Xây dựng hệ thống bài tập toán học dạy học chủ đề “phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC”
Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO
ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC”
Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO
ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên nghành: Phƣơng pháp dạy học Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

ThS. NGUYỄN VĂN HÀ

Hà Nội - 2019


LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được
sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các
bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các
thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn
Hà- người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn
thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những
hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh


LỜI CAM ĐOAN

Tên em là: Nguyễn Thị Quỳnh
Sinh viên lớp: K41B- Sư phạm Toán

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em
dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của
bất cứ tác giả nào khác.

Hà Nội, ngày tháng năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
NỘI DUNG.......................................................................................................... 4
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn ................................................................. 4
1.1 Năng lực và năng lực Toán học ................................................................... 4
1.1.1 Năng lực .............................................................................................. 4
1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh........................................................ 6
1.2 Dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông............................................ 7
1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán ....................................................... 7
1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán ............................................................... 11
1.2.3. Phân loại bài toán ........................................................................... 15
1.2.4 Phương pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bước giải toán của
G.POLIA) ................................................................................................... 18
1.3 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường
phổ thông ........................................................................................................... 24
1.3.1 Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực
..................................................................................................................... 24
1.3.2 Dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh . 25
Tiểu kết chương 1 ............................................................................................. 29

Chương 2. Ứng dụng trong dạy học ở trường THPT...................................... 30
2.1 Phân tích nội dung dạy học chủ đề phương trình lượng giác ở lớp 11
trường THPT ..................................................................................................... 30
2.1.1 Nội dung chương trình dạy học phương trình lượng giác ở THPT30
2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung phương trình lượng giác ................... 30
2.1.2.1 Về kiến thức. .............................................................................. 30
2.1.2.2 Về kỹ năng.................................................................................. 31
2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương
trình lượng giác theo định hướng phát triển năng lực học sinh ..................... 31
2.2.1 Định hướng chung dạy học bài tập toán theo sự phát triển năng lực
học sinh ....................................................................................................... 31


2.2.2 Xây dựng hệ thống bài tập chương: “ Phương trình lượng giác” toán
học 11 ................................................................................................................. 31
Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản .............................................. 32
Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x ........................ 37
Dạng 3: Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x ..................... 44
Dạng 4: Một số phương trình lượng giác khác:.................................... 48
Tiểu kết chương 2 ..................................................................................... 62
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 65


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Công cuộc đổi mới của đất nước ta, thực hiện công nghiệp hóa, hiện đại
hóa gắn liền với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội nhập quốc tế sâu

rộng đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục và đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết
sức nặng nề là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao. Để thực hiện được
nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới về cả mục tiêu, nội dung
chương trình và phương pháp dạy học. Phương pháp dạy học phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho
người học năng lực tự học, kĩ năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí
vươn lên. Do đó, phương pháp dạy học cần xây dựng theo định hướng phát
triển năng lực cho học sinh.
Trong đó, phương pháp dạy học môn toán giữ một vị trí quan trọng vì
toán học là công cụ để học những môn học khác, là công cụ của nhiều ngành
khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt đông trong thực tế. Tuy nhiên, đối
với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng cao và là môn học khó, các
khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn trở ngại đó. Trong việc dạy học
Toán, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh thông hiểu một hệ
thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là
tiền đề quan trọng để xây dựng khả năng vận dụng những kiến thức đã học.
Phần phương trình lượng giác được phân bố trong chương trình lớp 11
trung học phổ thông. Những kiến thức về lượng giác đã được đề cập sơ bộ ở
chương trình trung học cơ sở và chương trình lớp 10. Đây là một phần khá
phức tạp và học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập về Phương
trình lượng giác.
Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Xây dựng hệ thống
bài tập Toán học dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường
THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

2. Mục đích nghiên cứu

1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định hướng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán
ở trường phổ thông
Xây dựng hệ thống bài tập Toán học của chủ đề “Phương trình lượng
giác” ở lớp 11 trường THPT theo hướng phát triển năng lực học sinh, góp
phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông
hiện nay.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn:
+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh
+ Định hướng phát triển năng lưc của học sinh trong dạy học toán ở
trường phổ thông
+ Dạy học bài tập Toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học trong
chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT.
- Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học của chủ đề “Phương
trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT theo hướng phát triển năng lực học
sinh.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Các bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh Toán học
thuộc chủ đề của chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về
phương pháp dạy học khái niệm môn toán.
Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương
pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán
học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh.
Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ
đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT.
6. Cấu trúc khóa luận

Phần 1: Lời mở đầu

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phần 2: Nội dung
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận chung
1.1 Năng lực và năng lực Toán học của học sinh
1.2 Dạy học bài tập Toán học ở phổ thông
1.3 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán
ở trường phổ thông
Chƣơng 2. Ứng dụng trong dạy học ở trƣờng THPT
2.1 Phân tích nội dung dạy học chủ đề phương trình lượng giác ở
lớp 11 trường THPT
2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề
phương trình lượng giác theo định hướng phát triển năng lực học sinh
Phần 3: Kết luận.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NỘI DUNG
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1 Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1 Năng lực
Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các

đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của
một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.
Năng lực của con người có đặc điểm sau:
+ Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể
+ Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động
+ Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi
trường và hoạt động của bản thân.
Như vậy, năng lực của con người hình thành trên cơ sở chi phối nhiều
bởi các yếu tố tư chất của cá nhân, nhưng năng lực của con người không phải
hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình
thành phát triển năng lực.
Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực
chung và năng lực chuyên môn.
+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác
nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực
luyện tập, năng lực tưởng tưởng
+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định
của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội
hoạ, năng lực toán học...
Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với
nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát
triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn. Ngược lại sự phát triển
của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết

quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở
trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực
công việc của mình.
Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm
sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo
tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động.
Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực
ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:
- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia,
nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về
năng lực.
- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực
hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt
chung chung nào.
- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc
vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát
triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người. Trong xã hội có bao
nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,
có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học,
có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao ...
- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là
những hiểu biết thu nhận được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc
sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm
vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng
được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không
phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ
hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện
có kết quả một hoạt động. Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các
kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh
Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai
bình diện sau:
Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt
động Toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý
nghĩa với nhân loại.
Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán
học ở trường phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến
thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
- Năng lực Toán học của học sinh:
Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán
học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được
yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng
trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những
điều kiện như nhau”
- Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức
hoạt động Toán học. Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trưng cho một
dạng năng lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ
với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học. Cấu trúc năng lực Toán
học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau:
+ Năng lực tính toán, giải toán
+ Năng lực tư duy Toán học
+ Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học)
+ Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn
+ Năng lực giải quyết vấn đề

+ Năng lực sáng tạo Toán học

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2 Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông
1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán
a) Bài toán
Theo G.POLYA. Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng. Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng
nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập.....
Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp
thành của một bài toán.
- Bài toán luôn có mục đích xác định.
- Sự đòi hỏi người khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ
hoặc yêu cầu người khác thực hiện mục đích của bài toán)
Ví dụ 1
“Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A,
B. Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến
MP và MN (P, N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng khi M di động trên
đường thẳng d thì đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố
định.”
Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau
đây.
- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng".

- Mục đích của bài toán thể hiện: “Đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi
qua hai điểm cố định.”
Ví dụ 2

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

“Số tự nhiên n  N và n < 10.”
Đây không phải là bài toán vì thiếu sự đòi hỏi người khác thực hiện
mục đích.
Đây không phải là mệnh đề toán học vì không có giá trị chân lý đúng
hay sai.
Đây là một hàm mệnh đề vì đó là câu có chứa biến số n và khi thay
biến bởi hằng ta được mệnh đề.
Ví dụ 3
“Tìm n  N và n < 10.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố
cơ bản sau;
- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “tìm”.
- Mục đích của bài toán thể hiện. “n  N và n < 10.”
b) Lời giải bài toán
- Lời giải của bài toán được hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các
thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán.
- Như vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải và đáp án của
bài toán đều theo nghĩa lời giải ở trên.
- Một bài toán có thể có lời giải như sau.
+ Một lời giải;
+ Nhiều lời giải;
+ Không có lời giải.

- Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất
một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải
được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau.
“Vừa gà vừa chó,
Bó lại cho tròn,

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ba mươi sáu con,
Một trăm chân chẵn.
Tính số gà, số chó?”
Cách 1. Giả thiết tạm
Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà.
Vậy số chân của 36 con vật là
2  36 = 72 (chân)
Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là
100 – 72 = 28 (chân)
Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả
sử tất cả 36 con vật đều là gà cả. Như vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2
chân.
Vậy số con chó là
28 : 2 = 14 (con chó)
Số con gà là
36 – 14 = 22 (con gà)
Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.
Cách 2. Giả thiết tạm

Giả sử tất cả 36 con vật đều là chó.
Vậy số chân của 36 con vật là
4  36 = 144 (chân)
Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là
144 – 100 = 44 (chân)
Ta thấy 44 chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả
sử 36 con vật đều là chó cả. Như vậy, ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2
chân.Vậy số con gà là

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

44 : 2 = 22 (con gà)
Số con chó là
36 – 22 = 14 (con chó)
Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.
Cách 3. Giả thiết tạm
Giả sử tất cả 36 con vật đều có 3 chân. Vậy số chân của 36 con vật sẽ là
3  36 = 108 (chân).
Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là
108 – 100 = 8 (chân)
Ta thấy 8 chân dư so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử
mỗi con vật gà và chó đều 3 chân. Như vậy, ta đã thêm cho mỗi con gà 1 chân
và đồng thời bớt đi mỗi con chó 1 chân.
Nếu số gà và chó bằng nhau thì số chân vừa đủ. Nếu số chó nhiều hơn số
gà thì số chân phải thiếu hụt. Ở đây số chân dư ra 8 chân, vậy số gà nhiều hơn
số chó. Mà mỗi con gà ta thêm cho nó 1 chân, vậy số con gà nhiều hơn số con
chó là

8 : 1 = 8 (con)
Số con chó là
(36 – 8) : 2 = 14 (con chó)
Số con gà là
14 + 8 = 22 (con chó)
Trả lời. Số gà là 22 con, số chó là 14 con.
Cách 4. Giả thiết tạm
Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con.
Do đó tổng số chân của 36 con vật là
(2  18) + (4  18) = 108 (chân).

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là
108 – 100 = 8 (chân).
Ta thấy 8 chân dư ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18
con. Như vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngược
lại.
Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải
thiếu hụt. Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số
con gà thành con chó. Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con
chó thì số chân tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà được chuyển thành số con
chó là
8 : 2  4 (con) .

Số gà nhiều hơn số chó là
4  2  8 (con)

Số con chó là
(36  8) : 2  14 (con)

Số con gà là
14  8  22 (con)

Trả lời: 22 con gà, số chó là 14 con chó
1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán
a) Kiến thức
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các tính chất toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện đã cho của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán
và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra
kiến thức mới. Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức
đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa ...
Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng
được củng cố qua lại nhiều lần.
Ví dụ 5. Hãy tìm các cách giải của bài toán sau.
“Cho ba hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng một được dựng liên tiếp
nhau (Hình 1.1). Chứng minh rằng ˆ  ˆ  450
Hướng dẫn

O

A

D

C




Hình 1.1

B

Cách 1. Lớp 10
1
2

1
3

Từ giả thiết ta thấy tan   , tan   .
Dễ thấy tan     

tan  tan
 1 . Do đó suy ra ˆ  ˆ  450 .
1  tan .tan

Với cách giải này củng cố cho học sinh những kiến thức sau.

- Định nghĩa hàm số lượng giác của một góc, cách xác định giá trị một
hàm số lượng giác của một góc.
- Công thức biến đổi lượng giác của một tổng.
Cách 2. Lớp 7

E

A

O





C


D

Hình 1.2

B

Để tính tổng của hai góc  và , ta dịch chuyển góc  đến vị trí kề với
 tạo ra một góc tổng của chúng (Hình 1.2).
Bằng cách xét một cặp tam giác vuông bằng nhau, ta dễ dàng chứng
minh được rằng BDE = 45o .

12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau.
- Hai góc kề nhau
- Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các tính chất của hai tam
giác bằng nhau. Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân.
Cách 3. Lớp 8, 9
O

A

B

C






D

Hình 1.3

Ta có BOC, DOB đồng dạng vì chung nhau góc O và hai cạnh kề
góc đó tỉ lệ với nhau. Từ đây suy ra β  CBO và dễ dàng có điều cần chứng
minh. (Hình 1.3)
Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau.

- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất của hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất của hai đường thẳng song song.
- Hình vuông và các tính chất của nó.
b) Tƣ duy
Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng như của môn toán là một khoa học
suy diễn, nó là môn khoa học được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do
vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, có thứ tự chặt
chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác
dụng trực tiếp rèn luyện cho học sinh năng lực sử dụng các phép suy luận hợp
logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn logic, ...
Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải
được mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được
lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, biết cách dự đoán kết quả,
biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống
nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá ..... , biết cách suy đoán. Như

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy logic và tư duy sáng tạo của học
sinh được rèn luyện và phát triển.
c) Kỹ năng
Một trong những yêu cầu của việc thông hiểu các kiến thức của bất cứ
của bộ môn khoa học nào là biết, thông hiểu và vận dụng các kiến thức của bộ
môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết
được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy toán ta thấy rằng bài toán tham gia vào tất cả các

tình huống điển hình của quá trình dạy học môn toán.
- Trong giảng dạy khái niệm Toán học
Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho
học sinh tiếp cạn đến định nghĩa khái niệm; bài toán được sử dụng làm các ví
dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện
khái niệm); bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái
niệm.
- Trong giảng dạy định lý Toán học
Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh
phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể được sử dụng trong
hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý ; bài toán có thể được sử dụng để cho
học sinh tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tìm
ra đường lối chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân
tích tìm ra chứng minh toán học của bài toán không có angorit giải.
- Trong luyện tập Toán học
Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học. Trong
đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan
chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ
bản và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó.
d) Tƣ tƣởng

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều
có mục đích rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích cụ
thể, rõ ràng. Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện
năng lực hoạt động của con người.

Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người giải phải
vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta phải
có quyết tâm, khát vọng lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLIA
là “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá
trình giải mọi bài toán ”. Do vậy ta thấy rằng hoạt động giải toán chính là
nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con
người.
1.2.3. Phân loại bài toán
Người ta có nhiều cách để phân loại các bài toán và người ta phân loại
bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là
để sử dụng các bài toán một cách thuận lợi.
a) Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra
thành hai loại như sau.
- Bài toán chứng minh.
Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối
cùng của mục đích bài toán.
Ví dụ 6:
“Cho tam giác ∆ABC, hai điểm M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, AC. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ∆AMN bằng
tam giác ∆ABC.”
Hướng dẫn

A

M

N

C Hình 1.4

B

15

1
diện tích
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ta ký hiệu diện tích của các tam giác ∆ABC, ∆AMN, ∆ABN lần lượt là
SABC, SAMN và SABN. (Hình 1.4)
Ta thấy. SABC  2  SABN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ B tới
AC và đáy AC = 2 × AN);
SABN  2  SAMN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ N tới

AB và đáy AB = 2 × AM
Do đó suy ra SABC  4  SAMN . Vậy ta có điều cần chứng minh.
- Bài toán tìm tòi.
Những bài toán mà trong kết luận của nó chưa thể hiện rõ ràng kết quả
cuối cùng của mục đích bài toán.
Ví dụ 7:
Cho tứ giác lồi ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, CD và DA. Tính diện tích của tứ giác ABCD biết rằng
diện tích của MNPQ là 100 cm2 ?
Hướng dẫn

A

Q

M

100 cm2

D

P

B

N
C Hình 1.5

Nối A với C và áp dụng kết quả bài toán ở ví dụ 1 ta có (Hình 1.5)
1
1
SBMN   SBAC và SDPQ   SDAC
4
4
1
4

1
4

Do vậy suy ra SBMN  SDPQ   SBAC  SDAC    SABCD
1

4

1
4

Tương tự ta có SAMQ  SCNP   SABD  SCBD    SABCD

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Do đó suy ra SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  1  SABCD
2

Theo hình vẽ ta có SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  SABCD  SMNPQ nên ta suy ra
1
2

đẳng thức sau. SABCD  SMNPQ   SABCD
Thay số vào đẳng thức trên ta có SABCD  100  1  SABCD .
2

Vậy ta suy ra S ABCD = 200 cm2.
b) Phân loại theo phƣơng pháp giải toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán để phân loại bài toán:
Bài toán này có thuật toán chung giải hay chưa để chia các bài toán thành hai
loại
- Bài toán có angorit giải: Những bài toán mà phương pháp giải của nó
theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.

Ví dụ 8:
+ Giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số.
+ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số.
+ Thuật toán kiểm tra một số tự nhiên n có phải là nguyên tố hay
không ?
+ Thuật toán liệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn số tự nhiên n cho
trước.
+ Thuật toán tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của
hai hay nhiều số cho trước.
+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số; tìm hai số khi
biết hiệu và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số; dạng
toán rút về đơn vị ; dạng toán tìm số trung bình cộng …
- Bài toán không có angorit giải: Những bài toán mà phương pháp giải
của nó không theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa
nó.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chú ý : Các bài toán không có angorit giải có số lượng là vô cùng lớn
hơn rất nhiều so với các bài toán có angorit giải.
c) Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau như sau.
+ Bài toán số học. Toán trồng cây ở hai đầu đường ; toán về tuổi ; toán
chuyển động đều ; toán về phân số ; …..
+ Bài toán đại số.

+ Bài toán hình học.
d) Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán.
Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào
đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
Bài toán cơ bản: Những bài bài toán sử dụng trực tiếp, đơn giản từng
kiến thức, kỹ năng mới vào việc giải quyết các tình huống phổ biến điển hình
trong thực tiễn
Bài toán nâng cao: Những bài toán sử dụng nhiều kiến thức, kỹ năng
nào đó vào việc giải quyết các tình huống mới lạ hoặc đòi hỏi phải có một khả
năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.2.4 Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của
G.POLIA)
Bƣớc 1.Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích nội dung của bài toán, rồi
tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay
đổi và biến thiên của bài toán.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây
dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời đây cũng là bước khó

khăn nhất.
Bước xây dựng chương trình giải đòi hỏi chúng ta biết huy động các
kiến thức đã biết để xem xét, phân tích, so sánh, bác bỏ, tổng hợp. Từ đó mới
có thể thiết lập được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm.
Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiến
hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
a) Phƣơng pháp đi xuôi
Xuất phát từ cái đã cho (giả thiết) của bài toán được lấy làm tiền đề và
bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới. Tiếp tục chọn
lọc trong các hệ quả logic để làm tiền đề mới và bằng suy luận hợp logic
chúng ta rút ra các hệ quả logic mới tiếp theo.... Cứ tiếp tục quá trình như thế
cho đến khi chúng ta tìm ra được hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán
thì dừng. Khi đó ta đã tìm được lời giải bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau.
A  C
  Y (Trong đó A, B là các giả thiết còn Y là kết luận).
B  D

b) Phƣơng pháp đi ngƣợc
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp
logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.
Tiếp tục quá trình đó, chúng ta chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với
giả thiết của bài toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề logíc mới
của các kết luận mới này ... Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các
tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau.

19