nghiên cứu mối liên hệ giữa các điều kiện (ci), môđun liên tục và chứng minh một số tính chất của chúng

1

LỜI NÓI ĐẦU
Lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh là hai lớp môđun đóng vai trò
trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Các kết quả về
chúng còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số,
đại số giao hoán… Với tầm quan trọng như vậy nên vấn đề mở rộng các lớp
môđun này được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là mở
rộng lớp môđun nội xạ.
Trong nghiên cứu các mở rộng của lớp môđun nội xạ, người ta đã đưa
ra các điều kiện sau đây đối với môđun M.
(C1) Mỗi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.

(C2) Với mọi A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau, nếu A
là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.
(C3) Với mọi A và B là các hạng tử trực tiếp của M, nếu A ∩ B = 0 thì
A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M.
Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và
(C2). M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3). Một
môđun thỏa điều kiện (C1) được gọi là CS - môđun hay môđun extending.
Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên hệ giữa các
điều kiện (Ci), môđun liên tục và chứng minh một số tính chất của chúng.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1 : Các khái niệm cơ sở.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở bao gồm:
Các định nghĩa và một số tính chất của môđun con cốt yếu, môđun nội xạ,
môđun xạ ảnh, môđun đều, CS - môđun, môđun suy biến.
Chương 2 : Về các điều kiện (Ci) của môđun và môđun liên tục.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số tính chất, các điều kiện
(Ci), mối liên hệ giữa chúng. Một số tính chất của CS - môđun, (1 - C1)

2

môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng thời chứng minh một cách
chi tiết và chặt chẽ một số kết quả về lớp CS - môđun, môđun liên tục.
Luận văn được thực hiện từ tháng 3 năm 2010 và hoàn thành tại Đại
học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp
này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người
đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại
học, trường Đại học Vinh đã trang bị cho tôi nền kiến thức vững chắc, tạo
điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 16, chuyên ngành
Đại số, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận
văn.
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn đồng nghiệp.
Tác giả


3

CÁC KÝ HIỆU
Trong luận văn ngoại trừ các trường hợp đặc biệt được nói rõ ở từng
mục còn lại chúng tôi luôn giả thiết vành luôn phát biểu là một vành kết hợp
có đơn vị và các môđun là môđun phải unita.
N⊂ M
N ⊂e M
N ⊂⊕ M

⊕ Mi

: N là môđun con của môđun M.
: N là môđun con cốt yếu của môđun M
: N là hạng tử trực tiếp của môđun M.
: Tổng trực tiếp các môđun Mi, i∈ I.

J(R)
Soc(M)
r(m)
r(M)
ZR(M)

: Căn Jacobson của R.
: Đế của môđun M.
: Linh hóa tử phải của phần tử m.
: Linh hóa tử phải của môđun M.
: Môđun con suy biến của môđun M.

i∈I


4

CHƯƠNG 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ
Chương này chúng tôi sẽ trình bày những định nghĩa, kết quả cơ bản
liên quan đến nội dung của khóa luận. Các khái niệm, tính chất và kí hiệu cơ
bản chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu: N.V.Dung - D.V.Huynh P.F.Smith - R.Wisbauer[3]. Mohamed - Muller[6].
Các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên

một vành luôn được hiểu là các môđun phải unita.
1. Môđun con cốt yếu, môđun con đóng và môđun con bé
1.1. Định nghĩa. Cho R là vành và M là R môđun phải. Xét N môđun con của M.
(a) Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong M và kí hiệu N ⊂
e

M nếu với mọi môđun con K ⊂ M, K ≠ 0 thì K ∩ N ≠ 0. Nếu N là môđun

con cốt yếu của M, ta sẽ nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension)
của N.
(b) Môđun con N được gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có
một mở rộng cốt yếu thực sự. Nói cách khác, N gọi là đóng trong M nếu với
mọi môđun con K của M là N ⊂ e K thì K = N.
(c) Môđun con K của M được gọi là bao đóng (closure) của môđun con
N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K.
(d) Một môđun con B của môđun M được gọi là bé (Hay là đối cốt yếu)
trong M và ký hiệu B << M, nếu với mọi môđun con L của M, L ≠ M thì
B + L ≠ M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M.
(e) Một môđun M được gọi là bé hay M là môđun bé nếu M là môđun
con bé trong bao nội xạ E(M) của M.
1.2. Tính chất. Cho vành R và M, N là các R- môđun phải với N ⊂ M
(a) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại.
(b) Nếu N đóng trong K, K đóng trong M thì N đóng trong M (Xem [6])


5

2. Môđun nội xạ, tựa nội xạ và môđun xạ ảnh
2.1. Định nghĩa. Cho vành R và M là R - môđun phải
(a) Một R- môđun phải N được gọi là M - nội xạ (M-injective) nếu với

mọi môđun con X của M và mọi đồng cấu f: X → N thì có thể mở rộng tới
đồng cấu f*: M → N thỏa mãn f = f*i với i: X → M là phép nhúng.
* Môđun M được gọi là tựa nội xạ (quasi - injective) nếu M là M- nội xạ.
* Môđun N được gọi là nội xạ (injective) nếu N là M - nội xạ với mọi
R - môđun phải M.
(b) Một R - môđun phải N được gọi là M - xạ ảnh (M-projective) nếu
với mọi môđun thương M/X và với mọi đồng cấu f: N → M/X thì tồn tại đồng
cấu

h: N → M thỏa mãn ph = f với p: M → M/X là toàn cấu chính tắc.
* Môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (quasi - projective) nếu M là M - xạ ảnh.
* Môđun N được gọi là xạ ảnh (projective) nếu N là M - xạ ảnh với mọi

R - môđun phải M.
2.2. Tính chất. Cho M, N là các R - môđun phải. Ta có:
(a) Nếu N là M - nội xạ thì mọi đơn cấu f: N → M là chẻ ra, tức dãy
f
p
khớp ngắn: 0 → N 
→ M 
→ M/f(N) → 0 chẻ ra hay f(N) ⊂ ⊕ M.

(b) Nếu N là M - xạ ảnh thì mọi dãy khớp ngắn:
f
g
0 → P 
→ M 
→ N → 0 là chẻ ra hay f(P) ⊂ ⊕ M.

(c) Mọi R - môđun phải N đều có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn.

f
g
0 → N 
→ M 
→ P → 0. Trong đó M là môđun nội xạ.

(d) Mọi R - môđun phải N đều có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn.
f
g
0 → P 
→ M 
→ N → 0. Trong đó M là môđun xạ ảnh.

2.3. Định nghĩa.
(a) Bao nội xạ (injective hull) của R - môđun phải N, ký hiệu E(N) là
một môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của N.


6

(b) Các R - môđun phải M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively
injective) nếu M là N - nội xạ và N là M - nội xạ.
2.4. Tính chất. Bao nội xạ E(N) luôn tồn tại với mọi môđun N.
2.5. Mệnh đề. Cho môđun N là A - nội xạ và B là môđun con của A thì:
(i) N là B - nội xạ.
(ii) N là A/B - nội xạ.
Chứng minh. (i) Gọi X là môđun con của B thì X là môđun con của A.
Gọi φ : X → N là một đồng cấu.
Do N là A nội xạ nên tồn tại mở rộng h: A → N sao cho hk = φ .Với k: X → A
là phép nhúng đồng nhất.

Lấy φ = h B thì ψ là mở của φ cần tìm, tức ψ i = ψ . Với i: X → B là phép
nhúng đồng nhất.
(ii) N là A - nội xạ, ta chứng minh N là A/B - nội xạ. Gọi X/B là môđun con
của A/B và φ : X/B → N là đồng cấu. Gọi π : M1 → M1/X và π ’ = π x
Do N là A - nội xạ nên tồn tại đồng cấu θ : A → N là mở rộng của φπ ’.
Ta có: θ B = φπ ’B = φ(0) = 0
Suy ra ker π ≤ ker θ nên tồn tại ψ : A/B → N sao cho ψ π = θ
Với mọi x ∈ X ta có: ψ (x + B) = ψ π (x) = θ (x) = φπ ’(x) = φ (x + B). Hay
ψ là mở rộng của φ . W
2.6. Mệnh đề. Môđun N là A - nội xạ khi và chỉ khi N là Ra - nội xạ với
∀a ∈ A .
2.7. Mệnh đề. Một Môđun N là ⊕
Ai - nội xạ khi và chỉ khi N là Ai - nội xạ
i∈I
với ∀i ∈ I.
Chứng minh. Điều kiện cần: Hiển nhiên.
Điều kiện đủ: Giả sử N là Ai - nội xạ với ∀ i∈ I. Đặt A = ⊕
Ai, gọi X là môđun
i∈I
con bất kỳ của A và φ : X → N là đồng cấu.


7

Theo bổ đề Zooc tồn tại cặp tối đại (X’; φ ’) mà X ≤ X’ ≤ A và φ ’ là mở rộng
của φ . Suy ra X’ ⊂ e A.
Ta sẽ chứng minh X’ = A.
Giả sử X’ ≠ A ⇒ ∃a ≠ 0; a ∈ A - X’, do A = ⊕
Ai ⇒ ∃j ∈ I để a ∈ Aj.
i∈I

Theo giả thiết N là Aj - nội xạ ⇒ N là Ra - nội xạ, chọn K = {r ∈ R ra ∈ X’}
Lấy α : Ka → N với α (ra) = φ ’(ra)
Do N là Ra - nội xạ nên tồn tại β : Ra → N là mở rộng của α
Lấy môđun X’ + Ra thì X là môđun con thực sự của X’ + Ra
Xét h: X’ + Ra → N
x’ + ra a φ (x) + β (ra) thì h là đồng cấu
⇒ Cặp (X’ + Ra, h) chứa thực sự (X’, φ ’), mâu thuẫn với tính tối đại của
(X’, φ ) ⇒ A = X’. Do đó N là A - nội xạ. W
2.8. Định nghĩa. Một môđun Q được gọi là nội xạ nếu Q là A - nội xạ với mọi
môđun A.
2.9. Mệnh đề. Hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.
Chứng minh. Cho Q là nội xạ và A ⊂ ⊕ Q ta chứng minh A nội xạ, do A ⊂ ⊕ Q
nên ta có Q = A ⊕ B.
Với mọi môđun M và X là môđun con bất kỳ của M, với mọi đồng cấu
f:X → A.
Lấy iA : A → Q = A ⊕ B
aa

a+0

Gọi α = iAf : X → Q
Do Q nội xạ nên tồn tại α *: M → Q là mở rộng của α , lấy f* = pA α : M →
A.
Với pA: Q = A ⊕ B → A
a+b a a


8

thì f* là mở rộng của f hay A là M - nội xạ với mọi M nên A là nội xạ. W

2.10. Định lý. Mọi môđun M luôn nhúng vào được một môđun nội xạ.
2.11. Định lý. Một môđun Q - nội xạ khi và chỉ khi Q là hạng tử trực tiếp của
các môđun chứa nó.
2.12. Định lý. ∏I Qi nội xạ khi và chỉ khi Q nội xạ với mọi i ∈ I
2.13. Định lý. M1 ⊕ M2 là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i là Mj - nội xạ với mọi
i, j ∈ {1; 2} i ≠ j.
2.14. Hệ quả.
(i) Mn = M ⊕ … ⊕ M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ.
n

(ii) ⊕ M i là tựa nội xạ khi và chỉ khi Mi là tựa nội xạ và Mi là Mj - nội
i =1

xạ với ∀i ≠ j.
2.15. Định nghĩa. Môđun M được gọi là nửa đơn nếu với mỗi môđun con của
M đều là hạng trực tiếp của M.
2.16. Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun đơn nếu nó không có môđun
con không tầm thường nào. Hay nói cách khác M chỉ có hai môđun con là 0
và M.
2.17. Định nghĩa. Cho M là môđun, ta gọi tổng tất cả các môđun con đơn của
M là đế của môđun M và kí hiệu là Soc(M).
Nếu M không có môđun con đơn thì quy ước Soc(M) = 0
2.18. Nhận xét. Soc(M) = I E, trong đó E chạy khắp các môđun con cốt yếu
của M.
3. CS - môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục
Cho M là một R - môđun phải. Ta xét các điều kiện sau:
(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của
M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M.

9

(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là
hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.
(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B
cũng là hạng tử trực tiếp của M.
3.1. Định nghĩa.
(a) Một môđun M được gọi là CS - môđun (hay Extending), nếu M thỏa
mãn (C1)
(b) Một môđun M được gọi là liên tục (continuous) nếu thỏa mãn các
điều kiện (C1) và (C2).
(c) Một môđun M được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu M
thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3).
(d) Một vành R được gọi là CS - vành (tương ứng liên tục, tựa liên tục)
phải nếu RR là CS - môđun (tương ứng liên tục, tựa liên tục). Tương tự ta có
các khái niệm CS - vành trái, vành liên tục trái, vành tựa liên tục trái. Nếu R
có tính chất hai phía thì ta có các khái niệm CS - vành, vành liên tục, vành tựa
liên tục.
3.2. Tính chất. M thỏa mãn điều kiện (C2) thì cũng thỏa mãn điều kiện (C 3)
(xem[6], Propositio 2.2]). Từ đó ta có phép kéo theo sau đây là đúng.
Nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS.
4. Môđun đều và chiều đều (chiều uniform, chiều Goldie)
4.1. Định nghĩa.
(a) Cho R là vành, Một R - môđun phải U được gọi là đều (hay
uniform) nếu U ≠ 0 và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác không A, B
của U.
(b) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều (chiều uniform, chiều
Goldie) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con
khác không trong M. Số hạng tử khác không lớn nhất của các tổng trực tiếp

10

các môđun con của M là một số bất biến được gọi là số chiều đều của M và ký
hiệu là udim(M) (hay GdimM).
Trong trường hợp ngược lại ta nói M có chiều đều vô hạn
(c) Giả sử R là một vành, ta gọi chiều đều phải của R là chiều đều của
RR và chiều đều trái của R là chiều đều của RR.
4.2. Tính chất.
(a) Nếu môđun M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M cũng
có chiều đều hữu hạn.
(b) Cho A là môđun con của M, nếu A và M/A có chiều đều hữu hạn thì
M có chiều đều hữu hạn.
(c) Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun có chiều đều hữu hạn là một
môđun có chiều đều hữu hạn.
(d) Nếu A ⊂ e B thì B có chiều đều hữu hạn khi và chỉ khi A có chiều
đều hữu hạn và udim A = udim B.
5. Môđun suy biến
5.1. Định nghĩa. Cho M là một R - môđun phải và m ∈ M
(a) Tập hợp rR(m) = {r∈ R: mr = 0} được gọi là linh hóa tử của phần tử
m và viết gọn r(m).
Tập hợp rR(M) = {r∈ R: mr = 0, ∀ m∈ M} được gọi là linh hóa tử của
môđun M và viết gọn r(M).
(b) Cho R là một vành và S là tập con khác rỗng của R
Linh hóa tử phải của S trong R là: r(S) = {x∈ R: sx = 0 ∀ s∈ S}
Linh hóa tử trái của S trong R là: l(S) = {x∈ R: xs = 0 ∀ s∈ S}
(c) Cho một R - môđun phải M. Tập hợp:
ZR(M) = {x ∈ M: rR(x) ⊂ e R} được gọi là môđun con suy biến của M.
Nếu ZR(M) = M ta nói rằng M là môđun suy biến và nếu ZR(M) = 0 ta
nói M là môđun không suy biến.

11

(d) Cho một vành R.
Ta gọi idean suy biến phải của R là: Zr(R) = {x ∈ R: r(x) ⊂ e R}
Ta gọi idean suy biến trái của R là: Zl(R) = {x ∈ R: l(x) ⊂ e R}
5.2. Định nghĩa.
(a) Cho C là một phạm trù và D là phạm trù con của nó. D được gọi là
phạm trù con đầy của C nếu với mọi vật A, B ∈ D luôn có HomD(A, B) =
HomC(A, B).
(b) Phạm trù con của Mod - R gồm tất cả các môđun con của các
môđun sinh bởi M được kí hiệu là σ [M].
(c) σ [M] là một phạm trù con đầy của Mod - R.
5.3. Định nghĩa.
(a) Cho M, N là các R - môđun phải. Môđun N được gọi là M - suy biến
nếu tồn tại môđun K ∈ σ [M] và môđun con cốt yếu L của K sao cho N ≅ K/L.
(b) Môđun M được gọi là môđun SI nếu mọi môđun M - suy biến là M nội xạ.
(c) Vành R được gọi là vành SI phải (tương ứng trái) nếu RR (tương ứng
R) là môđun SI.

R

6. Một số khái niệm khác:
6.1. Định nghĩa.
(a) Cho một môđun M, ta kí hiệu căn của môđun M là giao của tất cả
các môđun con tối đại của M và ký hiệu là Rad(M).
(b) Cho vành R, ta gọi căn Jacobson của R là căn của môđun RR kí hiệu
là J(R) tức là J(R) = Rad(RR).
6.2. Định nghĩa. Cho vành R

(a) Phần tử e được gọi là lũy đẳng nếu e2 = e.
(b) Hai phần tử lũy đẳng e và f được gọi là lũy đẳng trực giao nếu ef =
fe = 0.


12


13

CHƯƠNG 2
VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN (Ci) CỦA MÔĐUN
VÀ MÔĐUN LIÊN TỤC
Chương này chúng tôi sẽ trình bày một cách hệ thống các kiến thức về
các điều kiện (Ci) của môđun, môđun tựa liên tục, môđun liên tục.
Năm 1960 Utumi đã đưa ra khái niệm vành liên tục (thuật ngữ liên tục
được dùng đến ở đây xuất xứ từ hình học liên tục của Von Neumann không có
liên quan đến khái niệm liên tục trong tôpô và giải tích). Sau đó 1977
Mohamed và Bouhy đã suy rộng khái niệm liên tục từ vành sang môđun.

1. Các điều kiện (Ci) của môđun.
1.1. Môđun tựa liên tục
Trước hết để chỉ ra mối quan hệ giữa môđun tựa liên tục, liên tục với
môđun nội xạ, tựa nội xạ ta có mệnh đề:
1.1.1 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa nội xạ M đều có hai tính chất sau:
(C1) - Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp.
(C2) - Nếu mỗi môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp
của M thì A cũng là hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Giả sử M là môđun tựa nội xạ. Ta phải chứng minh M có tính
chất (C1). Giả sử N là môđun con bất kỳ của M khi đó ta có:

E(M) = E(N) ⊕ X
Do M tựa nội xạ nên từ đó suy ra:
M =M ∩ (E(N) ⊕ (M ∩ X))
e
Theo tính chất bao nội xạ: N ⊂ E(N) mặt khác N ⊆ M , do đó ta có

N ⊂ e E(N) ∩ M nghĩa là N cốt yếu trong hạng tử trực tiếp.
E(N) ∩ M của M hay M có tính chất (C1)
- M có tính chất (C2).


14

Giả sử A va B là các môđun con của M sao cho A đẳng cấu với B và B
là hạng tử trực tiếp của M. Vì M là nội xạ và B là hạng tử trực tiếp của M nên
B là M nội xạ, do đó dãy khớp sau chẻ ra:
O → B→ M → M / B → O
Mặt khác A ≅ B , do đó dãy khớp
O → A → M → M / A → O cũng chẽ ra vì vậy A là hạng tử trực tiếp của
M. Vậy M có tính chất (C2). W
1.1.2. Mệnh đề. Nếu M có tính chất (C2) thì cũng có tính chất (C3), nghĩa là:
Nếu M1 và M2 là các hạng tử trực tiếp của M sao cho:
M1 ∩ M 2 = 0 thì M1 ⊕ M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Vì M1 là hạng tử trực tiếp của M do đó:
M = M1 ⊕ X , với X là môđun con nào đó của M. Gọi π là phép chiếu
π :M1 ⊕ X → X
Khi đó M1 ⊕ M 2 = M1 ⊕ πM 2 . Thật vậy lấy x = m1 + m2 ∈ M1 ⊕ M 2 vì
m 2 = m1' + x1 ∈ M, x 1 ∈ X do đó x = (m1 + m1') + x1 trong đó π(m 2 ) = x1 nghĩa là
x ∈ M1 ⊕ πM 2 .
Ngược lại, lấy

y = m1 + x 2 ∈ M1 ⊕ πM 2 khi đó x 2 = π(m 2 ) với

m1' + x1 ∈ M1 ⊕ X, m 1'∈ M1, x 2 ∈ X.
Do đó y = (m1 − m1 ') + (m1 '+ x 2 ) = (m1 − m1 ') + m 2 ∈ M1 ⊕ M 2
Bây giờ do M1 ∩ M 2 = 0 hay M 2 ∩ kerπ = 0 nên π M 2 là một đơn cấu
nghĩa là:
M 2 ≅ π(M 2 ) khi đó do tích chất (C2) ta có π(M 2 ) là hạng tử trực tiếp
của M ta viết: π(M 2 ) ⊕ N = M
Từ đó suy ra: M = π(M 2 ) ⊕ M1 ⊕ (N ∩ X) .


15

Vậy π(M 2 ) ⊕ M1 là hạng tử trực tiếp của M. Theo chứng minh trên thì
π(M 2 ) ⊕ M1 = M1 ⊕ M 2 do đó M1 ⊕ M 2 là hạng tử trực tiếp của M. W
1.1.3. Định nghĩa. Ta nhắc lại rằng: Một môđun M được gọi là liên tục
nếu M có tính chất (C1) và (C2).
Một môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M có tính chất (C1) và (C3).
Một môđun M được gọi là CS - môđun nếu M có tính chất (C1).
Từ mệnh đề 1.1.1 và mệnh đề 1.1.2 chúng ta có:
1.1.4. Định lý. Các phép kéo theo sau đây là đúng:
Môđun nội xạ ⇒ Môđun tựa nội xạ ⇒ Môđun liên tục ⇒ Môđun tựa
liên tục ⇒ CS- môđun.
Chú ý:
Trong [6] đã chỉ ra các chiều ngược lại của các phép kéo theo trong
định lý này nói chung là không đúng và như vậy các lớp môđun của định lý
này là mở rộng thực sự của lớp môđun đi trước.
Ta nhắc lại là rằng một môđun con N của M được gọi là đóng trong M
nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M.

Một môđun con X của M gọi là bù nếu nó là tối đại trong M với tính
chất X ∩ Y = 0 , đối với một môđun con Y nào đó của M.
1.1.5. Hệ quả. Môđun con A là đóng trong môđun M khi và chỉ khi A là
môđun con bù trong M. Môđun con đóng hay bù là luôn tồn tại.
Chứng minh. Giả sử A là môđun con đóng của môđun M khi đó A là bù vì:
Nếu A = M rõ ràng A là bù (vì A tối đại mà A ∩ 0 = 0 ).
Nếu A ≠ M do A đóng nên A cốt yếu trong M vì vậy ∃C tối đại mà
A ∩ C = 0.
Khi đó A là môđun con bù, bởi vì giả sử có B ⊆ M mà B ∩ C = 0 và
B ⊇ A lúc đó lấy X ⊂ B,X ≠ 0 ta được X ∩ A ≠ 0 . Trái lại, C ⊕ X sẽ giao


16

với A bằng 0, mâu thuẫn với tính tối đại của C. Vì vậy A ⊂ e B và do đó A = B
hay A là môđun con bù.
Ngược lại, giả sử A là môđun con bù tức là A tối đại mà A ∩ C = 0 với
C là môđun con nào đó của M và giả sử A ⊂ e B khi đó dễ thấy B ∩ C = 0 .
Từ tính tối đại của A ta có A = B hay A là môđun đóng. W
Sự tồn tại của môđun con đóng hay bù từ bổ đề Zorn.
1.1.6. Mệnh đề. Một môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng của
M là hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Giả sử M là CS và A là môđun con đóng của M. Do tính CS của
M nên tồn tại B ⊆ M mà A ⊂ e B và B là hạng tử trực tiếp của M.
Do A đóng nên A = B nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của M.
Ngược lại, mọi môđun con đóng của con M là hạng tử trực tiếp của M
và X là môđun con bất kỳ của M. Bởi Zorn, tồn tại A là mở rộng cốt yếu tối
đại của X, nghĩa là X ⊆ A và A là đóng. Vì A là hạng tử trực tiếp của , vậy M
là CS - môđun. W
1.1.7. Mệnh đề. Mỗi môđun không phân tích được M và là CS-môđun khi và

chỉ khi M là đều. Mỗi môđun đều là tựa iên tục.
Chứng minh. Giả sử M là CS - môđun không phân tích được và A là môđun
con bất kỳ của M. Vì M là CS nên có B ⊆ M mà A ⊂ e B và B ⊂ ⊕ M . Nhưng
do M không phân tích được nên B = M và như vậy A ⊂ e M nghĩa là M đều.
Ngược lại, mỗi môđun đều M đều CS và không phân tích được là hiển
nhiên.
Mỗi môđun đều V rõ ràng là tựa liên tục. W
1.1.8. Bổ đề. Giả sử A là môđun con của môđun M. Nếu A là đóng trong một
hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M.
Chứng minh. Giả sử M = M1 ⊕ M 2 và đóng trong M1. Xét phép chiếu:
π :M1 ⊕ M 2 → M1


17

Gọi B là một mở rộng cốt yếu nào đó của A trong M. Bởi vì A ⊆ M1
nên A = π(A) .
e
e
Mặt khác từ A ⊂ e B ta có π(A) ⊂ π(B) ⊆ M hay A ⊂ π ( B ) ⊆ M1 .

Nhưng bởi A đóng do đó π ( B ) ⊆ A ⊆ B . Khi đó ta có: ( 1 − π ) ( B ) ⊆ B
Mặt khác nếu a ∈ A mà a = ( 1 − π ) ( b ) = b − π ( b ) với b ∈ B suy ra:
b = a + π ( b ) ∈ A ⊆ M1 ⇒ π ( b ) = b, vậy a = 0
Điều đó chứng tỏ ( 1 − π ) ( B ) ∩ A = 0 . Từ giả thiết A ⊂ e B và như trên
đã

chứng

minh

( 1 − π) ( B) ⊆ B .

Vậy

( 1 − π) ( B) = 0

do

đó

π ( B ) = Bhay B ⊆ M1 ,
như vậy A = B và A đóng trong M. W
1.1.9. Mệnh đề. Hạng tử trực tiếp của một môđun tựa liên tục (liên tục) là
tựa liên tục (liên tục).
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh nếu M có tính chất (C1) và
M = M1 ⊕ M 2 thì M1 có tính chất (C1). Thật vậy, nếu A đóng trong M1, theo bổ
đề 1.1.8 A đóng trong M. Và do đó A là hạng tử trực tiếp của M, vì M có (C1)
tức là M = A ⊕ X
Khi đó bởi luật môdular: M1 = A ⊕ (M1 ∩ X)
Nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của M và do đó từ mệnh đề 1.1.6, M1 có
tính chất (C1).
Bây giờ giả sử M = M1 ⊕ M 2 có tính chất (C2) ta cần chứng minh M1 có
tinh chất (C2).
Giả sử A, B là các môđun con của M1 sao cho A ≅ B và B là hạng tử
trực tiếp của M1. Khi đó ta thấy B là hạng tử trực tiếp của M. Từ đó và bởi giả
thiết M có tính chất (C2) nên A là hạng tử trực tiếp của M.


18

Bởi theo luật môdular, A là hạng tử trực tiếp của M1 điều đó chứng tỏ
M1 có tính chất (C2).
Cuối cùng chứng minh nếu M = M1 ⊕ M 2 và M có tính chất (C3) thì M
cũng có tính chất (C3). Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp của M1 và
A ∩ B = 0 khi đó dễ thấy rằng A, B cũng là hạng tử trực tiếp của M. Bởi M có
tính chất (C3) nên A ⊕ B là hạng tử trực tiếp của M và do đó theo luật Môdular
A ⊕ B là hạng tử trực tiếp của M1. Vậy M1 là môđun có tính chất (C3).
Như vậy ta đã chứng minh được: hạng tử trực tiếp của một môđun có
tính chất (Ci) (i=1,2,3, ...) cũng có tính chất (Ci). Từ đó ta nhận được hạng tử
trực tiếp của một môđun tựa liên tục (liên tục) là một môđun tựa liên tục (liên
tục). Mệnh đề 1.1.9 được chứng minh. W
Bây giờ ta đưa ra một số đặc trưng của môđun tựa liên tục.
1.1.10. Định lý. Các phát biểu sau đây là tương đương đối với một môđun M:
(1). M là tựa liên tục.
(2). M = X ⊕ Y đối với 2 môđun con X, Y sao cho chúng bù lẫn nhau.
(3). fM ⊆ M đối với luỹ đẳng f ∈ End  E ( M )  .
(M ∩ E i )
E i thì M = ⊕
(4). Nếu E ( M ) = ⊕
i∈I
i∈I
Chứng minh. (1) ⇒ (2)
Vì M là tựa liên tục và X là bù của M nên X là hạng tử trực tiếp của M,
bởi mệnh đề 1.1.6 nghĩa là: M = X ⊕ Y , trong đó Y là môđun con nào đó của
M.
Bây giờ ta chứng minh X và bù lẫn nhau. Thật vậy, giả sử ∃A ⊇ X mà
A ∩ Y = 0 khi đó M = A ⊕ Y và từ đó A = X. Tương tự ta nhận được Y là bù
của X.
(2) => (3)

19

Giả sử A1 = M ∩ f (E(M)) và A 2 = M ∩ (1 − f )(E(M)) . Giả sử B1 là bù
của A2 mà B1 chứa A1 và B2 là bù của B1 mà B2 chứa A2
(Lưu ý rằng A1 ∩ A 2 = 0 vì (1 − f )(E(M)) = E ( M ) − f ( E ( M ) ) ).
Từ đó ta thấy rằng B1 và B2 là bù lẫn nhau trong M và do vậy từ giả
thiết của (2) ta có: M = B1 ⊕ B2
Gọi π là phép chiếu, π :B1 ⊕ B2 → B1 .
Ta sẽ chứng minh: M ∩ ( f − π ) ( M ) = 0 .
Thật vậy, giả sử x, y ∈ M mà x = (f − π)(y) hay x = f (y) − π(y)
Từ đó ta có: f (y) = x + π(y) ∈ M suy ra f (y) ∈ A1
Mặt khác, bởi vì (1 − f )(y) = y − f (y) ∈ M , nên (1 − f )(y) ∈ A 2 .
Do π(1 − f )(y) = 0 ⇒ π(y) − π(f (y)) = 0
Hay π(y) = f (y) mà f (y) ∈ A1 , π(y) ∈ B1 và A1 ∩ B1 = 0 . Do vậy
f (y) = π(y) = 0 . Từ đó ta có x = 0 , nghĩa là: M ∩ (f − π)(M) = 0
e
Bây giờ từ M ⊂ E(M) ta có (f − π)(M) = 0 hay f (M) = π(M) . Mà π là

phép chiếu từ M đến B1 ⊆ M . Do vậy f (M) ⊆ M
(3) => (4)
(M ∩ E i ) ⊆ M
Dễ dàng thấy rằng: ⊕
i∈I
E i với F là tập con
Giả sử m là phần tử bất kỳ của M , khi đó m ∈⊕
i∈F
hữu hạn của I.
E i ⊕ E ' . Khi đó tồn tại họ dãy đẳng trực giao

Ta viết: E(M) = ⊕
i∈F
f i ∈ EndE(M),(i ∈ F) sao cho E i = f i (E(M)) . Bởi vì f i (M) ⊆ M do giả thiết,
ta sẽ chứng tỏ rằng M ⊆ ⊕(M ∩ E i ).
'
Thật vậy ∃K để m ∈ E1 ⊕ ... ⊕ E k . Vì E(M) = E1 ⊕ ... ⊕ E k ⊕ E .

Lấy f i là phép chiếu từ E(M) → E i ,(i = 1,k)


20

2
Thế thì f i = f i và E i = f i (E(M)) . Do f i (M) là tập con của M nên ta có:
k

m = m1 + m 2 + ... + m k = f1 (m) + f 2 (m) + ... + f k (m) = ∑ f i (m) ∈⊕(M ∩ E i )
i =1

i∈F

Vậy m ∈ ⊕(M ∩ E i )
(M ∩ E i )
Như vậy ta có M ⊆ ⊕(M ∩ E i ) hay M = ⊕
i∈I
(4) => (1)
Giả sử A là môđun con của M. Ta viết E(M)=E(A) ⊕E ' khi đó ta có:
M = M ∩ E( A) ⊕ M ∩ E ,
e
trong đó A ⊂ M ∩ E ( A )

Điều đó chứng tỏ A có mở rộng cốt yếu là hạng tử trực tiếp của M. Như
vậy M có tính chất (C1).
Để chứng minh M có tính chất (C3). Giả sử M1, M2 là các hạng tử trực
tiếp của M với M1 ∩ M 2 = 0 ta có E ( M ) = E1 ⊕ E 2 ⊕ E" trong đó
E1 = E(M1), E2 = E(M2). Khi đó: M = M ∩ E1 ⊕ M ∩ E 2 ⊕ M ∩ E '
e
Từ Mi là hạng tử trực tiếp của M và M i ⊂ ( M ∩ E i ) . Chúng ta có

M i = M ∩ E i (do các Mi đóng trong M), với i=1,2,...
Vậy: M = M1 ⊕ M 2 ⊕ M ∩ E" nghĩa là M có tính chất (C3). W
1.2. CS - Môđun và (1 - C1) - Môđun
1.2.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là CS - môđun (1 - C1) - môđun
(uniform extending) nếu mỗi môđun con (môđun con đều) của M là cốt yếu
trong một hạng tử trực tiếp của M, nói cách khác mọi môđun con đóng
(môđun con đóng đều) trong M là hạng tử trực tiếp của M.
1.2.2. Hệ quả. Mọi CS-môđun là (1 - C1) - môđun.
Chứng minh. Được suy ra từ định nghĩa.


21

1.2.3. Bổ đề. Hạng tử trực tiếp của môđun CS (Tương ứng (1 - C 1)-môđun) là
CS - môđun (Tương ứng (1 - C1) - môđun) .
Chứng minh. Nếu M là (1 - C1) - môđun và N ⊂ ⊕ M . Ta chứng minh N là
(1 - C1) - môđun. Thật vậy, Xét U là môđun con đóng và đều của N. Khi đó U
cũng là môđun con đóng và đều của M. Vì M là (1 - C1) nên U ⊂ ⊕ M tức là:
M = U ⊕ V,(V ⊂ M) .
⊕
Theo luật Modular ta có: N = N ∩ M = N ∩ ( N ∩ V ) .Hay U ⊂ N. Do

đó N là (1- C1) - môđun. W
Với M là CS - môđun chứng minh tương tự.
1.2.4. Bổ đề. Nếu M là (1 - C1) - môđun và K là môđun con đóng của M với
chiều đều hữu hạn thì K là hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Xét U là môđun con đóng đều của K. Khi đó U cũng là môđun
con đóng đều của M. Do M là (1 - C1) - môđun nên từ đó M = U ⊕ V với
V ⊂ M . Theo luật Modular ta có: K = K ∩ M = K ∩ ( U ⊕ V ) = U ⊕ ( K ∩ V ) .
Do [6, Lemma2.6], K ∩ V là đóng trong K nên cũng đóng trong M. Rõ ràng
K ∩ V có chiều uniform của K. Chứng minh quy nạp theo chiều dều của K ta
có K ∩ V là hạng tử trực tiếp của V. Từ đó K ⊂ ⊕ M . W
1.2.5. Bổ đề. Cho M là môđun có chiều uniform hữu hạn. Khi đó M là
CS - môđun nếu và chỉ nếu (1 - C1) - môđun.
Chứng minh. Nếu M là CS-môđun thì hiển nhiên M là (1 - C1) - môđun.
Ngược lại, nếu M là (1 - C1) - môđun. Xét U là môđun con đóng bầt kì
của M. Do udim m < ∞ , theo tính chất 4.2 (a) suy ra udim U< ∞ . Áp dụng
bổ đề 1.2.4 ta có U ⊂ ⊕ M . Từ đó M là CS - môđun.
Thật vậy, xét U ⊂ M là môđun con đóng của M. Gọi H là bao đóng của
U ∩ M 2 trong U. Vì H đóng trong U, U đóng trong M nên H đóng trong M.


22

Mặt khác, H ∩ M1 = 0 nên H ⊂ ⊕ M , tức là M = H ⊕ H ' với H ' ⊂ ⊕ M
theo luật Modular U = H ⊕ ( U ∩ H ' ) . Ta có U ∩ H ' đóng trong U nên
U ∩ H ' cũng đóng trong M. Do ( U ∩ H ') ∩ M 2 = 0 nên U ∩ H ' ⊂ ⊕ M . Do đó
M = ( U ∩ H ') ⊕ X . Theo luật Modular H ' = (U ∩ H ') ⊕ ( H '∩ X ) .
Từ đó M = H ⊕ H ' = H ⊕ ( U ∩ H ' ) ⊕ ( H '∩ X ) = U ⊕ ( H '∩ X ) suy ra
U ⊂ ⊕ M hay M là CS - môđun. W
1.2.6. Bổ đề. Nếu M = M1 ⊕ M 2 trong đó M1 và M 2 là CS- môđun, thì M

là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng K của m với K ∩ M1 = 0
hoặc K ∩ M 2 = 0 , là một hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Nếu M là CS- môđun, khi đó với mọi môđun con đóng K của
M ta có K ⊂ ⊕ M .
Ngược lại, mọi môđun con đóng K của M với K ∩ M1 = 0 hoặc
K ∩ M 2 = 0 là hạng tử trực tiếp của M. Ta chứng minh CS- môđun.
Thật vậy, xét U ⊂ M là môđun con đóng của M. Gọi H là bao đóng của
U ∩ M 2 trong U. Vì H đóng U, U đóng trong M nên H đóng trong M.
Mặt khác, H ∩ M1 = 0 nên H ⊂ ⊕ M , tức là M = H ⊕ H′ với H′ ⊂ M
theo luật Modular U = H ⊕ (U ∩ H′) . Ta có U ∩ H′ đóng trong U nên U ∩ H′
cũng đóng trong M. Do ( U ∩ H′ ) ∩M 2 = 0 nên U ∩ H′ ⊂ ⊕ M . Do đó
M = (U ∩ H′) ⊕ X .
Theo luật Modular H′ = (U ∩ H′) ⊕ (H′ ∩ X)
Từ đó M = H ⊕ H′ = H ⊕ (U ∩ H′) ⊕ (H′ ∩ X) = U ⊕ (H′ ∩ X) . Suy ra
U ⊂ ⊕ M hay là CS- môđun. W


23

1.2.7. Định lí. Cho M = M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n là tổng trực tiếp hữu hạn của các
môđun nội xạ lẫn nhau Mi. Khi đó M là CS - môđun nếu và chỉ nếu M i là
môđun (i = 1,2,...,n).
Chứng minh. Nếu M CS-môđun theo bổ đề 1.2.3 suy ra Mi cũng là CS môđun (i = 1,2,...,n).
Ngược lại, giả sử Mi là CS - môđun (i = 1,2,...,n). Ta chứng minh M là
môđun CS. Xét trường hợp n = 2. Xét K ⊂ M là môđun đóng với K ⊂ M1 = 0 .
Theo [3, Lemma 7.5] tồn tại M ' ⊂ M sao cho M = M1 ⊕ M ' và K ⊂ M ' .
Do M ' ≅ M 2 nên M' cũng là CS - môđun . Rõ ràng K đóng trong M' nên
K ⊂ ⊕ M ' . Tương tự với môđun con đóng H của M; H ∩ M 2 = 0 ta cũng có
H ⊂ ⊕ M . Áp dụng bổ đề 1.2.6 ta có M là CS - môđun.
Bằng phương pháp chứng minh quy nạp và từ trường hợp n = 2 ta

chứng minh được trong trường hợp tổng quát n ∈ N . W
1.2.8. Định lí. Cho M = M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n là tổng trực tiếp của hữu hạn
các môđun Mi nội xạ lẫn nhau. Khi đó M là (1 - C 1) - môđun nếu và chỉ nếu
M1 là (1 - C1) - môđun ( ∀i =1,2,...,n ).
Chứng minh. Nếu M là (1 - C1) - môđun, theo bổ đề 1.2.3 ta suy ra Mi cũng là
(1 - C1) - môđun ( ∀i =1,2,...,n ).
Ngược lại, giả sử

Mi là (1 - C1) - môđun. Ta chứng minh M là

(1 - C1) - môđun. Sử dụng phương pháp quy nạp, ta chỉ cần chứng minh M là
(1 - C1) - môđun với n = 2. Xét K là môđun con đóng đều của M. Do
M1 ∩ M 2 = 0 nên hoặc K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M 2 = 0 . Không mất tính tổng
quát giả sử K ∩ M1 = 0 . Do M1 và M2 nội xạ, theo [3, lemma 7.5] tồn tại
M 2 ⊂ M sao cho M = M1 ⊕ M 2 và K ⊂ M 2 ' theo giả thiết M2 (1 - C1)-môđun,
mà M 2 ≅ M 2 ' nên M2' cũng là (1 - C1) - môđun. Ta có K đóng đều trong M nên


24

⊕
K cũng đóng đều trong M2'. Suy ra K ⊂ M 2 ' nên K ⊂ ⊕ M . Từ đó ta có M là

(1 - C1) - môđun. W
1.2.9. Bổ đề. Cho M = M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n là tổng trực tiếp của các hữu hạn
các môđun con Mi (1≤ i ≤ n ). Khi đó M là môđun tựa liên tục (tương ứng liên
tục) nếu và chỉ nếu Mi (i = 1,2,...,n) là các môđun tựa liên tục (tương ứng
liên tục) nội xạ lẫn nhau.
Chứng minh. [6, Proposition 2.10]
1.2.10. Định nghĩa.

(a) Họ { Ni: i∈ I} các môđun con M được gọi là hạng tử trực tiếp địa
phương nếu với mọi tập con hữu hạn A ⊂ I ; ⊕ A N α là hạng tử trực tiếp của M
và

∑

I

N i là tổng trực tiếp.
(b) Họ { Ni: i∈ I} các môđun con đều của môđun M được gọi là hạng tử

trực tiếp địa phương nếu với tập con hữu hạn A ⊂ I, ⊕ A N α là hạng tử trực
tiếp và

∑

I

N i là tổng trực tiếp.

(c) Hạng tử trực tiếp địa phương { Ni: i∈ I} (hạng tử trực tiếp đều địa
phương) là hạng tử trực tiếp của M nếu ⊕i N i là hạng tử trực tiếp của M.
1.2.11. Bổ đề. Cho M = ⊕ I U i là tổng trực tiếp của các môđun con đều
U i (i ∈ I) khi đó mọi môđun con khác không của M có chứa một môđun đều.
Chứng minh. Giả sử A là môđun con khác không của M, khi đó tồn tại tập
J ⊂ I tối đại sao cho A ∩ ⊕A J U i = 0 . Xét k ∈ I / J và phép chiếu.
Pk : U k ⊕ ( ⊕ J U i ) → U k
Đặt A k = A ∩ ( U k ⊕ ( ⊕ J Ui ) ) . Do giả thiết của J nên A k ≠ 0 .
Từ A k ∩ ( ⊕ J U i ) = 0 ta có A k ≅ Pk ( A k ) ⊆ U k . Do đó Uk đều nên Ak
đều, từ đó ta có điều phải chứng minh. W

25

1.2.12. Định lý: Nếu M là môđun có tính chất mọi hạng tử trực tiếp đều địa
phương và hạng tử trực tiếp và mọi môđun con đóng của M có chứa môđun
đều thì M là CS - môđun và nếu chỉ nếu M là (1 - C1) - môđun.
Chứng minh. Nếu M là (1 - C1) - môđun thì hiển nhiên M là (1 - C1) - môđun.
Ngược lại, giả sử M là (1 - C1) - môđun và thỏa mãn giả thiết của định lí ta
chứng minh M là CS - môđun. Thật vậy, xét U là môđun con đóng bất kỳ của
M. Ta cần chứng minh U là hạng tử trực tiếp của M. Từ giả thiết ta có tồn tại
⊕
môđun con đều K ⊂ U,K ⊂ M . Xét họ ζ = {⊕i∈I N i : N i ∈ U, N i , N i đều và

N i : i ∈ I } là hạng tử trực tiếp đều địa phương của M}.
Theo bổ đề Zorn, tồn tại { N i : i ∈ I} là hạng tử trực tiếp đều địa phương
⊕
tối đại trong ζ . Khi đó N = ⊕ I N i ⊂ M . Ta chứng minh U = N . Giả sử

U ≠ N . Do

N ⊂⊕ M

nên M = N ⊕ X . Theo luật Modular ta có:

U = U ∩ M = U ∩ (N ⊕ X) = N ⊕ (U ∩ X) . Đặt Y = U ∩ X . Do Y đóng trong
U và U đóng trong M nên Y đóng trong M. Nếu Y ≠ 0 , theo giả thiết Y có
⊕
chứa một môđun con đều Y1 mà Y1 ⊂ M khi đó N ⊕ y 1 là một phần tử của

họ ζ , mâu thuẫn với tính chất tối đại của N. Do đó Y = 0 , suy ra
u =n ⊂ ⊕ M . Vì vậy M là CS - Môđun. W
1.2.13. Hệ quả. Cho môđun M là tổng trực tiếp của các môđun con đều và có
tính chất mọi hạng tử trực tiếp đều địa phương là hạng tử trực tiếp. Khi đó M
là CS - môđun nếu và chỉ nếu M là (1 - C1) - môđun.
Chứng minh. Được suy ra từ bổ đề 1.2.11 và định lí 1.2.12.