ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ Giải tích 2

ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ
Môn: Giải tích 2

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Thor
Họ và tên:

MSSV:

Chủ đề 3: Tích phân mặt
1 Tích phân mặt loại 1
Tích phân mặt loại 1 là tích phân có dạng:

f ds
S

Tính chất:
1 Là tích phân không phụ thuộc vào phía của mặt S
2 Diện tích mặt S : SS =

1ds
S

3 Nếu S = S1 ∪ S2 , S1 ∩ S2 = ∅ :

f ds =
S

f ds +
S1

f ds
S2

4 Nếu S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (mp Oxy):
4.1 Nếu f là hàm lẻ theo biến z thì

f ds = 0.
S

4.2 Nếu f là hàm chẵn theo biến z thì

f ds = 2
S

f ds.
S1

Phương pháp giải:
1 Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x = x(y, z), y = y(z, x)).
1.1 Tính vi phân mặt S : ds =

1 + zx 2 + zy 2 dxdy

2 Xác định hình chiếu D của mặt S lên mặt phẳng tọa độ z = 0 (hoặc x = 0, y = 0):
2.1 Phương trình mặt chắn không chứa z
2.2 Hình chiếu giao tuyến giữa S lần lượt với các phương trình mặt chắn có chứa z
2.3 Kết hợp với điều kiện xác định của z

f ds =

3 Chuyển tp mặt 1 về tp kép:
S

1 + zx 2 + zy 2 dxdy.

f.
D

3.1 Nhận xét tính đối xứng của D rồi rút gọn hàm lẻ
3.2 Dùng tọa độ cực để tính nếu D có dạng hình tròn, ellipse

Bài tập:
(x + y 2 + 2z)ds với (S) : x + y + z = 1 bị giới hạn bởi mặt trụ x2 + y 2

1 Tính I =

1.

S

Hướng dẫn:
√
(S) : z = 1 − x − y, ds = 3dxdy
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2 + y 2 √ 1
√
I = (x + y 2 + 2z)ds = [x + y 2 + 2(1 − x − y)] 3dxdy = 3
S

S

(y 2 + 2 − x − 2y)dxdy
D

Ta có D là miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy, −x là hàm lẻ theo x, −2y là hàm lẻ theo
y nên (−x − 2y)dxdy = 0
D

I=

√

√
√
(y 2 + 2)dxdy = 2 3S(D) + 3

3
D

1
√
√ 2π
y 2 dxdy = 2 3π + 3 dϕ r2 sin2 ϕ.rdr =
0

D

1

0

√
9 3π
4


zds với (S) : z = x2 + y 2 bị chắn giữa hai mặt z = 1 và z = 2.

2 Tính I =
S

Hướng dẫn:
(S) : z = x2 + y 2 , ds = 1 + 4x2 + 4y 2 dxdy
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : 1

x2 + y 2 √ 2
2π

zds = (x2 + y 2 ) 1 + 4x2 + 4y 2 dxdy =
S
√ D
Đặt u = 4r2 + 1, udu = 4rdr
√
3 u2 − 1
2π
u
5)π
u. du = (594−50
I = dϕ
≈ 12.62
120

√
4
4
0
5

2

dϕ

I=

0

√
r2 4r2 + 1.rdr

1

(x + y + z)ds với (S) : z 2 = x2 + y 2 bị giới hạn bởi 0

3 Tính I =

z

1.

S

Hướng dẫn:

2

x2

(S) : z =

+

y2,

ds =

√x
x2 +y 2

1+

2

+

√

y

dxdy =

x2 +y 2

√

2dxdy

Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2 √
+ y2 1
I = (x + y + z)ds = (x + y + x2 + y 2 ) 2dxdy
S

D

Vì D là miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên
√
2π
1
√
2
2π
x2 + y 2 dxdy = dϕ r2 dr =
I= 2
3
0
0
D

(x + y)dxdy = 0
D

4 Tính diện tích mặt (S) : x2 + y 2 + z 2 = 4 bị chắn trong mặt trụ x2 + y 2 = 2y lấy phần z

0.

Hướng dẫn:
2

4 − x2 − y 2 , ds =

(S) : z =

1+

√

−x
4−x2 −y 2

2

√

+

−y

dxdy =

4−x2 −y 2

2
4 − x2 − y 2

dxdy

Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2 + y 2 2y
2 sin ϕ
π
2
2
√
dxdy = dϕ
SS =
1ds =
rdr = 4π − 8
4 − r2
4 − x2 − y 2
0
0
S
D
5 Tính I =

(x + 2y)

1 − x2 − y 2 ds với (S) : x2 + y 2 + z 2 = 1 bị giới hạn bởi y = x, y = 0, lấy

S

phần x

0, y

0, z

0.

Hướng dẫn:
2

(S) : z =

1−

x2

−

y2,

ds =

1+

√

−x
1−x2 −y 2

2

√

+

−y

1−x2 −y 2

dxdy =


 y=x
y=0
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :

1 − x2 − y 2 = 0, x
π
4

(x + 2y) 1 − x2 − y 2 ds =

I=
S

(x + 2y)dxdy =

1 − x2 − y 2

1
0

6 Tính diện tích mặt paraboloid (S) : z = x2 + y 2 giới hạn bởi trụ ellipse x2 + y 2

2

dxdy

0

dϕ (r cos ϕ + 2r sin ϕ)rdr =
0

D

0, y

1

1.

√
4− 2
6


Hướng dẫn:
(S) : z = x2 + y 2 , ds = 1 + 4x2 + 4y 2 dxdy
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2 + y 2 1
1√
2π
SS =
1ds =

1 + 4x2 + 4y 2 dxdy = dϕ
1 + 4r2 .rdr
S

0

D

Đặt u =

√

√

2π

4r2 + 1, udu = 4rdr ⇒ SS =

0
5

dϕ
0

1

u
π √
u. du = (5 5 − 1)
4

6

x2 + y 2 bị chắn bởi mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 2.

7 Tính diện tích của phần mặt nón z =

Hướng dẫn:
2

x2 + y 2 , ds =

(S) : z =

1+

√

x
x2 +y 2

2

+

√

y

dxdy =

x2 +y 2

√

2dxdy

z = x2 + y 2
⇔ x2 + y 2 = 1
x2 + y 2 + z 2 = 2
2
2
Gọi D là hình chiếu
1
√ mp Oxy√: x + y
√ của (S) lên
2dxdy = 2S(D) = 2π
SS =
1ds =

Phương trình giao tuyến:

S

D

(x2 + 2z)ds với (S) : x =

8 Tính I =

y 2 + z 2 nằm giữa các mặt phẳng y = z và y = z 2 .

S

Hướng dẫn:
2

y 2 + z 2 , ds =

(S) : x =

1+

√

y

y 2 +z 2

2

+

√

z
y 2 +z 2

dxdy =

√

2dydz

y=z
y = z2
z
√
√ 1
(x2 + 2z)ds = (y 2 + z 2 + 2z) 2dydz = 2 dz (y 2 + z 2 + 2z)dy =

Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oyz :
I=
S

0

D

z2

√
53 2
210

y
lấy phần
3

9 Tính diện tích phần mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 = 1 nằm giữa 2 mp z = y, z = √

y

0, z

0.

Hướng dẫn:
(S) : x = ± 1 − y 2 − z 2
Ta có SS =
1ds = 2 1ds với (S1 ) : x = 1 − y 2 − z 2
S
S1

z=y


y
z=√
Gọi D là hình chiếu của (S1 ) lên mp Oyz :
3


1 − y 2 − z 2 = 0, y
SS = 2

1

1ds =
S1

D

10 Tính I =

π
4

1−

y2

−

z2

1

dydz = 2 dϕ
π
6

0

0, z

0

1
π
√
rdr =

2
6
1−r

zxds với (S) : x + y + z = 3 bị chắn bởi 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0.
S

Hướng dẫn:
√
(S) : z = 3 − x − y, ds = 3dxdy
3



 3x + y = 3
3x + 2y = 6
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :

y=0
I=

zxds =
S

=

√

√
√

(3 − x − y)x 3dxdy = 3

6−2y
3

3

dy
0

D
2

3−y
3

3 − y (6 − 2y) − (3 − y)
1 (6 − 2y) − (3 − y)3
−
dy =
2
9
3
27

3

3
0

2

(3x − x2 − xy)dx

3

√
13 3
8

√

11 Tính diện tích mặt (S) : 2z = x2 bị chắn bởi x − 2y = 0, y − 2x = 0, x = 2 2.

Hướng dẫn:
√
x2
(S) : z = , ds = 1 + x2 dxdy
2


 x − 2y = 0
y − 2x√= 0
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :

x=2 2
√
2x
2
2

√
√
SS =
1ds =
dx
1 + x2 dxdy =
1 + x2 dy = 13
S

x
2

0

D

√

(x + y + z)ds với (S) : x2 + y 2 + z 2 = 1 nằm giữa hai mặt phẳng y = x và y =

12 Tính I =

3x

S

lấy phần x

0.

Hướng dẫn:
(S) : x2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ z = ±

2
1 − x2 − y
√
3x
 x y
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :
x 0
 2
x + y2 1
Ta có (S) là mặt đối xứng qua mp z = 0, z là hàm lẻ đối với z nên

zds = 0
S

⇒I=

(x + y)ds = 2
S

I=2
D

(x + y)ds với (S1 ) : z =

1 − x2 − y 2

S1

(x+y) √ 1 2 2 dxdy
1−x −y

π
3

= 2 dϕ
π
4

π
3

1
0

1
(r cos ϕ+r sin ϕ) √1−r
2 rdr

1

= 2 (cos ϕ+sin ϕ)dϕ
π
4

0

2

√r
dr
1−r2

Đặt r = sin t, dr = cos tdt
π
2

π
3

I = 2 (cos ϕ+sin ϕ)dϕ
√

= 2.

π
4

3−1 1 π
.2. 2
2

=

√
( 3−1)π
4

0

sin2 t. cos t
√

1−sin2 t

π
3

π
2

π
3

2

dt = 2 (cos ϕ+sin ϕ)dϕ sin tdt = 2(sin ϕ−cos ϕ) π .
π
4

0

13 [152-CA1] Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi z =

t
2

−

sin 2t
4

4

x2 + y 2 và z = 2 − x2 − y 2 .

Hướng dẫn:
14 [162-CA1] Tính tích phân I =

(1 − z)ds với S là phần mặt cầu x =

√S

√
2 mặt phẳng y = −x 3, x = y 3.

4

4 − y 2 − z 2 nằm giữa

π
2

0


Hướng dẫn:
(S) : z = ± 4 − x2 − y 2 , x

0

 2
2
4
 x +y
x
0
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :
0.5đ
√

−x 3 y √x3
Ta có (S) là mặt đối xứng qua mp z = 0, −z là hàm lẻ đối với z nên

−zds = 0
S

⇒I=

1ds = 2
S

4 − x2 − y 2

1ds với (S1 ) : z =
S1
π
6

2

I=2

4−

D

x2

−

y2

dxdy = 4

2

√

dϕ
− π3

0

rdr
0.5đ = 4π 0.5đ
4 − r2

(x + 2y − z)ds, trong đó S là phần mặt phẳng z = 2x − 2y bị chắc bởi

15 [172-CA2] Tính I =
S

các mặt z = x2 + y 2 − 2y − 3, x = 1, lấy miền x

1.

Hướng dẫn:
z = 2x − 2y
z = 2x − 2y
⇔
z = x2 + y 2 − 2y − 3
(x − 1)2 + y 2 = 4
(x − 1)2 + y 2 4
Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :
0.5đ
x 1
√
I = (x + 2y − z)ds = [x + 2y − (2x − 2y)]. 1 + 4 + 4dxdy = 3 (4y − x)dxdy 0.5đ

Phương trình giao tuyến:

S
π
2

D

D

2

dϕ (4r sin ϕ − r cos ϕ − 1)rdr 0.25đ = −16 − 6π 0.25đ

=3
− π2

0

Chú ý: Có thể dùng tính đối xứng của miền D để bỏ đi hàm lẻ 4y rồi tính cho lẹ nha mấy baby

16 [173-DT] Tính diện tích phần mặt trụ z = 4−y 2 bị cắt bởi các mặt phẳng z = 0, x+y = 2, x = 4.

Hướng dẫn:
(1 + x2 + y 2 )ds với S là phần mặt trụ x2 + y 2 = 1 bị cắt bởi

17 [182-CA2] Tính tích phân I =
S

2 mặt phẳng z = 0, z + x = 1.
Hướng dẫn:

5


2 Tích phân mặt loại 2
−
Cho 3 hàm P, Q, R xác định trên mặt S định hướng pháp vector đơn vị →

u = (cos α, cos β, cos γ).
Tích phân mặt loại 2 là tích phân có dạng:
P dydz + Qdzdx + Rdxdy
S

I=

−
(P, Q, R).→
u ds =

P dydz + Qdzdx + Rdxdy =
S

S

(P cos α + Q cos β + R cos γ)ds
S

Tính chất:
1 Là tích phân phụ thuộc vào phía của mặt (S). Nếu thay đổi hướng pháp vector của mặt (S)

thì tích phân đổi dấu.
2 Nếu S = S1 ∪ S2 , S1 ∩ S2 = ∅ :

P dydz + Qdzdx + Rdxdy =
S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy +

P dydz + Qdzdx + Rdxdy

S1

S2

Phương pháp giải:
1 Đưa mặt loại 2 về mặt loại 1:
1.1 Viết (S) : z = z(z, y)

1

−
−
1.2 Pháp vector: →
n = ±(−zx , −zy , 1) ⇒ Pháp vector đơn vị: →
u =±
1.3 I =
S

S

(−zx , −zy , 1)

−P.zx − Q.zy + R

−
(P, Q, R).→
u ds = ±

P dydz + Qdzdx + Rdxdy =

zx 2 + zy 2 + 1

ds

zx 2 + zy 2 + 1

S

2 Đưa mặt loại 1 về tích phân kép:

1 + zx 2 + zy 2 dxdy, gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy.

2.1 ds =

−
−
u =±
2.2 Pháp vector: →
n = ±(−zx , −zy , 1) ⇒ Pháp vector đơn vị: →
−P.zx − Q.zy + R

2.3 I = ±
S

=±

2

−P.zx − Q.zy + R

ds = ±

2

zx + zy + 1

2

2

1
zx 2 + zy 2 + 1

(−zx , −zy , 1)

1 + zx 2 + zy 2 dxdy

zx + zy + 1

D

(−P.zx − Q.zy + R)dxdy
D

3 Chuyển nhanh từ mặt loại 2 về tích phân kép: (hay dùng )
3.1 Viết (S) : z = z(z, y)

−

3.2 Pháp vector: →
n = ±(−zx , −zy , 1)
3.3 Xác định hình chiếu của (S) lên mp z = 0 (mp Oxy). Cách xác định giống mặt loại 1

P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ±

3.4 I =
S

(−P.zx − Q.zy + R)dxdy
D

Lấy dấu + nếu pháp vector hướng lên theo chiều dương Oz
Lấy dấu − nếu phép vector hướng xuống theo chiều dương Oz
4 Giải tích phân kép
4.1 Nhận xét tính đối xứng của D rồi rút gọn hàm lẻ
4.2 Dùng tọa độ cực để tính nếu D có dạng hình tròn, ellipse

6


Bài tập:
(x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy với (S) là mp 2x − 3y + 4z = 5, hướng

1 Tính I =
S

lên theo chiều dương Oy, bị giới hạn bởi x2 + y 2

1.

Hướng dẫn:
−
(S) : z = 5−2x+3y
,→
n = ± 12 , − 34 , 1 . Vì (S) hướng lên theo chiều dương Oy nên ta phải chọn
4
−
pháp vector sao cho tung độ dương ⇒ →
n = − 12 , 43 , −1
Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x2 + y 2 1
I = (x+y)dydz+(z−x)dzdx+(x+y)dxdy =
− 21 (x + y) + 34 5−2x+3y
− x − (x + y) dxdy
4
S

D

15
16

=
D

−

21
x
8

− 21
x−
8

D

15
y
16

−

15
y
16

dxdy. Do D là miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên

dxdy = 0 ⇒ I =
D

15
dxdy
16

=

15
S(D)

16

=

15π
16

z 2 dydz + xdzdx − 3zdxdy với (S) : z = 4 − y 2 , hướng xuống theo chiều dương Oz,

2 Tính I =
S

bị giới hạn bởi x = 0, x = 1, z = 0.
Hướng dẫn:
−
(S) : z = 4 − y 2 , pháp vector: →
n = (0, −2y, −1)
PT giao tuyến: 4 − y 2 = 0 ⇒ y = ±2
Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy. D bị giới hạn bởi : x = 0, x = 1, y = ±2
2

z 2 dydz +xdzdx−3zdxdy =

I=
S

[−2xy +3(4−y 2 )]dxdy =

1

dy (−2xy +12−3y 2 )dx = 32
−2

D

0

(x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy với (S) : z = x2 + y 2 bị giới hạn bởi z = 1

3 Tính I =
S

lấy hướng lên theo chiều dương Oz.
Hướng dẫn:
−
(S) : z = x2 + y 2 , pháp vector: →
n = (−2x, −2y, 1)
PT giao tuyến: x2 + y 2 = 1
Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x2 + y 2 1
I = (x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy = [−2x(x + y) − 2y(x2 + y 2 − x) + (x + y)]dxdy
S

D
2

2

3

(−2x − 2x y − 2y + x + y)dxdy. Do D là miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên

=
D

2π

(−2x2 y − 2y 3 + x + y)dxdy = 0 ⇒ I =
D

−2x2 dxdy = −2

1

0

D

0

4 − x2 − y 2 . Tính I =

4 Cho (S) là phần phía ngoài nửa cầu z =

zdxdy.
S

Hướng dẫn:
(S) : z =

−

4 − x2 − y 2 , pháp vector: →
n =

√

x
,
4−x2 −y 2
2

Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x2 + y
2π

I=

4 − x2 − y 2 dxdy =

zdxdy =
S

D

2

dϕ
0

0

7

√

r2 cos2 ϕ.rdr = −

dϕ

y
4−x2 −y 2

,1

4
√
16π
4 − r2 .rdr =
3

π
2


(x3 − 3yz)dydz − (y 2 + 2xy)dzdx + (z − x)dxdy, với S là phần

5 [152-CA1] Tính tích phân I =
S
2

mặt phía dưới của trụ z = 4 − y , giới hạn bởi các mặt phẳng z = 0, x = 0, 2x + z = 4.
Hướng dẫn:

2dydz + (y 2 − 2x − z)dxdy, với S là phần mặt trụ z = 2x − x2

6 [162-CA2] Tính tích phân I =
S

nằm giữa hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x và trên mặt phẳng z = 0, lấy phía dưới theo hướng
trục Oz.
Hướng dẫn:
(y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy với S là mặt nón

7 [172-DT] Tính tích phân I =
S

z=

x2 + y 2 , phần ứng với z

2 và x

0, lấy phía dưới.

Hướng dẫn:
yzdzdx+z 2 dxdy, trong đó S là phần mặt trụ y 2 +z 2 = 1, z
S
−
→
bị chắn bởi các mặt x = 0, x = 1, lấy phía trên theo hướng vector Oz.

8 [182-DT] Tính tích phân I =

0

Hướng dẫn:
(y + z)dydz − 2x2 zdzdx + (x2 + y 2 )dxdy với S là phần mặt trụ y = 1 − x2

9 [182-CA1] Tính I =
S

bị cắt bởi 3 mặt phẳng y = 0, z = 0, z + y = 1 lấy phía tương ứng với vector pháp tuyến ngược
−→
hướng với vector Oy.
Hướng dẫn:

8


3 Công thức Gauss - Ostrogradski (Mặt 2 → Bội 3)
Cho miền Ω đóng và bị chặn, S là mặt biên (mặt bao quanh) của Ω. Các hàm P, Q, R khả vi liên
tục trên Ω. Khi đó:
P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ±

I=
S

(Px + Qy + Rz )dxdydz
Ω

Lấy dấu + nếu mặt S hướng ra ngoài Ω
Lấy dấu − nếu mặt S hướng vào trong Ω
Bài tập:

x2 dydz + xydzdx + z

1 Tính I =

x2 + y 2 dxdy với S là mặt biên của vật thể bị giới hạn bởi

S
2

mặt x2 + y = 1, z = x2 + y 2 , z = 0, hướng ra ngoài.
Hướng dẫn:
Áp dụng ct Gauss: I =

x2 dydz + xydzdx + z

x2 + y 2 dxdy =
Ω

S

=

(3x +

x2 + y 2 )dxdydz

(2x + x +

x2 + y 2 )dxdydz. Vì Ω là miền đối xứng qua mp x = 0 nên

Ω

3xdxdydz = 0
Ω

x2 + y 2 dxdydz

⇒I=
Ω

Gọi D là hình chiếu của Ω lên mp Oxy : x2 + y 2

1

x2 +y 2

x2 + y 2 dxdydz =

I=
Ω

D

2π

x2 + y 2 dz =

dxdy
0

1

r2

dϕ rdr
0

0

rdz =
0

2π
5

2xdydz +2ydzdx+(z +x)dxdy với S là phần nửa trên của mặt cầu x2 +y 2 +z 2 = 1,

2 Tính I =
S

lấy hướng xuống theo chiều dương Oz.
Hướng dẫn:
Gọi (S ) : z = 0, lấy hướng lên theo chiều dương Oz
I1 =
2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy = −
(2 + 2 + 1)dxdydz = −5V (Ω) = − 25 . 43 π = − 10π
3
Ω

S∪S

PT giao tuyến: x2 + y 2 = 1
Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x2 + y 2 1
I2 =
2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy =
(0 + x).1dxdy = 0 (Vì D là miền đối xứng qua
D

S

trục Oy, x là hàm lẻ đối với x)
⇒I=
2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy = I1 − I2 = − 10π
3
S

(x3 + 1)dydz + (y 3 + 2)dzdx + (z 3 + 3)dxdy với S là phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 2

3 Tính I =
S

bị chắn bởi mp z = 1 (lấy phần z

1), lấy hướng lên theo chiều dương Oz.

Hướng dẫn:
Gọi (S ) : z = 1, lấy hướng xuống theo chiều dương Oz
I1 =
(x3 + 1)dydz + (y 3 + 2)dzdx + (z 3 + 3)dxdy = +
(3x2 + 3y 2 + 3z 2 )dxdydz

Ω
S∪S

√

x
=
ρ
sin
θ
cos
ϕ

√
x2 + y 2 + z 2 = 2 ⇒ ρ = 2
1
Đặt y = ρ sin θ sin ϕ . Ta có
⇒
ρ
2
cos θ

z = 1 ⇒ ρ = cos1 θ

z = ρ cos θ
9


x2 + y 2 = 1
z=1

PT giao tuyến

√

π
4

2π

2
2

dϕ dθ

I1 = 3
0

0

ρ2 sin2 θ = 1
ρ cos θ = 1

⇔

2

ρ .ρ sin θdρ =
1
cos θ

6π
5

π
4

√
(4 2 −

0

⇒θ=

π
4

⇒0

1
) sin θdθ =
cos5 θ

6π
5

θ

π
4

√
4 2−

13
4

Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x2 + y 2 1
I2 = (x3 + 1)dydz + (y 3 + 2)dzdx + (z 3 + 3)dxdy =

(1 + 3)(−1)dxdy = −4S(D) = −4π
√
4
+ 4π
2 − 13
(x3 + 1)dydz + (y 3 + 2)dzdx + (z 3 + 3)dxdy = I1 − I2 = 6π
5
4
D

S

⇒I=
S

4 Cho S là biên ngoài của vật thể Ω được giới hạn bởi z = x2 + y 2 và z = 1.

zy 2 dydz + (y + y 2 )dzdx + z 2 dxdy.

Tính I =

S

Hướng dẫn:

x2 dydz + y 2 dzdx + zdxdy, với S là biên ngoài của vật thể Ω được giới hạn bởi

5 Tính I =
2

2

S
2

x +y +z

4 và z

x2 + y 2 .

Hướng dẫn:

zy 2 dydz + (y + y 2 )dzdx + x2 dxdy, với S là phần phía ngoài mặt z = x2 + y 2 bị

6 Tính I =
S

chắn bởi z = 1 hướng xuống theo Oz + .
Hướng dẫn:

7 [152-CA2] Cho S là phần mặt phía ngoài của mặt trụ x2 + y 2 = 2x nằm giữa hai mặt z = 0 và

(ez cos y + 2x)dydz + (y + 1)dzdx + (z + 1)dxdy.

z = 1. Tính tích phần i =
S

Hướng dẫn:
x2 + y 2 , mặt phẳng z = 0, miền nằm giữa
hai mặt trụ x + y = 1 và x + y = 4. Gọi mặt định hướng S là biên của Ω, lấy phía trong.
Tính I =
3xydydz + z(x2 + y 2 )dxdy.

8 [172-CA2] Cho vật thể Ω giới hạn bởi nón z = −
2

2

2

2

S

Hướng dẫn:
(2x + yz)dydz + (y 2 + z 2 )dzdx − (x2 + 2yz)dxdy với S là phần

9 [182-CA2] Tính tích phân I =
S

mặt nón x = 3y 2 + 3z 2 nằm trong mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4x lấy phía tương ứng với vector
−→
pháp tuyến cùng hướng với vector Ox.
Hướng dẫn:

10


4 Công thức Stokes (Đường 2 → Mặt 2)
Cho mặt S có biên là đường cong kín C. Các hàm P, Q, R khả vi liên tục trên S. Khi đó:
P dx + Qdy + Rdz = ±

I=

(Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx + (Qx − Py )dxdy

C

S

Phương pháp giải:
1 Chọn mặt S và xác định hướng của mặt S
1.1 Chọn mặt S:
1.1.1 Nếu C là giao giữa mặt phẳng và mặt cong thì ta chọn S là mặt phẳng
1.1.2 Nếu C là giao giữa 2 mặt cong thì ta chọn S là mặt cong đơn giản để dễ tính
1.2 Xác định hướng của mặt S theo quy tắc như sau:
1.2.1 Nhìn từ Oz + (nhìn từ dương sang âm):

Nếu C lấy NC KĐH thì chọn S hướng lên theo chiều dương Oz
Nếu C lấy CC KĐH thì chọn S hướng xuống theo chiều dương Oz

1.2.2 Nếu đề cho nhìn từ Oz − (nhìn từ âm sang dương) thì đổi về nhìn từ Oz + theo quy tắc:
Oz − NC = Oz + CC
Oz − CC = Oz + NC
2 Áp dụng công thức Stokes:
2.1 I =

(Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx + (Qx − Py )dxdy

P dx + Qdy + Rdz = +
C

S

2.2 Lưu ý: Lấy dấu + khi hướng của mặt S được chọn theo quy tắc như trên
3 Xử lý giống phần tích phân mặt loại 2

Bài tập:
(y + z 2 )dx + (2x + 3y 2 )dy + (3z + 4x2 )dz, với C là giao tuyến của

1 Tính tích phân I =
C

x2 + y 2 + 2 = z, 2x + z = 2, lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz.
Hướng dẫn:
x2 + y 2 + 2 = z
(x + 1)2 + y 2 = 1
⇔
2x + z = 2
z = 2 − 2x
Chọn S là phần mặt phẳng z = 2 − 2x nằm bên trong mặt trụ (x + 1)2 + y 2 = 1, lấy hướng lên

theo chiều dương Oz
−
⇒ Pháp vector : →
n = (2, 0, 1) 0.5đ
Áp dụng công thức Stokes:
I = (0 − 0)dydz + (2z − 8x)dzdx + (2 − 1)dxdy = (2z − 8x)dzdx + dxdy 0.5đ
Phương trình giao tuyến:

S

S

Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : (x + 1)2 + y 2
[(2z − 8x).0 + 1.1]dxdy =

I=
D

1

dxdy = S(D) = π 0.5đ
D

(y + 2z)dx + (2x + 3y)dy + (3z + 4y 3 )dz, với C là giao tuyến của

2 Tính tích phân I =
C

z = y 2 + 2, x2 + y 2 = 1, lấy theo chiều cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz.
Hướng dẫn:

Chọn S là phần mặt phẳng z = y 2 + 2 nằm bên trong mặt trụ x2 + y 2 = 1, lấy hướng xuống
theo chiều dương Oz
11


−
⇒ Pháp vector : →
n = (0, 2y, −1) 0.5đ
Áp dụng công thức Stokes:
I = (12y 2 − 0)dydz + (2 − 0)dzdx + (2 − 1)dxdy =
S

12y 2 dydz + 2dzdx + dxdy. 0.5đ
S

2

2

Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x + y
1
I = [12y 2 .0 + 2.2y + 1.(−1)]dxdy = (4y − 1)dxdy 0.5đ
D

D

Do miền D đối xứng qua đường y = 0, 4y là hàm lẻ đối với y nên

4ydxdy = 0
D

⇒I=

(−1)dxdy = −S(D) = −π 0.5đ
D

(z 2 + 1)dx + (2x + 3y)dy + (4y − z)dz,

3 [152-CA2] Dùng công thức Stokes, tính tích phân I =
C

với C là giao tuyến của hai mặt z = 5 − x2 − y 2 và 2z =
kim đồng hồ khi nhìn từ chiều dương của Oz xuống.

x2 + y 2 , lấy theo chiều ngược chiều

Hướng dẫn:
(z 3 +2xy 2 )dx+32xyzdy+(y 3 +z 2 x)dz

4 [162-CA1] Dùng công thức Stokes để tính tích phân I =
C

với C là đường cong

x2 + 2y 2 = z
lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương.
z = 4y

Hướng dẫn:
5 [172-CA1] Gọi C là giao tuyến của trụ x + y

= 1 và mặt phẳng y = 2z, lấy ngược
chiều kim đồng hồ khi nhìn theo hướng trục Oz (nhìn từ âm sang dương). Tính tích phân
I = (xy − yz 2 )dx + (3x + y 2 )dy − 2z 2 dz.
C

Hướng dẫn:
6 [173-DT] Dùng công thức Stokes để tính tích phân

I = (z 3 + x2 y)dx + (2xz 2 − x2 y)dy + x3 − 31 y 3 + 3z 2 y dz với C là đường cong
C

x2 + 2y 2 + z 2 = 4y
lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương (nhìn theo hướng từ
z=x
dương sang âm của trục Oz).
Hướng dẫn:
x2 + 2y 2 + z 2 = 4y
x2 + y 2 = 2y
⇔
z=x
z=x
2
Chọn S là phần mặt phẳng z = x nằm trong trụ x + y 2 2y, lấy phía dưới theo hướng Oz
−
⇒ Pháp vector : →
n = (1, 0, −1) (0.5đ)
Stokes: I = (−y 2 + 3z 2 − 4xz)dydz + (3z 2 − 3x2 )dzdx + (2z 2 − 2xy − x2 )dxdy (0.5đ)
Phương trình giao tuyến:

S

Dxy : x2 + y 2 ≤ 2y
I = (−y 2 + 3z 2 − 4xz, 3z 2 − 3x2 , 2z 2 − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy
Dxy

(−y 2 + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ)

=
Dxy

(−2x2 + 2xy − y 2 )dxdy =

=
Dxy

(−2x2 − y 2 )dxdy (Do Dxy đối xứng qua Oy)
Dxy

12


2 sin ϕ

π
0

π

(−2r2 cos2 ϕ − r2 sin2 ϕ)rdr = − (8 cos2 ϕ sin4 ϕ + 4 sin6 ϕ)dϕ = −

dϕ

=

0

0

7π
(0.5đ)
4

y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, trong đó C là

7 [181-DT] Dùng công thức Stokes để tính tích phân I =
C

giao tuyến của mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4x và mặt phẳng x = 2 + y lấy ngược chiều kim đồng
hồ nhìn từ x dương.
Hướng dẫn:
Chọn S là phần mặt phẳng x = y + 2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương.
π
Suy ra α < ⇒ cos α > 0
2
1
−
Pt mặt phẳng S là F (x, y, z) = x − y − 2. Pháp vector →
n = √ (1, −1, 0)
2

Áp dụng định lý Stokes ta có:
I = y 2 dx + z 2 dy + x2 dz =
−2ydxdy − 2zdydz − 2xdxdz 1đ
C

S

−2ydxdy = 0

Do S là phần mặt x = y + 2 song song với trục Oz nên I3 =
S

√
1
1
−2z. √ + 2x. √ ds = −4π 2 1đ
2
2
S
S
(Hình chiếu xuống mp y = 0 là Dzx : (x − 2)2 + z 2 2)

I=

−2zdydz − 2xdxdz =

x2 + y 2 −

8 [182-CA2] Tính tích phân I =
C

z2
2

dx + (x2 + z 2 − y 2 )dy + (y 2 + z 2 − 2x2 )dz với

C là giao tuyến của 2 mặt y 2 + z 2 = x và x = 2y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn theo hướng
trục Ox từ âm sang dương.
Hướng dẫn:

13