ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2

ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ
Môn: Giải tích 2

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Thor
Họ và tên:

MSSV:

Chủ đề 2: Tích phân đường
1 Tích phân đường loại 1
Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng:

f dl
C

Tính chất:
1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C
2 Độ dài đường C : L =

1dl
C

f dl =
C

f dl +
C1

f dl
C2

Phương pháp giải:
1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl =
2 Nếu C :

x = x(t)
y = y(t)

, t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theo công thức: dl =

Bài tập:
1
2
3

1

1 + y (x)2 dx
x (t)2 + y (t)2 dt


2 Tích phân đường loại 2
Tích phân đường loại 2 là tích phân có dạng:

P dx + Qdy
C

Tính chất:
1 Là tích phân phụ thuộc vào đường đi. Đổi chiều đường đi thì tích phân đổi dấu.
B

A

P dx + Qdy = −
A

P dx + Qdy
B

2 Nếu C = C1 ∪ C2 , C1 ∩ C2 = ∅ :

P dx + Qdy =
C

P dx + Qdy +
C1

P dx + Qdy
C2

Phương pháp giải:
1 Đưa dy về dx theo công thức dy = y (x)dx hoặc đưa dx về dy theo công thức dx = x (y)dy.
x2

Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì I =

[P + Q.y (x)]dx

P dx + Qdy =
x1

y2

C

Nếu C : x = x(y), y : y1 → y2 thì I =

P dx + Qdy = [P.x (y) + Q]dy
y1

C

2 Đưa dx, dy về dt theo công thức dx = x (t)dt, dy = y (t)dt

x = x(t)
y = y(t)

Nếu C :

t2

, t : t1 → t2 thì I =

P dx + Qdy = [P.x (t) + Q.y (t)]dt
t1

C

Bài tập:
x2 dx + 2xydy với C là đoạn nối 2 điểm từ O(0, 0) đến A(1, 1) theo:

1 Tính I =
C

a. Đoạn thẳng OA
b. Parabol y = x2
c. Đường tròn x2 + y 2 = 2x theo cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm)
Hướng dẫn:
a. C : y = x, x : 0 → 1
1

x2 dx + 2xydy = (x2 + 2x2 )dx = 1

I=

0

C

b. C : y = x2 , x : 0 → 1
1

17
15

x2 dx + 2xydy = (x2 + 2x.x2 .2x)dx =

I=

0

C

π
x = cos t + 1
,t : π →
y = sin t
2

c. C :

π
2

2

x dx + 2xydy = [(cos t + 1)2 .(− sin t) + 2(cos t + 1) sin t. cos t]dt

I=

π

C
π
2

π
2

= [(cos t + 1)2 − 2(cos t + 1) cos t]d(cos t) = (1 − cos2 t)d(cos t) =
π

π

(4x − y)dx + 5x2 ydy với C là parabol y = 3x2 đi từ điểm O(0, 0) đến điểm B(1, 3).

2 Tính I =
C

Hướng dẫn:
C : y = 3x2 , x : 0 → 1
1

I = (4x − y)dx + 5x2 ydy = (4x − 3x2 + 5x2 .3x2 .6x)dx = 16
C

2
3

0

2


xydx − y 2 dy với C là parabol y 2 = 2x đi từ điểm O(0, 0) đến điểm A(2, 2).

3 Tính I =
C

Hướng dẫn:
y2

C : x = ,y : 0 → 2
2
I=
C

2

8
15

2

xydx − y 2 dy = ( y2 .y.y − y 2 )dy =
0

x2 ydx + ydy với C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi y = x2 , x = y 2 .

4 Tính I =
C

Hướng dẫn:
C1 : y = x 2 , x : 0 → 1
Gọi
thì C = C1 ∪ C2
C2 : x = y 2 , y : 1 → 0
I = x2 ydx + ydy = x2 ydx + ydy + x2 ydx + ydy
C

C1

C2
0

1

= (x2 .x2 + x2 .2x)dx + (y 4 .y.2y + y)dy =
1

0

7
11
3
−
=−
10 14
35

(x2 + 2y)dx + y 2 dy với C là đường y = 1 − |1 − x|, x đi từ 0 đến 2.

5 Tính I =
C

Hướng dẫn:
C1 : y = 1 − (x − 1) = 2 − x, x : 1 → 2
Gọi
thì C = C1 ∪ C2
C2 : y = 1 − (1 − x) = x, x : 0 → 1
I = (x2 + 2y)dx + y 2 dy = (x2 + 2y)dx + y 2 dy + (x2 + 2y)dx + y 2 dy
C

C1

C2

2

1

= [x2 + 2(2 − x) + (2 − x)2 .(−1)]dx + [x2 + 2x + x2 ]dx = 3 +
1

0

14
5
=
3
3

xydx − (x2 + y 2 − 2x)dy với C là nửa trên đường tròn (x − 1)2 + y 2 = 4 theo ngược

6 Tính I =
C

chiều kim đồng hồ (chiều dương).
Hướng dẫn:
x = 2 cos t + 1
C:
,t : 0 → π

y = 2 sin t
π

xydx − (x2 + y 2 − 2x)dy = [(2 cos t + 1).2 sin t.(−2 sin t) − 3.2 cos t]dt = −2π

I=

0

C

2ydx + xdy với C là cung ellipse x2 + 3y 2 = 3 đi từ (0, 1) đến giao điểm đầu tiên

7 Tính I =
C

của ellipse với đường thẳng y = x theo cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm).
Hướng dẫn:√
x = 3 cos t
C:
y = sin t
√
√
π
π
3 cos t = 0
Tại (0, 1) :
⇒ t = . Tại giao điểm : sin t = 3 cos t ⇒ t =
sin t = 1
2

3
√
π
π
x = 3 cos t
,t : →
⇒C:
y = sin t
2
3
π
3
√
√
I = 2ydx + xdy = [2 sin t.(− 3 sin t) + 3 cos t. cos t]dt
C
π
3

π
2

√
= [− 3(1 − cos 2t) +
π
2

√
3
(1 + cos 2t)]dt =

2

π
3

√

−
π
2

3

3
2

+

√
3 3
2

√
π 3 9
cos 2t dt =
+
12
8

√
x2 dx + xdy với C là cung ellipse 3x2 + y 2 = 9 đi từ điểm ( 3, 0) đến giao điểm đầu
C
√
tiên của ellipse với đường y = 3x theo cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm).

8 Tính I =

Hướng dẫn:√
x = 3 cos t
C:
y = 3 sin t
√
√
√
√ √
3π
3 cos t = 3
Tại ( 3, 0) :
⇒ t = 0. Tại giao điểm : 3 sin t = 3. 3 cos t ⇒ t = −
3 sin t = 0
4
√
3π
x = 3 cos t
⇒C:
,t : 0 → −
y = 3 sin t
4
− 3π

4
√
√
I = x2 dx + xdy =
[3 cos2 t.(− 3 sin t) + 3 cos t.3 cos t]dt
0

C
− 3π
4

3π

√ −4
√
√
2
=
3 3 cos td(cos t) + 3 3
cos2 tdt = 3 cos3 t
0 √
0
√
√
3+ 6
9 3π
−
=−
8
4

− 3π
4
0

√

+3 3

1
t
2

+

sin 2t
4

− 3π
4
0

(2x2 + y)dx − xdy với C là biên của miền được giới hạn bởi y = x2 − 2x, y = x theo

9 Tính I =
C

cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm).
Hướng dẫn:
C1 : y = x, x : 0 → 3

Gọi
thì C = C1 ∪ C2
C2 : y = x2 − 2x, x : 3 → 0
I = (2x2 + y)dx − xdy = (2x2 + y)dx − xdy + (2x2 + y)dx − xdy
C
3

C1

C2

0

= [(2x2 + x) − x]dx + [2x2 + x2 − 2x − x(2x − 2)]dx = 18 − 9 = 9
0

3

(x − y)dx + (x + 2y)dy với C là phần đường tròn x2 + y 2 = 4
C
√
đi từ điểm (−2, 0) đến giao điểm thứ nhất của đường tròn với y = − 3x tính theo chiều KĐH.
Đáp số: 32 − 4π
3

10 [181-DT] Tính tích phân sau đây

11 [182-CA1] Cho miền phẳng D : x2 + y 2

4, x

(x − 1)dy − ydx
x2 + y 2
C
√
Đáp số: 23 + 4π
3

I=

4

1 và C là biên định hướng dương của D. Tính


3 Công thức Green (Đường 2 → Bội 2)
Cho đường cong kín C bao quanh miền D. P, Q là các hàm khả vi liên tục trên D. Khi đó:
P dx + Qdy = ±

I=
C

Qx − Py dxdy
D

Lấy dấu + nếu C là chu tuyến dương (đứng trên C, miền D nằm bên trái)
Lấy dấu − nếu C là chu tuyến âm (đứng trên C, miền D nằm bên phải)
Bài tập:
x2 ydx + ydy với C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi y = x2 , y 2 = x.

1 Tính I =
C

Hướng dẫn:

√

1

x2 ydx + ydy = +

Áp dụng công thức Green: I =
C

(0 − x2 )dxdy =
0

Dxy

2(x2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy với C là chu tuyến của

2 Tính I =

x

−x2 dy = −

dx
x2

3
35

ABC, A(2, 1), B(6, 1), C(4, 3)

C

lấy ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương).
Hướng dẫn:
Phương trình AC : y = x − 1, BC : y = 7 − x
Áp dụng công thức Green: I = 2(x2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy = +
C
7−y

3

=

3

(2x − 2y)dx = [(7 − y)2 − (y + 1)2 − 2y(7 − y − y − 1)]dy =

dy
y+1

1

[2(x + y) − 2.2y]dxdy

Dxy

1

56
3

x2 ydx − (x + x2 )y 2 dy với C là đường tròn x2 + y 2 = 1, lấy ngược chiều kim đồng hồ.

3 Tính I =
C

Hướng dẫn:
Gọi Dxy : x2 + y 2 1
Áp dụng công thức Green: I =

x2 ydx − (x + x2 )y 2 dy = +
C

[−(1 + 2x)y 2 − x2 ]dxdy

Dxy

(−y 2 − 2xy 2 − x2 )dxdy

=
Dxy

Ta có Dxy là miền đối xứng qua trục Oy (x = 0), −2xy 2 là hàm lẻ đối với x ⇒

−2xy 2 dxdy = 0

Dxy

2π

(−y 2 − x2 )dxdy =

⇒I=

1

dϕ −r2 .rdr = −
0

Dxy

0

π
2

x2 ydx − xy 2 dy với C là đường tròn x2 + y 2 = 9, lấy cùng chiều kim đồng hồ.

4 Tính I =
C

Hướng dẫn:
Gọi Dxy : x2 + y 2 9
Áp dụng công thức Green: I =

x2 ydx − xy 2 dy = −

C

2π

3

dϕ r2 .rdr =

=
0

0

Dxy

(−y 2 − x2 )dxdy =

(x2 + y 2 )dxdy
Dxy

81π
2

(4x−2y)dx−(2x+3y)dy với C là chu tuyến dương của hình tròn (x−1)2 +(y+1)2 = 4

5 Tính I =
C

lấy cùng chiều kim đồng hồ.

5


Hướng dẫn:
Gọi Dxy : (x − 1)2 + (y + 1)2 4
Áp dụng công thức Green: I = (4x − 2y)dx − (2x + 3y)dy =
C

(−2 + 2)dxdy = 0
Dxy

(y − cos y)dx + x sin ydy với C là đường tròn (x − 3)2 + (y − 2)2 = 4 lấy cùng chiều

6 Tính I =
C

kim đồng hồ.
Hướng dẫn:
Gọi Dxy : (x − 3)2 + (y − 2)2 4
Áp dụng công thức Green: I = (y − cos y)dx + x sin ydy = −
C

=

[sin y − (1 + sin y)]dxdy

Dxy

dxdy = S(D) = 4π
Dxy

(x2 + 2y)dx − (y 2 + 2x)dy với C là phần đường tròn x2 + y 2 = 4 (y

7 Tính I =

x) lấy ngược

C

chiều kim đồng hồ.
Hướng dẫn:
√
x2 + y 2 = 4
⇔y=x=± 2
y=x
√
√
Gọi C : y = x, x : − 2 → 2
I = (x2 +2y)dx−(y 2 +2x)dy =
(x2 +2y)dx−(y 2 +2x)dy− (x2 +2y)dx−(y 2 +2x)dy = I1 −I2
Giao tuyến:

C

C∪C
2

x +y
y x

Gọi Dxy :

2

C

4
1
(−2 − 2)dxdy = −4S(D) = −4. .4π = −8π
2
Dxy

Áp dụng công thức Green: I1 = +
√

I2 =

2

√
− 2

[x2 + 2x − (x2 + 2x)]dx = 0 ⇒ I = I1 − I2 = −8π
(y − cos y)dx + x sin ydy với C là nửa đường tròn (x − 3)2 + (y − 2)2 = 4 đi từ A(1, 2)

8 Tính I =
C

đến B(5, 2) lấy cùng chiều kim đồng hồ.
Hướng dẫn:

Gọi C : y = 2, x : 5 → 1
I = (y −cos y)dx+x sin ydy =
C

(y −cos y)dx+x sin ydy − (y −cos y)dx+x sin ydy = I1 −I2
C

C∪C

(x − 3)2 + (y − 2)2
y 2

Gọi Dxy :

4

Áp dụng công thức Green: I1 = −

[sin y − (1 + sin y)]dxdy =

Dxy

Dxy

1
dxdy = S(D) = .4π = 2π
2

1

I2 = (2 − cos 2)dx = −4(2 − cos 2) ⇒ I = I1 − I2 = 2π + 8 − 4 cos 2
5

(y 5 ex −5y)dx+(5y 4 ex −5)dy với C là đường x =

9 Tính I =
C

Hướng dẫn:
Gọi C : x = 0, y : −1 → 1
6

1 − y 2 đi từ A(0, 1) đến B(0, −1).


I = (y 5 ex − 5y)dx + (5y 4 ex − 5)dy =
C

(y 5 ex − 5y)dx + (5y 4 ex − 5)dy
C∪C

− (y 5 ex − 5y)dx + (5y 4 ex − 5)dy = I1 − I2
C

x2 + y 2
x 0

Gọi Dxy :

1

[5y 4 ex − (5y 4 ex − 5)]dxdy = −5S(D) = −

Áp dụng công thức Green: I1 = −
Dxy
1

(5y 4 .e0 − 5)dy = −8 ⇒ I = I1 − I2 = 8 −

I2 =
−1

x3
3

(x2 +y cos xy)dx+

10 Tính I =
C

5π
2

5π
2

+ xy 2 + x cos xy dy với C là nửa dưới đường tròn x2 +y 2 = 2x

lấy ngược chiều kim đồng hồ.
Hướng dẫn:
Gọi C : y = 0, x : 2 → 0

I = (x2 +y cos xy)dx+
C

x3
3

+ xy 2 + x cos xy dy =

(x2 +y cos xy)dx+

x3
3

+ xy 2 + x cos xy dy

C∪C
x3
3

2

− (x + y cos xy)dx +

2

+ xy + x cos xy dy = I1 − I2

C

x2 + y 2

y 0

Gọi Dxy :

2x
[x2 + y 2 + cos xy − xy sin xy − (cos xy − xy sin xy)]dxdy

Áp dụng công thức Green: I1 = +
Dxy
2 cos ϕ

0

(x2 + y 2 )dxdy =

=

− π2

Dxy
0

x2 dx = −

I2 =
2

r2 .rdr =

dϕ

0

3π
4

8
3π 8
⇒ I = I1 − I2 =
+
3
4
3

(x − 2y)dx + (3x2 + y)dy với C là đường x + y = 1 lấy theo chiều kim đồng hồ.

11 Tính I =
C

Hướng dẫn:
Gọi Dxy : x + y

1

Áp dụng công thức Green: I = (x − 2y)dx + (3x2 + y)dy = −
C

(6x + 2)dxdy

Dxy

Ta có Dxy là miền đối xứng qua Oy (x = 0), 6x là hàm lẻ đối với x nên
6xdxdy = 0
Dxy
√ √
⇒ I = −2 dxdy = −2S(D) = −2. 2. 2 = −4
Dxy

(xy − y 2 ) dx + (2xy + x2 ) dy với C là biên của miền

12 [152-CA1] Tính tích phân I =
C

D : x2 + y 2 4x,√0 y, x + y − 2
2
≈ 4.38
Đáp số: 3π+32−20
3

0 lấy theo cùng chiều kim đồng hồ.

(ex−y − y sin x + xy 2 + y 2 ) dx + (cos x − ex−y + x2 y) dy với C

13 [152-CA2] Tính tích phân I =
C

là nửa đường tròn x2 + y 2 + 2x = 0, y
Đáp số: 37 − e12 ≈ 2.2

0 lấy ngược chiều kim đồng hồ.

14 [162-CA2] Cho (L) là đường gấp khúc ABC, trong đó AB là cung y = 1 − x2 , BC là cung y =

(x−1)2 và tọa độ các điểm là A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0). Tính I =
7

C
A

cos2 ydx−(2xy+x sin 2y)dy


theo đường cong (L).
Đáp số: 41
15
15 [172-DT] Tính tích phân I =
C
2

y sin(xy) + 21 y 2 + y dx + (x sin(xy) + xy) dy với C là nửa

2

đường tròn x + y + 2x = 0 đi từ A(−1, −1) đến B(−1, 1) theo cùng chiều kim đồng hồ.
Đáp số: π2
16 [172-CA2] Cho miền phẳng D giới hạn bởi y = x2 , y = (x − 2)2 , x = 2, C là biên của D, lấy

theo chiều kim đồng hồ.
a. Chứng minh rằng diện tích của D được tính bởi tích phân

−xdy.

C

b. Tìm diện tích miền D theo cách tính này.
Đáp số: a. Áp dụng công thức Green. b. Dùng tích phân đường để tính S(D) = 2.
17 [182-DT] Cho C là chu tuyến kín, trơn từng khúc, định hướng dương và

I=
C

y−1
dx
(x−1)2 +(y−1)2

+

1−x
dy.
(x−1)2 +(y−1)2

Tính I trong hai trường hợp:

a. Điểm (1, 1) nằm ngoài C
b. Điểm (1, 1) nằm trong C
Đáp số: a. I = 0. b. I = −2π.

8


4 Tích phân không phụ thuộc đường đi
Cho hàm P, Q khả vi liên tục trên miền D mở, đơn liên. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương với

nhau:
1 Qx = Py
2 ∀C kín nằm trên D, I =

P dx + Qdy = 0
C

3 ∃ U (x, y) thỏa dU = P dx + Qdy. Khi đó I =

B
A

B
A

P dx + Qdy =

dU = U (B) − U (A)

P dx + Qdy không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phục thuộc vào điểm đầu và điểm

4 Tích phân
C

cuối.
Phương pháp giải:
1 Kiểm tra điều kiện Qx = Py . Nếu thỏa ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi.
2 Nếu C kín ⇒ I =

P dx + Qdy = 0

C

Nếu C hở ⇒ đổi đường đi cho C thành hai đoạn song song với hai trục tọa độ (hoặc có thể là
một đoạn song song với một trục tọa độ) ⇒ tính trực tiếp
Bài tập:
xdx + ydy với C là biên đường tròn x2 + y 2 = 4y nối từ A(2, 2) đến B(0, 4) lấy

1 Tính I =
C

ngược chiều kim đồng hồ.
Hướng dẫn:
P = x, Q = y
Ta có Qx = Py = 0 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi.
Gọi C1 : x = 2, y : 2 → 4 và C2 : y = 4, x : 2 → 0
4

I=

xdx + ydy =
C

xdx + ydy +
C1

Cách 2:
Ta thấy U (x, y) =
B

⇒I=

xdx + ydy =
2

C2

0

ydy +

xdx = 4
2

x2 y 2
+
có dU = xdx + ydy
2
2

xdx + ydy = U (B) − U (A) = 4
A

Lưu ý: Chỉ cần chỉ ra hàm U (x, y), không cần phải nêu cách tìm hàm U (x, y) nhưng phải chỉ
ra rằng dU = P dx + Qdy
ydx + xdy với C là đường y = 2x2 − 4x + 1 đi từ A(1, −1) đến B(2, 1).

2 Tính I =
C

Hướng dẫn:

P = y, Q = x
Ta có Qx = Py = 1 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi.
Gọi C1 : x = 1, y : −1 → 1 và C2 : y = 1, x : 1 → 2
2

I=

ydx + xdy =
C

ydx + xdy +
C1

−

C2

Cách 2:
Ta thấy U (x, y) = xy có dU = ydx + xdy
B

⇒I=

11 xdy +

ydx + xdy =

ydx + xdy = U (B) − U (A) = 3
A

9

ydx = 3
1


x2 y + xex

3 Tính I =

2

C

dx +

x3
3

+ y sin y dy với C là nửa trên của đường tròn (x − 3)2 +

(y − 2)2 = 4 lấy ngược chiều kim đồng hồ.
Hướng dẫn:
3
2
P = x2 y + xex , Q = x3 + y sin y
Ta có Qx = Py = x2 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi.
Gọi C : y = 2, x : 5 → 1
3
2

2
I=
x2 y + xex dx + x3 + y sin y dy =
x2 y + xex dx +
C

+ y sin y dy

C

1

2x2 + xex

=

x3
3

5

Cách 2:

2

2 1 1 2
dx = x3 + ex
3 5 2

1

=−
5

248 e − e25
+
3
2

x3
1 2
3
2
y + ex + sin y − y cos y có dU = x2 y + xex dx + x3 + y sin y dy
3
2
248 e − e25
3
2
x2
dx + x3 + y sin y dy = U (5, 2) − U (1, 2) = −
+
x y + xe
3
2

Ta thấy U (x, y) =
⇒I=
C

B

4 Tính I =
A

xdy − ydx
theo đường không cắt trục Oy với A(2, 1), B(1, 2).
x2

Hướng dẫn:
1
y
P = − 2,Q =
x
x
1
Ta có Qx = Py = − 2 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi.
x
Gọi C1 : x = 2, y : 1 → 2 và C2 : y = 2, x : 2 → 1
B xdy − ydx
2 1
1
2
3
xdy − ydx
xdy − ydx
I=
=
+
=

dy
+
−
dx
=
x2
x2
x2
x2
2
1 2
2
A
C1
C2
Cách 2:
y
y
1
Ta thấy U (x, y) = có dU = − 2 dx + dy
x
x
x
B xdy − ydx
3
= U (1, 2) − U (2, 1) =
⇒I=
2
x
2

A
B

5 Tính I =
A

(x + 2y)dx + ydy
theo đường không cắt đường x + y = 0 với A(2, −1), B(0, 2).
(x + y)2

Hướng dẫn:
x + 2y
y
P =
,Q =
2
(x + y)
(x + y)2
2y
Ta có Qx = Py = −
⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi.
(x + y)3
Gọi C1 : x = 2, y : −1 → 2 và C2 : y = 2, x : 2 → 0
B (x + 2y)dx + ydy
(x + 2y)dx + ydy
(x + 2y)dx + ydy
I=
=
+
(x + y)2

(x + y)2
(x + y)2
A
C1
C2
2
0 x+4
y
=
dy
+
dx = ln 2 − 2
2
2
−1 (2 + y)
2 (x + 2)
B

6 Tính I =
A

(x + y)dy + (x − y)dx
theo đường không đi qua O(0, 0) với A(1, 1), B(3, 2).
x2 + y 2

Hướng dẫn:
x−y
x+y
P = 2
,Q = 2

2
x +y
x + y2
10


y 2 − x2 − 2xy
⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi.
(x2 + y 2 )2
Gọi C1 : x = 1, y : 1 → 2 và C2 : y = 2, x : 1 → 3
B (x + y)dy + (x − y)dx
(x + y)dy + (x − y)dx
(x + y)dy + (x − y)dx
I=
=
+
2
2
2
2
x +y
x +y
x2 + y 2
A
C1
C2
2 1+y
3 x−2
√
√

10
65
π
=
dx
=
ln
−
+
arctan
2
+
ln
− arctan 47 ≈ 0.7385
dy
+
2
4
5
2
2+4
1
+
y
x
1
1
Ta có Qx = Py =

7 Tìm h(x, y) = xa y b để I =

h(x, y) [(2x2 y 2 + y)dx + (x3 y − x)dy] là tích phân không phụ thuộc
C

vào đường đi.
Hướng dẫn:
P = 2xa+2 y b+2 + xa y b+1 , Q = xa+3 y b+1 − xa+1 y b
Qx = (a + 3)xa+2 y b+1 − (a + 1)xa y b
Py = 2(b + 2)xa+2 y b+1 + (b + 1)xa y b
I là tích phân không phụ thuộc đường đi khi Qx = Py ⇔

a + 3 = 2(b + 2)
−(a + 1) = b + 1

⇔ a = b = −1

8 Tìm các số tự nhiên m, n để tích phân sau không phụ thuộc đường đi:

xm y n+1 (3 − 2xy 2 )dx + xm+1 y n (4 − 3xy 2 )dy.

I=
C

Hướng dẫn:
P = 3xm y n+1 − 2xm+1 y n+3 , Q = 4xm+1 y n − 3xm+2 y n+2
Qx = 4(m + 1)xm y n − 3(m + 2)xm+1 y n+2
Py = 3(n + 1)xm y n − 2(n + 3)xm+1 y n+2
I là tích phân không phụ thuộc đường đi khi Qx = Py ⇔

4(m + 1) = 3(n + 1)

−3(m + 2) = −2(n + 3)

⇔ m = 2, n = 3
(ex sin y − emy sin x) dx + (ex cos y + 2emy cos x) dy.

9 [172-CA1] Cho I =
C

a. Tìm m để I là tích phân không phụ thuộc đường đi trên Oxy.
b. Với m tìm được ở √câu a, tính I với C là đường cong bất kỳ đi từ O(0, 0) đến A
Đáp số: m = 2. I = 22 e−π/2 − eπ/4 − 1 ≈ −2.4039

π
, − π4
4

.

(1,1)

(2xy + 3)h(y)dy − y 2 h(y)dx không phụ thuộc đường

10 Tìm h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho I =
(−1,1)

đi.
Đáp số: h =

1
y4

2

11 Cho P = 1 + xy , Q = − xy2 . Tìm h = h

Đáp số: h = e

x
y

thỏa h(0) = 1 sao cho ∃U (x, y) : dU = P.hdx + Q.hdy

x
y

11