Năng lượng tự do của ngưng tụ bose – einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN

NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA NGƯNG TỤ
BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN
TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết, KHÓA
LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN

NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA NGƯNG TỤ
BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN
TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết, KHÓA
LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và
tận tình giúp đỡ, hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo giảng
dạy chuyên ngành vật lý lý thuyết khoa vật lý, Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động
viên, giúp đỡ, ủng hộ tôi trong mọi công việc.
Hà Nội, tháng 5, năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tố Uyên


LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn chuyên ngành
Vật lý lý thuyết với đề tài “Năng lượng tự do của ngưng tụ Bose – Einstein
một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp” được hoàn thành bởi chính sự
nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng, biết ơn.
Hà Nội, tháng 5, năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tố Uyên


KÍ HIỆU VIẾT TẮT

BEC

Bose – Einstein Condensate

Ngưng tụ Bose – Einstein

SR

Symmetry Restoration

Phục hồi đối xứng

SNR

Symmetry Non - Restoration

Không phục hồi đối xứng

ISB

Inverse Symmetry Breaking

Phá vỡ đối xứng nghịch đảo

SD

Schwinger – Dyson

CJT

Cornwall – Jackiw – Tombolis


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu.......................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................... 2
6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài ......................................................... 2
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN.............................................................................. 3
1.1.Giới thiệu về chuyển pha .................................................................. 3
1.2.Ngưng tụ Bose – Einstein.................................................................. 9
1.3.Tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis ở nhiệt độ hữu hạn 13
Kết luận chương 1 ............................................................................... 20
CHƯƠNG 2 NĂNG LƯỢNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN
TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CỰC
THẤP .............................................................................................................. 21
2.1. Thế hiệu dụng trong gần hai vòng ................................................... 22
2.2. Phương trình khe và phương trình Schwinger-Dyson. ....................... 26
2.2.1. Phương trình khe ................................................................................... 26
2.2.2. Phương trình Schwinger-Dyson đối với hàm truyền ............................ 26

2.2.3. Phương trình khe mới............................................................................ 27
2.2.4. Phương trình SD mới ............................................................................ 28
2.3. Năng lượng tự do .......................................................................... 29
2.4. Gần đúng nhiệt độ thấp .................................................................. 30
Kết luận chương 2 ............................................................................... 32
KẾT LUẬN ........................................................................................ 33


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein (BEC – Bose – Einstein
Condenstate) của khí Bose ở nhiệt độ cực thấp được tạo ra đầu tiên trên thế
giới vào năm 1995 đã làm biến đổi nguyên tử vật lý. Điều này, có nghĩa rất
lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong
trạng thái ở năng lượng thấp nhất, mở ra nhiều triển vọng cho vật lý. Và ở
trạng thái BEC, có nhiều hiện tượng tượng lạ, lôi cuốn, do đó nghiên cứu tính
chất vật lý của BEC tạo nên khí Bose ở nhiệt độ cực thấp đã trở thành một
trong lĩnh vực hấp dẫn vật lý hiện đại. BEC là vật chất lượng tử, sóng vật chất
lượng tử có đặc tính rất quan trọng của sóng laser, đó là tính kết hợp. Nghiên
cứu sóng vật chất dựa trên BEC đóng vai trò chủ yếu khi xác lập nguyên lý
làm việc của máy tính lượng tử. Để phát hiện các hiệu ứng lượng tử có liên
quan trực tiếp đến tin học lượng tử người ta đã tiến hành nhiều nghiên cứu về
thực nghiệm và lý thuyết các tính chất vật lý của cả BEC một thành phần và
BEC hai thành phần. Và các nghiên cứu này đã mang lại nhiều kết quả quan
trọng đối với toàn bộ ngành vật lý, đặc biệt đối với công nghệ lượng tử được
hình thành từ ba thành phần chính là: thông tin lượng tử, máy tính lượng tử và
vật chất lượng tử. Về mặt lý thuyết, có nhiều thành tựu về việc mô tả các hiện
tượng khác nhau đã quan sát được, đồng thời tiên đoán các hiệu ứng lượng tử
mới. Việc nghiên cứu cấu trúc pha của BEC ở nhiệt độ cực thấp đóng một vai
trò quan trọng vì cấu trúc pha cho ta thông tin đầy đủ các tính chất vật lý, các

trạng thái của vật chất lượng tử ứng với các miền khác nhau của tham số vật
lý như hằng số tương tác, nhiệt độ, thế hóa học. Trong đó, việc nghiên cứu
năng lượng tự do của ngưng tụ Bose – Einstein một thành phần ở gần đúng
nhiệt độ thấp cũng đóng góp quan trọng về mặt lý thuyết.

1


Xuất phát từ triển vọng trên tôi đã lựa chọn đề tài :" Năng lượng tự do
của ngưng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ
thấp"
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết ngưng tụ Bose – Einstein nghiên cứu năng lượng
tự do của ngưng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ
thấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu năng lượng tự do của ngưng tụ Bose – Einstein một thành
phần ở gần đúng nhiệt độ thấp dựa trên thế hiệu dụng Cornwall – Jackiw –
Tomboulis (CJT) trong gần đúng hai vòng, nghiên cứu kịch bản chuyển pha
nhiệt và chuyển pha lượng tử.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là ngưng tụ Bose – Einstein một thành phần
trong thống kê chính tắc lớn. Phạm vi nghiên cứu là xét hệ khí Bose ở nhiệt
độ cực thấp trong gần đúng hai vòng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw –
Tomboulis (CJT) trong gần đúng hai vòng.
- Tính số bằng phần mềm máy tính.
6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài
Nghiên cứu về năng lượng tự do của ngưng tụ Bose – Einstein một

thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp có những đóng góp quan trọng trong
cơ học lượng tử nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung.

2


CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN
1.1.

Giới thiệu về chuyển pha
Đối với hệ nhiệt động, thông thường để biểu diễn trạng thái rắn, lỏng

hoặc khí ta dùng khái niệm pha. Trong vật lý thống kê, pha là một trạng thái
của hệ vĩ mô có các đặc trưng khác về chất so với các trạng thái khác của
chính hệ đó và cấu trúc pha của hệ xác định các tính chất vật lý cơ bản của hệ.
Trạng thái vi mô của hệ được đặc trưng bởi các thông số trạng thái như nhiệt
độ (T), áp suất (P), thể tích (V), entropy (S),… mà các đại lượng này được xác
định thông qua các hàm nhiệt động ( là hàm của trạng thái) như thế nhiệt động
(Ω), năng lượng tự do E,… Khi hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt, các thông số
trạng có mối liên hệ với nhau, chúng được biểu diễn bởi phương trình trạng
thái. Bởi vậy, đối với hệ đồng chất, trạng thái cân bằng sẽ được xác định bằng
hai đại lượng nhiệt động bất kỳ cho trước, ví dụ như thể tích V và năng lượng
E. Nhưng, nếu cho trước một cặp các giá trị bất kì của E và V thì không thể
khẳng định được rằng trạng thái đồng chất đó của vật chất sẽ tương ứng với
một trạng thái cân bằng nhiệt. Bởi vì, có thể xảy ra trường hợp trong trạng
thái cân bằng nhiệt, hệ không là đồng chất mà tách ra thành hai thành phần
đồng chất tiếp giáp nhau nhưng chúng ở những trạng thái khác nhau.
Những pha khác nhau của vật chất gồm các trạng thái khác nhau của
vật chất có thể đồng thời tồn tại, cân bằng với nhau và tiếp giáp nhau. Hai pha

có nhiệt độ, áp suất, thế hóa bằng nhau gọi là hai pha cân bằng, nghĩa là:
T1 = T2; P1 = P2; μ1 = μ2 .

(1.1)

Nếu biểu diễn nhiệt độ và áp suất trên các trục tọa độ thì tập hợp những
điểm mà ở đó có cân bằng pha tạo thành một đường cong, gọi là đường cong

3


cân bằng pha. Những điểm nằm hai bên đường cong là những trạng thái đồng
chất của hệ, nghĩa là thuộc một pha xác định. Khi trạng thái của hệ biến đổi
dọc theo một đường cắt đường cong cân bằng thì tại giao điểm của hai đường
đó sẽ có sự chuyển từ pha này sang pha khác. Nếu sự cân bằng pha đối với
một lượng chất xác định được biểu diễn bằng giản đồ trong mặt phẳng (T, V)
thì sẽ có một miền mặt phẳng bị chiếm bởi các trạng thái trong đó đồng thời
có hai pha. Giống như điều kiện của hai pha cân bằng, sự cân bằng ba pha
cũng được xác định bằng 3 đẳng thức:
T1 = T2 = T3; P1 = P2 = P3; μ1 = μ2 = μ3 .

(1.2)

Trong lý thuyết Landau, nếu các bất đẳng thức nhiệt động sau đây được
thỏa mãn: nhiệt dung đẳng áp luôn lớn hơn nhiệt dung đẳng tích (Cp > Cv),
nhiệt dung đẳng tích luôn dương (Cv > 0) và đạo hàm của áp suất theo thể tích
khi nhiệt độ không đổi luôn âm (
const

P

T

<0) thì trạng thái của hệ được

V

gọi là cân bằng. Do vậy, đối với hệ nhiệt động, các trạng thái có nhiệt dung
đẳng tích âm hay đạo hàm của áp suất theo thể tích khi nhiệt độ không đổi
dương gọi là các pha trạng thái không bền và không thể tồn tại. Ta thấy giá trị
của nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp (Cv, Cp) đều dương chứng tỏ rằng năng
lượng là một hàm tăng đơn điệu theo nhiệt độ khi thể tích không đổi. Entropi
tăng đơn điệu theo nhiệt độ ngay cả khi thể tích không đổi hoặc áp suất không
đổi. Chú ý rằng, entropi giảm đi khi có thăng giáng xung quanh trạng thái nào
đó nhưng sau đó hệ quay trở lại trạng thái ban đầu thì trạng thái đó được gọi
là trạng thái cân bằng bền. Và trạng thái mà có độ lệch hữu hạn nào đó thì
entropi tăng so với trạng thái ban đầu nhưng sau đó hệ không trở về trạng thái
ban đầu được gọi là trạng thái nửa bền (giả bền). Trong tất cả cực đại khả dĩ
của entropi thì trạng thái bền tương ứng với cực đại lớn nhất.

4


Trong tự nhiên chuyển pha là một hiện tượng vật lý phổ biến như
chuyển pha khí – lỏng, chuyển pha trong các hệ lượng tử: chuyển pha chiral
trong vũ trụ và chuyển pha hadron – quark trong các phản ứng ion nặng. Từ
lâu chuyển pha là đề tài nghiên cứu được rất nhiều nhà khoa học quan tâm.
Vào thế kỉ 19 Andrew phát hiện ra tính chất của trạng thái lỏng và khí trở nên
không phân biệt và hệ ở trong trạng thái tới hạn, có mầu trắng sữa trên mặt
phẳng P – T của CO2. Đây là quan sát đầu tiên về điểm tới hạn (điểm chuyển

pha). Trên mặt phẳng (P,T), điểm dừng của đường cong cân bằng pha gọi là
điểm tới hạn. Nhiệt độ và áp suất tại điểm đó được gọi là nhiệt độ và áp suất
tới hạn (Tc, Pc). Nghĩa là hệ trở nên đồng chất, không còn có các pha khác
nhau của vật chất khi nhiệt độ T > Tc và áp suất P > Pc. Thông thường một
điểm chuyển pha không phải là một kỳ dị toán học của các đại lượng nhiệt
động của hệ. Mỗi pha có thể tồn tại dưới điểm chuyển pha nếu bất đẳng thức
nhiệt động phải không bị vi phạm tại điểm chuyển pha. Sau đó khoảng 30
năm, P. Curie đã phát hiện sự chuyển pha sắt từ (ferromagnetic) trong sắt và
thấy được sự tương đồng giữa hai hiện tượng này. Nhưng cho đến khi
Landau lần đầu tiên đề xuất một mô hình tổng quát cho phép giải thích một
cách thống nhất các hiện tượng chuyển pha trong các chất lỏng và từ thì lý
thuyết chuyển pha mới thực sự được ra đời. Tuy nhiên, lời giải thích chính
xác về mô hình Ising hai chiều của Onsager và các kết quả về đường cong
đồng tồn tại của các chất lỏng đơn của Guggenhein đã chỉ ra rằng lý thuyết
Landau không cho các kết quả định lượng đúng. Vậy, để có kiến thức đầy đủ
về lý thuyết chuyển pha thì ngoài lý thuyết Landau cần bổ sung thêm các hệ
thức Scaling cho các chỉ số tới hạn, phương trình trạng thái, ngoài ra kết hợp
thêm lý thuyết về chuyển pha hiện đại của Kadanoff và nhà vật lý lý thuyết
Mỹ K. Wilson. Dựa vào nguyên nhân, chuyển pha được chia làm hai loại:


chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử. Dưới đây là những lý thuyết chính
về các loại chuyển pha này:
Chuyển pha nhiệt
Khi nhiệt độ thay đổi đạt đến giá trị tới hạn thì có sự thay đổi về chất
trạng thái của hệ tại điểm chuyển pha gọi là chuyển pha nhiệt. Khi có sự
thăng giáng nhiệt của các đại lượng vật lý, đặc biệt là của mật độ hạt, trở nên
rất lớn tại điểm chuyển pha thì chuyển pha nhiệt xảy ra và khi đó độ dài tương
quan trở nên lớn vô hạn.
Đến thời điểm hiện tại, có hai quan điểm về chuyển pha nhiệt, đó là

chuyển pha theo lý thuyết Ehrenfest và theo lý thuyết của Landau.
Trong lý thuyết Ehrenfest, Chuyển pha nhiệt theo lý thuyết này còn
được gọi là chuyển pha cổ điển. Ở đây, chuyển pha nhiệt của hệ xảy ra tại
điểm tới hạn ứng với sự không liên tục của đạo hàm năng lượng tự do theo
nhiệt độ. Nếu đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự do E theo nhiệt độ không
liên tục tại điểm chuyển pha thì gọi là chuyển pha loại một (hình I.1)
E
∆E

0
T = TC

T

Hình I.1: Năng lượng tự do gián đoạn tại điểm tới hạn, tương ứng với chuyển pha xảy ra là
loại một.


Theo lý thuyết Landau, khi nhiệt độ tăng, tham số trật tự Φ(T) – Order
Parameter biến đổi có bước nhảy (có từ một giá trị hữu hạn nào đó đến
không) thì sự chuyển của tinh thể là từ có trật tự thành không trật tự hay sự
chuyển pha là loại một còn nếu tham số trật tự dẫn đến không một cách liên
tục, tức là không có bước nhảy thì sẽ có sự chuyển pha loại hai. Điểm cần lưu
ý ở đây là khi xuất hiện tham số trật tự: nhưng không có sự thay đổi đối xứng
tinh thể thì không thể có chuyển pha loại hai nhưng có thể xảy ra chuyển pha
loại một; còn nếu có xảy ra sự chuyển tinh thể từ trật tự thành không trật tự
một cách liên tục nhưng lại không thể có bước nhảy của nhiệt dung thì cũng
không xảy ra chuyển pha loại hai. Trong chuyển pha loại hai, sự thay đổi đối
xứng của hệ có một tính chất tổng quất rất quan trọng là đối xứng của một pha
cao hơn đối xứng của pha kia, nghĩa là pha nào có nhiệt độ cao hơn sẽ đối

xứng cao hơn. Từ điều kiện không có bước nhảy trạng thái tại điểm chuyển
pha loại hai ta thu được kết quả: các hàm nhiệt động của hệ (entropi, năng
lượng, thể tích,…) vẫn giữ liên tục khi đi qua điểm chuyển pha. Từ đó thấy
được điểm chuyển pha loại hai có sự khác biết so với điểm chuyển pha loại
một ở điểm là nó xảy ra không kèm theo sự tỏa nhiệt hay hấp thụ nhiệt nhưng
sẽ có sự thay đổi như có bước nhảy ở điểm chuyển pha loại hai của đạo hàm
bậc nhất của các đại lượng nhiệt động (theo áp suất, thể tích).
Tóm lại, theo lý thuyết Landau:
- Chuyển pha loại một: tham số trật tự có bước nhảy tại T = Tc. Chuyển pha
loại một không gắn liền với các đối xứng của hệ.
- Chuyển pha loại hai: tham số trật tự là hàm đơn điệu của nhiệt độ và tiến tới
không khi nhiệt độ T tiến tới Tc. Điểm đáng chú ý nhất trong lý thuyết này là
gắn chặt sự chuyển pha loại hai với tính đối xứng của hệ đối với các phép
biến đổi của tham số trật tự. Khi chuyển pha loại hai , tham số trật tự Φ(T)


của hệ giảm liên tục về không theo ba cách như ở hình I.2a; I.2b; I.2c và nhiệt
dung có sự kỳ dị tại điểm chuyển pha.
Φ(T)

Φ(T)

0

T = Tc

T

(b)

T

(a)
Φ(T)

0

T = Tc

T
(c)

Hình I.2: sự phụ thuộc nhiệt độ T của tham số trật tự Φ: (a) Đối xứng bị phá vỡ tại T = 0 và
được phục hồi tại T = Tc > 0 được gọi là kịch bản pha ứng với hiện tượng SR; (b) đối xứng bị
phá vỡ tại T = 0 nhưng không được phục hồi khi T tăng được gọi là kịch bản pha ứng với hiện
tượng SNR; (c) đối xứng bị phá vỡ tại T = Tc > 0 được gọi là kịch bản pha ứng với hiện tượng
ISB.


Chuyển pha lượng tử
Trong lý thuyết lượng tử, pha lượng tử là các trạng thái khác nhau mà
khi hệ ở cùng một pha vật chất nhưng vẫn có thể ở các trạng thái lượng tử đó.
Khi có sự thăng giáng lượng tử của các đại lượng vật lý ở nhiệt độ xác định
thì chuyển pha lượng tử xảy ra và có mật độ số hạt trở nên rất lớn khi tiến tới
điểm chuyển pha. Thăng giáng lượng tử xảy ra do nguyên lý bất định
Heisenberg. Vì vậy nên khi khảo sát thăng giáng của tham số: hằng số tương
tác, thế hóa học, mất độ hạt của hệ lượng tử ở nhiệt độ xác định thu được
thông tin về chuyển pha lượng tử.
Ví dụ: khi thế hóa học thay đổi đến giá trị tới hạn μc thì thăng giáng
lượng tử của mật độ hạt trở nên vô cùng lớn, tại đó xảy ra chuyển pha lượng

tử, khi đó hệ chuyển từ trạng thái lượng tử này sang trạng thái lượng tử khác
ở nhiệt độ không đổi hay khoảng cách giữa các nguyên tử, phân tử không đổi.
Hiểu một cách đơn giản, chuyển pha nhiệt là hệ chuyển từ trạng thái
nhiệt động này sang trạng thái nhiệt động khác khi đi qua T= Tc còn chuyển
pha lượng tử là hệ chuyển từ trạng thái lượng tử này sang trạng thái lượng tử
khác khi đi qua điểm chuyển pha ở nhiệt độ cực thấp cố định. Thực tế, có các
kịch bản pha ứng với các hiện tượng sau đây: SR là kịch bản pha ứng với đối
xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không và được phục hồi ở nhiệt độ cao hơn; SNR
là kịch bản pha ứng với đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không nhưng không
được phục hồi ở nhiệt độ cao hơn và trường hợp cuối cùng là kịch bản pha
o

ISB – kịch bản xảy ra sự phá vỡ đối xứng ở nhiệt độ lớn hơn 0 K.
1.2.

Ngưng tụ Bose – Einstein
Boson là các hạt có spin nguyên và tuân theo thống kê Bose – Einstein.

Hệ Bose có thể gồm các hạt boson hoặc gồm các cặp hạt Fermi liên kết. Hệ


Bose tương tác yếu được gọi là khí Bose, có thể là khí Bose một thành phần
hoặc nhiều thành phần. Khí Bose không tương tác (g = 0), gọi là khí Bose lý
tưởng. Trạng thái của hệ Bose được biểu diễn bằng hàm sóng đối xứng, số lấp
đầy không bị hạn chế bởi nguyên lý Pauli, có thể nhận giá trị tùy ý. Thế nhiệt
động Ω của hệ là:
  k





k

  T ln
khi

n0

(e

T

nk

) ,

(1.3)



e

 k
T

 1 có sự hội tụ, nên có thể viết:
k  T ln(1 e

  k

) .

T

(1.4)

Vì năng lượng Ek của nk hạt ở trạng thái lượng tử thứ k gấp nk lần năng lượng
εk của một hạt ở trạng thái đó (Ek = nk εk) nên số hạt boson (nk) ở trạng thái có
năng lượng Ek tuân theo hàm phân bố Bose:
nk  





1
e

k 
T

.

(1.5)

1

Do đó, ở một trạng thái lượng tử của hệ Bose số hạt là bất kì.
Từ những năm (1924 – 1925), Einstein dự đoán về mặt lý thuyết rằng ở

nhiệt độ T = 0K, các hạt trong hệ không có chuyển động nhiệt nên không có
động lượng và hàm sóng ѱ(k) mô tả hệ các hạt trở thành ѱ(0). Cho nên, năng
lượng của hệ các hạt Bose ở trạng thái lượng tử ứng với T = 0K là thấp nhất,
gọi là trạng thái cơ bản. Vì các Boson không bị chi phối bởi nguyên lý Pauli
nên ở trạng thái lượng tử này, trong một thể tích xác định có thể tồn tại một số
tùy ý các hạt không có chuyển động nhiệt. Đó là một trạng thái rất đặc biệt
với mật độ hạt rất lớn, có thể tưởng tượng như một đám mây lạnh đậm đặc


chứa vô số hạt trong một thể tích nhỏ, xác định. Hiện tượng này được gọi là
ngưng tụ Bose – Einstein (BEC). Và đây cũng là trạng thái mới của vật chất
xảy ra khi nhiệt độ được hạ xuống đến gần nhiệt độ tới hạn 0K. Khi ngưng tụ
có ngưng tụ, mật độ hạt tăng đột biến. Mô hình Lagangian cho khí Bose một
thành phần được đưa ra bởi Bogoliubov (Nga) vào năm 1948 và đến năm
1963, Gross – Pitaevskii đã đưa ra mô hình Lagangian cho khí Bose hai thành
phần. Đến thời điểm hiện tại, trong nghiên cứu lý thuyết đã hình thành một số
cách tiếp cận BEC khác nhau ở nhiệt độ hữu hạn như cách tiếp cận dựa trên
thế hiệu dụng CJT và phép gần đúng Hatree – Fork,…
-6

Tuy vậy, do chưa hạ được nhiệt độ xuống đến gần 0K, dưới 10 K nên
thực nghiệm chưa chứng minh được sự tồn tại của BEC. Mãi đến năm 1995,
sau khi tìm ra kỹ thuật là lạnh mới và bằng cách sử dụng Laser lạnh, lần đầu
tiên các nhà nghiên cứu mới thực hiện được BEC đối với khí Bose loãng,
87

23

7

tương tác yếu một thành phần như Rb và Na, Li ở nhiệt độ cực thấp. Vào
năm 1997, giải Nobel đã trao cho nhóm nghiên cứu gồm Steven Chu, Claude
Cohen – Tannoudji (lý thuyết) và William Phillips về kỹ thuật bẫy và làm
lạnh tia laser. Ngay sau đó, thành tựu này được ứng dụng để thí nghiệm phát
hiện BEC. Cụ thể quá trình thí nghiệm về BEC trải qua các bước sau đây: đầu
tiên làm lạnh tia Laser, sau đó bẫy từ trường và cuối cùng là làm bay hơi lạnh
các nguyên tử kiềm.
Tính chất của ngưng tụ Bose – Einstein
Với hệ các hạt Bose đồng nhất, bước sóng de Broglie phụ thuộc nhiệt
độ được xác định bởi công thức:
2 2
T 
,
mkT

(1.6)


trong đó: m là khối lượng của một hạt, k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ.
Vậy trong BEC, các hạt Bose có cùng một bước sóng de Broglie. Như vậy,
khi nhiệt độ được hạ xuống đến giá trị tới hạn thì BEC là vật chất lượng tử có
tính chất kết hợp. Công thức xác định nhiệt độ tới hạn:
2/3
2 2  n

Tc 
,

mk   (3 / 2) 

(1.7)

trong đó: n là mật độ hạt của hệ,  (3 / 2) = 2,612 là hàm zeta Riemann. Từ
biểu thức (1.7) ta thấy, nhiệt độ tới hạn được dự đoán theo lý thuyết là thấp
-6

hơn 10 K.
Khí Bose được làm lạnh sẽ chuyển sang pha lỏng, khi đó hệ khí Bose trở
thành chất lỏng lượng tử được mô tả bởi phương trình Gross – Pitaevskii.
Hàm sóng biểu diễn trạng thái của hệ khí Bose là hàm có tính đối xứng được
xác định bởi các thông số trạng thái là áp suất, nhiệt độ, năng lượng, mật độ
hạt. Đặc biệt, ở nhiệt độ cực thấp, xung lượng k << 1, phổ năng lượng của các
hạt Bose mang tính siêu lưu khi có BEC:
E = s k ,
trong đó: s là tốc độ âm thanh trong BEC. Hệ các hạt Bose ở trạng thái bất ổn
định Landau nếu s < 0. Và hệ là ở trạng thái bất ổn định động lực
(Dynamical Instability) nếu s là số phức.
Tóm lại, tính chất cơ bản của BEC là tính kết hợp và tính siêu lưu khi
xung lượng của các hạt rất nhỏ.


1.3.

Tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis ở nhiệt độ hữu
hạn
Trong lý thuyết trường lượng tử, phương pháp khai triển nhiễu loạn

được xem là phương pháp rất hữu ích khi biểu diễn các quá trình tương tác và
giải các phương trình động lực học. Phương pháp này đã rất thành công trong
điện động lực học lượng tử, sắc động học lượng tử và một số bài toán cụ thể

khác. Tuy nhiên có nhiều hiện tượng vật lý quan trọng như sự vi phạm đối
xứng tự phát, các trạng thái liên kết, sự chuyển pha và các hiệu ứng tập thể lại
không dễ dàng thấy được trong chuỗi nhiễu loạn. Do đó, đòi hỏi một phương
pháp mới không dựa vào khai triển nhiễu loạn, vừa bao gồm tất cả các bậc
khai triển ứng với lý thuyết nhiễu loạn, vừa giữ được những tính chất phi
tuyến của lý thuyết trường đối với các hiệu ứng tập thể.
Trong những nghiên cứu lý thuyết lượng tử về ngưng tụ Bose –
Einstein (BEC) của khí Bose, các nhà nghiên cứu đã sử dụng các phép gần
đúng như phương pháp trường tự hợp Hatree – Fork để giải phương trình
Schodinger tìm ra hàm sóng mô tả hệ và năng lượng tương ứng và phương
pháp thống kê Fecmi – Dirac để giải bài toán hệ có số hạt lớn hoặc phương
pháp gần đúng Popov cho các hệ khí trộn lẫn. Mặc dù vậy, khi nghiên cứu lý
thuyết về các tính chất của BEC cần chú ý rằng, phương pháp nghiên cứu phải
đảm bảo không làm mất đi tính phi tuyến của các hiệu ứng tập thể và liên kết
của ngưng tụ. Vào năm 1962, phương pháp tác dụng hiệu dụng do J.Golstone,
A.Salam và S.Weinberge được đưa ra dựa trên tích phân phiếm hàm là
phương pháp không nhiễu loạn và đáp ứng được các điều kiện trên, đặc biệt
trong việc khảo sát các hiệu ứng tập thể. Trên cơ sở đó, Cornwall – Jackiw –
Tombolis tiếp tục phát triển phương pháp này và đã mở rộng tác dụng hiệu
dụng cho các toán tử đa hợp gọi tắt là phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT.
Ưu điểm của phương pháp này là tính ưu việt khi giải quyết các vấn đề của lý


thuyết trường lượng tử, đặc biệt trong nghiên cứu về các tính chất lượng tử
của quá trình chuyển pha. Gọi tác dụng hiệu dụng CJT là Г[  , G]. Trong đó:
 (x) là giá trị trung bình của trường lượng tử, hàm truyền G(x, y) là giá trị
trung bình của tích chuẩn hai trường lượng tử tương ứng T(  (x)  ( y) ).
Tác dụng hiệu dụng lượng tử CJT
Trong mọi quá trình vật lý, những trạng thái của hệ có thời điểm ban
đầu t   và trạng thái của hệ tại thời điểm cuối cùng t   được

xem như những trạng thái ứng với năng lượng thấp nhất, tương ứng là các
chân
không O
O







và O . Khi đó biên độ xác suất để hệ thay đổi từ chân không


đến chân không O khi có các nguồn ngoài J, K là phiếm hàm sinh:
Z J , K  



O O



1
i (  S  .J   .K . )
2

J ,K

 N  D e

(1.8)

,

trong đó:

.J    (x)J
(x)d 4 x ,

.K.    (x)K(x, y) ( y)d
4

4

xd y ,

được gọi là các tích chấm được thực hiện trên tất cả quá trình bên trong và
không thời gian, N là thừa số chuẩn hóa; S   là tác dụng thông thường.
Tích
phân phiếm hàm được xác định trên toàn bộ các cấu hình trường của hệ vật lý.
Sự đóng góp của mỗi đường vào tích phân lấy từ tác dụng thông thường đặc
trưng cho các quá trình vật lý của hệ.


Phiếm hàm sinh Z[J, K] nêu ở trên sinh ra các hàm Green tổng quát
bao gồm các giản đồ liên kết và không liên kết. Phiếm hàm W[J, K] chỉ bao


gồm các giản đồ liên kết, không tính đến sự khác nhau do giao hoán các đỉnh
sẽ có mặt trong công thức của Z[ J, K]:

Z J , K   e

iW [ J ,K ]

.

(1.9)

Ngoài ra còn có phiếm hàm sinh Г[  , G] chỉ bao gồm những giản đồ bất
khả
quy hai hạt cho các hàm đỉnh liên kết, tính được từ phép biến đổi Legendre
loại hai:
  ,G   W  J , K   .J 
1
Tr G, K ,
2

1

.K. 

(1.10)

2

các đại lượng trong (1.10) được xác định bởi các công thức sau:

 .J    (x)J (x)d 4 x,
 .K.    (x)K (x, y) ( y)d 4 xd 4 y;

Tr G, K    Gij (x, y)K ij (x, y)d 4 xd 4 y.
Bằng cách biến đổi toán học ta có:

( , G)



i

J

i

[ , G]



(1.12)
 Gij

2

1


i
(K. ) ,

(1.11)

K .
ij

Từ đây, ( ,G) có tên gọi khác là tác dụng hiệu dụng lượng tử.
Ở những trạng thái vật lý, khi tất cả các nguồn ngoài bằng không, hai
phương trình (1.11) và (1.12) ứng với trạng thái cơ bản của hệ là một hệ đầy


đủ gồm phương trình khe mô tả chuyển động của trường và phương trình SD
của G và được biểu diễn dưới dạng:

[ , G ]


 0,

(1.13)

0.

(1.14)

J K
0

và phương trình SD:

[ ,
G]

J K
0



G
Do đó, khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính Composite thì tác dụng
hiệu dụng [ ,G không chỉ phụ thuộc vào trị trung bình của trường lượng tử
]
mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G – là trị trung bình của tích các toán tử
trường T. Vì vậy, khi tìm được tác dụng hiệu dụng CJT [ ,G ta mới xác
]
định được tất cả các tính chất nhiệt động của hệ. Điều này rất thuận lợi cho
việc nghiên cứu sự vi phạm đối xứng vì nếu (1.11) cho nghiệm đối xứng thì
(1.12) vẫn cho nghiệm làm phá vỡ đối xứng. Tuy nhiên, việc xác định đầy đủ
[ ,G] thực tế là rất khó mà phải dùng phép gần đúng nhất định. Và chúng
ta
có thể sử dụng khai triển loop của [ ,G để giải quyết vấn đề này. Khai
]
triển hai loop (bất khả quy hai hạt) trong trường Boson có dạng:
i

[ ,G] 
S[ ] 

Tr[ln

GG
2

1
0

 0 1] 
1
GG
 2[ ,G],

(1.15)

trong đó:

 2 S[ ]

1
iG
iG 1 ( ) 
0 ij



 2S
nt[ ]i

 ,

 i j

(1.16)

0 ij

 i
 j


 2[ ,G]bao gồm tồng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai hạt với
Sint [ , ]xác định các đỉnh và hàm truyền được kí hiệu là G.
Lấy đạo hàm theo G của tác dụng hiệu dụng (1.15) có xét đến (1.12) sẽ
thu được phương trình Schwinger-Dyson của hàm truyền và năng lượng riêng
của hệ.
Với trường hợp bất biến tịnh tiến, trường cổ điển  (x) là một hằng
số.
Khi đó tác dụng hiệu dụng [ ,G] được biểu diễn dưới dạng:
[ ,G] = - Veff(  ,G) d

4

trong đó: Veff( 
CJT

,G)

(1.17)

x,

là thế hiệu dụng. Từ khai triển (1.15), thế hiệu dụng

trong không gian xung lượng được xác định bằng biểu thức sau:
Veff(  ,G) = U ( ) 
V ( ,G),

với: U
( )

i

d p

4



2 (2 )

1

1

tr[ ln G( p)G ( p)  G (G; p) 1] (1.18)

4

0

0

2

là thế cổ điển và V ( ,G) là tổng tất cả các giản đồ chân không
bất

khả quy hai hạt của lý thuyết 2ứng với các đỉnh và hàm truyền G(p). Lúc này,
các đỉnh vẫn phụ thuộc vào  nhưng chỉ còn là một tham số hằng số,
được
sinh ra bởi Sint(  , ) . Khi đó điều kiện dừng mô tả trạng thái cơ bản là:
Veff ( , G )




0,


Veff ( , G)

 0.


G