Bài toán vật rắn lăn trên mặt phẳng nghiêng

Vật lăn trên mặt phẳng nghiêng :
Để hiểu rõ hơn những điều trình bày trong chương này, chúng ta hãy áp dụng
các kết quả thu được để khảo sát chuyển động lăn của một vật trên mặt phẳng
nghiêng. Giả sử vật lăn không trượt và dạng hình học của nó có sự đối xứng
tròn xoay đối với trục đi qua khối tâm G (hình trụ hay cầu) như trình bày ở hình
bên. Trước khi giải bài toán này, tức là tìm gia tốc của chuyển động nhanh
dần đều của vật trên mặt phẳng nghiêng ta cần đi sâu phân
tích cơ chế vật lý đảm bảo cho vật lăn không trượt trên mặt phẳng đó. Chính các
phản lực từ phía mặt phẳng nghiêng tác dụng lên vật đảm bảo cho nó lăn không
trượt. Các phản lực đó gồm có phản lực pháp tuyến
n
và phản lực tiếp tuyến
t
. Khi không có sự trượt thì
t
chính là lực ma sát nghỉ. Độ lớn của
t
có thể nhận
bất kỳ giá trị nào trong khoảng từ 0 đến µ Fn trong đó µ là hệ số ma sát. Khi vật lăn thì lực
t
sẽ có giá trị sao cho
không xảy ra hiện tượng trượt. Khi Ft có trị số vượt quá µ Fn (tùy thuộc vào góc nghiêng α của mặt phẳng nghiêng)
thì vật không thể lăn thuần túy được nữa, nó bắt đầu trượt.
Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng ba cách khác nhau để hiểu rõ thêm về các kiến thức đã nêu trong chương này.
a/ Cách giải thứ nhất :
Vì vật lăn không trượt nên điểm A là điểm tiếp xúc giữa vật và mặt phẳng nghiêng có vận tốc tức thời bằng
0 (xem I.5.3 về chuyển động xy-clô-it). Như vậy trục quay tức thời sẽ đi qua A. Áp dụng phương trình
(III.7) đối với trục đi qua A :
I
A
=

A
trong đó I
A
là mômen quán tính của vật đối với trục quay tức thời,
A
là mômen của ngoại lực đối với điểm
A. Trong trường hợp này ngoại lực là trọng lượng m của vật và các phản lực của điểm tựa. Tuy nhiên
mômen của các phản lực đều bằng 0 vì các lực này đều đi qua điểm A. Vì vậy chỉ có trọng lực tạo ra
mômen
A
. Ta có:
I
A
= mgrsinα
trong đó r là bán kính.Gọi
G
là vận tốc dài của khối tâm thì theo (III.8) :
v
G
= v
A
+ ω
o
r = ω
o.
r vì v
A
= 0. Khi đó gia tốc dài a của khối tâm :
a = = r
thay vào phương trình mômen ở trên, ta tìm được :

a=
vì trục quay tức thời và trục quay của vật khi lăn đi qua khối tâm G luôn song song với nhau và cách nhau
một đoạn bằng r nên theo định lý Steiner-Huygens ta có :
I
A
=I
G
+ mr
2
Trong đó I
G
là mômen quán tính của vật đối với trục đi qua khối tâm. Thay biểu thức của I
A
vừa tìm được
vào biểu thức của a cuối cùng ta tìm được :
a = (III.24)
Ưu điểm của cách giải này là trong phương trình xuất phát ban đầu (phương trình mômen đối với trục quay
tức thời) hoàn toàn không có mặt của các phản lực mà ta không biết độ lớn.
b/ Cách giải thứ hai :
Áp dụng phương trình (III.7) đối với trục đi qua khối tâm G của vật :
I
G
=
G
Trong đó I
G
và
G
là mômen quán tính và mômen lực đối với trục đi qua G. Trọng lượng của vật và phản
lực pháp tuyến không đóng góp gì vào mômen lực vì chúng đi qua G, chỉ có thành phần phản lực tiếp tuyến

t
tạo ra mômen lực µ
G
=rFt., vì vậy phương trình mômen trở thành :
I
G
=rFt (*)
Phương trình này chứa hai ẩn số là Ft và nên muốn giải ta cần phải tìm thêm một phương trình nữa.
Đó là phương trình chuyển động của khối tâm G :
m = mgsinα -Ft (**)
Thay a= = r vào (*) và (**) ta đi đến hệ phương trình mới :
a =
Ft=

mgsinα - ma
Giải hệ phương trình này ta tìm được biểu thức (III.24) của a và :
F
t
= mgsinα - ma =

mgsinα (III.25)
Ưu điểm của cách giải này là ngoài gia tốc a ta tìm được phản lực tiếp tuyến Ft.
c/ Cách giải thứ ba :
Ta áp dụng định luật bảo toàn cơ năng. Động năng của vật :T = mv
G
2
+ I
G
ω
o

2
Theo định luật bảo toàn cơ năng: mv
G
2
+ I
G
ω
o
2
=mgh
trong đó h là sự thay đổi của độ cao ban đầu, từ đó bắt đầu thả cho vật lăn. Nếu gọi x là đoạn đường mà vật
đi được trên mặt phẳng nghiêng thì h=xsinα
Lấy đạo hàm theo thời gian phương trình này và chú ý rằng (dx/dt) = v
G
=ω
o
r và (dvG/dt) = a =r(dω
o
/dt)
chúng ta đi đến phương trình :
ma + a = mgsinα
Từ phương trình này, ta tìm lại được biểu thức (III.24) của gia tốc a.
Có thể đặt câu hỏi tại sao ở đây có sự bảo toàn cơ năng khi mà, như đã phân tích ở đầu tiết này, không thể
bỏ qua vai trò của lực ma sát? Nhưng nếu nhớ lại rằng khi vật lăn không trượt thì điểm đặt của lực ma sát có
vận tốc bằng 0 nên công của lực ma sát bằng 0 và không ảnh hưởng đến cơ năng của vật. Vai trò của lực ma
sát ở đây là đảm bảo cho vật chỉ lăn mà không trượt và đảm bảo cho độ giảm thế năng chuyển toàn bộ thành
động năng tịnh tiến và động năng quay của vật.
d/ Áp dụng vào các trường hợp cụ thể :
- Trường hợp vật có dạng hình trụ đặc. Ta có :
I

G
= mr
2
Thay vào (III.24), ta tìm được :
a = gsinα (III.26)
- Trường hợp vật có dạng hình trụ rỗng. Ta có : I
G
= mr
2
Thay vào (III.24), ta tìm được :
a = gsinα (III.27)
- Trường hợp vật có dạng hình cầu. Ta có :
I
G
= mr
2
Thay vào (III.24), ta tìm được :
a = gsinα (III.28)
Từ kết quả trên, ta thấy các nếu các vật có cùng khối lượng và được thả ở cùng độ cao trên mặt phẳng
nghiêng thì quả cầu chuyển động xuống nhanh nhất, tiếp đến là hình trụ đặc và cuối cùng là hình trụ rỗng.