Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ

ĐỖ THỊ THƯƠNG

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ

ĐỖ THỊ THƯƠNG

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

Hà Nội – 2018


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới các thầy cô trong khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin
chân thành cảm ơn cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan đã tạo điều kiện tốt
nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài
không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Đỗ Thị Thương


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Th.s
Nguyễn Thị Phương Lan cùng với sự cố gắng của bản thân em.Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả
(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân em không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu em sai
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên

Đỗ Thị Thương

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI NÓI ĐẦU ......................................................................................................1
CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.........................................................3
1.1. Một số khái niệm............................................................................................3
1.1.1. Cấp của phương trình vi phân.....................................................................3
1.1.2. Phương trình vi phân thường. .....................................................................3
1.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân. .............................................................3
1.2. Phương trình vi phân cấp một........................................................................3
1.2.1. Định nghĩa...................................................................................................3
1.2.2. Một số dạng phương trình...........................................................................4
1.2.2.1. Phương trình đẳng cấp cấp 1....................................................................4
1.2.2.2. Phương trình vi phân toàn phần...............................................................6
1.2.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.................................................7
1.2.2.4. Phương trình Bernoulli. ...........................................................................9
1.3. Phương trình vi phân cấp 2. .........................................................................10
CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.............................13
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ. .........................................................13
2.1. Phương trình vi phân cấp 1. .........................................................................13
2.1.1. Phương trình Bernoulli. ............................................................................13
2.1.2. Sự phân rã phóng xạ..................................................................................14
2.1.3. Định luật Newton về nhiệt độ môi trường. ...............................................15
2.1.4. Một số bài toán về cơ học. ........................................................................16
2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.........................................................18
2.3. Một số dạng phương trình vi phân đặc biệt. ................................................21
2.3.1. Phương trình dao động của sợi dây. .........................................................21
2.3.2. Phương trình truyền nhiệt. ........................................................................27
2.3.3. Phương trình Schrodinger. ........................................................................30
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG.35

3.1. Trong y sinh và hóa lý (dược động lực học và quá trình biến đổi các hóa
chất đơn giản, sự phát triển của dịch bệnh). .......................................................35


3.1.1. Dược động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản..............35
3.1.2. Sự phát triển của dịch bệnh:......................................................................38
3.2. Trong lý kinh tế (tăng trưởng hàng hóa và giá cả). .....................................39
KẾT LUẬN.........................................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................41


LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kĩ
thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế, nó vừa mang tính lý thuyết cao vừa
mang tính ứng dụng rộng. Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu
của các phương trình vi phân tương ứng. Phương trình vi phân có ứng dụng
rộng rãi trong các ngành như kinh tế, trong điều tra tội phạm, trong mô hình tốc
độ tăng dân số, trong vật lí,… Đặc biệt là trong ngành Vật lí lý thuyết – một bộ
môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí. Dựa trên nền tảng là
các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí, từ đó tìm
ra tính đúng đắn của các giả thuyết ấy. Và phương trình vi phân là một công cụ,
một giải pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán trong quá trình chứng minh
các giả thuyết.
Vì vậy, em đã quyết định lựa chọn đề tài: “Một số dạng phương trình vi
phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí” để nghiên cứu.
Khóa luận bao gồm các nội dung:
 Chương 1: Phương trình vi phân
 Chương 2: Áp dụng các phương trình vi phân để giải một số bài toán
 Chương 3: Một số ứng dụng trong khoa học và đời sống

2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về các dạng phương trình vi phân.
- Ứng dụng giải các bài toán vật lí bằng phương trình vi phân.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các dạng phương trình vi phân.
- Một số bài toán vật lí áp dụng phương trình vi phân.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về các dạng phương trình vi phân.
- Nghiên cứu về các bài toán vật lý sử dụng phương trình vi phân để giải.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo trên sách, trên mạng,…
- Thống kê, lập luận, diễn giải.

1


6. Những đóng góp mới của khóa luận
Trình bày khái quát hệ thống ứng dụng của phương trình vi phân vào giải
một số bài toán vật lý.

2


CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1. Một số khái niệm.
1.1.1. Cấp của phương trình vi phân.
Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình vi phân được gọi là
cấp hay bậc của phương trình vi phân đó
Ví dụ: ( y' )2  4xy3  5y5  0, có mặt đạo hàm cấp 1 nên được gọi là phương trình
vi phân cấp 1

( y )  5( y )  y 1; ( y )  ( y )  y 1, có mặt đạo hàm cấp 2 nên được
'' 2

' 3

' 5

'' 2

gọi là
phương trình vi phân cấp 2
1.1.2. Phương trình vi phân thường.
Phương trình vi phân có dạng F(x, y, y ' ,...y (n) )  0, được gọi là phương trình vi
phân thường cấp n.
Trong đó x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm,
là đạo hàm cấp n của y

là đạo hàm cấp 1 của y,...

1.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân.
Nghiệm hay tích phân của phương trình vi phân là mọi hàm số y = f(x) mà
khi thay vào phương trình sẽ biến phương trình thành đồng nhất thức
Ví dụ: Phương trình y ''  y  nhận các hàm số y = sinx, y = cosx, y = 2cosx –
0,

sinx và tổng quát là hàm số có dạng y =
trình, với mọi hằng số và

sinx +

cosx là nghiệm của phương

1.2. Phương trình vi phân cấp một.
1.2.1. Định nghĩa.
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng F(x,y, ) = 0
Hay
= f(x,y) hay
Ví dụ:

= f(x,y)

'
2
2
3yy  3x  0 y dx  xdy  0 y '  xy

;

;

Hoặc từ (1.1) ta giải ra được:
3

(1.1)


'

y  f (x, y)

Ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đạo hàm dưới dạng đối
xứng
M (x, y)dx  N(x, y)dy  0

Cách giải:
Ta dùng phương pháp tách biến
- Đưa phương trình vi phân cấp một về dạng:
A(x)dx + B(y)dy = 0
(1.2)
Trong đó A(x), B(y) là các hàm lần lượt chỉ phụ thuộc vào x và y.
- Tích phân 2 vế phương trình (1.2) ta được tích phân tổng quát của (1.2):



A(x)dx 



B( y)dy

C

Ví dụ:
Giải phương trình: (1 x) ydx  (1 y)xdy  0
Nếu x ≠ 0, y ≠ 0, có thể viết phương trình thành:
1
1
( dy1)dx


(1
x
y )

Lấy tích phân hai vế ta được:
ln|x| + x = y - ln|y| + C
Hay
ln|xy| + x – y = C
Đó là tích phân tổng quát của phương trình.
1.2.2. Một số dạng phương trình.
1.2.2.1. Phương trình đẳng cấp cấp 1.
Phương trình y’ = f(x,y) được gọi là phương trình đẳng cấp nếu f (x, y) là
hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa là f (x, y)  f (tx, ty)
ví dụ:

y' 

x y
là phương trình vi phân đẳng cấp cấp một
xy

Cách giải:
Theo định nghĩa phương trình đẳng cấp ta có f (tx,ty)  f (x, y)


1
x ( x  0 )thì ta

Chọn t 

có

(1.3)

'

y  f (x, y)  f(1,
y
)
x

Vế phải của phương trình (1.3) là một biểu thức luôn phụ thuộc vào

y
do
x

y

vậy y '  f (1, )   (1.4)
y

Đặt

u y
x

y
u.x

)

x

x

thế vào phương trình (1.4) ta có x.u '   (u)

'

y u
'
x.u

u

- Trường hợp 1:  (u)  u
y
 ( y)x
 x

Khi đó:

Do đó phương trình (**) trở thành
- Trường hợp 2:

dy
dx y x

y  Cx

 (u)  u  0

du
dx

: phương trình tách biến
 (u)  u x

Khi đó:
Ví
dụ:

'

y y
x

Giải phương trình vi phân y '  x 
yx
y

Rõ ràng đây là phương trình đẳng cấp. Ta viết lại phương trình như sau:
y
x  y 1
yx 

xy
1 y
x

'

Đặt u 
có:

y

. Ta

'
'
y  u x  và thay vào phương trình ta có:
u

x
u' x  u 

1 u
1
u

Lấy tích phân hai vế ta được:
du

1 u
dx
du 
2
1 u
x

udu

1 u  1 u
2

2

 ln x  lnC

1
2
arctgu  ln(1 u )  ln C x
2

Hay


arctgu  ln C x 1 u 2

Vậy nghiệm của phương trình có dạng:

C(x 2  y 2) 
e

y
arctg ( )
x

1.2.2.2. Phương trình vi phân toàn phần.
Phương trình:
(1.5)

M (x, y) dx N(x, y) dy 
0

Được gọi là phương trình vi phân toàn phần khi nó thỏa mãn điều kiện là
vế trái của phương trình (1.5) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào
đó. Tức là tồn tại hàm U (x, y) khả vi nào đó sao cho:
dU (x, y)  M(x, y) dx N(x, y) dy

Điều kiện để một phương trình vi phân dạng (1.5) trở thành một phương
trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết một phương trình vi phân toàn
phần) là:
M N

y
x

Cách giải:
Nếu (1.5) là phương trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng quát của
phương trình (1.5) là:
U (x, y) 

x

y)dy  C

y



M (x, y0 ) dx

x0

N(x,

(1.6)

N(x 0 ,

(1.7)



y0

Hoặc
U (x, y) 
y)dy  C

x

y



M (x, y) dx

x0



y0

Với (x 0 , y0 ) là một điểm bất kì mà khi thay vào các hàm M (x, y0 ) N(x 0 , y) xác
,
định.
Ví dụ: Giải phương trình:
2

2

2

3

(3x  6xy )dx  (6x y  4y )dy 
0

(1.8)

Giải:
Trước tiên ta phải kiểm tra điều kiện để phương trình đã cho có là phương
trình vi phân toàn phần hay không
2
2
2

3
Ta có:
M(x, y)  (3x  6xy ) , N(x, y)  (6x y  4y )


M
y



N

 12xy
x

Vậy (1.8) là phương trình vi phân toàn phần.
Chọn (x 0 , y0 )  (0,0)


Theo công thức (1.7) ta được:
y

x

 (3x

2

 6xy )dx 
2

 4 y dy
3

C
0

0

Hay tích phân tổng quát của phương trình (1.8) là:
3

2

2

4

x  3x y  y 
C

1.2.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng:
'

y   p(x) y q(x)

(1.9)

(hay y '  p(x) y  q(x) )

Trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước
Nếu q(x) 0 thì (1.9) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp
một thuần nhất.
- Nếu q(x)
0 thì (2.9) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp
một không thuần nhất.
Cách giải:
-

 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân.
Nhân 2 vế của (1.9) với thừa số e p( ta được:
x)dx

y 'e 

 p(x)e 

p( x)dx

p(x)dx

y  q(x)e 

(1.10)

p( x)dx

Ta chú ý vế trái của phương trình (1.10) sẽ thấy biểu thức ở vế trá chính là
đạo hàm của tích số y.e 

p( x)dx

.

Vậy ta viết lại phương trình (1.10) như sau:
( y.e

)  q(x).e 

p( x)dx '

p(

x)dx

Lấy tích phân 2 vế ta được:
y.e p( x)dx 

 q(x).e

 p( dx  C

x)dx

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) có dạng:
y  e 
x)dx

p(


.   q(x).e 


p( x)dx

dx  C




Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của

Ví dụ: Giải phương
trình:


y bằng 1.
'

'

y  2xy  4x

Giải:


2 xdx
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số e  e x

Ta được:

2

' x
y .e 
x
2xe

Hay

2

.y  4x.e

2

x2

d
2x
x2
( y.e )  4x.e
dx

Lấy tích phân 2 vế ta được:
y.e

x2

 4 x.e x dx  C  2e x  C
2

2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
y2
x
C.e

2

 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (phương pháp tìm nghiệm dưới dạng
tích)
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của 2
hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: y  u(x).v(x)
Ta có:

'

'

'

y  uv  vu

Thế vào phương trình (1.9) ta có:
'

'

(u v  v u)  p(x).(u.v) 
q(x)

Hay
'

(1.11)

'

(u  p(x).u)v  v .u 
q(x)

Phương trình (1.11) có tới 4 thông số chưa biết là u, v,
nên không thể
giải để tìm u, v bất kì. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (1.11), ta cần chọn u,
v sao cho triệt tiêu đi một hàm chưa biết.
'
Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho
(1.12)
u  p(x).u  0
Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa mãn (1.12) vì (1.12) chính là phương
trình tách biến. Khi đó:
du

  p(x) dx  u(x)   

p( x)dx

C.e
u

Chọn C=1 ta có u(x)  e  p( x)dx
Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (1.11) ta sẽ có:
v' 

q ( x)

x)dx

u(x)

 q(x).e 

p(

v

 q(x).e



p( x)dx

dx 
1 C


Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) là:


ye 

 p(  C1
q(x)

x)dx

 e

p( x)dx


 Cách 3: Phương pháp Larrange (phương pháp biến thiên hằng số)
Từ cách 2 ta thấy nghiệm của phương trình có dạng y  u(x).v(x) , với u(x)
là
nghiệm của phương trình (1.12) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được
u(x)  C.e



p(

x)dx

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) lại là y  e  p( .v(x)
x)dx

chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó
thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bướ c 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình
(1.9):
'

y  p(x).y  0

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
y  C.e



p(

x)dx

Bướ c 2: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.9)
có dạng:
y  v(x).e  

Ta có:



y '  v'
(x).e



x)dx

p(


v.p(x).e





p( x)dx

p( x)dx

Thế vào phương trình ta có:
'

Suy ra: v' 



v (x).e

p( x)dx

p( x)dx

p( x)dx

 x)dx
 
 v.p(x).e
 p(x).v.e
q(x)

p(



. Từ đó tìm được v(x).

q(x)e

1.2.2.4. Phương trình Bernoulli.
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng:
'



y  p(x).y  q(x).y , (  0,   1)

Cách giải:

(1.13)


Nhân 2 vế của phương trình (1.13) cho (1  ). y . Ta
có:
(1  ). y



'

.y  (1  ).p(x).y

1

 (1  ).q(x)

(1.14)


Khi đó, ta đặt: z  y1 . Ta
có
được:

'

'

z  (1  ) y .y



. Thế vào phương trình (1.14)

ta
'

z  (1  ) p(x).z 
(1  ).q(x)

Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x.
Ví dụ:
Giải phương trình:

'

y 

Giải:

2
y
x

2x 2
y

(1.15)

2
1
x 1
y' 
y
y
2x

2

Ta viết lại phương trình:

Đây là phương trình Bernoulli với   1
Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với (1 (1)).y1  2y .
Ta có:

'

2yy 
x
x

Đặt z  y 2

1

2

.y 

(*)

2

'

'
'

z  2yy . Thế vào (*) ta có: z 

x

1

(**) (phương trình

.z 

2

x

tuyến tính với z là hàm theo biến x).
- Giải phương trình thuần nhất liên kết với (**) ta được: z  C.x
- Nghiệm tổng quát của phương trình (**) có dạng: z  v(x).x
2

x
Thế vào (**) ta tìm được: v(x)   C
2

3

x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (**) là: z   C.x
2

Từ đó, nghiệm tổng quát của (1.15) là:

1.3. Phương trình vi phân cấp 2.

2

y 

x

3



C.x
2

Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng:
'
''
''
'
F(x, y, y , y )  0 hay y  f (x, y, y )

(1.16)

 x cos là những phương trình vi phân
Ví dụ: x3 y''  2xy  ex y  3x  ''
y  2y
x
0;
2

x
cấp 2
''
'
Xét phương trình y  f (x, y, y )


Nếu f (x, y, y' ) là một hàm liên tục trong một miền nào đó có chứa điểm
(x0 , y, y0 ' ) thì phương trình vi phân cấp 2 đã cho tồn tại một nghiệm y  y0 (x) thỏa
f

f

mãn điều kiện y(x0 )  y0 ; y ' (x0 )  0y ' . Ngoài ra,
và y ' cũng liên tục trong
y
nếu
miền nói trên thì nghiệm y 
là nghiệm duy nhất.
y(x)

'
Điều kiện để y(x0 )  y0 ; y (x0 )  0y được gọi là các điều kiện ban đầu của một
'

phương trình vi phân cấp 2:

y

xx0

 y0 ; y '

xx0

 y0 '

Gọi nghiệm tổng quát của phương trình (1.16) là hàm số y   (x,C1,C2
),
trong đó ,
là những hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau:
,
- Nó thỏa mãn phương trình (1.16) với mọi giá trị của
- Với mọi (x , y , y ' ) ở đó các điều kiện của định lí tồn tại và duy nhất
0
0
0
nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm1 được
các giá trị xác định
2
0
C1  C1 0 ,C2  2 sao cho hàm số y   (x,C thỏa mãn:
C0

,C 0 )

y

x x0

 y0 , y '

xx0

 y'0

Hệ thức  (x, y,C1,C2 )  xác định nghiệm tổng quát của phương trình (3.1)
0

dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó.Nó biểu diễn một họ đường
tích phân phụ thuộc hai tham số.
Người ta gọi nghiệm riêng của phương trình (1.16) là một hàm số
0

0

y   (x,C1 mà ta được bằng cách cho
,C2 )

,

trong nghiệm tổng quát các giá

0
0
,C
)  0 được gọi là tích phân riêng.
trị xác định C10 ,C20 . Hệ thức  (x, y,C
1
2

Ví dụ:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y ''  sinx . Tìm một nghiệm riêng
thỏa mãn điều kiện ban đầu y x0  0; y ' x0  1
Giải:
Phương trình trên là phương trình vi phân cấp 2 có vế phải không chứa y và
Từ phương trình

(
1

.

17) Ta có:


''

y

sin
sin xdx 
C
x
'

y 



1

  cos x 1 C

y    cos xdx  C1 x  C2  s inx  C1 x  C2

Suy ra, nghiệm tổng quát của (1.17) là: y  s inx  C1x  C2


Tìm nghiệm riêng:
Vì y

x0

 0  sin 0  C1 0  C2  0  C2  0

x0

1   cos 0  1  C  2
C
1
1

Vì y '

Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu là: y   s inx  2x


CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ.

2.1. Phương trình vi phân cấp 1.
2.1.1. Phương trình Bernoulli.
Bài toán:
Chúng ta xét đến mạch RL hoặc RC được kích thích bởi một nguồn DC từ
bên ngoài.
Xét mạch (như hình). Khóa K đóng tại thời điểm t = 0 và tụ đa tích điện ban
đầu với giá trị V0 . Xác định các giá trị v,i và i sau khi đóng khóa K, tức t > 0?
c

R

Giải:
Khi t > 0, viết định luật 1 Kirchhoff (định luật Kirchhoff về dòng điện –
KCL) cho mạch:
dv
C v dt  I 0
R

Hay:

dv
1
I

v 0
dt RC
C

Phương trình này chính là phương trình Bernoulli với   0
Giải phương trình trên ta được:

v(t)  A.e

Xác định A nhờ điều kiện đầu.

t
RC

 RI 0