10 đề thi HK 2 - Lớp 11- môn Toán

Ôn thi học kỳ II – Lớp 11
ĐỀ SỐ 1
Bài 1: Chứng minh rằng với
*
n∈ ¥
, ta có các đẳng thức:
(3 1)
2 5 8 ... 3 1
2
n n
n
+
+ + + + − =
Bài 2: Cho cấp số nhân (u
n
) có 6u
2
+ u
5
= 1 và 3u
3
+ 2u
4
= - 1. Tìm số hạng tổng quát của cấp
số nhân đó.
Bài 3: Tính các giới hạn sau
1/
2
2
3 1
lim

4 1
x
x x
L
x x
→+∞
− −
=
− +
2/
3 2
5
(2 n) (2 1)
= lim
1 4
n
M
n
− +
−
3/
2
2
1
lim
2 1
x
x x
N
x x

→
−
=
− −
4/
2
4 7
lim
3 2
x
x x x
P
x
→−∞
+ + +
=
−
Bài 4: Định m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1


− − +

=

−

− ≤

2 1 2 2
Õu x > 1

( )
1
1 Õu x 1
x x
n
f x
x
mx n
Bài 5: Tính các đạo hàm sau
1/
2
( ) os(2 1)f x c x= +
2/
2
1
1
x
y
x
 
−
=
 ÷
+
 
Bài 6: Cho (C) là đồ thị của hàm số
3 2
( ) 2 1y f x x x x= = − + −
.
a. Giải bất phương trình

'( ) 0f x <
.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
(1; 1)M −
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD). Gọi I là trung
điểm của cạnh SC
a) Chứng minh AI ⊥ BD
b) (BID) ⊥ (ABCD)
c) Tính diện tích tam giác BID biết SA = AB = a.
Bài 8: Chứng minh hàn số
6 6 2 2
sin cos 3sin cosy x x x x= + +
có đạo hàm bằng 0
Bài 9: Chứng minh rằng phương trình
3
5 7 0x x− + =
có ít nhất một nghiệm trên khoảng
( )
3; 2− −
.
Bài 10: Chứng minh
tany x=
thỏa mãn hệ thức
2
' 1 0y y− − =
ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978
Trang 1
Ôn thi học kỳ II – Lớp 11
ĐỀ SỐ 2
Bài 1: Chứng minh rằng với

*
n∈ ¥
, ta có các đẳng thức:
( ) ( )
2 2 2 2 *
1 2 1
1 2 3 ... ,
6
n n n
n n
+ +
+ + + + = ∈ ¥
Bài 2: Tìm bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng, biết tổng của bốn số đó bằng 8 và tích
của bốn số đó bằng
15
−
Bài 3: Tính các giới hạn sau
2
2
1
2
2
lim(2 5 4); lim
2
x
x
x x
x x
x
+

→−
→
−
− +
−

(
)
2
lim 5 1 5
x
x x
→+∞
+ −

3 2
3 2
2
2
lim
2 3 2
→
− − −
− − −
x
x x x
x x x
.
Bài 4: Cho hàm số
( )

2
2
2 2
khi x>2
4
x 1 khi x 2

+ −

=
−


+ ≤

x
f x
x
a
Tìm
a
để hàm số
( )
f x
liên tục tại điểm
2x =
.
Bài 5: Tính các đạo hàm sau
1/
2

1 cos2
1 cos2
x
y
x
+
 
=
 ÷
−
 
2/
tany x x=
Bài 6: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2 4 3 f x x x= − + £
.
a) Tìm
x
sao cho
( )
0f x
′
<
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
£
biết tiếp tuyến đó song song với

đường thẳng
2 5 0x y+ − =
.
Bài 7: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, có cạnh
SA a=
và
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Gọi
H
và
K
lần lượt là hình chiếu vuông
góc của điểm
A
lên
SB
và
SD
.
a) Chứng minh
( )

BC SAB⊥
và
( )
SC AHK⊥
.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
AD
.
Bài 8: Giải phương trình f’(x) = 0 biết
( ) 3 cos sinx 2 5f x x x= + − −
Bài 9: Chứng minh rằng phương trình
3
5 7 0x x− + =
có ít nhất một nghiệm trên khoảng
( )
3; 2− −
.
Bài 10: Chứng minh
cot 2y x=
thỏa mãn hệ thức
2
' 2 2 0y y+ + =
ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978
Trang 2
ễn thi hc k II Lp 11
S 3
Bi 1: Chng minh rng vi
*

n Ơ
, ta cú cỏc ng thc:
( )
2
2 2 2
4 1
1 3 ... (2 1)
3
n n
n

+ + + =
Bi 2: Cho (u
n
) l cp s cng, cú u
2
+ u
5
= 42 v u
4
+ u
9
= 66. Hóy tớnh tng 346 s hng u
tiờn ca cp s cng ú.
Bi 3: Tớnh cỏc gii hn sau
1.



2

1
2
lim
1
x
x x
x
2.

+
4
lim 2 3 12
x
x x
3.
+



3
7 1
lim
3
x
x
x
4.

+

2
3
1 2
lim
9
x
x
x
Bi 4:
1/ Xột tớnh liờn tc ca hm s sau trờn tp xỏc nh ca nú.

+
>

=



+

2
5 6
3
( )
3
2 1 3
x x
khi x
f x
x

x khi x
2/ Chng minh rng phng trỡnh sau cú ớt nht hai nghim :
+ + =
3 2
2 5 1 0x x x
.
Bi 5:
1/ Tỡm o hm ca cỏc hm s sau :
a .
= +
2
1y x x
b .
=
+
2
3
(2 5)
y
x
c.
2
1
y x
x

=
ữ

2/ Cho hm s

=
+
1
1
x
y
x
.
a. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ti im cú honh x = - 2.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit tip tuyn song song vi d : y =
2
2
x
.
Bi 6: Cho hm s
3 2
1
3
y x x=
cú th ( C ). Vit phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) i qua
A (3;0)
Bi 7: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , SA vuụng gúc vi
ỏy , SA = a
2
.
1. Chng minh rng cỏc mt bờn hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng.
2. CMR (SAC)

(SBD) .
3. Tớnh gúc gia SC v mp ( SAB ) .
4. Tớnh gúc gia hai mt phng ( SBD ) v ( ABCD ) .
Bi 8: Gii phng trỡnh
' 0y =
trong trng hp sau:
sin 2 2cosy x x=
Bi 9: Chứng minh rằng hàm số
2
2y x x=
thoả mãn hệ thức y
3
.y+ 1 = 0.
Bi 10: nh a sao cho f(x) = cos2x - a sin
2
x + 2cos
2
x khụng ph thuc x
ThS. Phan Ngc Thnh 0914.234.978
Trang 3
Ôn thi học kỳ II – Lớp 11
ĐỀ SỐ 4
Bài 1: Chứng minh rằng với
*
n∈ ¥
, ta có các đẳng thức:
( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1
2 4 ... (2 )

3
n n n
n
+ +
+ + + =
Bài 2: Cho cấp số nhân (u
n
) có 6u
2
+ u
5
= 1 và 3u
3
+ 2u
4
= - 1. Tìm số hạng tổng quát của cấp
số nhân đó.
Bài 3: Tính các giới hạn sau
1 .
→−∞
− − +
+
2
1 3
lim
2 7
x
x x x
x
2 .

→+ ∞
− − +
3
lim ( 2 5 1)
x
x x
3 .
+
→
−
−
5
2 11
lim
5
x
x
x
4.
→
+ −
+
3
2
0
1 1
lim
x
x
x x

.
Bài 4:
1/ Cho hàm số
2
4 4 2
2
2
( ) 1 2 1 2
3 5 1 1
x
khi x
x
f x ax a khi x
x x khi x

− −
>

−


= + − − ≤ ≤


+ + < −




a∈ ¡

1) Chứng tỏ hàm số f(x) liên tục tại x = 2 với mọi số thực a.
2) Xác định tất cả các số thực a để hàm số f(x) liên tục trên toàn tập xác định.
2/ Chứng minh rằng phương trình :
− − − =
2 5
(1 ) 3 1 0m x x
luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 5:
1/ Tìm đạo hàm của các hàm số :
a . y =
− +
−
2
2
2 2
1
x x
x
b . y =
+1 2 tan x
.
2/ Cho hàm số y =
− +
4 2
3x x
( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) .
a . Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b . Vuông góc với d : x - 2y – 3 = 0 .
Bài 6: Giải phương trình
' 0y =

trong trường hợp sau:
2
cos siny x x= +
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
( )SB ABCD⊥
, SB = 3a.
Trên cạnh AD lấy điểm M (
;M A M D≠ ≠
).
1) Chứng minh rằng:
AC SD
⊥
.
2) Xác định và tính góc giữa SA và mp(SBD).
3) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M đồng thời song song với DC và SB. Xác định thiết
diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P). Thiết diện đó là hình gì?
Bài 8: Giải phương trình
' 0y =
trong trường hợp sau:
sin 2 2cosy x x= −
Bài 9: Cho f( x ) =
− − + =
3
64 60
3 16 0x
x
x
. Giải phương trình f ‘(x) = 0
Bài 10: Chứng minh rằng phương trình x
5

-3x
4
+ 5x-2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong
khoảng (-2 ;5 )
ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978
Trang 4
Ôn thi học kỳ II – Lớp 11
ĐỀ SỐ 5
Bài 1: Chứng minh rằng với
*
n∈ ¥
, ta có các đẳng thức:
( )
2
2 2 2
4 1
1 3 ... (2 1)
3
n n
n
−
+ + + − =
Bài 2:
1/ Với giá trị nào của a thì dãy số (u
n
), với
2
1
n
na

u
n
+
=
+
là dãy tăng? Dãy giảm?
2/ Cho cấp số cộng
( )
4 9
7 10
29
íi
41
n
u u
u v
u u
+ =


+ =

. Tính
20
u
và
16
S
.
Bài 3: Tính các giới hạn sau

1.
− + −
→−∞
3 2
lim ( 5 2 3)x x
x
2.
+
→−
+
+
1
3 2
lim
1
x
x
x
3.
→
−
+ −
2
2
lim
7 3
x
x
x
4.

→
+ −
3
0
( 3) 27
lim
x
x
x
5.
 
− +
 ÷
+
 
3 4 1
lim
2.4 2
n n
n n
Bài 4:
1/ Cho hàm số:

−
>

=

−


≤

1
1
( )
1
3 1
x
khi x
f x
x
ax khi x
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
2/ CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
+ + =
3
1000 0,1 0x x
Bài 5:
1/ Tìm đạo hàm của các hàm số :
1.
− +
=
+
2
2 6 5
2 4
x x
y
x
2.

− +
=
+
2
2 3
2 1
x x
y
x
3.
+
=
−
sin cos
sin cos
x x
y
x x
4. y = sin(cosx)
2/ Cho hàm số y= x
3
-3x +1
a. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x=2;
b. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 45x - y + 4=0
c. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= -
1
9
x + 1
d. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm M(
2

; 1
3
−
)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA =
2a
.
a) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa : AD và SC .
c) Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mp(P)
Bài 8: Tính
'
6
f
π
 
 ÷
 
biết
cos
( )
cos2
x
f x
x
=
Bài 9: Cho hàm số:
+ +

=
2
2 2
2
x x
y
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’
2
ĐỀ SỐ 6
ThS. Phan Ngọc Thạnh 0914.234.978
Trang 5