Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm thường gặp trong giải toán tích phân cho học sinh lớp 11 nước CHDCND Lào (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BOUNLOUANE THAMMAVONG

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM KHẮC PHỤC
NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 11 NƯỚC CHDCND LÀO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN – 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BOUNLOUANE THAMMAVONG

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM KHẮC PHỤC
NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 11 NƯỚC CHDCND LÀO
Ngành:LL và PP dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.

Thái Nguyên, tháng....năm.......
Tác giả luận văn

Bounlouane THAMMAVONG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học
PGS.TS Trần Việt Cường, đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực
hiện luận văn Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm
thường gặp trong giải toán Tích phân cho HS lớp 11 nước Cộng hòa Dân
chủ Nhân dân Lào.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo (bộ phận Sau
Đại học), Khoa Toán, các thầy cô giáo giảng dạy và toàn thể các bạn học viên

lớp cao học Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán K25B Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy, góp nhiều ý kiến
quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu khoa học và làm luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo, các em học
sinh của trường Trung học phổ thông Xaybouathong nước Cộng hòa Dân chủ
Nhân dân Lào đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn những tình cảm quý báu của người thân, bạn
bè, đồng nghiệp đã cổ vũ, động viên, góp ý và tiếp thêm động lực để tôi hoàn
thành luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản
thân còn nhiều hạn chế trong kinh nghiệm nghiên cứu, nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo
của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả luận văn

Bounlouane THAMMAVONG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




MỤC LỤC
Lời cam đoan ...................................................................................................... i
Lời cảm ơn ........................................................................................................ ii
Mục lục ............................................................................................................. iii
Danh mục các cụm từ viết tắt .....................................................................iv
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4
1.1. Bài tập Toán học ......................................................................................... 4
1.1.1. Vai trò của bài tập Toán học .................................................................... 4
1.1.2. Chức năng của bài tập Toán học ............................................................. 6
1.2. Sự cần thiết phải phát hiện, khắc phục những sai lầm của học sinh khi
giải toán ............................................................................................................. 6
1.3. Một số dạng toán Tích phân ....................................................................... 8
1.3.1. Dạng toán về Nguyên hàm ...................................................................... 8
1.3.2. Dạng toán về Tích phân ........................................................................ 11
1.3.3. Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng, thể tích vật
tròn xoay .......................................................................................................... 15
1.4. Một số dạng sai lầm khi giải toán Tích phân của học sinh ...................... 19
1.4.1. Sai lầm do không hiểu đúng tính chất ................................................... 19
1.4.3. Sai lầm do khi đổi biến số ..................................................................... 22
1.4.4. Sai lầm do nhớ nhằm công thức ............................................................ 22
1.5. Dạy học chủ đề Tích phân lớp 11 cho học sinh nước Cộng hòa dân chủ
nhân dân Lào ................................................................................................... 24
1.5.1. Nội dung Tích phân lớp 11 nước Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào ..... 24
1.5.2. Thực trạng dạy học nội dung Tích phân lớp 11 cho học sinh nước
Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào ..................................................................... 27

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




1.6. Kết luận chương 1 .................................................................................... 29
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SỬ PHẠM NHẰM GIÚP HỌC
SINH KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG
GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ............................................................................ 30

2.2. Một số biện pháp sư phạm giúp học sinh khắc phục những sai lầm
thường mắc phải trong giải toán Tích phân lớp 11 nước Cộng hòa dân chủ
nhân dân Lào ................................................................................................... 31
2.1.1. Biện pháp 1. Củng cố kiến thức “nền” về Tích phân cho học sinh ...... 31
2.2.2. Biện pháp 2. Khắc phục những sai lầm thường mắc phải cho học sinh
thông qua phân tích các bài toán có chứa sai lầm ........................................... 41
2.2.3. Biện pháp 3. Phân dạng các dạng bài tập toán và phương pháp giải
từng dạng bài tập toán cho học sinh ................................................................ 47
2.2.4. Biện pháp 4. Tổ chức cho học sinh phát hiện thực hành quy tắc thuật
giải và tựa thuật giải ........................................................................................ 59
2.3. Kết luận chương 2 .................................................................................... 65
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................... 66
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................... 66
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................... 66
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm.............................................................. 67
3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ............................................................... 68
3.4.1. Phân tích định lượng ............................................................................. 68
3.4.2. Phân tích định tính ................................................................................ 71
3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................... 72
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................... 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 74
PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
TT

Cụm từ viết đầy đủ

Viết tắt
CHDCND Lào

1.

Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào

2.

Học sinh

HS

3.

Giáo viên

GV

4.

Trung học phổ thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

THPT

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nước Cộng hòa dân chủ nhân dân (CHDCND) Lào đang tích cực thực
hiện những bước đổi mới về mọi mặt trong đó có cả lĩnh vực giáo dục và đào
tạo nhằm đào tạo ra những con người lao động có đầy đủ các kiến thức, kĩ năng
cần thiết nhằm đáp ứng được yêu cầu nhân lực cho đất nước Lào.
Ở trường phổ thông hiện nay, dạy toán cho học sinh (HS) là dạy hoạt động
toán học. Với HS có thể xem việc giải bài toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán. Bài toán là một trong những phương tiện hiệu quả trong việc giúp
HS hiểu được những tri thức cần thiết, hình thành và phát triển tư duy, hình
thành được các kỹ năng cần thiết cho bản thân mỗi HS. Tuy nhiên, trong quá
trình giải bài toán, HS thường hay gặp những khó khăn và mắc phải những sai
lầm nên dẫn đến kết quả học tập của HS thường không được như mong muốn.
Một trong những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó của HS là giáo viên
(GV) chưa thường xuyên chú ý một cách đúng mức trong việc phát hiện, sửa
chữa những sai lầm đó cho HS. Hơn nữa, bản thân mỗi người HS sau nhiều lần
mắc phải những sai lầm trong quá trình giải toán thường có tâm lý tự ti, chán
nản, mất lòng tin và không có hứng thú trong việc học toán.
Chủ đề Tích phân là một trong những nội dung chính, quan trọng trong
chương trình môn Toán ở trường phổ thông của nước CHDCND Lào. Để làm
tốt được các dạng toán thuộc chủ đề Tích phân này không phải là đơn giản với
mỗi HS vì đây là nội dung trừu tượng và tương đối khó trong chương trình phổ
thông. Thực tế dạy học hiện nay cho thấy, nhiều HS thường hay gặp khó khăn
khi phải đối diện với những bài toán thuộc chủ đề Tích phân do các em HS
chưa có được phương pháp giải toán hợp lý, trong khi đó các bài toán về chủ
đề Tích phân lại vô cùng phong phú và đa dạng trong chương trình phổ thông.
Có thể thấy, việc GV nghiên cứu để có thể phát hiện ra được những sai

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




lầm thường gặp trong quá trình giải toán cho HS đã được một số nhà nghiên
cứu giáo dục và GV quan tâm và cũng đã thu được những kết quả nhất định.
Tuy nhiên, những nghiên cứu cụ thể để chỉ ra được những sai lầm thường gặp
trong quá trình giải toán chủ đề Tích phân của HS là chưa nhiều.
Vì vậy, tác giả đã mạnh dạn lựa chọn đề tài Một số biện pháp sư phạm
nhằm khắc phục những sai lầm thường gặp trong giải toán Tích phân cho
HS lớp 11 nước CHDCND Lào để làm luận văn thạc sĩ
2. Mục đích nghiên cứu
Qua việc nghiên cứu những sai lầm HS lớp 11 nước CHDCND Lào thường
mắc phải khi giải toán chủ đề Tích phân đề xuất một số biện pháp sư phạm
nhằm giúp HS khắc phục những sai lầm đó trong quá trình dạy học.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu phát hiện được những sai lầm mà HS lớp 11 nước CHDCND Lào
thường mắc phải khi giải toán chủ đề Tích phân và đề xuất được một số biện
pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm đó trong dạy học nội dung Tích
phân cho HS thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này cho HS
và nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở nước CHDCND Lào.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Trong giải toán chủ đề Tích phân cho HS lớp 11 nước CHDCND Lào,
HS thường mắc phải những sai lầm nào? Nguyên nhân thường dẫn đến những
sai lầm đó của HS là gì?
- Để có thể khắc phục được những sai lầm đã chỉ ra ở trên cho HS lớp 11
nước CHDCND Lào, người GV cần phải có những biện pháp sư phạm nào?

- Đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã
được đề xuất trong luận văn?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu về lý luận
và phương pháp dạy học môn toán, sách giáo khoa, sách tham khảo và một số
tài liệu khác liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành dự giờ, quan sát một số tiết
học thuộc nội dung chủ đề Tích phân, trao đổi với một số GV dạy toán ở một
số trường Trung học phổ thông (THPT) của nước CHDCND Lào để có thể
tổng kết được những dạng sai lầm mà HS thường mắc phải khi giải toán chủ đề
Tích phân và đề xuất một số biện pháp nhằm khắc phục những sai lầm đó cho
HS lớp 11.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sử phạm nhằm kiểm
nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Danh mục tài liệu tham khảo nội dung
chính của luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm
thường gặp trong giải toán Tích phân cho HS lớp 11 nước CHDCND Lào.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Bài tập Toán học
1.1.1. Vai trò của bài tập Toán học
Theo Nguyên Bá Kim (2013) [2]: Bài tập Toán học có vai trò quan trọng
trong môn Toán. Thông qua việc giải bài tập Toán học, HS phải thực hiện một
số hoạt động như: nhận dạng, thể hiện khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những
hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học. Do hoạt động của HS có quan hệ
mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học nên vai trò của bài
tập Toán học được thể hiện trên ba mặt:
- Về mặt mục tiêu dạy học: Bài tập Toán học luôn hướng đến việc thực
hiện mục đích dạy học môn Toán như:
+ Hình thành và củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai
đoạn khác nhau của quá trình dạy học cho HS;
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ cho HS;
+ Hình thành và bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới cho HS.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập Toán học là một phương tiện để cài
đặt những nội dung bài học dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ
sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết.
- Về mặt Phương pháp dạy học: Bài tập Toán học là giá mang hoạt động
để HS kiến tạo những nội dung kiến thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện
các mục đích dạy học khác cho HS. Việc GV khai thác tốt bài tập như vậy sẽ
góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán học được sử dụng với những dụng
ý khác nhau. Bài tập toán với tư cách là một phương pháp dạy học, giữ một vị
trí đặc biệt quan trọng trong việc hoàn thành nhiệm vụ dạy học Toán ở trường
phổ thông. Việc giải bài tập Toán học có những tác dụng sau:
- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh động.
Khi giải quyết bài toán, HS phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu
một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động nhiều kiến
thức để giải quyết được bài tập. Những thao tác tư duy đó góp phần củng cố
khắc sâu và mở rộng kiến thức cho HS;
- Một trong những phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả năng
sáng tạo cho HS, bồi dưỡng cho HS một phương pháp nghiên cứu khoa học bởi
giải bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực của HS. Trong khi giải bài tập
toán, HS phải phân tích, lập luận... từ đó tư duy logic, tư duy sáng tạo của HS
được phát triển và năng lực của HS được nâng cao;
- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực
tế, đời sống... từ đó có tác dụng giáo dục cho HS về phẩm chất đạo đức, rèn
luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó khăn,
tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói riêng và
học tập nói chung;
- Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán
và trình độ phát triển của HS.
Qua những điều nói trên, bài tập Toán học có những tác dụng to lớn không
những về mặt giáo dục mà còn cả mặt giáo dưỡng. Vì thế, trong giải bài tập
Toán học, mục đích cuối cùng không chỉ là giúp HS tìm ra đáp số của bài toán
mà còn giúp HS nắm vững cách giải bài toán, nắm vững được các kiến thức đã

học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận dụng một cách
nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




1.1.2. Chức năng của bài tập Toán học
Theo Nguyên Bá Kim (2013) [2]: Ở trường phổ thông, dạy học là dạy hoạt
động toán học cho HStrong đó giải toán là hoạt động chủ yếu. Do vậy, dạy bài
tập Toán học có vị trí quan trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích
khác nhau thể hiện ở các chức năng như:
- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo
những vấn đề lý thuyết đã học cho HS. HS không những hiểu được sâu sắc hơn
mà còn biết cách vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình
huống cụ thể. Có khi bài tập Toán học là một định lý nhưng vì lý do nào đó
không đưa vào nội dung lý thuyết nên thông qua việc giải bài tập Toán học giúp
HS mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan duy
vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao
động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho HS,
đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư
duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,
đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.
1.2. Sự cần thiết phải phát hiện, khắc phục những sai lầm của học sinh khi
giải toán
Trong dạy học môn Toán ở Trung học phổ thông, đã có nhiều quan điểm

và ý kiến khác nhau về những sai lầm của HS thường mắc phải. Thực tiễn dạy
học cho thấy, chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông
nước CHDCND Lào đã quan tâm đến việc phát hiện, cũng như khắc phục
những sai lầm cho HS trong quá trình thực hiện giải bài toán. Tuy nhiên, khả
năng giải toán của HS vẫn còn có những hạn chế do vẫn còn mắc phải những

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




sai lầm trong quá trình thực hiện giải toán. Vai trò của bài tập trong quá trình
dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó chính là lí do tại sao nhiều công trình
nghiên cứu về lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán lại gắn với việc
xây dựng hệ thống các bài tập. Theo [7], bài tập Toán được coi là một trong
những mắt xích chính của quá trình dạy học Toán. Tuy nhiên, nói như vậy
không có nghĩa GV có thể tách rời việc dạy học giải toán cho HS với việc dạy
học các kiến thức Toán học. Vì một khi HS mắc phải những khó khăn, mắc
phải những sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó thì cũng đồng nghĩa
việc HS đó chưa hiểu rõ hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã
học vào quá trình giải bài toán. Do đó, khi thấy HS còn mắc phải những
khó khăn và những sai lầm trong quá trình giải toán thì người GV cần phải
nhấn mạnh lại những điểm cần lưu ý trong quá trình dạy học các kiến thức
Toán học cho HS.
Thực tiễn dạy học môn Toán cho thấy, HS khi giải bài toán thường mắc
phải nhiều dạng sai lầm khác nhau. Từ những sai lầm rất bình thường về tính
toán đến những sai lầm do biến đổi, suy luận... Nhìn nhận một cách khách quan,
những sai lầm này của HS là do chính bản thân mỗi HS, nhưng trong đó cũng
có một phần trách nhiệm không nhỏ thuộc về người GV. Bởi vì, GV chưa quan
tâm đúng mức tới việc giúp HS phát hiện, khắc phục và sửa chữa những sai

lầm trong các giờ học Toán nói chung và giải toán nói riêng... Chính vì điều
này mà HS không những không khắc phục được những sai lầm trong quá trình
giải toán mà còn tiếp tục mắc phải những sai lầm trong quá trình giải toán.
Đa số HS ở trường trung học phổ thông, môn Toán được xem là một trong
những môn học khó và trừu tượng. Nếu GV không nghiên cứu, không lường
trước được những khó khăn và những sai lầm HS thường gặp khi giải toán thì
sau vài lần vấp phải, HS sẽ không còn nhiều hứng thú để học Toán.
Có thể khẳng định rằng, việc GV tìm hiểu, nghiên cứu những sai lầm của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




HS trong quá trình giải toán để có thể lựa chọn ra được những cách thức dạy
học thích hợp là việc làm cần thiết đối với người GV. Bởi vì, nếu GV có thể
hình dung tốt, lường trước được những sai lầm mà HS thường mắc phải khi giải
toán thì người GV sẽ có được biện phap để phòng tránh, ngăn ngừa những sai
lầm đó cho HS.
1.3. Một số dạng toán Tích phân
1.3.1. Dạng toán về Nguyên hàm
a) Chứng minh một hàm số là một nguyên hàm của một hàm số





Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng, hàm số F  x   ln x  x 2  1 là một
nguyên hàm của hàm số f  x  

1
x 2 1

.

Lời giải. Ta có





F   x   ln x  x 2  1 


x





/

x 2 1 '

x  x 2 1
x
1
x 2 1

x  x 2 1

1

x 2 1
 f x 





Vậy F  x   ln x  x 2  1 là một nguyên hàm của hàm số
f x  

1
x 2 1

.

b) Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm cơ bản

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Ví dụ 1.2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

x2 2
3
1 2
a) f x  

x
x

b) f  x  

 2x  1 x  1
x

Lời giải
a) Ta có

(

x2  2
3
2
3

 1  2 )dx    x   1  2 dx
x
x
x
x 

x2
3
  2ln x  x   C
2
x

b) Ta có

(

 2x  1x  1 )dx 
x



  2x

x x

1
x


dx


1
1
 
 3
   2x 2  x 2  x 2 dx


5
3
1

2 2 2 2
 2. x  x  2.x 2  C
5
3
4
2
 x 2 x  x x  2 x C
5
3

c) Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Ví dụ 1.3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I   x  1 3 3  2xdx
b) J  

3

xdx
2x  2

Lời giải

3 t 3
3
 dx   t 2dt
a) Đặt t  3  2x  x 
2
2
3

Do đó, ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




3  3 t 2

I   
 1.t.t 2dt
2  2

3
   (5t 3  t 6 )dt
4
3  5t 4 t 7 
 
  C
4 4
7
3 3  3  2x  5 3  3  2x 
 (

C
4
7
4
7

4

3 3  3  2x  5 3  3  2x 
Vậy ta có I  (

C
4
7
4
7

4

t3 2
3
 dx  t 2dt
b) Đặt t  2x  2  x 
2
2
3

Khi đó, ta có

t2 2 3 2
. t dt
2
2
J 
t
3

  t 4  2t dt
4
3t5 2 
   t  C
4 5

3 

4


3

 2x  2 

3 
Vậy, ta có J 
4


5

5
3


  2x  2    C



 2x  2 
5

2

3

5


  2x  2    C


3

2

d) Tìm nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Ví dụ 1.4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I   1  x  ln xdx

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




b) J  

ln x
2 dx

x

1
 

Lời giải

dx

du 

 u  ln x

x

a) Đặt 
2
dv  1  x dx
v  x  x

2
Ta có
x2 

 x
I   x   ln x   1  dx
2
 2

x2 

x2 


  x   ln x   x    C
2
4



1

u  ln x

du

dx


x
1

b) Đặt 
dv 
2 dx

v   1
x  1


x 1

Ta có
J 

ln x
dx

x  1  x  1 x



ln x
1 
1
  
dx
x 1  x x 1



ln x
x
 ln
C
x 1
x 1

1.3.2. Dạng toán về Tích phân
a) Tính tích phân bằng định nghĩa
Ví dụ 1.5. Tính các tích phân sau:
1

a) I    x  1 dx
5

0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




4x 5  3x 4  1
dx
b) I  
x4
0
1

Lời giải
a) Ta có
1

I    x  1 d  x  1
5

0

 x  1


6

6



1
0

1
6

b) Ta có
1
1

I    4x  3  4 dx
x 
0

1 1

  2x 2  3x  3 
3x  0

2

3
b) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Ví dụ 1.6. Tính các tích phân sau:

1

x
dx
0 x 1

a) I  

2

1

b) I   1  x  dx
19

0

Lời giải
a) Đặt t  x 2  1. Do đó, ta có dt= 2xdx.
Đổi cận:
Khi x = 0 thì t = 1,
Khi x = 1 thì t = 2.
Do đó, ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




1

x
dx
0 x 1
1 2 dt
 
21 t
2
1
 ln t
1
2

I 

2

1
 ln 2
2

b) Đặt t =1 - x thì dt = -dx.
Đổi cận: Khi x =0 thì t=1,
Khi x=1 thì t = 0.
Do đó, ta có
1

I   1  x  dx
19

0

0

  t 19dt
1

t 20 0

20 1


1
20

c) Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ 1.7. Tính các tích phân sau:
1

a) I  xe xdx
0

π
2

b) I   x 2  1 sin xdx
0

Lời giải

 u x
du  dx

a) Đặt 


x
x
dv  e dx  v  e

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Do đó, ta có
1

I  xe xdx
0

1 1 x
 xe  e dx
0 0
x

  x  1e x

1
0

1

 u  x 2  1
du  2xdx
b) Đặt: 

dv  sin xdx v  cosx

Do đó, ta có
π
π
2
I   x 2  1 cosx 2  2x.cosxdx
0
0
π
2

 1  2x.cosxdx

(1)

0
π
2

Xét tích phân J  x.cosxdx
0

 u x
 dv  dx
Đặt: 


dv  cosxdx v  sinx
Do đó, ta có
π π2
J  x.sin x 2  sin xdx
0 0
π
π
  cosx 2
2
0


π
1
2

(2)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Từ (2) và (1) ta có
π 
I  1  2   1
2 
 π 1

d) Tính diện tích hình phẳng
Ví dụ 1.8. Tính diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của đường cong

y  f  x   6x  x 2 trục hoành ox sao cho 1  x  4 .
Lời giải. Ta có diện tích của hình cần tìm là:
4

S  f  x dx
1

4

   6x  x 2 dx
1

 2 x3  4
  3x  
3 1

= 24 (đvdt)
1.3.3. Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng, thể tích vật
tròn xoay
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục
hoành
Ví dụ 1.9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y  cos x ; y  0 ; x  


2

;x 

Lời giải. Gọi S là diện tích hình phẳng cần tính.
Ta có



 cos x dx

S





2

2







2

2

  cosxdx   cosxdx



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




 sin x


2




 sin x

2



2

= 3 (đvdt)
Ví dụ 1.10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
( P) : y   x 2  2 và đường thẳng () : y  x

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (∆) là:
x 2  2  x  x 2  x  2  0
 x  1;x  2

y

(∆)

2
2

1

0

1

x

2

Hình 1.1
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tính.
1

Khi đó, ta có S    x 2  2   x  dx
2

 x3 x2
1
     2x 
 3 2
2
9

 (đvdt)
2
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Ví dụ 1.11. Cho a > 0. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai
đường cong: C 1  : ax  y 2 và C 2  : ay  x 2
Lời giải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Ta có (C1): ax  y 2  y   ax (x  0)

1
(C2): ay = x 2  y  x 2
a
C2

y
a
0

a

x

C1

Hình 1.2
Ta có, phương trình hoành độ giao điểm giữa đường cong (C2) với nhánh

y  ax của đường cong (C1) là:

x  0
1 2
x  ax  x 4  a 3x  
a
x  a
Gọi S là diện tích phải tìm, ta có:
a
1 

S    ax  x 2 dx
a 
0
2 a
1 a

x x  x3
3a  0
 3

a2

3

c) Tính thể tích khối tròn xoay
Ví dụ 1.12. Cho hình phẳng được giới hạn bởi đường cong (P): y2 = 8x
và đường thẳng x = 2.
a) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng
nói trên.

b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung hình phẳng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




nói trên.
Lời giải
y

(P)

4

x

0
-4

Hình 1.3
a) Ta có (P): y2 = 8x. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình
phẳng giới hạn bởi đường cong (P) và đường thẳng x = 2 là:
2

V    y 2dx
0

2

   8xdx

0

 4 x 2

2
0

= 16π (đvtt)

1
b) Ta có (P): x  y 2
8
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên quanh trục tung là:
2

1 
V    2 dy     y 2  dy

4
4  8
 1 4
 32  . y 5
64 5 4
4

4

2



128

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN