từ đơn giản đến phức tạp, chú
ý các sai lầm học sinh hay mắc phải. Sau mỗi dạng đưa ra bài tập củng cố để học
sinh tự rèn luyện.
4


Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai
điểm có hoành độ trái dấu, cùng dấu.
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ax2 = ax  b (1)
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm trái
dấu, cùng dấu.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m và Parabol
(P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có:
a) hoành độ trái dấu.
b) hoành độ đều dương.
Giải:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 4x + m  x2 - 4x - m = 0 (1)
Ta có:  = 4 + m.
a) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu thì phương
trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó: P  m  0  m  0 (Hiển nhiên   0)
Vậy với m > 0 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.
b) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đều dương
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều dương.
   0
4  m  0
m   4



 4m0
Khi đó  S  0   4  0
m  0
P 0
 m  0


Vậy với  4  m  0 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ đều

dương.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= -2x + m - 6 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ đều âm.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2  2 x  m  6  x 2  2 x  m  6 0 (1)

Ta có:   1  m  6 m  5
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đều âm
thì phương trình (1) có hai nghiệm đều âm.
Khi đó:

   0

 x1  x 2  0 
 x .x  0
 1 2

m  5  0


 2  0
 m 6  0


m  5

 5m6

m  6


Vậy với 5 < m < 6 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ đều
âm
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai
điểm có hoành độ thỏa mãn hệ thức chứa hai nghiệm của phương trình hoành
độ.

Dạng 2 này, được chia thành các dạng nhỏ để học sinh dễ dàng tiếp cận kiến
5


thức, các dạng toán ở đây được sắp xếp từ dễ đến khó theo hệ thức chứa hoành độ
giao điểm. Sau mỗi dạng toán có thể có những lưu ý về cách giải hoặc sai lầm học
sinh mắc phải…
Dạng 2.1. Hệ thức chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm của phương trình hoành
độ.
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ax2 = ax  b (1)
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi giải phương
trình với ẩn là m
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm rồi kết
luận.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x – 2m và Parabol
(P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn:
a) x1 x 2  x1  x 2  5
b) 3 x1  x 2   5 x1 x2  10 0
2
c)  x1  x 2   3x1 x 2 7
d) ( x1 x 2 ) 2  x1  x 2  8 0
Giải
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2  x  2m  x 2  x  2m 0 (1)
Ta có:  1  8m
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt

là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 .
Khi đó:   0  1  8m  0  m 

1
8

(*)

 x1  x 2 1
 x1 .x 2 2m

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

a) Theo đề bài: x1 x 2  x1  x2  5  2m  1  5  2m  6  m  3 (TMĐK *)
Vậy với m = -3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1 x 2  x1  x 2  5
b)Ta có: 3 x1  x 2   5 x1 x2  10 0  3.1  5.2m 10   10m 7  m 

 7
(TMĐK *)
10

 7
thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
10
lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 3 x1  x 2   5 x1 x2  10 0

Vậy m 

c) Ta có:  x1  x 2  2  3x1 x 2 7  12  3.2m 7   6m 6  m  1 (TMĐK*)

Vậy m = -1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
lần lượt là x1, x2 thỏa mãn  x1  x 2  2  3x1 x 2 7
d) Ta có: ( x1 x 2 ) 2  x1  x 2  8 0  ( x1 x 2 ) 2  ( x1  x 2 )  8 0
3
2
  2m   1  8 0  4m 2 9  m 
2

6


3
2

Ta thấy m  không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại
Vậy m 

3
là giá trị cần tìm.
2

Sai lầm học sinh hay mắc phải
Ở câu (d) học sinh quên mất điều kiện để đường thẳng cắt parabol tại hai
3
2

3
2

điểm phân biệt, nên khi tìm được m  là kết luận. Vậy m  là các giá trị cần

tìm. Giáo viên cần lưu ý học sinh, sau khi tìm được giá trị của m ta phải đối chiếu
với điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm rồi mới kết luận.
Dạng 2.2. Hệ thức không chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm và có hệ số của
x1 ; x 2 hoặc x12 ; x22 hoặc x13 ; x23 hoặc

1 1
; ……bằng nhau
x1 x2

Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: ax2 = ax  b (1)
- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Biến đổi hệ thức đã cho về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm (Đây là bước khác
với dạng 2.1)
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi giải phương
trình với ẩn là m
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2mx + 1 và
Parabol (P): y = -2x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân
biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x12  x22  4( x1  x 2 )  4 0
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 2 x 2 2mx  1  2 x 2  2mx  1 0 (1)
Ta có:   m 2  2
Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2
 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
m  2
   > 0 hay m 2  2  0  m 2  2  
(*)

m   2
 x1  x 2  m

Theo định lý Vi-ét, ta có: 
1
 x1 x 2  2
Theo đề bài : x12  x22  4( x1  x 2 )  4 0   x1  x 2  2  2 x1 x 2  4 x1  x 2   4 0
1
2
   m   2.  4( m)  4 0  m 2  4m  3 0 (2)
2
Giải phương trình (2) ta được: m1 1 (TMĐK *); m2 3 (TMĐK *)

Vậy m = 1; m = 3 là các giá trị cần tìm
7


Sai lầm học sinh hay mắc phải:
Từ m 2  2  0  m 2  2  m  2 nên khi tìm được m = 1 (KTMĐ)
VÝ dô 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m + 1 và
Parabol (P): y = - x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân
biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn
1
1 
b)     x1 x 2  4 0

a) x1 2  x 2 2 = 10

 x1 x 2 
d) x13  x 23  5( x12  x 22 ) 16

c) x13  x 23  28

Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 x 2 4 x  m  1  x 2  4 x  m  1 0 (1)
Ta có:   4  m  1 3  m
Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2
 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
   > 0 hay 3  m  0  m  3 (*)
Với m < 3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x 1, x2
 x1  x 2  4
 x1 x 2 m  1

Theo định lý Vi-ét, ta có: 

a) Theo đề bài: x1 2  x 2 2 = 10   x1  x 2  2  2 x1 x2 10
   4  2  2 m  1 10   2m  4  m 2 (TMĐK *)
Vậy m 2 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là
x1, x2 thỏa mãn x1 2  x 2 2 = 10
1
1 
b)Theo đề bài     x1 x 2  4 0

Ta có:

 x1 x 2 
1
1 
    x1 x 2  4 0

 x1 x 2 
 x  x1 
  x x x 2  4 0 ( Điều kiện m +1 0  m   1 (**))
  2
 x x x2 
  x1  x 2    x1 x 2   4 x x x 2 0   4  (m  1) 2  4(m  1) 0
 m 2  2m  1 0  (m  1) 2 0  m  1 0  m 1 (TMĐK * và **)
2

Vậy m = 1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là
1
1 
x1, x2 thỏa mãn     x1 x 2  4 0

 x1 x 2 
c) Theo đề bài x13  x 23  28
Ta có: x13  x 23  28   x1  x 2  3  3x1 x 2  x1  x 2   28
 ( 4) 3  3(m  1).( 4)  28  12m 24  m 2 (TMĐK *)

Vậy m = 2 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
là x1, x2 thỏa mãn x13  x 23  28
d) Theo đề bài: x13  x23  5( x12  x22 ) 16
8


Ta có: x13  x 23  5( x12  x 22 ) 16   x1  x 2  3  3x1 x 2  x1  x2   5  x1  x 2  2  2 x1 x 2  16





 ( 4) 3  3.( 4)(m  1)  5 ( 4) 2  2.( m  1) 16
  64  12m  12  80  10m  10 16  2m  2  m  1 (TMĐK *)
Vậy m  1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
là x1, x2 thỏa mãn x13  x 23  5( x12  x 22 ) 16 .

Lưu ý: Trong quá trình biến đổi, ta cần sử dụng đẳng thức sau:
x12  x 22  x1  x 2   2 x1 x 2
2

x13  x23  x1  x2   3 x1 x2  x1  x2 
3

Dạng 2. 3. Hệ thức không chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm, có hệ số của
x1 ; x 2 hoặc x12 ; x22 hoặc x13 ; x23 hoặc

1 1
; …… không bằng nhau
x1 x2

Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: ax2 = ax  b (1)
- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Từ tổng hai nghiệm, ta biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia rồi thay vào hệ
thức đã cho tìm nghiệm kia. Sau đó thay hai nghiệm tìm được theo m vào tích hai
nghiệm rồi tìm m.
- Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 6x - m và Parabol
(P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có

hoành độ lần lượt là x1 , x 2 thỏa mãn: x1  x 2 4
Giải:
Cách 1: Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 6 x  m  x 2  6 x  m 0 (1)
Ta có:  9  m
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
Khi đó:    0  9  m  0  m  9 (*)
 x1  x 2 6

Theo hệ thức Vi-ét và bài ra ta có:  x1  x 2 4
 x .x m
 1 2

(2)
(3)
(4)

Giải hệ gồm hai phương trình (2) và (3) ta được: x1 5 ; x2 1
Thay x1 5 ; x2 1 vào (4) ta được: m 5.1 5 (TMĐK *)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm
Cách 2: Ta có thể biến đổi hệ thức x1  x 2 4 về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm
như sau:
x1  x 2 4  2 x1  x1  x 2 4  2 x1  x1  x 2  4 (5)
x1  x 2 4  x1  x 2  2 x 2 4  2 x 2  x1  x 2
(6)
Nhân vế với vế (5) và (6) ta được:
4 x1 x2  x1  x 2  4  x1  x 2  4  4 x1 x 2  x1  x 2  2  16

9

 4m 36  16  m 5(TM )

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m – 1)x + 5m - 6
và Parabol (P): y = - x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân
biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 4 x1  3x2  1
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 x 2 (m  1) x  5m  6  x 2  (m  1) x  5m  6 0 (1)
Ta có:   m  1 2  4(5m  6) m 2  22m  25
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Khi đó:  > 0 hay m 2  22m  25  0 (*)
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2
(2)
 x1  x 2 1  m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 x1 x 2 5m  6
(3)
 x1  x2 1  m

- Giải hệ phương trình 

 x1 3m  2
 x2 3  4m

ta được 

(4)

 4 x1  3 x2 1
Thay (4) vào (3) ta được:  3m  2 3  4m  5m  6  9m  12m 2  6  8m 5m  6
m0
�
 12m(m  1) 0 � �
(TMĐK *)
m 1
�
Vậy m   0;1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 4 x1  3x2  1
Cách 2: Ta có thể biến đổi hệ thức 4 x1  3x2  1 về dạng chứa tổng và tích hai

nghiệm như sau:

4 x1  3 x2  1  x1  3x1  3x 2 1  x1 1  3 x1  x 2 
4 x1  3 x2  1  4 x1  4 x 2  x 2 1  x 2 4 x1  x 2   1

(5)
(6)

Nhân vế với vế (5) và (6) ta được:

x1 x 2 1  3 x1  x 2  . 4 x1  x 2   1  x1 x 2 7 x1  x 2   12 x1  x 2  2  1
 5m  6 7(1  m)  12(1  m) 2  1
 12m 2  12m 0
m0
�
 12m(m  1) 0 � �

(TMĐK *)
m 1
�
Vậy m   0;1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 4 x1  3x2  1

Lưu ý: Trong trường hợp tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có
nghiệm mà phức tạp, ta không cần giải cụ thể, ta chỉ cần tìm giá trị của m thỏa
mãn hệ thức chứa 2 nghiệm. Sau đó thay giá trị m tìm được vào điều kiện phương
trình có nghiệm và kết luận.
Ở bài toán trên, việc giải bất phương trình m 2 - 22m + 25 > 0 (*) thật sự rất khó
khăn với học trung bình khá. Vì vậy, trong quá trình giải bài toán, giáo viên không
yêu cầu học sinh tìm m thỏa mãn điều kiện (*), chỉ cần học sinh tìm m thỏa mãn
10


4 x1  3 x2  1 , rồi thay giá trị tìm được vào (*), nếu thỏa mãn thì giá trị đó là giá trị

cần tìm, nếu không thỏa mãn thì loại.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 5x + m - 7 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: x12 4 x2  1
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 5x + m - 7  x2 – 5x – m + 7 = 0 (1)
Ta có:   25  4(7  m) = 4m  3
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2
Khi đó:   0  4m  3  0  m 

3
(*)
4

 x1  x 2 5
 x1 x 2  m  7

(2
))
(3)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có : 

Từ (2) suy ra : x2 = 5 - x1
Thay x2 = 5 - x1 vào x12 4 x2  1 (gt) ta được:
x12 4 5  x1   1  x12  4 x1  21 0 (4)
Giải phương trình (4) ta tìm được: x1    7;3
+ Với x1 = -7  x2 = 12  -7.12 = - m +7  m = 91 (TMĐK *)
+ Với x1 = 3  x2 = 2  3.2 = - m +7  m = 1 (TMĐK*)
Vậy với m   91;1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: x12 4 x2  1
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 3 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: x12  2 x2  x1 x2  12
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 2 x  m  3  x 2  2 x  m  3 0 (1)
Ta có:  1  m  3 4  m
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 .

Khi đó:   0  4  m  0  m  4 (*)
(2)
 x1  x 2 2
Theo hệ thức Vi- ét, ta có: 
 x1 x 2 m  3 (3)
Từ (2): x1  x2 2  x 2 2  x1
Thay x 2 2  x1 vào hệ thức x12  2 x2  x1 x2  12 ta được:
x12  2(2  x1 )  x1 (2  x1 )  12  x12  4  2 x1  2 x1  x1 2  12
 4 x1  8  x1  2
Suy ra: x 2 4

11


Thay x1  2 và x 2 4 vào (3) ta được: -2.4 = m – 3  m = - 5 (TMĐK*)
Vậy với m = -5 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: x12  2 x2  x1 x2  12
Dạng 2.4. Hệ thức có chứa giá trị tuyệt đối.
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: ax2 = ax  b (1)
- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Biến đổi hệ thức đã cho về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi giải phương
trình với ẩn là m
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - 3 và Parabol
(P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2 2
Giải:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 mx  3  x 2  mx  3 0 (1)
Ta có:   m 2  12
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
m  2 3
2


0

m

12


Khi đó:
(*)
m   2 3
 x1  x2  m
Theo hệ thức Vi- ét, ta có: 
 x1 x2 3
Theo đề bài: x1  x2 2   x1 x2  2  4  x12  2 x1 x2  x22  4
  x1  x2   4 x1 x2  4  m 2  4.3  4  m 2 16
 m = 4 (TMĐK*) hoặc m = - 4 (TMĐK*)
Vậy m = 4 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2 2
2

Lưu ý: Ta có thể biến đổi hệ thức x1  x2 2 như sau:

Ta có: x1  x2 2  x1  x 2 2 hoặc x1  x 2  2
Đến đây bài toán được giải như Ví dụ 1, 2 dạng 2.3
Nhận xét: Cách biến đổi sau dài dòng hơn.
Sai lầm học sinh hay mắc phải:
- Khi giải điều kiện:   0  m 2  12  m  2 3 (thiếu trường hợp m   2 3 ) nên
khi tìm được m = - 4 thì loại
- Khi giải phương trình m2 = 16 thì nhiều em chỉ tìm được m = 4 (thiếu trường
hợp m = - 4)
12


Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) y = 2(m + 2)x – m 2 + 9
và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân
biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2  x1  x2
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2  2 m  2  x  m 2  9  x 2  2 m  2 x  m 2  9 0 (1)
Ta có:  (m  2) 2  m 2  9  4m  13
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
 13
4
 x1  x 2 2m  4
Theo hệ thức Vi - ét, ta có : 
2
 x1 x 2 m  9

Khi đó:   0  4m  13  0  m 

(*)

Theo đề bài : x1  x2  x1  x2 (Điều kiện: x1  x2 0  2m  4 0  m  2 (**))
2
2
Ta có : x1  x2  x1  x2  x1  x 2  x1  x2 
2
2
2
2
 x1  2 x1 x 2  x 2  x1  2 x1 x 2  x 2  4 x1 x 2 0  x1 x 2 0
 m2 – 9 = 0  m = 3 hoặc m = - 3

Với m = - 3 không thỏa mãn điều kiện (**) nên loại
Vậy với m = 3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2  x1  x2
Lưu ý: Vì x1  x2 0 mà x1  x2  x1  x2 nên cần phải có điều kiện x1 +x2 0
Sai lầm học sinh mắc phải trong ví dụ này là thiếu điều kiện x1 +x2 0 nên giá trị
m = -3 cũng là giá trị cần tìm:
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + 3 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x 2 4
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2  2 m  1 x  3  x 2  2 m  1 x  3 0 (1)
Ta có:  (m  1) 2  3  0 với mọi m
Vì    0 m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó đường thẳng
(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2
 x1  x 2 2(m  1)
 x1 x 2  3

Theo hệ thức Vi - ét, ta có : 

2
2
2
Theo bài ra ta có: x1  x 2 4   x1  x 2  4 2  x1  2 x1 x 2  x2 16

  x1  x 2   2 x1 .x 2  2 x1 x 2 16   2 m  1   2.( 3)  2.  3 16
2

2

  2 m  1  4
2

 m  1 1
 m 2
 
 (m  1) 2 1  
 m  1  1
 m 0

13


Vậy với m = 0; m = 2 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x 2 4
Sai lầm học sinh hay mắc phải
Từ (m  1)2 1  m  1 1  m  2 , nên thiếu trường hợp m – 1 = -1  m 0
Dạng 2.5. Hệ thức có chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp giải
Tương tự dạng 2.4
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = ( m – 2)x +3 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: x12  2018  x1  x 22  2018  x 2
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 (m  2) x  3  x 2   m  2  x  3 0 (1)
Ta có:   m  2 2  12  0 m
Vì   0 m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1, x2.. Khi đó
đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2.
 x1  x2  m  2
 x1 x2   3

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Theo bài ra ta có: x12  2018  x1  x 22  2018  x 2





x12  2018 

x 22  2018  x1  x 2

x12  2018 

x22  2018 ( x1  x2 ) 2



2







 x12  2018  2 x12  2018 x 22  2018  x 22  2018  x12  2 x1 x 2  x22







 2018  2 x12  2018 x 22  2018  2018 2.( 3)


x

2
1



(Vì x1 x 2  3 )



 2018 x 22  2018 2021

2
1
2 2
1 2
2

2
2

 ( x  2018)( x  2018)  20212
 x x  2018( x12  x 22 )  2018 2 20212
 ( 3)  2018 x12  x 22  2018 2 20212





 x  x 6   x1  x 2  2  2 x1 x 2 6
2
1

2
2
2

2

  m  2   2.(  3) 6   m  2  0  m  2 0  m  2 (TM)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
Nhận xét:
- Khó khăn trong giải bài toán trên là biểu thức cồng kềnh, số lớn, nhiều em không
có kĩ năng biến đổi nên thường không giải được bài này.
- Khi biến đổi các hệ thức chứa căn thức, thông thường ta chuyển căn thức sang 1
vế rồi mới bình phương hai vế và giải tiếp
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai
điểm có tung độ thỏa mãn hệ thức cho trước.
Phương pháp giải:
14


- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ax2 = ax  b (1)
- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Tính y1; y2 theo x1; x2 (Tùy theo từng bài ta có thể tính y1; y2 theo công thức
y = ax2 hoặc y = ax  b )
- Thay y1; y2 vào hệ thức đã cho rồi biến đổi hệ thức về dạng chứa tổng và tích hai
nghiệm.
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức rồi giải phương trình với ẩn
là m
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3mx - 3 và
Parabol (P): y = - x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân
biệt sao cho tổng hai tung độ hai giao điểm bằng – 10
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 x 2 3mx  3  x 2  3mx  3 0 (1)

Ta có:  9m 2  12  0m
Vì   0 với mọi m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó
đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2.
 x1  x2   3m
 x1.x2   3

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Vì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt sao cho tổng tung độ hai
giao điểm bằng – 10 nên ta có: y1  y2  10
Cách 1: Tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng
y1  y2   10
Ta có:
 (3mx1  3)  (3mx 2  3)  10 (Vì y1 3mx1  3 ; y 2 3mx 2  3 )
2
 3m( x1  x 2 )  4  3m( 3m)  4  9m 2  4  m  
3

Cách 2: Tính y1, y2 theo phương trình của Parabol
y1  y2   10
Ta có:
  x12  ( x22 )   10
( Vì y1  x12 ; y 2  x 22 )
  x1  x 2   2 x1 x 2 10
2

2
2
   3m   2.( 3) 10  9m 2  4  m  
3

2
3

Vậy m  thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt sao cho tổng
hai tung độ hai giao điểm bằng – 10
Nhận xét: Trong bài toán trên, ta tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng thì
việc giải đơn giản hơn.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y  m  1 x  4 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân
biệt có tung độ lần lượt là y1 ; y 2 thỏa mãn: y1  y 2  y1 y 2
15


Giải
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 (m  1) x  4  x 2  (m  1) x  4 0 (1)
Ta có:  (m  1) 2  16  0 với mọi m
Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1; x2. Khi đó đường thẳng
(d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 ; x 2 .
 x1  x 2 m  1
 x1 .x 2  4

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Cách1: Tính y1, y2 theo phương trình của Parabol.
Theo bài ra ta có: y1  y 2  y1 y 2
 x12  x 22  x12 x 22 (Thay y1  x12 ; y 2  x 22 )
  x1  x 2   2 x1 x 2  x1 x 2 
2

2

  m  1  2.( 4) ( 4) 2
2

 m  1 2 2
 m 1  2 2
  m  1 2 8  
 
 m  1  2 2
 m 1  2 2

Cách 2: Tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng
Theo bài ra ta có: y1  y 2  y1 y 2

 (m  1) x1  4  ( m  1) x 2  4  (m  1) x1  4 (m  1) x 2  4
(thay y1 (m  1) x1 ; y 2 (m  1) x 2 )
 (m  1)( x1  x 2 )  8 (m  1) 2 x1 x 2  4(m  1)( x1  x 2 )  16
 3(m  1)( x1  x 2 )  ( m  1) 2 x1 x 2  8 0

 m  1 2 2
 m 1  2 2
 
 3(m  1) 2  4(m  1) 2  8 0   m  1 2 8  
 m 1  2 2
 m  1  2 2
Vậy với m 1  2 2 ; m 1  2 2 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2
điểm phân biệt có tung độ lần lượt là y1 ; y 2 thỏa mãn: y1  y 2  y1 y 2
Nhận xét: Khác với ví dụ 1, ở ví dụ 2 ta tính y1 ; y 2 theo phương trình của Parabol

thì việc giải đơn giản hơn.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai
điểm có hoành độ và tung độ thỏa mãn hệ thức cho trước.
Phương pháp giải tương tự dạng 3
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y 2 x  m  1 và
1
2

Parabol (P): y  x 2 . Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có tọa độ  x1 ; y1  và  x 2 ; y 2  thỏa mãn: x1 .x 2 ( y1  y 2 )  48 0
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
1 2
x  2 x  m  1  x 2  4 x  2m  2  0
2
Ta có:   4  2m  2   2m  6

(1)

Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt
là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 .
16


Khi đó:   0   2m  6  0  m  3 (*)
 x1  x2  4
 x1.x2  2m  2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Theo bài ra ta có : x1 .x 2 ( y1  y 2 )  48 0
 x1 .x 2 (2 x1  m  1  2 x 2  m  1)  48 0 (Thay y1 2 x1  m  1; y 2 2 x 2  m  1 )
 x1 x 2 . 2 x1  x 2   2m  2  48 0   2m  2  2.4  2m  2  48 0
 m 2  6m  7 0 (2)

Giải phương trình (2) ta được: m1 = -1(TMĐK*); m2 = 7 (KTMĐK *)
Vậy m = -1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d): y  x  m  1 cắt Parabol
(P): y  x 2 tại 2 điểm phân biệt có tọa độ  x1 ; y1  và  x 2 ; y 2  thỏa mãn:
x1  x 2  y1  y 2 2m  7

Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = x + m – 1  x 2  x  m  1 0 (1)
Ta có:  1  4(m  1)  4m  3
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt
là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 .
3
(*)
4
 x1  x2 1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 x1.x2   m  1

Khi đó:   0  4m  3  0  m 

Cách 1 : Tính y1, y2 theo phương trình của đường thẳng
Theo đề bài: x1  x2  y1  y 2 2m  7
 x1 x 2  ( x1  m  1)  ( x 2  m  1) 2m  7
(Vì y1  x1  m  1 , y 2  x 2  m  1 )

 x1 x 2  ( x1  x 2 )  2m  2 2m  7
  m  1  1  2m  2 2m  7  m 7 (TMĐK *)

Cách 2: Tính y1, y2 theo phương trình của Parabol
Theo đề bài: x1  x2  y1  y 2 2m  7
 x1.x2  x12  x22  2m  7
( Vì y1  x12 ; y 2  x 22 )
  x1  x2   x1 x2  2m  7
 1  ( m  1)  2m  7  m 7 (TMĐK *)
2

Vậy m = 7 là giá trị cần tìm
1
2

Ví dụ 3 : Cho Parabol (P): y = - x 2 và đường thẳng (d): y = mx – 2. Tìm m để (d)
cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 4 10
Phân tích bài toán
Ở bài toán này hệ thức AB = 4 10 không chứa x1 ; x 2 ; y1 ; y 2 . Vậy làm thế
nào để biến đổi hệ thức này về dạng chứa x1 ; x 2 ; y1 ; y 2 ?
Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của chúng.
17


Cho hai điểm A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2). Khi đó AB =  x2  x1  2   y2  y1  2
Giải :
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
1 2
x mx  2  x 2  2mx  4 0
2

2

Ta có:  m  4  0 với mọi m


(1)

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 nên đường thẳng
(d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1 ; y1); B(x2 ; y2).
 x1  x2   2m
 x1.x2   4

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Theo bài ra, ta có : AB = 4 10

 x2  x1  2   y2  y1  2 4 10   x2  x1  2   y2  y1  2 160
2
2
  x 2  x1     mx 2  2    mx1  2   160 (Vì y1 mx1  2 ; y 2 mx 2  2 )
2
2
2
  x 2  x1    m x 2  x1   160   x 2  x1  1  m 2  160
2
2
   x 2  x1   4 x1 x 2 1  m 2  160     2m   4.  4 1  m 2  160


 (4m 2  16)(1  m 2 ) 160  4m 4  20m 2  144 0
 m 4  5m 2  36 0 (2)

Giải phương trình (2) ta được: m2 = 4;
m2 = - 9 (loại)
Với m2 = 4 suy ra m =  2
Vậy với m =  2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 4 10
Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai 2 điểm
sao cho hệ thức chứa hoành độ giao điểm đạt cực trị.
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm: ax2 = ax  b (1)
- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Biến đổi biểu thức đã cho về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm.
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi tìm cực trị
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y = 2(m + 4)x – m 2 + 8. Tìm
m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x A  x B  x A x B đạt giá trị lớn
nhất.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 =2( m + 4) x – m2 + 8  x 2  2(m  4) x  m 2  8 0 (1)
Ta có:   (m  4) 2  (m 2  8) 8m  24
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A và B có hoành độ lần
lượt là: xA; xB thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó :    0  8m  24  0  m   3
18


 x A  x B  2( m  4)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

2
 x A .x B  m  8

Do đó: x A  x B  x A x B = 2(m  4)  (m 2  8)  m 2  2m  16 17  (m 2  2m  1)
= 17  (m  1) 2 17 với mọi m
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  1 0  m 1(TM )
Vậy với m = 1 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x A  xB  x A xB đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là: 17
1
4

Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = - x 2 và đường thẳng (d) y = mx – m – 2. Tìm m để
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x A2 xB  x A xB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
1 2
x mx  m  2  x 2  4mx  4m  8 0 (1)
4
Ta có:  4m 2  4m  8  2m  1 2  7  0 với mọi m


Do đó đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A và B có hoành
độ lần lượt là xA; xB.
 x A  xB   4m
 x A .xB   4m  8

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Do đó: x A2 x B  x A x B2  x A x B  x A  x B   4m  8 4m 16m 2  32m

= 16 m  1 2  16   16 với mọi m
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi m + 1 = 0  m   1
Vậy với m = -1 thì để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x A2 xB  x A xB2 đạt
giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó là: -16
Ví dụ 3: Cho parabol (P): y = 2x 2 và đường thẳng (d) y (m  3) x  m . Tìm m để
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức M = x A  x B đạt giá trị
nhỏ nhất.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
2 x 2 (m  3) x  m  2 x 2  (m  3) x  m 0 (1)
Ta có:  (m  3) 2  8m m 2  2m  9 (m  1) 2  8 8m
Vì   0m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Do đó đường thẳng (d)
cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là: xA; xB
m 3

 x A  x B  2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 x .x  m
 A B 2
2

2
Xét M 2  x A  x B  x A2  2 x A x B  x B2  x A  x B   4 x A x B
2

m m 2  2m  9  m 
 m 3

4
.




2
4
 2 
 2

=

2

1
  2 2m


19


m 1
0  m 1
2
Khi đó M 2 2  M  2 (Vì M = x A  x B 0 )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy với m = 1 thì để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức
M = x A  x B đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 2
Sai lầm học sinh hay mắc phải trong bài này là:
Từ M 2 2  M  2

Suy ra: giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là - 2 đạt được khi m = 1
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm là học sinh không chú ý đến M = x A  x B 0
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y 2(m  1) x  m  3 . Tìm m để
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 đối nhau
Bài 2. Cho Parabol (P): y = - x 2 và đường thẳng (d) y (2m  1) x  2m  2 . Tìm m để
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn
x1  x 2  5  x 2  x1  5 33

Bài 3. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y 2 m  1 x  m 2  m  1 . Tìm m
để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn
1

1

a) x  x 4
b) x1  x1  2 x 2   x 2  x 2  3x1  9
1
2
Bài 4. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y 2(m  1) x  m 2  6 . Tìm m để
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x12  x22 16
1 2
m 3
x và đường thẳng (d) y = x –
. Tìm m để
2
2
cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x13  x 23 8
Bài 6. Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y 10mx  9m . Tìm m để (d)
(P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1  9 x 2 0

Bài 7. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y  x  m  1 . Tìm m để (d)
(P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x12  x1 x2  3x 2 7
Bài 8. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y mx  m  3 . Tìm m để (d)

Bài 5. Cho Parabol (P): y =

(d)
cắt
cắt
cắt

(P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
a) biểu thức M = 2 x A2  x B2   x A x B đạt giá trị nhỏ nhất.
b) biểu thức M =  x A  x B    x A x B  2 đạt giá trị lớn nhất
2.4. Hiệu quả của sáng kiến đối với hoạt động giáo dục
Trong năm học 2016 - 2017 và 2017 - 2018 tôi được phân công dạy toán hai
lớp 9. Tôi đã mạnh dạn áp dụng đề tài này. Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy kết quả
học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi bài thi. Đặc
biệt là qua các kì thi vào lớp 10 các em đã tự tin hơn rất nhiều và kết quả thi của
trường tôi luôn được xếp thứ hạng cao trong huyện.
+ Đối với học sinh trung bình, yếu: Các em đã giải thành thạo một số bài toán đơn
giản mà giáo viên yêu cầu, qua đó niềm tin học tập được củng cố. Nhìn chung các
em đã nắm vững được phương pháp giải các dạng toán trong đề tài. Các em không
20


còn lúng túng khi bắt gặp dạng toán này và các sai lầm trong lời giải cũng giảm
hẳn. Đây quả thật là một điều đáng mừng.
+ Đối với các em học sinh khá, giỏi, ngoài nắm vững dạng toán cơ bản trên, các
em còn được cung cấp thêm nhiều dạng toán mà hệ thức phức tạp, đa dạng. Việc

giải bài toán đó rèn luyện cho các em nhiều kĩ năng áp dụng kiến thức, kĩ năng
biến đổi biểu thức, kĩ năng phân tích, tổng hợp, tư duy sáng tạo…..giúp các em có
thêm nhiều kinh nghiệm trong giải toán.
Sau khi áp dụng đề tài tôi đã khảo sát học sinh với bài toán sau:
Bài 1. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) y 4 x  m cắt Parabol (P) y  x 2 tại
hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 2 x1  x 2   3x1 x 2 7
Bài 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) y 4 x  m  2 cắt Parabol (P) y  x 2 tại
hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x12  x22 3 x1  x 2 
Bài 3. Tìm m để phương trình để đường thẳng (d) y mx  3 cắt Parabol (P) y  x 2
tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1  x2  4
Kết quả thu được như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9A
35
6
17,1
8
22,9

17
48,6
4
11,4
9B
35
7
20
9
25,7
16
45,7
3
8,6
3. KẾT LUẬN
3.1. Kết luận.
Để việc áp dụng đề tài này giảng dạy có hiệu quả thì đối với giáo viên và
học sinh cần:
+ Đối với giáo viên:
- Cần nắm vững khả năng tiếp thu bài của học sinh, từ đó đưa ra những dạng bài
tập, và phương pháp giải toán phù hợp, giúp học sinh làm được dạng bài tập đó,
tạo niềm tin, gây hứng thú học tập, yêu thích học toán.
- Đối với mỗi phương pháp giải toán phải đưa ra được các ví dụ điển hình từ cơ
bản đến nâng cao, hướng dẫn học sinh tìm được cách giải điển hình cho mỗi
phương pháp, song cần chú ý khai thác các cách giải khác. Sau mỗi phương pháp,
mỗi mảng kiến thức giáo viên phải có sự kiểm tra, đánh giá rút kinh nghiệm bằng
nhiều hình thức.
- Để làm được điều đó thì người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng,
từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng. Xây
dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ,

ý kiến và sáng tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học
tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic
giữa các bài khác nhau.
+ Đối với học sinh:
- Chăm chỉ học hành, không nản chí khi gặp một bài toán mà mình không làm
được, phải biết quy lạ thành quen;
21


- Đối với mỗi bài toán không nên tự bằng lòng với một cách giải mà phải luôn
sáng tạo tìm ra cách giải mới độc đáo hơn, phải biết khai thác bài toán dưới nhiều
góc độ, biết tự đặt ra câu hỏi ví dụ như: Bài toán này có dạng nào? Ta đã gặp bài
nào tương tự chưa? Ta nên giải theo phương pháp nào? Ngoài cách giải đó ta còn
có cách nào không? Nếu ta thay đổi giả thiết thì ta có bài toán nào? Những câu hỏi
tưởng như vụn vặt ấy chính là những định hướng để học sinh khai thác bài toán và
tìm ra cách giải
- Trên lớp chú ý nghe thầy cô giáo giảng bài và xây dựng bài, về nhà phải làm bài
tập đầy đủ.
Trên đây là toàn bộ đề tài tôi đã nghiên cứu và áp dụng tại trường mình.
Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì
vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp đóng góp ý kiến chân
thành để đề tài này hoàn thiện hơn, đáp ứng được yêu cầu học của học sinh và dạy
của giáo viên, góp phần nâng cao chất lượng môn toán nói chung và thi vào lớp 10
nói riêng.
3.2. Kiến nghị:
+ Nhà trường không ngừng mua bổ sung tài liệu, sách tham khảo.
+ Phòng giáo dục cần triển khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao để giáo
viên trong huyện học tập và phục vụ cho công tác giảng dạy.
Xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

1.
2.
3.
4.
5.

Thọ Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa toán 9 tập 1, 2
Sách bài tập toán 9 tập hai
Sách nâng cao và phát triển toán 9 tập hai
Sách toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 9
Sách Tài liệu ôn thi vào lớp 10
22


6. Các đề thi vào lớp 10 của một số tỉnh
7. Sổ tay tích lũy của cá nhân
8. Nguồn internet

23


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH

GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: LÊ THỊ THIỆU
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Xuân Vinh - Thọ Xuân –
Thanh Hóa,

TT
1.
2.
3.
4.
5.

Tên đề tài SKKN

Kết quả
Cấp đánh giá
đánh giá
xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
Phòng GDĐT C
Phòng GDĐT C
Phòng GDĐT C
Phòng GDĐT B

Các Phương pháp phân tích đa thức

thành nhân tử
Hướng dẫn học sinh giải dạng toán
Phòng GDĐT C
tìm m để phương trình bậc hai có hai
nghiệm thỏa mã điều kiện cho trước

Năm học
đánh giá
xếp loại
2004 -2005
2006 -2007
2008-2009
2011 -2012
2015 - 2016

* Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng vào
Ngành cho đến thời điểm hiện tại.

24