15 on tap tinh chat cac duong dong quy trong tam giac k2 toán lớp 7

GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Ngày soạn:

Năm học 2019 - 2020

……………………

Ngày dạy:

………………… Lớp

:………
BUỔI 15:
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC
I. MỤC TIÊU
Qua bài này giúp học sinh:
1. Kiến thức:
- Củng cố tính chất ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba
đường cao trong tam giác.
- Củng cố khái niệm đường phân giác, đường cao, đường trung trực
trong tam giác.
2. Kỹ năng: -Vận dụng các kiến thức đã học vào từng dạng bài cụ thể
như chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh ba điểm thuộc đường
tròn, tính toán trên các đối tượng hình học.
3. Thái độ: Giáo dục tính cẩn thận chính xác.
4. Định hướng năng lực, phẩm chất
- Năng lực: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề.
- Phẩm chất: Tự tin, tự chủ, tự lập.

II. CHUẨN BỊ
1. Giáo viên: Phấn màu, bảng phụ, thước thẳng, SGK, SBT,
2. Học sinh: Đồ dùng học tập, đọc trước bài.
III. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
1. Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số. (1 phút)
2. Nội dung:
TIẾT 1. Tính chất ba đường phân giác trong tam giác
Mục tiêu:
- Ôn tập tính chất ba đường phân giác trong tam giác
- Giải được một số bài tập vận dụng
Hoạt động của giáo viên và
Nội dung
học sinh
GV yêu cầu học sinh nhắc lại khái I/ Lý thuyết
niệm tia phân giác của một góc.
- Trong một tam giác cân, đường
Trang 1


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020

HS trả lời.
GV yêu cầu học sinh nêu lại tính
chất đường phân giác xuất phát
từ đỉnh cân của tam giác cân.
HS trả lời.
? Nếu một tam giác có một
đường trung tuyến đồng thời là

đường phân giác thì tam giác có
gì đặc biệt?
HS: là tam giác. (nội dung bài
42.SGK-73)
HS chú ý ghi nhớ kết quả này.
GV yêu cầu học sinh nhắc lại tính
chất 3 đường phân giác của tam
giác.
HS nhắc lại nội dung định lí SGK.
GV hướng dẫn học sinh tổng hợp
lại các nội dung kiến thức trọng
tâm của bài.
Bài tập 1: Cho ABC , các đường
phân giác BK , CH cắt nhau tại I . Chứng

phân giác, đường phân giác
xuất phát từ đỉnh đối diện với
cạnh đáy đồng là đường trung
tuyến ứng với cạnh đáy.
- Nếu tam giác có một đường
trung tuyến ứng đồng thời là
đường phân giác thì tam giác
đó là một tam giác cân.
- Ba đường phân giác của một
tam giác cùng đi qua một
điểm. Điểm này cách đều ba
cạnh của tam giác đó.

Bài 1:

�
minh rằng BIC là góc tù.

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả
thiết, kết luận của bài toán.
? Thế nào là một góc tù? Đề chứng minh

�
BIC
là góc tù ta phải chứng minh điều gì?
�  90�
BIC
.

TL:Phải chứng minh

� �

�

.
? Làm sao để chỉ ra BIC  90�
? Đầu bài đã cho có yếu tố nào liên quan

Trong ABC , ta có B  C  180� A .
Vì BK , CH là các đường phân giác của

đến số đo của BIC chưa hay có thể biểu
diễn mối liên hệ giữa số đo của các góc
trong tam giác không?

? Có nội dung kiến thức nào đã học liên
quan đến số đo các góc trong một tam
giác?
? Hãy trình bày lời giải?

�  1B
�, C
�  1C
�.
B
2
2
ABC nên
2
2

�

�

Trong tam giác IBC ta có:





�  180� B
� C
�  180� �1 B
� 1��

BIC
�  C�
2
2
2 �
�2
 180�

�
1 � �
1
�  90� A  90�
B  C  180� 180� A
.
2
2
2
�
BIC



Vậy ta có
Trang 2



là góc tù.






GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020

Bài tập 2: Cho ABC vuông tại A. Vẽ Bài 2 :
DBC vuông cân tại D ở phía ngoài tam
giác ABC. Chứng minh rằng AD là tia
phân giác của góc A.
GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả
thiết, kết luận của bài toán.
? Có những cách nào để chứng minh một
tia là tia phân giác cảu một góc?
HS nêu các cách mà các em biết.
? Có thể chứng minh bằng cách chỉ ra
khoảng cách từ D đến hai cạnh AC, AB
bằng nhau không?
? Hãy chứng minh bài toán?
Thông qua bài tập, giáo viên lưu ý cho hs
một cách khác để chứng minh một tia là
tia phân giác.

Kẻ DH  AB, DK  AC.
Xét hai tam giác vuông DHB và DKC, ta
có:
DB  DC (vì DBC cân tại D )
�  KDC

�
HDB

Do đó DHB  DKC (cạnh huyền – góc
nhọn), suy ra DH  DK .
Vậy AD là tia phân giác của góc A.
Chú ý : Như vậy để chứng minh Ot là
tia phân giác của góc xOy , ngoài cách
�

�

chứng minh xOt  tOy ta còn có thể chứng
minh theo cách sau:
Lây M trên Ot , kẻ MH  Ox, MK  Oy. Ta
chứng minh MH  MK .
Bài tập 3: Cho tam giác ABC,

Bài 3 :

�
A  120�
, đường phân giác AD. Đường
phân giác góc ngoài tại C cắt đường
thẳng AB ở K . Gọi E là giao điểm của
DK và AC. Tính số đo của góc BED.

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả
thiết, kết luận của bài toán.
? Quan sát, so sánh số đo và chỉ ra đặc

điểm đặc biệt của các tia BE, DK , AK .

� �
� �
, suy ra
Nhận thấy: A1  A2  A3  A4  60�

�
AK là tia phân giác CAy.

�

�
.
Vì BAC  120�nên A3  180� 120� 60�
AD là phân giác của góc BAC (giả thiết)

�
BAC
�
A1  �
A2 
 60�
.
2
nên

Trang 3

GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020

�
Suy ra DK là tia phân giác ADC và BE là
tia phân giác góc ABD.

Từ đó ta có

� D
� .
�B
�.
D
B
1
2 và
1
2

Vẽ Ay là tia đối của tia
�
�  60�
A4  A
1
(đối

Suy ra

�
�
� D
� B
�  ADC  ABC
BED
1
1
2

AD

ta có

đỉnh).

�
A3  �
A4  60�
. Vậy AK
� .
CAy

là tia phân

giác của góc
Tam giác ADC có K là giao điểm của hai
tia phân giác ngoài tại C và A nên DK là

GV yêu cầu hs trình bày lại lời

giải theo hướng dẫn.

�
�
tia phân giác của góc ADC , ta có D1  D2.
�

�

Do A2  A3  60�nên AE là phân giác của
góc DAK .
Tam giác ADB có E là giao điểm của hai
tia phân giác ngoài tại A và D nên BE là
� �
tia phâm giác của góc B, ta có B1  B2.
Do đó,

Bài 4: Cho ABC vuông tại A, đường
cao AH . Tia phân giác của các góc BAH
và CAH cắt BC lần lượt tại D và E. Gọi
O là giao điểm các đường phân giác của
tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng đường tròn tâm
O, bán kính OA đi qua ba điểm

�
�
�
� D
� B

�  ADC  ABC  BAD  60� 30�
BED
.
1
1
2
2
2

Bài 4 :

A, D, E.

b) Tính số đo góc DOE.

�
�
�
�
a) Ta có: BAE  BAC  EAC  90� EAC (1)

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả
thiết, kết luận của bài toán.
a) GV gợi ý ycđb

Mà

� cm: OA  OD  OE.

GV yêu cầu học sinh thảo luận

nhóm để tìm ra cách chứng minh
OA  OD  OE.

Các nhóm trình bày ý tưởng, cả lớp cùng
tỏng hợp và chọn ra phương án tối ưu.
Gv chữa bài.
b) Gv gợi ý dựng tia đối của
OA.

Học sinh thảo luận cùng giải

�
�
AEB  90� HAE
�  HAE
�
EAC

�

(2)

(giả thiết), do đó từ (1)
�

và (2) suy ra BAE  AEB nên tam giác
AEB cân tại B.
Vì O là giao điểm các đường phân giác
của ABC nên BO là đường phân giác
của tam giác cân ABE , do đó BO là

đường trung trực của AE , suy ra
OA  OE.
(3)
Chứng minh tương tự ta có CO là
đường trung trực của AD, suy r
OA  OD.
(4)

Trang 4


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

bài tập.
Hs tự trình bày, giáo viên chữa
lỗi (nếu có).

Năm học 2019 - 2020
Từ (3) và (4) suy ra OA  OD  OE. Điều
này chứng tỏ ba điểm A,E,D nằm trên
đường tròn tâm O, bán kính OA hay
đường tròn tâm O, bán kính OA đi qua
ba điểm A, D, E.
b) Từ (3) suy ra OAE cân tại O, nên

�  OEA
� .
OAE
Vẽ tia Ox là tia đối của
�  OAE

�  OEA
�  2.xAE
� .
OA
EOx

tia

, ta có

�
�
Tương tự, xOD  2.xAD.
Do đó,







�  2. xAD
�  xAE
�
�  2 DAH
�  HAE
�
DOE
 2DAE
 2.



�  HAC
�
�
BAH
BAC
2
 90�
.
2
2
�  90�
DOE
.

Vậy

Bài tập về nhà
1. Cho tam giác ABC có BC  17cm, CA  15cm, AB  8cm. Ba đường phân giác của
tam giác cắt nhau tại O. Tính tổng các khảng cách từ O đến ba cạnh của tam giác.
2. Cho tam giác ABC và điểm I là giao của ba đường phân giác của tam giác. Gọi H
�
�
là chân đường cao kẻ từ B đến AI. Chứng minh rằng IBH  ICA .
�

�

,C  20�, đường cao AH. Tia phân giác của góc AHC
3. Cho tam giác ABC có B  50�
cắt AC ở D. Vẽ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh rằng điểm D nằm trên tia
phân giác của góc ABC.

TIẾT 2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác.
Mục tiêu:
- Ôn tập tính chất 3 đường trung trực của tam giác.
- Giải được một số bài tập vận dụng
Hoạt động của GV và HS
Nội dung
Gv yêu cầu học sinh nhắc lại tính
chất đường trung trực của cạnh
I. Lý thuyết
đáy của tam giác cân, tính chất 3 - Trong một tam giác cân, đường
đường trung trực của tam giác.
trung trực của cạnh đáy đồng thời
là đường trung tuyến ứng với cạnh
này.
- Nếu tam giác có một đường
trung tuyến đồng thời là đường
Trang 5


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020

trung trực ứng với cùng một cạnh
thì tam giác đó là một tam giác

cân.
- Ba đường trung trực của một
tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm này cách đều ba đỉnh của
tam giác đó.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại Bài 1:
A . Đường trung trực của AC cắt BC ở I .
Chứng minh rằng IA  IB  IC.
GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết,
kết luận của bài toán.
? Để chứng minh IA  IB  IC ta cần
chứng minh những đẳng thức nào?
IA  IB và IB  IC.
? Hãy tìm cách chứng minh hai đẳng thức
trên và trình bày lời giải.
Hs lên bảng làm bài tập

nằm trên đường trung trực của AC nên
IA  IC.
(1)
I

IAC

� �
�
cân tại I nên A1  C . Ta lại có A1 phụ

�A
�

�
�
�
A2  B
2 và C phụ B nên
.
I
,
Do đó IAB cân tại suy ra IA  IB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA  IB  IC.
�

Bài tập 2: Cho xOy  80�, điểm A nằm
trong góc xOy. Lấy điểm B sao cho Ox
là đường trung trực của AB. Lấy điểm
C sao cho Oy là đường trung trực của

Bài 2:

AC.

a) Chứng minh O thuộc đường
trung trực của BC .
b) Tính số đo góc BOC .
a) Ta có:
vì Ox là đường trung trực của

OA  OB ,
AB.

OA  OC ,

Trang 6

vì Oy là đường trung trực của


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020
AC.

Do đó OB  OC , suy ra O thuộc đường
trung trực của BC .
b) Ta có:
� �
OAB cân tại O nên O1  O2 .
�
�
OAC cân tại O nên O3  O4 .

Khi đó

� O
�O
� O
� O
�
BOC
1

2
3
4
� O
�  2xOy
�  160�
2 O
.



Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A
, O là giao điểm của ba đường trung trực.
Lấy điểm D trên cạnh AB , điểm E trên
cạnh AC sao cho AD  CE . Chứng minh
rằng:
a) OA  OB  OC.
b) O nằm trên đường trung trực của DE.

2

�

3



.
Vậy BOC  160�
Bài 3:

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết,
kết luận của bài toán.
O là giao điểm của ba đường trung trực
a) ?Để chứng minh OA  OB  OC ta sử a)
của ABC nên OA  OB  OC.
dụng tính chất nào?
�
�
Hs: Ba đường trung trực của một
b) OA  OC nên A2  C1. (1)
tam giác cùng đi qua một điểm.
Tam giác ABC cân tại A , AO là đường
Điểm này cách đều ba đỉnh của
��
A
A2.
1
trung
trực
nên
(2)
tam giác đó.
� �
? hãy chứng minh dựa vào định lí
Từ (1) và (2) suy ra A1  C1.
trên.
Xét OAD và OCE có:
b) ? Để chứng minh O nằm trên
OA  OC (theo a)

DE
đường trung trực của
ta làm thế
�C
�
A
1
1 (chứng minh trên)
nào?
AD  CE (giả thiết)
Chứng minh OD  OE.
OAD  OCE  c.gc
. 
Thảo luận theo nhóm từ 3-5 người
Do đó,
, suy ra
đề tìm cách chứng minh bài toán.
OD  OE.
GV chốt kiến thức, hs chữa bài
Bài tập 4: Cho tam giác ABC có

Vậy O nằm trên đường trung trực của DE.
Bài 4:
Trang 7


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020

�
�  30�
A  100�
,C
, đường cao AH . Trên
�
cạnh AC lấy điểm D sao cho CBD  10�.
Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC
tại E . Chứng minh rằng AE là đường
trung trực của đoạn thẳng BD.
�  30�
GV yêu cầu HS vẽ hình, xác định Tam giác có ABC �A  100�
,C
nên
giả thiết kết luận.
�
� �
.
? Để chứng minh AE là đường trung B  180� A  C  50�
�
�
� �
trực của đoạn thẳng BD ta cần cm điều gì?
.
Lại có CBD  10�nên ABD  B  CBD  40�
AB

AD
EB


ED
Hs:
,
Mặt khác góc ABD là góc ngoài tại đỉnh
Hãy chỉ ra hai điều trên và trình bày lời
D của tam giác BCD nên
giải.
�
�
�
� C
�  40�
ADB  CBD
. Suy ra ABD  ADB,
do đó ABD cân tại A, ta có AB  AD.
Xét AEB và AED có:

AB  AD
�  EAD
�
EAB

(giả thiết)

AE là cạnh chung
AEB  AED  c.gc
. 

? Ngoài cách cm như trên còn cách lập
luận nào khác để chỉ ra AE là đường trung

trực của đoạn thẳng BD không?
HS: CÓ. Sử dụng tính chất về
đường cao đường trung tuyến
trong tam giác cân.
? Hãy chứng minh bài toán bằng
cách đó.

Vậy
, suy ra EB  ED.
Ta có AB  AD nên A thuộc đường trung
trực của BD.
(1)
EB  ED nên E thuộc đường trung trực
của BD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung
trực của đoạn thẳng BD.
CÁCH KHÁC:
Gọi giao điểm của AE với BD là I.
Xét AIB và AID có:

�  IAD
�
AB  AD,IAB
(giả thiết), AI cạnh

chung

  , suy ra IB  ID.
Vậy
Tam giác ABD cân tại A có AI là đường

trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI
là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Suy ra AE là đường trung trực của đoạn

Trang 8

AIB  AUD c.gc
.


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020

thẳng BD.

Bài tập về nhà:

�

1. Cho tam giác ABC cân tại A có A  36�, đường phân giác CD. Tia phân giác của góc
A cắt đường trung trực của AC tại O. Chứng minh rằng:
a) O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC.
b) O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ACD.
�
2. Tam giác ABC có A  110�. Cac đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I. Tính

� .
BIC

TIẾT 3. Tính chất ba đường cao trong tam giác
Mục tiêu:
- Ôn tập tính chất ba đường cao trong tam giác.
- Giải được một số bài tập vận dụng
Hoạt động của GV và HS
Nội dung
Gv yêu cầu học sinh nhắc lại
Lí thuyết
tính chất ba đường cao của tam
- Ba đường cao của một tam giác
giác; đường cao của tam giác
cùng đi qua một điểm. Điểm này
cân; đặc điểm trọng tâm, trực
gọi là trực tâm của tam giác.
tâm, điểm cách đều 3 cạnh, 3
- Trong một tam giác cân, đường
đỉnh của ta giác.
trung trực ứng với cạnh đáy đồng
thời là đường phân giác, đường
trung tuyến và đường cao cùng
xuất phát từ đỉnh đối diện với
cạnh đó.
- Trong một tam giác, nếu hai
trong bốn loại đường (đường
trung tuyến, đường cao, đường
phân giác, đường trung trực ứng
với cạnh đối diện của đỉnh này)
trùng nhau thì tam giác đó là
một tam giác cân.
- Trong tam giác đều, trọng tâm,

Trang 9


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020

Bài tập 1: Cho ABC vuông cân tại
B.Trên cạnh AB lấy điểm H. Trên tia đối
của tia BC lấy điểm D sao cho BH  BD.
Chứng minh rằng:
a) DH  AC
b) CH  AD
HS vẽ hình, ghi GT/KL
? Để cm hai đường thẳng vuông
góc ta làm thế nào?
Hs: + chứng hai đường thẳng
tạo thành góc vuông.
+ chứng minh là đường cao ứng
với một cạnh của tam giác.
HS hoạt động nhóm giải toán
bài toán.
GV gọi HS chữa bài
GV hướng dẫn HS khi cần thiết.

Bài tập 2: Cho ABC vuông tại
A.Trên cạnh AC lấy các điểm D,E sao
�
�
�

cho ABD  DBE  EBC . trên tia đối của
tia DB lấy điểm F sao cho DF  BC.
Chứng minh rằng CDF cân.

trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh,
điểm nằm trong tam giác và
cách đều 3 cạnh là bốn điểm
trùng nhau.
Bài tập 1:

a) Chứng minh DH  AC
�  450
ABC vuông cân tại B,nên C
�  900
HBD có B
(gt) ; BH  BD (gt)
�

0
Vậy
vuông cân tại B, suy ra D  45
0
0
0
� �
Xét DIC có D  C  45  45  90 (CMT)
�  900
DIC

HBD

Suy ra
Vậy DH  AC
b) Chứng minh CH  AD
Xét DAC có
AB  BC (gt)
DH  AC (CMT)
Vậy H là trực tâm DAC nên CH  AD .
Bài 2:

GV yêu cầu HS vẽ hình, xác
định giả thiết, kết luận của bài
toán.
? Chứng minh tam giác bằng
Trang 10


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Năm học 2019 - 2020

nhau ta chứng minh như thế
nào?
Hs: hai cạnh bên bằng nhau, hai
góc kề một cạnh bằng nhau.
? Hãy chứng minh bài toán trên.
? Trình bày lời giải.

Trên BF đặt đoạn BG  BC thì G nằm giữa D và
F và BD  GF . BCG cân tại B có BE là tia phân

giác nên cũng là đường cao, BE  CG tại H.
� 0 1 ��
90  B �
�
�  CGF
�
3 �
�
CDG
Ta có
. Suy ra CDG cân
tại C nên CD  CG

Hai tam giác CDF và CGF có
CD  CG
BD  GF
�  CGF
�
CDB

(Cùng bù với hai góc bằng nhau)
Nên CDB = CGF (c.g.c) � CB  CF
Vậy CDF cân.
Bài tập 3:
Bài tập 3: Cho ABC vuông tại
A,đường cao AH, lấy I là trung điểm
AC.
a) Chứng minh rằng I là giao điểm ba
trung trực của AHC .
b) Gọi K và D thứ tự là trung điểm của

AH và HC. Chứng minh KD / / AC .
c) Chứng minh BK  AD .
d) Trong hình thì A là trực tâm của
những tam giác nào?
a) Chứng minh rằng I là giao điểm ba trung
trực của AHC .
Yêu cầu hs vẽ hình, ghi giả thiết, kết
Dễ dàng chứng minh được
luận của bài toán.
1
 AI  IC  HI = AC
a) ? Em có nhận xét gì về tam giác
2
.
AHC.
Vậy I là giao điểm ba trung trực của AHC .
HS: là tam giác vuông.
b) Gọi K và D thứ tự là trung điểm của AH và
? Trực tậm của tam giác vuông nằm ở
HC. Chứng minh KD / / AC .
đâu, có đặc điểm gì?
Xét KHD và DIK có: AH  BC , DI  BC .
Hs: là trung điểm của cạnh huyền, bằng
�
�
Suy ra AH / / DI � KDI  HKD
nửa cạnh huyền.
IK  AH , AH  BC . Suy ra IK / / BC
? Chứng minh.
�  IKD

�
b) ? Nêu các cách chứng
� HDK
minh hai đường thẳng
KD chung
�  KDI
�
song song.
HKD
(CMT)
Hs: có cặp góc so le trong hoặc
�
�
HDK  IKD (CMT)
đồng vị bằng nhau.
Nên KHD = DIK (gcg)
Cặp góc trong cùng phía bù
Trang 11


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông
góc với 1 đt...
? Quan sát hình vẽ, giả thiết kết
luận và chọn ra cách phù hợp
để chứng mình btoan.
c) Hướng dẫn tương tự bài 1.
d) Hs dựa vào hình vẽ tự trả

lời.

Năm học 2019 - 2020

Suy ra Nên HK  ID, HD  KI
Xét hai tam giác vuông KDH và IDC có
HK  ID (chứng minh trên)
HD  DC (DI là trung trực).
Vậy KHD = DIC (Hai cạnh góc vuông)
�

�

=> D  C (góc tương ứng)
� DK / / AC (Hai góc đồng vị bằng nhau).
c) DK / / AC (chứng minh ở câu b)
AB  AC (giả thiết)
AB  KD.

Trong ABD có: AH  BD (giả thiết),
AB  KD, vậy K là trực tâm ABD , suy ra
BK  AD

Bài tập 4 : Cho ABC cân tại
A.Đường phân giác AH và đường
trung trực của cạnh AB cắt nhau
tại O.Trên AB và AC lấy điểm
E, F sao cho AE  CF .
a) Chứng minh rằng OE  OF .
b) Chứng minh khi E,F di động trên

hai cạnh AB, AC. Nhưng AE  CF
thì đường trung trực của EF đi
qua một điểm cố định.
? vẽ hình ghi gt,kl
a) ? Ycau hs nêu cách cm hai
đoạn thẳng bằng nhau.
(hai cạnh tương ứng của hai
tam giác bằng nhau, hai cạnh
bên của tam giác cân,...?
Hs thảo luận theo cặp để cm
btoan.
b) Yêu cầu hs xác định các
yếu tố cố định. Yếu tố thay
đổi của bài toán.

d) A là trực tâm ABC .
Xét BKD có A thuộc đường cao KH; A thuộc
đường cao qua đỉnh B.
Nên A là trực tâm KBD .
Bài tập 4:

a) Chứng minh rằng OE  OF
AE  AF  AC  AB (gt)
Ta
có:
AE  BE  AB vậy AF  BE .
�

�

A1  A2

(gt)
�

Mà
AB),

�

A1  B1

�

(Do O nằm trên trung trực của

�

A2  B1

nên
Xét BOE và AOF có:
AF = BE (CMT)
Trang 12

mà


GIÁO ÁN DẠY THÊM TOÁN 7

Từ đó tìm ra cách chứng
minh bài toán.

Năm học 2019 - 2020
�

�

A2  B1

(CMT)

OB  OA (Do O nằm trên trung trực của AB)
Vậy BOE  AOF (cgc)
Suy ra OE  OF .

b) Chứng minh khi E, F di động trên hai
cạnh AB, AC. Nhưng AE  CF thì đường
trung trực của EF đi qua một điểm cố
định.
OE  OF (CMT)
Nên O nằm trên trung trực của EF.
ABC cố định nên O cũng cố định.
Vậy đường trung trực của EF đi qua một
điểm cố định.

BTVN:
1. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của các tia DB và CE
lấy theo thứ tự hai điểm I và K sao cho BI  AC, CK  AB. Chứng minh rằng tam giác
AIK là tam giác vuông cân.

2. Cho tam giác ABC. Qua các đỉnh A,B,C kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện,
chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF. Chứng minh rằng các đường cao của tam giác
ABC là các đường trung trực của tam giác DEF.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của
AH và BH. Chứng minh CM vuông góc với AN.

Trang 13