Tính S bằng TP trong 1 số đề thi

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
BÀI TOÁN 1: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
[ ]
;a b
. Khi đó diện tích hình phẳng
(D) giới hạn bởi:
- Đồ thò hàm số
( )
y f x=
- Trục
Ox
: (
0y =
)
- Hai đường thẳng
;x a x b= =
Được xác đònh bởi công thức :
( )
b
D
a
S f x dx=
∫
1) ĐHTMại 99: Tính
?
D
S =
, biết

D
giới hạn bởi đồ thò:
2
2y x x= −
,
1, 2x x= − =

và trục
Ox
.
2) HVCNBCVT 2001: Tính
?
D
S =
, biết
{ }
, 0, 1, 2
x
D y xe y x x= = = = − =
3) CĐTCKToán 2003: Tính
?
D
S =
với
{ }
2
4 , 1, 3D y x x x x= = − − = − = −
4) ĐHNN1 -97: Tính
?
D

S =
, với
, 0, , 0
3
D y tgx x x y
π
 
= = = = =
 
 
5) ĐHNN1 – 98: Tính
?
D
S =
,
2
ln
, 0, 1, 2
x
D y y x x
x
 
= = = = =
 
 
6) ĐHHuế – 99B: Tính
?
D
S =
,

ln
1, , 0,
2
x
D x x e y y
x
 
= = = = =
 
 
7) Tính
?
D
S =

2
3 1
, 0, 1, 0
1
x x
D y x x y
x
 
+ +
= = = = =
 
+
 
8) ĐHBKN – 2000: Tính
?

D
S =
,
2 3
sin cos , 0, 0,
2
D y x x y x x
π
 
= = = = =
 
 
BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
+
( ) ( )
1
:C y f x=
,
( ) ( )
2
:C y g x=

+ đường thẳng
,x a x b= =

Được xác đònh bởi công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −

∫

PP giải: B1: Giải phương trình :
( ) ( )
f x g x=
tìm nghiệm
( )
1 2
, ,..., ;
n
x x x a b∈

( )
1 2
...
n
x x x< < <
B2: Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2
1
1
...
,...,
n
n

x x b
a x x
x b
a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx
= − + − + + −
= − + + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
1)ĐHHuế 99A: Tính
?
D
S =
,
( )
{ }
5
1 , , 0, 1
x
D y x y e x x= = + = = =
2)Tính
?
D
S =
,
2 2
1 1
, , ,
sin cos 6 3

D y y x x
x x
π π
 
= = = = =
 
 
3)ĐHTCKToán 2001: Tính
?
D
S =
,
[ ]
{ }
2
2 sin , 1 cos , 0;D y x y x x
π
= = + = + ∈
4)HVBCVT 2000: Tính
?
D
S =
,
2
3 12
1 2sin , 1 , 0,
2 2
x x
D y y x x
π

π
 
= = − = + = =
 
 
5) Tìm
b
sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò
( )
2
2
:
1
x
C y
x
=
+
và các
đường thẳng
1, 0,y x x b= = =
bằng
4
π

BÀI TOÁN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thò:
( ) ( )
, ,y f x y g x x a= = =
.
Khi đó diện tích

( ) ( )
( )
0
x
a
S f x g x dx= −
∫
với
0
x
là nghiệm duy nhất của phương trình
( ) ( )
f x g x=
.
1) ĐHTCKToán 2000: Tính
?
H
S =
, với
{ }
, , 1
x x
H y e y e x
−
= = = =
2) HVNHàng –HCM _ 99: Tính
?
H
S =
,

{ }
2
1 , , 1H y x x Ox x= = + =
3) ĐH-CĐ_ 2002KD: Tính
?
D
S =
3 1
, ,
1
x
D y Ox Oy
x
− −
 
= =
 
−
 
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
2 ; 3 ; 0
x
y y x x= = − =
5) ĐHCĐoàn 2000: Tính
?
H
S =
,
{ }
, 2 0, 0H x y x y y= = + − = =

BÀI TOÁN 4: Tính diện tích hình phẳng
( )
D
giới hạn bởi đồ thò hai hàm số:
( ) ( )
;y f x y g x= =
PP giải: B1 : Giải phương trình
( ) ( )
0f x g x− =
có nghiệm
1 2
...
n
x x x< < <
B2: Ta có diện tích hình
( )
D
:
( ) ( )
1
n
x
D
x
S f x g x dx= −
∫
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
2y x x= −

;
2
4y x x= − +
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
2y x x= − +
và
3y x= −
3) ĐHBKHN -2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
4y x= − −
và
2
3 0x y+ =

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
2 0y y x− + =
và
0x y+ =
5) ĐHKTQD – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
5 0y x+ − =
và
3 0x y+ − =
6) ĐH – CĐ : KA 2002 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
4 3y x x= − +
và
3y x= +

7) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
4
4
x
y = −
và
2
4 2
x
y =
8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
3 3
2 2
y x x= + −
và
y x=
9) ĐHSPHN – 2000 A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
1y x= −
và
5y x= +


BÀI TOÁN 5: Tính diện tích hình phẳng
( )
D
giới hạn bởi ba đồ thò hàm số:

( ) ( ) ( )
; ;y f x y g x y h x= = =
PP giải: B1: Giải các phương trình :
( ) ( )
0f x g x− =
;
( ) ( )
0f x h x− =
;
( ) ( )
0g x h x− =
B2: Thiết lập công thức diện tích. ( Có thể vẽ ba đồ thò trên cùng hệ trục toạ
độ )
1) ĐHCĐ - 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
y x=
;
2
8
x
y =
;
8
y
x
=
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
y x x= − +
;

2
y x=
;
2
2y x x= + −
BÀI TẬP:
1) ĐHQGHN – 97A : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
2y x x= + +
và
2 4y x= +
.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
4y x=
và
2
4x y=
3) ĐHKTế – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
2y x=
;
2 2 0x y− + =
và trục hoành
Ox
.
4) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
ln x
y

x
=
,
các đường thẳng :
1; 2x x= =
và trục hoành
Ox
.
5) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
3 2
4 6y x x x= − + +
và trục hoành.
6) ĐHNN1 HN – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò:
y tgx
=
, đường
thẳng
3
x
π
=
và các trục toạ độ.
7) ĐHTLợi – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
1
4
y x=
và
2
1

3
2
y x x= − +
.
8) ĐHTMại – 96: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
y x=
và
2
x y= −
9) ĐHTCKToán – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
y x= −
và
2y x= − −
.
10) ĐHTCKToán – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
x
y e=
;
x
y e
−
=
và
1x
=
.
11) ĐHBKHN - 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2 3

sin cosy x x=
,
0;
2
x x
π
= =
và trục hoành.
12) ĐHTMại – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
2y x x= −
,
1x
= −
,
2x
=
và trục hoành
Ox
.
13) ĐHHuế 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
( )
5
1y x= +
,
x
y e=
và các đường thẳng
0; 1x x= =
.

14) ĐHNN1 – 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
1
1
y
x
=
+
và
2
2
x
y =
15) ĐHTLợi – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
3 3
2 2
y x x= + −

và
y x=
.
16) ĐHSPHN – 2000B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
4 3y x x= − +
và
3y =
.
17) HVBCVT – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2

3
1 2sin
2
x
y = −
,
12
1
x
y
π
= +
và đường thẳng
2
x
π
=
.
18) ĐHTCKToán – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2 siny x= +
,
2
1 siny x= +
với
[ ]
0;x
π
∈
.
19) HVBCVT – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:

x
y xe=
,
1x = −
,
2x =
và trục hoành .
20) ĐHY TB- 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
5
x
y
−
=
,
3y x= −
và các trục toạ độ.
21) ĐHKTQD HN -2000 : Parabon
2
2y x=
chia hình tròn
2 2
8x y+ =
thành hai phần,
tính diện tích mỗi phần.
22) ĐHKTQD HN – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon
2
4y x x= −
và các đường tiếp tuyến đi qua
5

;6
2
M
 
 
 
.
23) Cho đồ thò
( )
2
4
:
1
x x
C y
x
− +
=
−
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
, tiệm
cận xiên của
( )
C
và
2; 4x x= =
24) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon
2

4 3y x x= − + −
và hai tiếp
tuyến tại các điểm
( )
0; 3A −
;
( )
3;0B
25) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
2
y x x= − +
;
2
y x=
;
2
2y x x= + −

26) ĐHMĐC HN – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò:
siny x=
,
y x
π
= −
.
27) ĐH – CĐ : KA 2002 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
4 3y x x= − +
và
3y x= +

28) CĐSPPThọ KA – 2003: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thò
2 2
4 ; 2y x y x x= − = −
29) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
4
4
x
y = −
và
2
4 2
x
y =
30) ĐH – CĐ Dự bò 3 – 2002: Cho
( )
3 2
1 1
: 2 2
3 3
C y x mx x m= + − − −
. Tìm
5
0;
6
m
 
∈
 

 

sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thò
( )
; 0; 2; 0C x x y= = =
có diện tích bằng
4
31) Hình
( )
H
giới hạn bởi Parabol (P),
0, 1, 2y x x= = − =
. Lập phương trình Parabol
(P) , biết (P) có đỉnh
( )
1;2S
và diện tích
( )
H
bằng
15
.