Đa thức và nội dung dạy học đa thức trong chương trình toán 7, toán 8

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

❍❖⑨◆● ❚❍➚ ❑❍⑩◆❍ ▲■◆❍

✣❆ ❚❍Ù❈ ❱⑨ ◆❐■ ❉❯◆● ❉❸❨ ❍➴❈ ✣❆ ❚❍Ù❈
❚❘❖◆● ❈❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚❖⑩◆ ✼✱ ❚❖⑩◆ ✽

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

❍❖⑨◆● ❚❍➚ ❑❍⑩◆❍ ▲■◆❍

✣❆ ❚❍Ù❈ ❱⑨ ◆❐■ ❉❯◆● ❉❸❨ ❍➴❈ ✣❆ ❚❍Ù❈
❚❘❖◆● ❈❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚❖⑩◆ ✼✱ ❚❖⑩◆ ✽
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❤❙✳ ❉×❒◆● ❚❍➚ ▲❯❨➌◆

❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽



r q tr ồ t ự t õ ợ
t

tự ở ồ tự tr ữỡ tr

t t sỹ ố ừ t ỏ ữủ sỹ
ú ù ừ t ổ
tọ ỏ trồ t ỡ s s tợ ổ
ữỡ t t ú ù tr sốt q tr
ự t õ
ỗ tớ t ỡ trữớ ồ
ữ ở qỵ t ổ t t
ú ù tr sốt q tr ồ t ự t õ

ữ õ õ ừ ổ tr ọ ỏ
t sõt ữủ õ ỵ sỷ ỳ rt ữủ
ỳ ỵ õ õ ừ t ổ

t ỡ
ở t





▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆

❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣
❞➝♥ ✈➔ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ ❝æ ❣✐→♦

❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ t❤à ▲✉②➳♥✳

❚r♦♥❣

❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔② ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➣
❣❤✐ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❊♠ ①✐♥ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✤➲
t➔✐

✏✣❛ t❤ù❝ ✈➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❞↕② ❤å❝ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

t♦→♥ ✼✱ t♦→♥ ✽✑

❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥é ❧ü❝ ❝õ❛

❜↔♥ t❤➙♥✱ ❦❤æ♥❣ ❝â sü trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ◆➳✉
s❛✐ ❡♠ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♠ð ✤➛✉

✶

✶ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❞↕② ❤å❝ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ✼✱
t♦→♥ ✽
✶✳✶

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❞↕② ❤å❝ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ✼✱
t♦→♥ ✽

✶✳✷

✸
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✶

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✷

❇➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✶✳✸

❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝

✶✳✶✳✹

◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✷✳✶

❱➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✷✳✷

❇➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✶✳✷✳✸

◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝

✸✹

✶✳✷✳✹

❳➙② ❞ü♥❣ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ➞♥

✣❛ t❤ù❝ tê♥❣ q✉→t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✷ ❍➺ t❤è♥❣ ❤â❛ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t➟♣ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t♦→♥ ✼✱ t♦→♥ ✽

✸✽

✷✳✶

❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ t➼♥❤ t♦→♥✱ t➻♠ ❣✐→ trà ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✷✳✶✳✶

✸✽

❘ót ❣å♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✈➔ t➼♥❤ ❣✐→ trà ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳

✐


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✷✳✷

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

✷✳✶✳✷

❚➼♥❤ ♥❤❛♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✾

✷✳✶✳✸

❚➻♠

t❤ä❛ ♠➣♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝❤♦ tr÷î❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

✷✳✶✳✹

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

✷✳✶✳✺

❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✱ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ♠ët ❜✐➸✉ t❤ù❝

✹✶

❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✷

✷✳✷✳✶

x

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❣✐→ trà ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦
❣✐→ trà ❝õ❛ ❜✐➳♥

✷✳✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✷

✷✳✷✳✷

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✷✳✷✳✸

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✹

❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✤❛ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✷✳✸✳✶

❈❤✐❛ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ✤➣ s➢♣ ①➳♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✷✳✸✳✷

❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥
❜✐➸✉ t❤ù❝

✷✳✹

B(n)

n

✤➸ ❜✐➸✉ t❤ù❝

A(n)

❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

f (x)

❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦

g(x)

✹✻

✷✳✸✳✸

❚➻♠ ❝→❝ ❤➺ sè ✤➸ ✤❛ t❤ù❝

✳

✹✼

✷✳✸✳✹

❚➻♠ ❞÷ tr♦♥❣ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✤❛ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✽

✷✳✸✳✺

⑩♣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ sè ❤å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✾

✷✳✸✳✻

▼ët sè ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✵

❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû

✳ ✳ ✳ ✳

✺✶

✷✳✹✳✶

P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✶

✷✳✹✳✷

⑩♣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ sè ❤å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷

✷✳✹✳✸

❚➻♠ ❝→❝ ❝➦♣ sè ♥❣✉②➯♥
❝❤♦ tr÷î❝

(x, y)

t❤ä❛ ♠➣♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷

✷✳✹✳✹

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➦t ➞♥ ♣❤ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✸

✷✳✹✳✺

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➺ sè ❜➜t ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✹

✐✐


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✷✳✹✳✻

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❇❡③♦✉t ✤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛
t❤ø❛ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✹✳✼

P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ①➨t ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸ ❳➙② ❞ü♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ ❜➔✐ t➟♣ tr➢❝ ♥❣❤✐➺♠
✸✳✶

✸✳✷

✺✹

✺✻

✺✾

◆❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ❝➛♥ ❧÷✉ þ ❦❤✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ ❜➔✐ t➟♣ tr➢❝
♥❣❤✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✸✳✶✳✶

❱➲ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✸✳✶✳✷

❱➲ ❤➻♥❤ t❤ù❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

❍➺ t❤è♥❣ ❜➔✐ t➟♣ tr➢❝ ♥❣❤✐➺♠ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

❑➳t ❧✉➟♥

✼✸

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✼✸

✐✐✐

õ tốt ồ



é
tự ởt tr ỳ q trồ ừ t ồ
ổ ồ s ữợ t ỏ tt ữợ tr t ợ ữủ
t sợ r ữỡ tr ờ tổ t ở
tự ữủ t tr tr ồ ỡ s
tự t ữủ ữ ữỡ số ợ
ỡ tự ữủ t ố ữỡ tr ợ ỳ
t tự tữớ t tr ý t ồ s ọ qố
qố t ổ ữủ t õ
ổ ữủ s tự t tr
ý t t tốt tr ồ ờ tổ t s ồ
t ữủ t q t ồ s ữủ q ợ
tự sợ tốt t ữớ õ sỹ
ỹ ồ ữỡ tự ồ ũ ủ tố t
ú ố ợ ồ ố tữủ ồ s õ
ữủ tốt ở tự ồ s t ữớ
õ tự tự ởt ừ ụ ữ s ở
ữỡ tr ồ tự ờ tổ ỗ tớ õ
ử ồ ừ tự t ữủ ỳ
tr t ởt ổ t t ố ợ ữớ
t ữỡ tr s
ợ ỳ ỵ tr ụ ợ ỏ s ự ữủ sỹ
ú ù t t ừ ữỡ
ồ t tự ở ồ tự tr ữỡ tr

õ tốt ồ



t t õ tốt t ở
ồ tự ũ ỳ t t ừ õ tr ữỡ tr
số ợ ợ ứ õ õ t sỷ ử ỳ tự ừ t
s s tố ởt số t tự ụ
ữ ự ử ừ õ tr ổ t trữớ ờ tổ
ở ừ õ ữủ ữỡ
ữỡ ở ồ tự tr ữỡ tr t
t
ữỡ tố õ t tự tr ữỡ
tr t t
ữỡ ỹ tố t tr
tớ õ ỹ t ỏ õ
ổ tr ọ s sõt rt ữủ sỹ õ ỵ ừ t ổ


t ỡ




❈❤÷ì♥❣ ✶
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❞↕② ❤å❝ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣

❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ✼✱ t♦→♥ ✽
✶✳✶ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❞↕② ❤å❝ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t♦→♥ ✼✱ t♦→♥ ✽
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❞↕② ❤å❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➢t ✤➛✉ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤➼♥❤ t❤ù❝ ð ❝❤÷ì♥❣
■❱ s→❝❤ ✣↕✐ sè ❧î♣ ✼✱ t➟♣ ✷✱ ❝❤✐➳♠ t❤í✐ ❧÷ñ♥❣ ❧➔ ✷✵ t✐➳t ✈➔ ❝❤✐➳♠

25%

❧÷ñ♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝✳ ❈→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝ t✐➳♣ ♥è✐ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ■
s→❝❤ ✣↕✐ sè ❧î♣ ✽✱ t➟♣ ✶✱ ❝❤✐➳♠ t❤í✐ ❧÷ñ♥❣ ❧➔ ✷✶ t✐➳t ✈➔ ❝❤✐➳♠

30%

❧÷ñ♥❣

❦✐➳♥ t❤ù❝✳ ❉♦ ✤â ✈✐➺❝ ❞↕② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ t❤❡♦ ♠ët ❝→❝❤
♥➔♦ ✤â ✤➸ ✤↕t ❤✐➺✉ q✉↔ ❝❛♦ ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤å❝ ❧➔ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝õ❛
♥❣÷í✐ ❣✐→♦ ✈✐➯♥✳ ✣➸ ❝â ♣❤÷ì♥❣ t❤ù❝ ❞↕② ❤å❝ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝ t❤❡♦ ♠ët ❝→❝❤
❤✐➺✉ q✉↔ t❤➻ ♥ë✐ ❞✉♥❣ t❛ ❝➛♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝✳
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ✼ ❝â ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr÷î❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛
t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✳

✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✶✳✶

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝

❛✮ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝
✧✣❛ t❤ù❝ ❧➔ ♠ët tê♥❣ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ▼é✐ ✤ì♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ tê♥❣
❣å✐ ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤â✳✧ ❬❬✶❪✱ tr✳✸✼❪✳

❱➼ ❞ö✿ ❈→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝✿

1
4
1
x3 + y 2 + xy ✱ 5x2 − y 2 + xy − 9x✱ x2 y − 3xy + 2x2 y − 6 + xy − x + 5
2
3
2
❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤❛ t❤ù❝✳
❚r♦♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤❛ t❤ù❝ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣
✤ì♥ t❤ù❝✱ ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❜✐➳t ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝ t❤➻ ❤å❝ s✐♥❤ s➩ ❦❤æ♥❣ t❤➸
❤✐➸✉ ✤÷ñ❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝✳ ❉♦ ✤â s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔②
❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝ tr÷î❝ t✐➯♥✳

❜✮ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝
✧✣ì♥ t❤ù❝ ❧➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❝❤➾ ❣ç♠ ♠ët sè✱ ❤♦➦❝ ♠ët ❜✐➳♥✱ ❤♦➦❝
♠ët t➼❝❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ sè ✈➔ ❝→❝ ❜✐➳♥✳✧ ❬❬✶❪✱ tr✳✸✵❪✳

❱➼ ❞ö✿ ❈→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝✿ 10❀ 54 ❀ x❀ 3x4y❀ −xy3zt5❀ 53 x2y5xz ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤ì♥
t❤ù❝✳
❙❛✉ ❦❤✐ ✤÷ñ❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝✱ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❣✐î✐
t❤✐➺✉ ❧✉æ♥ ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝ t❤✉ ❣å♥✳

✯ ✣ì♥ t❤ù❝ t❤✉ ❣å♥
✧✣ì♥ t❤ù❝ t❤✉ ❣å♥ ❧➔ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝❤➾ ❣ç♠ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠ët sè ✈î✐ ❝→❝ ❜✐➳♥✱
♠➔ ♠é✐ ❜✐➳♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥➙♥❣ ❧➯♥ ❧ô② t❤ø❛ ✈î✐ sè ♠ô ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳✧
❙è ♥â✐ tr➯♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ sè✱ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ❜✐➳♥ ❝õ❛ ✤ì♥ t❤ù❝
t❤✉ ❣å♥✳✑ ❬❬✶❪✱ tr✳✸✸❪✳

❱➼ ❞ö✿ ✣ì♥ t❤ù❝ 10x6y3 ❧➔ ✤ì♥ t❤ù❝ t❤✉ ❣å♥✱ 10 ❧➔ ❤➺ sè ✈➔ x6y3 ❧➔
♣❤➛♥ ❜✐➳♥ ❝õ❛ ✤ì♥ t❤ù❝ ✤â✳

✹


õ tốt ồ



ứ t ữ r ởt số ú ỵ ồ s
ú ỵ
ụ ởt số ỡ tự t ồ
r ỡ tự t ồ ộ ữủ t ởt ổ
tữớ t ỡ tự t ồ t t số trữợ
s ữủ t t tự tỹ ỳ
ứ õ ỡ tự ổ õ t t õ
ỡ tự t ồ

ỡ tự ỗ
r q tr ợ ỡ tự ồ s s t ỳ
ỡ tự õ sỹ ố ỡ tự
ố ợ ỡ tự

5 2
x yz
3

3x2 yz

õ

ỡ tự ữủ ồ

ỡ tự ỗ õ ồ s t ữủ sỹ tờ qt s
ụ ữ r ỡ tự ỗ
ỡ tự ỗ ỡ tự õ số õ ũ
tr

ử 2x3y2 5x3y2 31 x3y2 ỳ ỡ tự ỗ
ở trứ ỡ tự ỗ

ồ s ữủ ỡ tự ỗ s
ữ r ử ử t ở ỡ tự ỗ trứ
ỡ tự ỗ rỗ ợ ữ r q t tứ õ ồ s t
ữủ tự tỹ ú t ữủ sỹ tờ qt ử
ỳ trữớ ủ ở trứ ỡ tự ỗ
t ở trứ ỡ tự ỗ t ở
trứ số ợ ỳ tr

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

◗✉❛② trð ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ✤ì♥ t❤ù❝✱ tr♦♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝â ✤➲
❝➟♣ ✤➳♥ ❝ö♠ tø ✧❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✧✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
✤❛ t❤ù❝✱ ♥➳✉ ❝❤÷❛ ❜✐➳t tî✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè t❤➻ ❤å❝ s✐♥❤ s➩ ❧↕✐
❦❤æ♥❣ t❤➸ ❤✐➸✉ ✤÷ñ❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝õ❛ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ❉♦ ✤â tr÷î❝ ❦❤✐ tr➻♥❤ ❜➔②
❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝✱ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❜✐➸✉ t❤ù❝
✤↕✐ sè✳ ❱➔ ✧❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✧ ❝ô♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➔✐ ✤➛✉ t✐➯♥
❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ■❱ ✲ ❝❤÷ì♥❣ ♠➔ t❛ ❜➢t ✤➛✉ ✈î✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝✳
❱➻ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❧➔ ♠ët ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠î✐ ♥➯♥ ✤➸ ❤å❝ s✐♥❤ ❝â t❤➸ ❤✐➸✉
✤÷ñ❝ t❤❡♦ ♠ët ❝→❝❤ tü ♥❤✐➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧✐➯♥ ❤➺ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ô ✤➣
❤å❝✱ ✤â ❧➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝✱ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✼ ✤➣ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉✿
✧Ð ❝→❝ ❧î♣ ❞÷î✐ t❛ ✤➣ ❜✐➳t✿ ❝→❝ sè ✤÷ñ❝ ♥è✐ ✈î✐ ♥❤❛✉ ❜ð✐ ❞➜✉ ❝→❝ ♣❤➨♣
t➼♥❤ ✭❝ë♥❣✱ trø✱ ♥❤➙♥✱ ❝❤✐❛✱ ♥➙♥❣ ❧➯♥ ❧ô② t❤ø❛ ❧➔♠ t❤➔♥❤ ♠ët ❜✐➸✉ t❤ù❝✳
❈❤➥♥❣ ❤↕♥✿

5 + 3 − 2❀ 12 : 6.2❀ 153 .47 ❀ 4.32 − 5.6❀ 13.(3 + 4)

❧➔ ♥❤ú♥❣

❜✐➸✉ t❤ù❝✳
◆❤ú♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ♥❤÷ tr➯♥ ❣å✐ ❧➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ sè✳✧ ❬❬✶❪✱ tr✳✸✹❪✳
✣➸ t✐➳♣ tö❝✱ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✳

❝✮ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè
✧❚r♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝✱ ✈➟t ❧þ✱✳✳✳ t❛ t❤÷í♥❣ ❣➦♣ ♥❤ú♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ♠➔ tr♦♥❣
✤â ♥❣♦➔✐ ❝→❝ sè✱ ❝→❝ ❦þ ❤✐➺✉ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✱ trø ✱ ♥❤➙♥✱ ❝❤✐❛✱ ♥➙♥❣ ❧➯♥
❧ô② t❤ø❛✱ ❝á♥ ❝â ❝↔ ❝→❝ ❝❤ú ✭✤↕✐ ❞✐➺♥ ❝❤♦ ❝→❝ sè✮✳ ◆❣÷í✐ t❛ ❣å✐ ♥❤ú♥❣

❜✐➸✉ t❤ù❝ ♥❤÷ ✈➟② ❧➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✧✳ ❬❬✶❪✱ tr✳✷✹❪✳

❱➼ ❞ö✿ ❈→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝✿ 5x❀ 3(a+8)❀ 2(x+y +z)❀ x2y❀ x −10, 2 ❧➔ ♥❤ú♥❣
❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✳
◆❤÷ ✈➟②✱ ✤➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❤ì♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ✈✐➳t ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✱ t❛
❝➛♥ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❝❤ó þ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤✳

✻


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

❈❤ó þ✿ ✧✣➸ ❝❤♦ ❣å♥✱ ❦❤✐ ✈✐➳t ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✱ ♥❣÷í✐ t❛ t❤÷í♥❣
❦❤æ♥❣ ✈✐➳t ❞➜✉ ♥❤➙♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❝❤ú✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❣✐ú❛ sè ✈➣ ❝❤ú✧✳ ❬✳✳✳❪✳ ❚❤æ♥❣
t❤÷í♥❣✱ tr♦♥❣ ♠ët t➼❝❤✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❦❤æ♥❣ ✈✐➳t t❤ø❛ sè ✶✱ ❝á♥ t❤ø❛ sè

(−1)

✤÷ñ❝ t❤❛② ❜➡♥❣ ❞➜✉ ✧−✧✳✧ ❬❬✶❪✱ tr✳✷✺❪✳
❳✉➜t ♣❤→t tø ♥❤ú♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♠➔ ❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ ✤÷ñ❝ t✐➳♣
①ó❝ ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ð ❜➟❝ t✐➸✉ ❤å❝✱ ♠â❝ ♥è✐ ✈î✐ ❝→❝ ❝❤ú ✤➸ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✳ ✣➸ tø ✤â✱ ❤å❝ s✐♥❤ ❝â t❤➸ t✐➳♣ ❝➟♥ ✈î✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠î✐
♠ët ❝→❝❤ ❣➛♥ ❣ô✐ ✈➔ tü ♥❤✐➯♥ ♥❤➜t✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥➢♠ rã
❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✤↕✐ sè✱ tø ✤â ❤✐➸✉ ✤÷ñ❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝✱ ✈➔ ❝✉è✐
❝ò♥❣ ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝✳

❞✮ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥
✧✣❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝ò♥❣ ♠ët ❜✐➳♥✳✧

❬❬✶❪✱ tr✳✹✶❪✳
❉♦ ✤➣ ♥➢♠ ✤÷ñ❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ t❤ù❝ ♥➯♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❞➵ ❞➔♥❣ ❧➜② ✤÷ñ❝
✈➼ ❞ö ✈➲ ♥❤ú♥❣ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝ò♥❣ ♠ët ❜✐➳♥✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✿

7
2x5 ❀ − x3 ❀
2

5x0 = 5❀ ✳✳✳ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤ì♥ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✳ ❚ê♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝
7 3
5
♠ët ❜✐➳♥ x✱ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝✿ P (x) = 2x − x + 5✳ ◆❤÷ ✈➟② ❤å❝ s✐♥❤ ❦❤æ♥❣
2
q✉→ ❦❤â ❦❤➠♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥➢♠ ✤÷ñ❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ❝â
❤➻♥❤ ❞✉♥❣ rã ❤ì♥ ✈➲ ♥â✳

✯ ❙➢♣ ①➳♣ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥
✣➸ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❝❤♦ ✈✐➺❝ t➼♥❤ t♦→♥ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✱ ♥❣÷í✐
t❛ t❤÷í♥❣ s➢♣ ①➳♣ ❝→❝ ❤↕♥❣ tû ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❤❡♦ ❧ô② t❤ø❛ t➠♥❣ ❤♦➦❝ ❣✐↔♠
❝õ❛ ❜✐➳♥✳ ❙→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✈➼ ❞ö✳

❱➼ ❞ö✿ ✣è✐ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ P (x) = 6x + 3 − 6x2 + x3 + 2x4✱ ❦❤✐ s➢♣ ①➳♣

✧

✼


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

❝→❝ ❤↕♥❣ tû ❝õ❛ ♥â t❤❡♦ ❧ô② t❤ø❛ ❣✐↔♠ ❝õ❛ ❜✐➳♥✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

P (x) = 2x4 + x3 − 6x2 + 6x + 3.
❱➔ t❤❡♦ ❧ô② t❤ø❛ t➠♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

P (x) = 3 + 6x − 6x2 + x3 + 2x4 ✳✧

❬✶✱ tr✳✹✷❪✳

✯ ❍➺ sè
❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➺ sè ❦❤æ♥❣ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤÷♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ r❛ rã ❦❤✐ ♣❤➙♥
t➼❝❤ ✈➼ ❞ö ✈➲ ♠ët ✤❛ t❤ù❝✳
✧❳➨t ✤❛ t❤ù❝

P (x) = 6x5 + 7x3 − 3x +

1
✳
2

✣â ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ✤➣ t❤✉ ❣å♥✳ ❚❛ ♥â✐ ✻ ❧➔ ❤➺ sè ❝õ❛ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝
✺❀ ✼ ❧➔ ❤➺ sè ❝õ❛ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ ✸❀

−3

❧➔ ❤➺ sè ❝õ❛ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ ✶❀

1

2

❧➔

❤➺ sè ❝õ❛ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ ✵ ✭❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ sè tü ❞♦✮✳ ❱➻ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝

P (x)

❜➡♥❣ ✺ ♥➯♥ ❤➺ sè ❝õ❛ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ sè ❝❛♦ ♥❤➜t✳✧ ❬❬✶❪✱

tr✳✹✷✲✹✸❪✳
❚ø ✤➙② ❤å❝ s✐♥❤ ♥➢♠ ✤÷ñ❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➺ sè ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝ ❤➺ sè
❝❛♦ ♥❤➜t ❝õ❛ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✳

✶✳✶✳✷

❇➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝

❛✮ ❇➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
✧❇➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❧➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ❤↕♥❣ tû ❝â ❜➟❝ ❝❛♦ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❞↕♥❣ t❤✉
❣å♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤â✳✧ ❬❬✶❪✱ tr✳✸✽❪✳

❱➼ ❞ö✿ ❈❤♦ ✤❛ t❤ù❝ M
❤↕♥❣ tû

x2 y 5

= x2 y 5 − xy 4 + y 6 + 1✳

❝â ❜➟❝ ✼❀ ❤↕♥❣ tû

−xy 4

❚r♦♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ♥➔②✱

❝â ❜➟❝ ✺✱ ❤↕♥❣ tû

y6

❝â ❜➟❝ ✻✱ ❤↕♥❣

tû ✶ ❝â ❜➟❝ ✵✳ ❇➟❝ ❝❛♦ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➟❝ ✤â ❧➔ ✼✳ ❚❛ ♥â✐ ✼ ❧➔ ❜➟❝ ❝õ❛
✤❛ t❤ù❝

M✳
✽


õ tốt ồ



ú ỵ

ố ụ ữủ ồ tự ổ õ ổ õ

t ừ ởt tự trữợ t t t ồ tự
õ tr

ồ tự

r ừ tự õ tợ t ồ ừ
tự õ trữợ ợ t ừ tự s
ữợ t ồ tự ử ởt tự õ
ỳ tỷ ỡ tự ỗ ồ tt tỷ ỗ
s õ tỹ ở ỡ tự ỗ tự õ
ổ ỏ tỷ ỗ õ t ữủ t ồ
ừ tự

ử r tự M = 5x2y5 + 2xy4 + 35 4x2y5 + y6 3xy4 23
ỏ ỳ tỷ ỡ tự ỗ ỹ ở
ỡ tự ỗ ữủ

M = 5x2 y 5 + 2xy 4 +
r tự

5
2
4x2 y 5 + y 6 3xy 4 = x2 y 5 xy 4 + y 6 + 1.
3
3

M = x2 y 5 xy 4 + y 6 + 1

ổ ỏ tỷ

ỗ ồ õ t ồ ừ tự

M

ữ tự ộ tỷ ừ tự ởt ỡ

tự õ t t ừ tự t t
ừ ỡ tự ừ ỡ tự ữủ s
ợ t s ỡ tự t ồ

ừ ỡ tự



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

✧❇➟❝ ❝õ❛ ✤ì♥ t❤ù❝ ❝â ❤➺ sè ❦❤→❝ ✵ ❧➔ tê♥❣ sè ♠ô ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜✐➳♥
❝â tr♦♥❣ ✤ì♥ t❤ù❝ ✤â✳
❙è t❤ü❝ ❦❤→❝ ✵ ❧➔ ✤ì♥ t❤ù❝ ❜➟❝ ❦❤æ♥❣✳
❙è ✵ ✤÷ñ❝ ❝♦✐ ❧➔ ✤ì♥ t❤ù❝ ❦❤æ♥❣ ❝â ❜➟❝✳✧ ❬❬✶❪✱ tr✳✸✶❪✳

❱➼ ❞ö✿ ❚r♦♥❣ ✤ì♥ t❤ù❝ 2x5y3z ✱ ❜✐➳♥ x ❝â sè ♠ô ❧➔ ✺✱ ❜✐➳♥ y ❝â sè ♠ô
❧➔ ✸✱ ❜✐➳♥

z

❝â sè ♠ô ❧➔ ✶✳ ❚ê♥❣ ❝→❝ sè ♠ô ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❧➔

5 + 3 + 1 = 9✳

❚❛ ♥â✐ ✾ ❧➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤ì♥ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦✳
❉♦ ✤â✱ ❞ü❛ ✈➔♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ❤å❝ s✐♥❤ ❜✐➳t ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➟❝ ❝õ❛ ♠ët
✤ì♥ t❤ù❝ ❜➜t ❦ý ✭❝â ❤➺ sè ❦❤→❝ ✵✮ ✤â ❧➔ t➼♥❤ tê♥❣ sè ♠ô ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❝â
tr♦♥❣ ✤ì♥ t❤ù❝ ✤â✳ ❚ø ✤➙② ❤å❝ s✐♥❤ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➟❝

❝õ❛ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦ý ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤✉ ❣å♥ ✤❛ t❤ù❝ ✤â ✭✤è✐ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝
❝❤÷❛ ð ❞↕♥❣ t❤✉ ❣å♥✮ rç✐ s♦ s→♥❤ ❜➟❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❞↕♥❣ t❤✉
❣å♥ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤â✳ ❇➟❝ ❝õ❛ ✤ì♥ t❤ù❝ ♥➔♦ ❝❛♦ ♥❤➜t t❤➻ ✤â ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➟❝
❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ✤÷ñ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❞ü❛ tr➯♥ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝✳

❝✮ ❇➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥
✧❇➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ✭❦❤→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✵✱ ✤➣ t❤✉ ❣å♥✮ ❧➔ sè ♠ô
❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ✤â✳✧ ❬❬✶❪✱ tr✳✹✷❪✳

❱➼ ❞ö✿ ❈❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ N = 5y5 + 7y2 − 3y + 12 ✱ t❛ t❤➜② ✺ ❧➔
sè ♠ô ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❜✐➳♥
♠ët ❜✐➳♥

y

tr♦♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ♥➯♥ t❛ ❝â ✺ ❧➔ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝

N✳

◆❤÷ ✈➟②✱ ❦❤æ♥❣ q✉→ ❦❤â ❦❤➠♥ ✤➸ ❤å❝ s✐♥❤ ❤å❝ s✐♥❤ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝
❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✳

✶✵


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✶✳✶✳✸

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝

❚ø tr÷î❝ ✤➳♥ ♥❛②✱ ♥â✐ ✤➳♥ t➼♥❤ t♦→♥ ð ♣❤ê t❤æ♥❣✱ t❛ t❤÷í♥❣ ❤✐➸✉ ❧➔
♥â✐ ✤➳♥ ❦ÿ ♥➠♥❣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ t➼♥❤✱ ♠➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝
❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜è♥ ♣❤➨♣ t➼♥❤✿ ❝ë♥❣✱ trø✱ ♥❤➙♥✱ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝✳ Ð ❜➟❝ t✐➸✉
❤å❝✱ ❧î♣ ✻✱ ❧î♣ ✼✱ ❤å❝ s✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❤å❝ ❝→❝ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈î✐ sè tü ♥❤✐➯♥✱ ✈î✐
sè ♥❣✉②➯♥✱ ✈î✐ sè ❤ú✉ t✛ t❤❡♦ t❤ù tü✿ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✱ ♣❤➨♣ trø✱ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥
✈➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛✳ ❑❤✐ ❞↕② ❤å❝ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈➲ ✤❛ t❤ù❝✱ s→❝❤
❣✐→♦ ❦❤♦❛ t♦→♥ ✼✱ t♦→♥ ✽ ❝ô♥❣ t✉➙♥ t❤õ t❤❡♦ t❤ù tü ♥❤÷ ✈➟②✱ ✤â ❧➔✿ P❤➨♣
❝ë♥❣ ✤❛ t❤ù❝✱ ♣❤➨♣ tø ✤❛ t❤ù❝✱ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✤❛ t❤ù❝✳
❉ü❛ ✈➔♦ q✉② t➢❝ ✧❞➜✉ ♥❣♦➦❝✧ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➨♣ t➼♥❤ tr➯♥ sè✱
❤å❝ s✐♥❤ ❝â t❤➸ ❝ë♥❣✱ trø✱ ♥❤➙♥ ❝❤✐❛ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ sè✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣
tü✱ ❝❤ó♥❣ ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✱ trø ♥❤➙♥✱ ❝❤✐❛ ❝→❝ ✤❛
t❤ù❝✳

❛✮ P❤➨♣ ❝ë♥❣✱ trø ✤❛ t❤ù❝
✯ ❈ë♥❣✱ trø ✤❛ t❤ù❝
❚r÷î❝ ✤â✱ ❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ ♥➢♠ ✤÷ñ❝ q✉② t➢❝ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✱ trø ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝
✤ç♥❣ ❞↕♥❣✳ ❑❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ t❤✉➛♥ t❤ö❝ ❦ÿ ♥➠♥❣ ❝ë♥❣✱ trø ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝
✤ç♥❣ ❞↕♥❣ t❤➻ s➩ ❞➵ ❞➔♥❣ ❤ì♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝ë♥❣✱ trø ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝
✈➻ ❜↔♥ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝ë♥❣✱ trø ✤❛ t❤ù❝ ❧➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➨♣
t➼♥❤ rç✐ ❝ë♥❣✱ trø ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣✳ ❙→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ t♦→♥ ✼ ❦❤æ♥❣
tr➻♥❤ ❜➔② q✉② t➢❝ ❝ë♥❣✱ trø ✤❛ t❤ù❝ ♠➔ ✤÷❛ r❛ ❤❛✐ ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸ ✤➸ ❤å❝
s✐♥❤ t❤➜② ✤÷ñ❝ ♠ët ❝→❝❤ t÷í♥❣ ♠✐♥❤ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤➔♥❤ ❝ë♥❣✱ trø ✤❛ t❤ù❝
✈➔ ✤à♥❤ ❤➻♥❤ rã r➔♥❣ ❤ì♥✳
✰✮ ✧✣➸ ❝ë♥❣ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝

M = 5x2 y + 5x − 3 ✈➔ N = xyz − 4x2 y + 5x −

✶✶

1
✱
2


õ tốt ồ



t ữ s

M + N = (5x2 y + 5x 3) + xyz 4x2 y + 5x
= 5x2 y + 5x 3 + xyz 4x2 y + 5x

1
2

1
2

ọ

= (5x2 y 4x2 y) + (5x + 5x) + xyz + 3

1
2

ử t t t ủ

= x2 y + 10x + xyz 3
õ tự

1
2

ở trứ ỡ tự ỗ .

x2 y + 10x + xyz 3

1
2

tờ ừ tự

M N

tr

P = 5x2 y 4xy 2 + 5x 3
1
Q = xyz 4x2 y + xy 2 + 5x t ữ s
2
trứ tự



P Q = (5x2 y 4xy 2 + 5x 3) xyz 4x2 y + xy 2 + 5x

= 5x2 y 4xy 2 + 5x 3 xyz + 4x2 y xy 2 5x +

1
2

1
2

ọ



Q

= (5x2 y + 4x2 y) + (4xy 2 xy 2 ) + (5x 5x) xyz
1
ử t t t ủ
+ 3 +
2
1
= 9x2 y 5xy 2 xyz 2
2
ở trứ ỡ tự ỗ .
1
2
2
õ tự 9x y 5xy xyz 2
ừ tự P
2

tr

ở trứ tự ởt
P ở trứ tự ởt t tữỡ tỹ ữ ở




õ tốt ồ



trứ tự õ ổ q õ ố ợ ồ s tỹ
ữ r tự ởt

P (x) Q(x) rỗ ữủt tỹ

ở trứ ỳ ú
ỹ t ở trứ tự ồ
tỷ ừ tự ũ t ụ tứ
t ừ rỗ t t t ởt ồ tữỡ tỹ ữ
ở trứ số t ỡ tự ỗ ũ ởt ởt
ồ s õ t ồ ởt tr tỹ t
t t t ởt ồ ữ ợ q ợ ở
trứ tự ởt s ú ồ s ở trứ
ỏ ồ s t t t tỹ ổ
tt õ t tớ ỡ s ợ

P tự
r ồ tự s ữợ

ỡ tự ợ ỡ tự t s õ ữợ ỡ tự ợ
tự ố ũ tự ợ tự tứ ỡ
ự t ữ ú ồ s t t q ỡ
ữủ r tự ợ tự ữủ ỡ
tự ợ tự ỡ tự ợ tự ữủ
ỡ tự ợ ỡ tự

ỡ tự ợ ỡ tự
ỡ tự t số ợ
ợ tr

ử ỡ tự 2x2y 9xy4 t ữ s
(2x2 y).(9xy 4 ) = (2.9)(x2 y)(xy 4 ) = 18(x2 x)(yy 4 ) = 18x3 y 5 .



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❚❛ ♥â✐ ✤ì♥ t❤ù❝

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

18x3 y 5

❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤ì♥ t❤ù❝

2x2 y

✈➔

9xy 4 ✳

✯ ◆❤➙♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝
✧▼✉è♥ ♥❤➙♥ ♠ët ✤ì♥ t❤ù❝ ✈î✐ ♠ët ✤❛ t❤ù❝✱ t❛ ♥❤➙♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈î✐
tø♥❣ ❤↕♥❣ tû ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ rç✐ ❝ë♥❣ ❝→❝ t➼❝❤ ✈î✐ ♥❤❛✉✳✧ ❬❬✷❪✱ tr✳✹❪✳
◆➳✉ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝→❝ ✤ì♥ t❤ù❝ ❜ð✐ ❝→❝ ❝❤ú

A✱ B ✱ C ✱ D✱

✳✳✳ t❤➻ ❝â t❤➸ ✈✐➳t

❣å♥ q✉② t➢❝ tr➯♥ ♥❤÷ s❛✉✿

A(B + C) = A.B + A.C.

❱➼ ❞ö✿ ✣➸ ♥❤➙♥ ✤ì♥ t❤ù❝ −2x3 ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ x2 + 5x − 21 ✱ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷
s❛✉✿

(−2x3 ). x2 + 5x −

1
2

= (−2x3 ).x2 + (−2x3 ).5x + (−2x3 ). −

1
2

= −2x3 − 10x4 + x3 .

✯ ◆❤➙♥ ✤❛ t❤ù❝ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝

✧▼✉è♥ ♥❤➙♥ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ✈î✐ ♠ët ✤❛ t❤ù❝✱ t❛ ♥❤➙♥ ♠é✐ ❤↕♥❣ tû ❝õ❛
✤❛ t❤ù❝ ♥➔② ✈î✐ tø♥❣ ❤↕♥❣ tû ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❦✐❛ rç✐ ❝ë♥❣ ❝→❝ t➼❝❤ ✈î✐ ♥❤❛✉✳✧
❬❬✷❪✱ tr✳✼❪✳

(A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D.

❱➼ ❞ö✿ ✣➸ ♥❤➙♥ ✤❛ t❤ù❝

1
xy − 1
2

✈î✐ ✤❛ t❤ù❝

✶✹

x3 − 2x − 6✱

t❛ ❧➔♠ ♥❤÷


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

s❛✉✿

1
1
1

1
xy − 1 .(x3 − 2x − 6) = xy.x3 + xy.(−2x) + xy.(−6)
2
2
2
2
+ (−1).x3 + (−1).(−2x) + (−1).(−6)
=

1 4
x y − x2 y − 3xy + (−x3 + 2x + 6)
2

1
= x4 y − x2 y − 3xy − x3 + 2x + 6.
2
❚❛ t❤➜② ①✉➜t ♣❤→t ❝õ❛ ♥❤➙♥ ✤❛ t❤ù❝ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ❧➔ ♥❤➙♥ ✤ì♥ t❤ù❝
✈î✐ ✤❛ t❤ù❝✳ ❳✉➜t ♣❤→t ❝õ❛ ♥❤➙♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ❧➔ ♥❤➙♥ ✤ì♥ t❤ù❝
✈î✐ ✤ì♥ t❤ù❝✳ ✣ì♥ t❤ù❝ ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥ ✤❛ t❤ù❝✱ ❞♦ ✤â ✈✐➺❝
❤å❝ s✐♥❤ ❜✐➳t t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♥❤➙♥ t❤ù❝ ✈î✐ ✤ì♥ t❤ù❝ ❧➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♥➲♥ ✤➸ ♥❤➙♥
✤❛ t❤ù❝ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝✳

✯ ❈→❝ ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤→♥❣ ♥❤î
❚ø ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝✱ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ t♦→♥ ✽ ✤➣ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜↔②
❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤→♥❣ ♥❤î ✈➔ ❝❤ó♥❣ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ r➜t ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ ❣✐↔✐
❝→❝ ❜➔✐ t➟♣ ❝ì ❜↔♥✱ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ð ❧î♣ ✽ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ð ❝→❝ ❧î♣ ❝❛♦ ❤ì♥✳
✰✮ ❇➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♠ët tê♥❣
❱î✐

A✱ B

❧➔ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tò② þ✱ t❛ ❝â✿

(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ✳

✰✮ ❇➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♠ët ❤✐➺✉
❱î✐

A✱ B

❧➔ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tò② þ✱ t❛ ❝â✿

(A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 ✳

✰✮ ❍✐➺✉ ❤❛✐ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣
❱î✐

A✱ B

❧➔ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tò② þ✱ t❛ ❝â✿

A2 − B 2 = (A + B)(A − B)✳

✰✮ ▲➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ♠ët tê♥❣
❱î✐

A✱ B ❧➔ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tò② þ✱ t❛ ❝â✿ (A+B)3 = A3 +3A2 B+3AB 2 +B 3 ✳
✰ ▲➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ♠ët ❤✐➺✉

✶✺

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍♦➔♥❣ ❚❤à ❑❤→♥❤ ▲✐♥❤

A✱ B ❧➔ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tò② þ✱ t❛ ❝â✿ (A−B)3 = A3 −3A2 B+3AB 2 −B 3 ✳

❱î✐

✰✮ ❚ê♥❣ ❤❛✐ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣

A✱ B

❱î✐

❧➔ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tò② þ✱ t❛ ❝â✿

A3 +B 3 = (A+B)(A2 −AB +B 2 )✳

✰✮ ❍✐➺✉ ❤❛✐ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣

A✱ B

❱î✐

❧➔ ❝→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tò② þ✱ t❛ ❝â✿

A3 −B 3 = (A−B)(A2 +AB +B 2 )✳

❇➡♥❣ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✤❛ t❤ù❝ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝
s❛✉✿
✶✳

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) ✈î✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥
❞÷ì♥❣

✷✳

n✳

an + bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − abn−2 + bn−1 ) ✈î✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥
❞÷ì♥❣ ❧➫

n✳

✸✳ ◆❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥

(a + b)n = an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + · · · + Cnn−1 abn−1 + bn .
❱î✐

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k
✭k = 1, 2, . . . , n − 1✮ ✭Cn
1.2.3 . . . k
❤ñ♣ ❝❤➟♣ k ❝õ❛ n ♣❤➛♥ tû✮✳

Cnk =

❣å✐ ❧➔ tê

❚ø ✤➙②✱ ❝➛♥ ❝❤ó þ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ r➡♥❣ ❜↔② ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤→♥❣ ♥❤î
❧➔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✳

✯ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû
P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✭❤❛② t❤ø❛ sè✮ ❧➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✤❛ t❤ù❝
✤â t❤➔♥❤ ♠ët t➼❝❤ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✤❛ t❤ù❝✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤
♥❤➙♥ tû ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥
✽✳ ❙→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ✤➣ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝
t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣✳

✶✻


õ tốt ồ



t tỷ
tỷ ỳ ỡ tự õ t tọ tt
tỷ
P t ộ tỷ t t ừ tỷ ởt
tỷ
t tỷ r t tỷ ỏ
ừ ộ tỷ tr ừ ú

ử P t tự s ữỡ t tỷ
28x2 y 2 21xy 2 + 14x2 y = 7xy(4xy 3y + 2x).
ũ tự
ử tự ợ ờ tự t

t tỷ ụ tứ ừ ởt tự ỡ

ử P t tự s ữỡ sỷ ử
tự


x2 4x + 4 = x2 2x.2 + 22 = (x 2)2






x2 2 = x2 ( 2)2 = (x 2)(x + 2)



1 8x3 = 13 (2x)3 = (1 2x)(1 + 2x + 4x2 )

õ tỷ
ũ t t t ủ ừ ở tự
t t ủ ỳ tỷ ừ tự t tứ õ t ủ rỗ
ũ ữỡ t tỷ t tứ õ rỗ
t ố ợ õ




õ tốt ồ

ử P t tự s ữỡ õ tỷ
x2 3x + xy 3y = (x2 3x) + (xy 3y)
= x(x 3) + y(x 3)
= (x 3)(x + y).
Pố ủ ữỡ
Pố ủ t ữỡ tr

t tỷ

ũ tự

õ tỷ

ử P t tự s
x2 + 4x 2xy 4y + y 2 = (x2 2xy + y 2 ) + (4x 4y)
= (x y)2 + 4(x y)
= (x y)(x y + 4).

P tự
r ồ tự tữỡ tỹ ữ ồ
tự s ụ tr q t ỡ tự ỡ
tự trữợ rỗ s õ tr q t tự ỡ tự
ố ũ q t tự ởt s

ỡ tự ỡ tự
rữợ ỡ tự ỡ tự s
ữ r ởt số ú ỵ s