Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

NGUYỄN THỊ TÂM

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI
CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

NGUYỄN THỊ TÂM

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI
CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học

Người hướng dẫn khoa học:

ThS. Nguyễn Văn Đệ

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khoá học, với tình cảm chân
thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, đã tạo điều kiện cho em có môi trường học tập tốt trong suốt thời gian
nghiên cứu, học tập tại trường.
Em xin gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo - ThS. Nguyễn Văn Đệ người đã
giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp
hướng dẫn em hoàn thành đề tài luận văn tốt nghiệp này. Đồng thời, em xin
bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô trong khoa Giáo dục Tiểu học, bạn bè đã giúp
đỡ, tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận
tốt nghiệp lần này.
“Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở
tiểu học” là một đề tài hay và hấp dẫn. Tuy nhiên do thời gian có hạn và đây
là những bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài của
em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn
thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Tâm


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của riêng tôi và được sự
hướng dẫn khoa học của ThS. Nguyễn Văn Đệ. Các nội dung nghiên cứu, kết
quả trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới hình thức nào trước

đây. Nếu phát hiện có bất kì sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm về nội dung luận văn của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Tâm


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................
LỜI CAM ĐOAN ..............................................................................................
DANH MỤC CÁC BẢNG ...............................................................................
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................. 3
4. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 3
5. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 3
6. Khách thể nghiên cứu ................................................................................. 3
7. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 3
8. Giả thiết khoa học ....................................................................................... 3
9. Cấu trúc của khoá luận................................................................................ 4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VIỆC
VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI
CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC .................................................................... 5
1.1. Lí luận của việc vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các
bài toán ở Tiểu học........................................................................................... 5
1.1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học ............................................ 5
1.1.2. Bài toán và lời giải bài toán .................................................................... 8
1.1.3. Phương pháp chung giải một bài toán..................................................... 9

1.1.4. Lí luận về lí thuyết tổ hợp ..................................................................... 14
1.2 Thực trạng của việc vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải
các bài toán ở tiểu học ................................................................................... 27
1.2.1. Mục đích khảo sát ................................................................................. 27
1.2.2. Đối tượng khảo sát ................................................................................ 27


1.2.3. Phương pháp khảo sát ........................................................................... 28
1.2.4. Nội dung khảo sát.................................................................................. 28
1.2.5. Kết quả khảo sát .................................................................................... 28
CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP TRONG GIẢI CÁC
BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC ............................................................................ 34
2.1. Vận dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán cấu tạo số....................... 34
2.2. Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong các bài toán hình học ....................... 46
2.3. Ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán khác............................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 62
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...............................................................60
PHỤ LỤC ...........................................................................................................


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1: Bảng thống kê đánh giá của giáo viên về sự cần thiết của việc
vận dụng lí thuyết tổ hợp trong giải toán ................................................... 28
Bảng 1.2: Bảng thống kê nhận thức của giáo viên về việc vận dụng lí
thuyết tổ hợp trong giải
toán...................................................................................... 29
Bảng 1.3: Bảng thống kê mức độ giáo viên vận dụng lí thuyết tổ hợp để
hướng dẫn học sinh giải toán ....................................................................... 30
Bảng 1.4: Bảng thống kê phạm vi trao đổi về việc vận dụng lí thuyết tổ
hợp .................................................................................................................. 31

Bảng 1.5: Bảng thống kê khó khăn của giáo viên khi vận dụng lí thuyết tổ
hợp hướng dẫn học sinh giải toán................................................................ 32


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chiến lược phát triển đất nước, Đảng và Nhà nước ta rất quan
tâm đầu tư cho giáo dục, coi giáo dục là quốc sách. Nghị quyết Đại hội Đảng
toàn quốc lần thứ X đã xác định việc đầu tư cho giáo dục cũng có nghĩa là đầu
tư cho sự phát triển bền vững, đầu tư cho nguồn nhân lực có chất lượng cao
nhằm đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp vào năm 2020. Vì vậy,
công tác đào tạo, bồi dưỡng để nâng cao chất lượng đội ngũ cán bộ, đội ngũ
tri thức giữ một vị trí quan trọng. Đây chính là yếu tố then chốt, mang tính
quyết định đưa đất nước đi lên như cha ông ta đã từng nói: “Hiền tài là
nguyên khí quốc gia, nguyên khí thịnh thì nước mạnh, nguyên khí yếu thì
nước suy”.
Như chúng ta đã biết, bậc Tiểu học là bậc học nền tảng trong việc hình
thành, rèn luyện và bồi dưỡng nhằm phát triển nhân cách cho học sinh. Thông
qua nội dung các môn học và hoạt động giáo dục, các em được cung cấp
những kĩ năng toán học cơ bản, giáo dục thái độ và hành vi để có thể đáp ứng
những yêu cầu của xã hội hiên nay. Hơn nữa, Tiểu học là bậc học tạo ra
những nét cơ bản của nhân cách con người Việt Nam hiện đại. Những gì con
người tiếp thu được ở bậc Tiểu học sẽ làm hành trang cho học sinh đi suốt
cuộc đời.
Dạy học môn Toán ở Tiểu học nhằm giúp học sinh có những kiến thức
cơ bản ban đầu về số học, các đại lượng thông dụng, một số yếu tố hình học
và thống kê đơn giản. Hơn nữa, dạy học toán ở tiểu học còn giúp học sinh
hình thành các kĩ năng thực hành, đo lường, giải bài toán có nhiều ứng dụng
thiết thực trong đời sống, góp phần bước đầu phát triển năng lực tư duy, khả
năng suy luận hợp lí và diễn đạt đúng. Trong đó, hình thức hoạt động toán

học chủ yếu của học sinh là giải bài tập. Thông qua việc giải các bài tập toán

1


sẽ giúp học sinh phát triển trí thông minh, óc sáng tạo và thói quen làm việc
một cách khoa học. Qua đó các biểu tượng, khái niệm, quy tắc tính chất toán
học ở tiểu học được tiếp thu qua con đường giải toán chứ không phải là lí
luận. Học sinh có điều kiện rèn luyện, phát triển năng lực tư duy, rèn luyện
phương pháp suy luận và những phẩm chất cần thiết của người lao động mới.
Qua thực tế ở trường Tiểu học, tôi thấy có nhiều bài toán ở mức độ
nâng cao, đi sâu của chương trình sách giáo khoa cần phải có phương pháp
riêng dựa trên những cơ sở toán học khác nhau. Toán học ở bậc tiểu học là
những bài toán cụ thể lấy từ các kiến thức toán học có dạng khái quát ở bậc
học cao hơn. Những bài toán đó dựa trên những quy tắc, mệnh đề,… qua đó
mà học sinh có những hiểu biết sơ giản nhất và vận dụng vào các hoạt động
toán học. Bên cạnh đó, giáo viên có nhiệm vụ hình thành cho học sinh các
phương pháp giải toán hiệu quả nhất. Phương pháp đó có cơ sở có thể lấy từ lí
thuyết, quy tắc, công thức toán học ở chính các bậc học cao hơn mà nó đã
hình thành nên các công thức toán học và đã chứng minh. Như vậy, đối với
một số các dạng toán thì không chỉ hình thành kiến thức toán học mà phải có
cả phương pháp giải toán cho học sinh ở tiểu học dựa trên những cơ sở toán
học.
Vấn đề “ Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán
ở tiểu học” là một vấn đề mà tôi đã quan tâm từ rất lâu và tôi thấy rằng vấn đề
này cũng chưa có công trình nào nghiên cứu. Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài
nghiên cứu này để góp phần nhỏ bé của mình vào việc dạy và học toán ở tiểu
học sao cho đạt hiệu quả. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp của bạn đọc để
đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
2. Mục đích nghiên cứu

- Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học;
- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải
các bài toán ở tiểu học.
2


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về lí thuyết tổ hợp ứng dụng trong giải toán ở tiểu học;
- Tìm hiểu, phân tích các bài toán trong chương trình tiểu học vận dụng lí
thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán đó.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán ở tiểu học vận dụng được lí thuyết tổ hợp để giải các bài
toán đó.
5. Phạm vi nghiên cứu
- Giới hạn nội dung nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu việc vận dụng lí
thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải toán trong chương trình tiểu học.
- Giới hạn địa bàn nghiên cứu: Tiến hành khảo sát, điều tra ở các trường
Tiểu
học
+ Trường Tiểu học Xuân Hoà - phường Xuân Hoà – thành phố Phúc
Yên - tỉnh Vĩnh Phúc;
+ Trường Tiểu học Khai Quang - phường Khai Quang - thành phố
Vĩnh Yên - tỉnh Vĩnh Phúc.
6. Khách thể nghiên cứu
- Quá trình vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở
tiểu học
7. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp quan sát

- Phương pháp thống kê
8. Giả thiết khoa học
- Nếu vận dụng được phương pháp lí thuyết tổ hợp để hướng dẫn học
sinh giải các bài toán ở tiểu học thì sẽ giúp học sinh rèn luyện được kĩ năng
giải toán
3


vận dụng lí thuyết tổ hợp và phát huy được khả năng tư duy cũng như nâng cao
chất lượng dạy học môn Toán.
9. Cấu trúc của khoá luận
- Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Phụ lục, nội dung
chính của khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của việc vận dụng lí thuyết tổ hợp
hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học
Chương 2: Vận dụng lí thuyết tổ hợp trong giải các bài toán ở tiểu học

4


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VIỆC
VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI
CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC
1.1. Lí luận của việc vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải
các bài toán ở Tiểu học
1.1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
Tư duy của học sinh tiểu học là quá trình nhận thức giúp các em phản
ánh được bản chất của đối tượng nghĩa là giúp các em tiếp thu được khái
niệm các môn học.

- Phân tích là dùng trí óc phân tích đối tượng nhận thức thành bộ phận,
những thuộc tính riêng biệt trong đối tượng. Từ đó nhận thức đối tượng sâu
sắc
hơn.
- Tổng hợp là dùng trí óc kết hợp thành phần đã tách ra qua phân tích
và khôi phục lại cái toàn thể dựa trên những liên hệ thuộc về bản chất đ được
khám phá nhờ phân tích.
- Hai thao tác phân tích và tổng hợp trái ngược nhau nhưng chúng
thống nhất trong một quá trình: phân tích là cơ sở của tổng hợp, tổng hợp
được tiến hành trên cơ sở phân tích.
- So sánh là dùng trí óc để xác định sự giống, sự khác nhau giữ các sự
vật, hiện tượng. Muốn so sánh các sự vật, hiện tượng, học sinh phải phân tích
các dấu hiệu, các thuộc tính, từng dấu hiệu một. Sau đó tổng hợp mà đưa ra
kết luận.
- Trừu tượng hoá là thao tác trí óc mà chủ thể bỏ qua những dấu hiệu
không bản chất của sự vật, hiện tượng tách ra những dấu hiệu bản chất để trở
thành đối tượng tư duy.
Tư duy của học sinh tiểu học được chia làm hai giai đoạn:
5


- Giai đoạn đầu tiểu học (lớp 1, 2, 3)
Tư duy của học sinh tiểu học ở giai đoạn này mang đậm tính trực
quan, cụ thể. Trong đó, tư duy trực quan hành động chiếm ưu thế. Học sinh
tiếp thu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác tư duy với các
đối tượng cụ thể hoặc là các hình ảnh trực quan.
Ví dụ: Khi học sinh học các phép tính, chủ yếu là sử dụng que tính để
tính toán.
+ Phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều khi các em học các
môn học.

Ví dụ: Khi học sinh làm bài tập toán, các em bị lôi cuốn vào các từ
“thêm vào”, “bớt đi”, “hơn” hoặc “kém” tách khỏi điều kiện chung của bài tập
từ đó dẫn đến kết quả sai lầm.
+ Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau thành tổng thể bằng tính
thuận nghịch, giúp học sinh có kĩ năng nhận thức bất biến (cái không thay
đổi) khi biến đổi xuôi và ngược khái niệm bảo toàn (số lượng không thay đổi
khi thay đổi cách sắp xếp). Từ đó, trong tư duy của học sinh có một bước tiến
quan trọng, đó là phân biệt định tính và định lượng. Đó là điều kiện ban đầu
để hình thành khái niệm số ở học sinh tiểu học và học sinh nhận thức được
tính quy luật:
a > b thì b < a
a > b và b > c thì a > c
+ Khái quát hoá còn mang tính trực tiếp dựa vào sự tri giác những
thuộc tính bề mặt của đối tượng.
+ Suy luận của các em còn mang tính chủ quan và gắn liền với kinh
nghiệm thực tế, các em khó chấp nhận một giả thiết không thực.
Ví dụ: Một con chó có hai chân thì bốn con chó có mấy chân?

6


- Giai đoạn cuối tiểu học (lớp 4, 5)
Ở giai đoạn này tư duy trừu tượng được tăng cường hơn. Học sinh tiếp
thu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác tư duy với các kí
hiệu. Học sinh đã nắm được các mối quan hệ của các khái niệm. Học sinh
không chỉ lĩnh hội các thao tác mà còn biết loại trừ. Theo Pitaget, trẻ từ 8 tuổi
trở đi có khái niệm bảo toàn vật chất và thao tác chuyển đảo. Đây là những
dấu hiệu thay đổi tư duy của trẻ em và giai đoạn phát triển thứ hai bắt đầu.
Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau: thao tác thuận và thao tác
ngược. Tính kết hợp nhiều thao tác, thao tác đồng nhất trong giai đoạn này và

những thao tác tư duy được hình thành và phát triển mạnh.
- Thao tác thuận: a + b = c
- Thao tác nghịch: c – b = a và c – a = b
- Thao tác đồng nhất: a + 0 = a
- Tính kết hợp các thao tác: (a + b) + c = a + (b +c)
Sự kết hợp các thao tác tư duy ở trên là cơ sở của việc hình thành khái
niệm.
Theo tác giả Vũ Thị Nho – Tâm Lí học phát triển – NXB ĐHQGHN:
“Đến cuối giai đoạn thứ hai, phần lớn học sinh đã biết khái quát dựa trên
những cơ sở, những biểu tượng đã tích luỹ được trước đây thông qua sự phân
tích tổng hợp bằng trí tuệ. Đến đây vai trò của tư duy trực quan hình ảnh dần
dần nhường chỗ cho kiểu tư duy ngôn ngữ”.
Khái quát hoá ở giai đoạn này mang tính khái quát, biết dựa vào dấu
hiệu bản chất.
+ Các thao tác không gian và thời gian vận động được hình thành và
phát triển mạnh.
+ Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt hơn từ
kết quả đến nguyên nhân. Bởi vì suy luận từ nguyên nhân đến kết quả, mối
quan hệ trực tiếp được xác lập và ngược lại; khi suy luận từ kết quả đến
7


nguyên nhân, mối quan hệ đó được xác lập một cách không trực tiếp do một
kết quả có thể có nhiều nguyên nhân.
1.1.2. Bài toán và lời giải bài toán
1.1.2.1. Bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài

toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng
nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập,...
1.1.2.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán
Trong định nghĩa về bài toán ở trên, ta thấy có hai yếu tố chính hợp
thành của một bài toán đó là:
+ Mục đích của bài toán
+ Sự đòi hỏi thực hiện mục đích của bài toán
Ví dụ: “Chứng minh rằng một số tự nhiên chia hết cho 3 khi tổng các
chữ số của chúng chia hết cho 3”.
Trong bài toán này 2 yếu tố cơ bản hợp thành đó là:
+ Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “Chứng minh rằng”.
+ Mục đích của bài toán thể hiện qua: “một số tự nhiên chia hết cho 3
khi tổng các chữ số của chúng chia hết cho 3”.
1.1.2.3. Lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực
hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể có:
- Một lời giải.
- Không có lời giải.


- Nhiều lời giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất
một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải
được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
1.1.3. Phương pháp chung giải một bài toán
1.1.3.1. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.

a. Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề bài toán.
Ví dụ:
“Chứng minh rằng một số tự nhiên chia hết cho 4 thì hai chữ số tận
cùng lập thành một số chia hết cho 4”
“Chứng tỏ rằng đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh của một tam
giác tạo ra một tam giác mới có diện tích bằng một phần tư tam giác ban đầu”
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn
trong đề toán.
Ví dụ:
“Tìm các số tự nhiên có ba chữ số biết rằng nó gấp 15 lần tổng các chữ
số của nó”
“Tìm các số tự nhiên có ba chữ số biết rằng nó gấp 5 lần tích các
chữ số của nó”
b. Phân loại theo phương pháp giải bài toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit
giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:


- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một thuật toán chung nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
Ví dụ:
“Dạng toán tìm hai số biết tổng và tỉ số của hai số đó”
“Dạng toán tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó”
“Dạng toán tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó”
“Dạng toán tìm số trung bình cộng của các số”
Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó

không theo một thuật toán chung nào đó hoặc không mang tính chất angôrit
nào.
Ví dụ:
“Cho hình vuông ABCD có cạnh 10cm. Gọi M, N lần lượt là điểm
chính giữa của cạnh AB, BC. Nối CM và DN cắt nhau tại I. Hãy tính diện tích
của hình tứ giác AMID”
c. Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau như sau:
Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy
phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.1.3.2. Phương pháp tìm lời giải của bài toán
Dựa theo 4 bước của G.POLIA:
* Bước 1: Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm
hiểu kĩ nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:


+ Bài toán cho biết gì? Bài toán chưa cho biết gì?


+ Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố
thay đổi, biến thiên của bài toán.
+ Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
+ Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
* Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây
dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khăn
nhất. Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã học để nhận
xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán.
Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiến
hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
a. Phương pháp đi xuôi
Phương pháp đi xuôi xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy
làm tiền đề. Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các
tiền đề đó. Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết
luận của bài toán làm tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra
các hệ quả lôgic mới gần gũi hơn với kết luận... Cứ tiếp tục quá trình ấy
chúng ta tìm ra được hệ quả lôgic trùng với kết luận của bài toán. Khi ấy ta
tìm được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
A => B
C => D

=> X

(trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận).

b. Phương pháp đi ngược
Phương pháp đi ngược là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán.
Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề lôgic của kết
luận này.


Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả
thiết của bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra các tiền đề lôgic mới của

các kết
luận mới này... Quá trình ấy lại được tiếp diễn tả tìm được các tiền đề lôgic
trùng với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
X <=

C <= A

(trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận).

D <= B
Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của
bài toán ta thường kết hợp cả 2 phương pháp đi xuôi và đi ngược.
Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:
“Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước sau 8 giờ đầy bể.
Biết rằng lượng nước mỗi giờ vòi 1 chảy vào bể bằng 1,5 lần lượng nước vòi
2 chảy vào bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”
Hướng dẫn:
- Tóm tắt đề toán:
+ Bài toán cho biết gì? ( v1 = 1,5  và v1 + v2 = 1 )
8
v2
+ Bài toán yêu cầu tìm gì?
Nếu hai vòi nước chảy trong 8 giờ sẽ đầy bể thì nó chảy một mình
trong bao lâu sẽ đầy bể?
Để tính mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể thực chất ở đây
ta phải tính cái gì?
Để tính vận tốc của từng vòi ta đã biết một mối quan hệ của hai vận tốc,
còn có thể tìm mối quan hệ khác của hai vận tốc đó?
Đến đây ta đưa bài toán về dạng toán quen thuộc nào?

Hãy trình bày lời giải bài toán.


c. Phương pháp sử dụng các phép suy luận qui nạp
Trong toán học, để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương
pháp. Tuy nhiên, không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của
bài toán.
Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp: Phương pháp
đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó mà
vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hướng suy
nghĩ theo một hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng các phép suy luận
quy nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán liên quan, có tính chất gần giống với
bài toán ta cần giải. Có thể là bài toán con, bài toán tương tự, bài toán đặc
biệt, đôi khi là bài toán khái quát.
Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của các bài toán có liên quan với
bài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài
toán đã cho.
Theo G.POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: “Anh có
biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài
toán gần giống với một bài toán của anh đã được giải rồi. Anh có thể dùng
được nó làm gì không?”; “Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước
hết hãy giải bài toán gần giống với nó”.
* Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh
đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân
biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được –
chính là điều chứng minh được.
* Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm
đuợc của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
1.1.4. Lí luận về lí thuyết tổ hợp
1.1.4.1. Khái niệm lí thuyết tổ hợp
Toán học tổ hợp là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu
hình kết hợp các phần tử của một tập hợp hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp.
Lý thuyết tổ hợp được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: lý
thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số không giao hoán, thống
kê xác xuất,…
Lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu sự phân bố các phần tử
vào các tập hợp. Các phần tử là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thỏa mãn
những điều kiện nào đó tùy theo yêu cầu của công việc (bài toán).
Mỗi cách phân bố như thế được gọi là một cấu hình tổ hợp (một bộ các
phần tử nào đó).
1.1.4.2. Xây dựng lí thuyết tổ hợp
Sự chuyển hướng xây dựng toán học hiện đại dựa trên cơ sở của lí
thuyết tổ hợp được mở ra vào cuối thế kỉ XIX đã tác động mạnh mẽ đến sự
phát triển của toán học của thế kỉ XX. Một trong những ảnh hưởng mạnh mẽ
nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết tính toán với các tập hợp hữu hạn: tổ
hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán hình học, các bài toán tính số hạng của
khai triển đa thức, một số bài toán sắp xếp hoặc tô màu trong lí thuyết đồ thị.
Những bài toán kể ở trên gọi chung là các bài toán tổ hợp. Một định
nghĩa chính xác như thế nào là các bài toán tổ hợp còn chưa được biết đến,
mặc dù đây là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung rất phong

phú với nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng như trong đời
sống hàng ngày của chúng ta.
Lí thuyết tổ hợp được nhà toán học người Đức tên là Can – Tơr (1845 –
1918) xây dựng. Theo ông, một tập hợp được hiểu là một tổng thể các phần tử
cùng tính chất chung nào đó.
Thông thường người ta hay biểu diễn một tập hợp M như một phần mặt
phẳng được giới hạn bởi một đường cong khép kín.

.

.M

.X

.

Phần mặt phẳng này được tô màu hoặc đánh dấu để nhận biết được.
Trong cuộc sống ta có rất nhiều ví dụ về tập hợp: các em trong cùng một lớp
học, tập hợp các số tự nhiên N, tập hợp các tam giác,...
a. Quy tắc cộng
* Ví dụ: Có 8 quyển sách và 6 quyển vở khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn 1 quyển trong các quyển trên?
Bài giải:
+ Có 8 cách chọn ra 1 quyển sách
+ Có 6 cách chọn ra 1 quyển vở.
Với mỗi cách chọn 1 quyển sách không trùng với cách chọn bất kì một
quyển vở nào và ngược lại với mỗi cách chọn 1 quyển vở không trùng với
cách chọn bất kì một quyển sách nào.
Ta có số cách chọn 1 quyển trong số các quyển sách và vở đã cho là:

8 + 6 = 14 (cách chọn)
* Quy tắc:


Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc
phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương
án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:
n (A B) = n(A) + n(B)
Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
b. Quy tắc nhân
* Ví dụ: Bạn Lan có hai cái áo màu khác nhau và ba chiếc váy khác nhau.
Hỏi Lan có bao nhiêu cách chọn để thành 1 bộ?
Bài giải:
Giả sử hai chiếc áo được đánh chữ a và b, ba chiếc váy được đánh số 1,
2, 3 a1
a2
a
a3
b1
b

b2
b3

Hình 2
Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện liên tiếp 2 hành động:
+ Hành động 1 – Chọn áo. Có hai cách chọn (chọn a hoặc chọn b).
+ Hành động 2 – Chọn váy. Ứng với mỗi cách chọn áo có ba cách chọn
váy. Kết quả ta có các bộ như sau: a1, a2, a3, b1, b2, b3 (Hình 2)

Vậy có số cách chọn một bộ quần áo là:


3  2 = 6 (cách chọn)
Đáp số: 6 cách chọn.
* Quy tắc:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Công đoạn
A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn
B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n  m
cách.
Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
c. Hoán vị
* Định nghĩa
Ví dụ 1: Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hoà nên phải
thực hiện đá luân lưu 11m. Một đội 5 cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11m.
Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt.
Bài giải:
Để xác định, ta giả thiết của năm cầu thủ được chọn A, B, C, D, E. Để
tổ chức đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứ
hai,... và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự gồm tên của năm cầu
thủ. Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ
hai,... và B đá quả cuối cùng.
Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau:
Cách 1: ABCDE
Cách 2: ACBDE
Cách 3: CABED
Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự tên của năm cầu thủ đã chọn được gọi
một hoán vị tên của năm cầu thủ.
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi kết quả của sự
sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là hoán vị của n phần tử đó.

* Số các hoán vị