Rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình Toán trung học phổ thông

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



BÙI THỊ THANH HOA




RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10


Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Văn Quốc




HÀ NỘI – 2012
5

MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn
i
Danh mục viết tắt
ii
Danh mục các bảng
iii
Danh mục các biểu đồ
iv
Mục lục
v
MỞ ĐẦU
1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
6
1.1. Khái niệm tự học, năng lực tự học
6
1.1.1. Khái niệm tự học
6
1.1.2. Ý nghĩa của tự học
7
1.1.3. Mối quan hệ giữa dạy học và tự học
7
1.1.4. Những kỹ năng cần thiết của người tự học môn Toán
9
1.1.5. Các biểu hiện năng lực tự học của học sinh
9

1.2. Một số hình thức tự học
12
1.3. Thực trạng dạy học tự học hiện nay
12
1.4. Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh
13
Kết luận chương 1
14
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ
HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG
BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG



15
2.1. Nội dung bất đẳng thức ở trường THPT
15
2.1.1. Khái niệm BĐT
15
2.1.2. Các tính chất của BĐT
16
2.1.3. Một số BĐT cơ bản trong chương trình phổ thông
16
6

2.2. Vị trí và vai trò của bài tập chứng minh bất đẳng thức
19
2.3. Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông
qua dạy học nội dung bất đẳng thức

20
2.3.1. Biện pháp 1: Gợi động cơ, kích thích nhu cầu tự học của học sinh
20
2.3.2. Biện pháp 2: Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu
24
2.3.3. Biện pháp 3: Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm rèn
luyện năng lực tự học cho học sinh

31
Kết luận chương 2
77
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
78
3.1. Mục đích thực nghiệm
78
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm
78
3.3. Phương pháp thực nghiệm
78
3.4. Tổ chức thực nghiệm
79
3.4.1. Đối tượng thực nghiệm
79
3.4.2. Kế hoạch thực nghiệm
79
3.4.3. Tiến hành thực nghiệm
79
3.5. Nội dung thực nghiệm
80

3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm
82
Kết luận chương 3
87
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
88
1. Kết luận
88
2. Khuyến nghị
88
TÀI LIỆU THAM KHẢO
90
PHỤ LỤC
92



2


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Bđt Bất đẳng thức
CMR Chứng minh rằng
đpcm Điều phải chứng minh
GV Giáo viên
HS Học sinh
SGK Sách giáo khoa
THPT Trung học phổ thông

3

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang
Bảng 3.1. Thống kê kết quả kiểm tra các lớp sau thực nghiệm 1
83
Bảng 3.2. Thống kê kết quả kiểm tra các lớp sau thực nghiệm 2
84

4

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Trang
Biểu đồ 3.1. So sánh kết quả của lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng….
83
Biểu đồ 3.2. So sánh kết quả của lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng….
85
















7

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống và làm việc trong xã hội có công nghệ thông tin phát
triển nhanh như vũ bão. Cứ sau một thời gian ngắn, khối lượng kiến thức lại tăng
lên gấp bội. Đồng thời, cuộc sống luôn đòi hỏi con người không ngừng mở rộng sự
hiểu biết. Để thực hiện một hoạt động nào đó, con người không những phải tái hiện
những tri thức sẵn có, sử dụng những kĩ năng sẵn có, mà còn cần những tri thức
mới, kĩ năng mới. Không một nhà trường nào có thể dạy đủ và dạy hết tri thức cho
học sinh. Để người học có thể cập nhật được tri thức của nhân loại, hoạt động đạt
hiệu quả và tiếp tục học ngay cả khi không còn ngồi trên ghế nhà trường thì cần
phải được rèn luyện năng lực tự học thường xuyên.
Muốn vậy, quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học, phải biến quá trình
dạy học thành quá trình tự học. Điều 4 khoản 2 Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội
chủ nghĩa Việt Nam năm 1998 ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng
năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” [21,tr.9]. Muốn phát triển trí
sáng tạo, cần chú trọng để học sinh tự lực khám phá kiến thức mới, phải dạy cho học
sinh phương pháp học, mà cốt lõi là phương pháp tự học. Chính thông qua các hoạt
động tự lực, được giao cho từng cá nhân hoặc cho nhóm nhỏ, tiềm năng sáng tạo của
mỗi học sinh được bộc lộ và phát huy. Người GV phải đổi mới phương pháp dạy học,
rèn luyện năng lực tự học cho HS, để rút ngắn thời gian học tập trên lớp mà vẫn đạt
hiệu quả cao. Dạy học tự học là một hình thức dạy học hiện đại không chỉ phù hợp
với đối tượng học sinh giỏi mà còn có thể mở rộng với tất cả các học sinh.
Trong chương trình toán trung học phổ thông, bất đẳng thức là một nội dung
rất hay, có khả năng rèn luyện rất tốt tư duy cho học sinh, có nhiều ứng dụng trong
giải toán. Tuy nhiên, số lượng tiết học trên lớp còn ít, nhiều học sinh chưa biết cách
tự học hiệu quả. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện năng lực tự học cho
học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung
học phổ thông”.

8

2. Lịch sử nghiên cứu
Trong lịch sử phát triển của nền giáo dục Việt Nam, hoạt động tự học thực sự
được phát động, nghiên cứu nghiêm túc và triển khai rộng rãi từ khi nền giáo dục
cách mạng ra đời (1945). Chủ tịch Hồ Chí Minh vừa là người khởi xướng vừa là
người nêu cao tấm gương sáng ngời về tinh thần và phương pháp tự học. Trong bài
nói về công tác huấn luyện học tập tại Hội nghị huấn luyện toàn quốc lần thứ nhất
tháng 5 năm 1950, Người khẳng định: “Phải biết tự động học tập”; “Học ở trường,
học ở sách vở, học lẫn nhau và học nhân dân, không học nhân dân là một thiếu sót
rất lớn”. Bàn về việc học, Bác Hồ đã viết trong cuốn “Sửa đổi lề lối làm việc”:
“Cách học tập, phải lấy tự học làm cốt, phải biết tự động học tập ”. Như vậy, có
thể thấy Người rất quan tâm đến việc tự học của mỗi cán bộ, mỗi cá nhân.
Những năm sáu mươi của thế kỷ XX cũng đã xuất hiện nhiều quan điểm, tư
tưởng tiến bộ rất gần gũi với mô hình tự học, như: Học tích cực, chủ động, sáng tạo,
tự học, tự rèn luyện; biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục; biến quá
trình dạy học thành quá trình tự học. Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng cũng nhấn
mạnh: “Trong nhà trường điều chủ yếu không phải là nhồi nhét cho học trò một mớ
kiến thức hỗn độn mà là giáo dục cho học trò phương pháp suy nghĩ, phương
pháp nghiên cứu, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề”.
Những năm tám mươi, nhóm các nhà khoa học đã hoàn thành đề tài nghiên
cứu khoa học giáo dục về hệ đào tạo Đại học sư phạm vừa học – vừa làm, do GS.
Nguyễn Cảnh Toàn làm chủ nhiệm đề tài. Nhóm nghiên cứu của GS. Nguyễn Cảnh
Toàn cũng đã đưa ra phương pháp dạy học hiện đại phù hợp với thực tiễn nước ta
hiện nay là dạy – tự học, được ghi lại trong cuốn sách “Dạy - Tự học” của giáo sư
Nguyễn Cảnh Toàn.
Gần đây nghiên cứu về dạy học tự học, nước ta có nhiều công trình của các
nhà khoa học thuộc Viện nghiên cứu phát triển giáo dục, Viện khoa học giáo dục.
Tháng 11 năm 1997, Vũ Quốc Anh – vụ THPT – Bộ Giáo dục và Đào tạo có bài
viết: “Tạo ra năng lực tự học sáng tạo của HS THPT”. Tháng 12 năm 1998,

GS.Phan Trọng Luận có bài viết “Tự học – chìa khóa vàng của giáo dục”, PGS.TS
Bùi Văn Nghị với bài báo “Dạy tự học cho sinh viên”. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn
9

có rất nhiều bài đúc kết kinh nghiệm quý báu về tự học trong đó có: “Vài kinh
nghiệm tự học – tự nghiên cứu” [Tạp chí tự học số 7/3/2000]. Đến năm 2001, GS.
Nguyễn Cảnh Toàn cho ra đời hai cuốn sách quý: “Học và dạy cách học”, “Tuyển
tập tác phẩm tự giáo dục, tự học” tập 1 và tập 2 do trường ĐHSP Hà Nội – Trung
tâm văn hóa ngôn ngữ Đông Tây xuất bản - 2001…Ngoài ra, nhiều luận văn thạc sĩ
cũng đã nghiên cứu, khai thác thêm và vận dụng vào thực tế những biện pháp tổ
chức hoạt động tự học cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học như:
- Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 trung
học phổ thông qua dạy học giải phương trình của thạc sĩ Nguyễn Trung Hiếu.
- Dạy học phần vectơ của sách giáo khoa hình học 10 nâng cao theo hướng
tăng cường hoạt động tự học của học sinh của thạc sĩ Phạm Quang Anh.
- Dạy học tự học cho học sinh thông qua chương “Vectơ trong không gian
Quan hệ vuông góc” hình học lớp 11 nâng cao trung học phổ thông của thạc sĩ Trần
Thị Thanh Nga.
Tóm lại, vấn đề tự học đã được đề cập, nghiên cứu từ lâu trong lịch sử giáo
dục. Hoạt động tự học của người học đã được quan tâm nghiên cứu sâu sắc. Việc tự
học là điều rất cần thiết không phải chỉ ở mỗi cá nhân mà còn liên quan đến chiến
lược phát triển chung của đất nước. Vai trò và vị trí của tự học được thấy lại qua
những khẳng định của các nhà khoa học như GS.TSKH. Nguyễn Cảnh Toàn:
“Muốn học cái gì cho tốt thì sớm, muộn cũng phải đạt đến sự tự giác học tập, say
sưa hứng thú học tập. Đó là điều cơ bản đầu tiên”. Hay Stella Dorothea Gibbons –
Nhà văn Anh: “Mỗi người đều phải nhận hai thứ giáo dục, một thứ do người khác
truyền cho, một thứ quan trọng hơn – do chính mình tạo lấy”.
3. Mục đích nghiên cứu
Tìm các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy
học nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.

4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Học sinh và giáo viên trường THPT Ngô Quyền, THPT Lê Quý Đôn – Hải
Phòng.
10

4.2. Đối tượng nghiên cứu
Các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội
dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông.
5. Câu hỏi nghiên cứu
Các biện pháp nào rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy
học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông?
6. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu giáo viên biết gợi động cơ học tập cho học sinh; hướng dẫn học sinh tự
đọc tài liệu, tổng kết kiến thức; xây dựng hệ thống các bài tập theo chủ đề cho học
sinh thì có thể rèn luyện năng lực tự học cho học sinh.
7. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hoá và làm rõ hơn lý luận về phương pháp dạy học tự học.
- Các biểu hiện năng lực tự học, kỹ năng tự học.
- Điều tra, tìm hiểu thực trạng tự học của 200 học sinh ở các lớp tại 2 trường
THPT của Hải Phòng.
- Tìm các biện pháp nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua
dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông.
- Thực nghiệm sư phạm và đánh giá kết quả thực nghiệm
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học môn toán.
- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài.
8.2. Điều tra, quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh.

8.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một đối tượng.

11

9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội
dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua
dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

12

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm tự học, năng lực tự học
1.1.1. Khái niệm tự học
Tự học là một vấn đề có tính truyền thống và tính phổ biến không chỉ ở nước
ta mà còn ở nhiều nước khác trên thế giới. Khổng Tử đã ý thức được tầm quan
trọng của việc tự học đối với mỗi con người, ông cho rằng: “ cách học quan trọng
hơn học cái gì”. Trong lịch sử phát triển ở Việt Nam, hoạt động tự học được chú ý
từ lâu. Chủ tịch Hồ Chí Minh là tấm gương sáng về tự học. Người đã từng khuyên
phải biết tự động học tập, tìm đủ mọi cách mà học. Theo Người “về các học phải
lấy tự học làm cốt”.
Có nhiều quan niệm về tự học:
- Theo Hồ Chủ Tịch, tự học là học một cách tự động, tức là: Học tập một
cách hoàn toàn tự giác, tự chủ, không đợi ai nhắc nhở, không chờ ai giao nhiệm vụ
mà tự mình chủ động vạch kế hoạch một cách tự giác, tự mình làm chủ thời gian để
học và tự mình kiểm tra, đánh giá việc học của mình.
- Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn: “Tự học là tự mình động não, suy
nghĩ…để chiếm lĩnh một lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó
thành sở hữu của mình”, [20].
- Theo Rubakin: Hãy mạnh dạn tự mình đặt ra câu hỏi rồi tự mình tìm lấy
câu trả lời, đó là phương pháp học. Ông còn đưa ra nguyên tắc của việc tự học là:
Hãy làm tất cả những gì có thể là được và hãy cố gắng làm sao có thể làm được và

hãy cố gắng làm sao có thể làm được nhiều nhất.
- Theo nghĩa từ điển: “Tự học là quá trình chủ thể nhận thức tự mình hoạt
động lĩnh hội tri thức và rèn luyện kĩ năng thực hành, không có sự hướng dẫn trực
tiếp của giáo viên và sự quản lí trực tiếp của cơ sở giáo dục đào tạo”, [10].
Quá trình tự học là quá trình chủ thể nhận thức biến đổi bản thân để chiếm
lĩnh tri thức, dựa vào năng lực, hành động của chính bản thân chứ không nhờ hành
động của người khác.
13

Tự học là một chu trình liên tục, diễn ra theo hình xoắn ốc mà ở đó điểm kết
thúc của chu trình này là điểm khởi đầu của chu trình khác. Sau mỗi chu trình kiến
thức của người học lại được nâng lên một tầm mới.
Tóm lại, tự học là hoạt động của cá nhân người học. Xác định điều này để
thấy rõ hơn vai trò chủ động của người học. Dạy học dù có hay đến đâu cũng không
thể thay thế được việc tự học của HS. GV giỏi chính là người biết hướng dẫn cho
HS học chứ không phải làm hộ HS. Tự học cũng là công việc khó khăn, phải trải
qua nhiều mức độ, nhiều đòi hỏi. Phấn đấu đạt được mức độ tự học cao nhất là mục
tiêu cần đạt tới của người học.
1.1.2. Ý nghĩa của tự học
Theo Tạp chí Mathematical reviews (Mĩ, 1997), mỗi năm có hơn mười vạn
bài nghiên cứu toán học được công bố; nhịp điệu tăng trưởng theo hàm số mũ, cứ
mười năm lại tăng lên gấp đôi. Với sự bùng nổ thông tin, sự phát triển như vũ bão
của khoa học và công nghệ thì việc rèn luyện năng lực tự học được quan tâm ngay
từ bậc tiểu học và càng lên cao hơn càng được coi trọng. Đây là cách hữu hiệu để
chuẩn bị cho mỗi người có năng lực học tập liên tục, suốt đời.
Phương pháp tự học là cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học. Một
yếu tố quan trọng đảm bảo thành công trong học tập và nghiên cứu khoa học là khả
năng phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lí những vấn đề nảy sinh trong thực tiễn.
Nếu rèn luyện cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, thói quen tự học, biết tự
lực phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn thì sẽ tạo

cho họ lòng ham học, chuẩn bị cho họ tiếp tục tự học khi vào đời, dễ dàng thích ứng
với cuộc sống, công tác, lao động trong xã hội
1.1.3. Mối quan hệ giữa dạy học và tự học
Phương pháp tự học có cơ sở khoa học và thực tiễn. Theo các nhà tâm lí học:
con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu. Hoạt động nhận thức chỉ có kết quả
cao khi chủ thể ham thích, tự giác và tích cực. Thực tế cho thấy nếu học sinh chỉ
học một cách thụ động, được nhồi nhét kiến thức, không có thói quen suy nghĩ một
cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị lãng quên. Giáo dục đạt kết quả cao nếu
14

quá trình đào tạo biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục biến thành quá
trình tự giáo dục.
Phương pháp dạy học tự học là cách thức tác động của giáo viên vào quá
trình tự học của học sinh.
Giữa dạy học và tự học tồn tại mối quan hệ biện chứng. Thực chất đó là mối
quan hệ giữa ngoại lực và nội lực. Trong đó năng lực tự học của trò chính là nội lực
phát triển bản thân người học trò còn sự tác động của thầy, cộng tác lớp học, môi
trường xã hội… đóng vai trò ngoại lực đối với sự phát triển của bản thân người học.
Theo quy luật khách quan, nội lực bao giờ cũng là yếu tố giữ vai trò quyết
định quá trình phát triển của sự vật. Nhưng điều này không có nghĩa được phủ nhận
sạch trơn vai trò của ngoại lực. Cần thấy rằng, ngoại lực cũng có vai trò quan trọng,
ảnh hưởng đến quá trình phát triển đó theo chiều hướng thúc đẩy hoặc kìm hãm.
Chính vì vậy, sự phát triển của sự vật đạt trình độ cao nhất khi nội lực cộng hưởng
với ngoại lực.
Sự phát triển của bản thân người học cũng không nằm ngoài quy luật trên.
Theo đó, nội lực – năng lực tự học là yếu tố quyết định còn ngoại lực – tác động
dạy của thầy, của môi trường xã hội sẽ thúc đẩy hoặc kìm hãm sự phát triển đó. Bởi
vậy, muốn bản thân người học phát triển cao nhất thì tác động của người thầy phải
“cộng hưởng” với năng lực tự học của trò. Việc dạy phải đảm bảo sự thống nhất
giữa tính vừa sức và yêu cầu phát triển của người học. Điều này có nghĩa: những

yêu cầu đặt ra đối với học sinh phải phù hợp với trình độ mà học sinh đạt được ở
thời điểm đó, không quá khó để học sinh có thể thực hiện được nhưng không quá dễ
để học sinh phải tích cực suy nghĩ, dựa vào những hiểu biết, kinh nghiệm đã có, dựa
vào sự hợp tác với bạn, với thầy… mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra, thúc đẩy sự
phát triển của bản thân học sinh.
Như vậy, việc dạy và tự học có mối quan hệ biện chứng tác động lẫn nhau
cùng hướng đến sự phát triển của bản thân người học. Mục đích dạy học không phải
chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập, ở tri thức và kĩ năng bộ môn mà
điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng tổ chức và thực
hiện những quá trình học tập có hiệu quả. Dạy học cốt lõi là dạy tự học. Mặt khác,
15

học luôn cần có dạy. Việc học chỉ đạt hiệu quả cao khi có sự tác động hợp lí của
việc dạy.
1.1.4. Những kỹ năng cần thiết của người tự học môn Toán
Để tự học môn Toán đạt hiệu quả, theo tác giả Bùi Văn Nghị [9,tr.181],
người học cần phải có những kỹ năng cần thiết sau đây:
a) Đào sâu suy nghĩ, lật đi lật lại vấn đề, tìm ví dụ và phản ví dụ, khai thác
bài toán, tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa bài toán, Chẳng hạn, tập trung
thời gian vào một số bài lí thú, suy nghĩ về đường lối giải bài toán đó, có khi cố
gắng đề xuất thêm một vài câu hỏi, cũng có khi mở rộng được bài toán,
b) Tự mình cố gắng hết sức để giải các bài toán, nếu bài toán có nhiều hướng
giải cần suy nghĩ để tìm lời giải hay, mới, độc đáo. Đồng thời, học xong một chủ đề
hay một chương nào đó cần phải tự tổng kết các vấn đề. Chẳng hạn: các câu hỏi phụ
của bài toán khảo sát, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, các tính chất của
tứ diện,
c) Biết ghi chép sau khi đọc một tài liệu, một quyển sách, một vấn đề.
Khi đọc một bài, một tài liệu nào đó học sinh cần xác định được các mức độ
yêu cầu sau đây: Một là, hiểu và nắm vững nội dung đã đọc để vận dụng. Hai là,
suy nghĩ, giải thích về những vấn đề đã đọc được. Ba là, ghi chép lại những nội

dung cần ghi nhớ đã đọc được. Bốn là, cần phải xem xét lại những vấn đề đã đọc
được và liên hệ vấn đề đó với những vấn đề trước đó để tổng kết, sắp xếp lại thành
hệ thống phù hợp với cách học của mình. Những vấn đề chưa giải quyết được trong
khi đọc cần phải được ghi lại để khi có đủ kiến thức, kỹ năng thì giải quyết. Đồng
thời, sau khi giải quyết xong cũng cần phải xem xét lại vấn đề đó, tìm nguyên nhân
tại sao trước đó ta chưa giải quyết được? Rút kinh nghiệm về cách xem xét, nhìn
nhận vấn đề. Tìm cách giải quyết khác cho vấn đề đó ở mức độ đơn giản hơn.
1.1.5. Các biểu hiện năng lực tự học của học sinh
Năng lực tự học của học sinh là khả năng độc lập thực hiện hoạt động học
tập, nghiên cứu, đồng hóa các tri thức học tập từ môi trường thành của chính mình.
Năng lực bao giờ cũng bộc lộ trong hoạt động và gắn liền với một số kỹ năng tương
ứng. Năng lực có tính tổng hợp, khái quát, còn kỹ năng có tính cụ thể, riêng lẻ.
16

Các biểu hiện năng lực tự học của học sinh theo tác giả Đào Tam [16] bao
gồm:
1.1.5.1. Năng lực nhận biết, tìm tòi và phát hiện vấn đề
Năng lực này đòi hỏi học sinh phải quan sát, phân tích, tổng hợp, so sánh,
suy luận, khái quát hóa các tài liệu Toán học, kiến thức Toán học; suy xét từ nhiều
góc độ, có hệ thống trên cơ sở những tri thức, kinh nghiệm cá nhân; phát hiện ra các
khó khăn, thách thức, mâu thuẫn, các điểm chưa hoàn chỉnh cần giải quyết, cần bổ
sung và phát hiện các bế tắc, nghịch lí cần khai thông, làm sáng tỏ, Việc thường
xuyên rèn luyện năng lực này tạo cho học sinh thói quen hoạt động trí tuệ, luôn luôn
tích cực khám phá, tìm tòi ở mọi nơi, mọi lúc, mọi trường hợp và với nhiều đối
tượng khác nhau.
1.1.5.2. Năng lực giải quyết vấn đề
Việc giải quyết vấn đề không phải giải quyết từng bài toán lẻ tẻ, mà tiến
hành giải quyết những tình huống học tập ứng với mục tiêu xác định, một hệ thống
kỹ năng, thái độ rõ ràng. Mỗi quá trình giải quyết vấn đề đều sử dụng những thao
tác trí tuệ và hướng đến những mục tiêu nhất định. Những mục tiêu này đều có thể

chia được thành những mục tiêu thành phần. Giải quyết vấn đề chính là quá trình
thực hiện các thao tác trí tuệ để chiếm lĩnh những mục tiêu thành phần và từ đó
chiếm lĩnh mục tiêu cuối cùng.
Theo John Dewey, giải quyết vấn đề có thể chia thành 5 bước:
Bước 1: Tìm hiểu vấn đề
Bước 2: Xác định vấn đề
Bước 3: Đưa ra những giả thuyết khác nhau để giải quyết vấn đề
Bước 4: Xem xét hệ quả của từng giả thuyết dưới ánh sáng của kinh nghiệm trước
đây
Bước 5: Thử nghiệm giải pháp thích hợp nhất.
1.1.5.3. Năng lực tư duy quyết định đúng
Giải quyết vấn đề là mục đích, nhưng giải quyết vấn đề đến mức độ nào lại là
vấn đề mục tiêu. Do đó, tư duy quyết định đúng là xác định một mục tiêu thích hợp.
Xác định mục tiêu để giải quyết vấn đề xong thì vạch phương án ra quyết định thích
17

hợp. Cần phải có nhiều phương án giải quyết để lựa chọn. Đây là năng lực quan
trọng cần cho học sinh đạt đến những kết luận đúng của quá trình giải quyết vấn đề.
Năng lực đó bao gồm các kỹ năng khẳng định hay bác bỏ giả thuyết, kỹ năng lựa
chọn, hình thành kết quả và đề xuất vấn đề mới hoặc áp dụng.
1.1.5.4. Năng lực vận dụng phương pháp tư duy biện chứng, tư duy logic vào việc
phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề và quyết định đúng, năng lực vận dụng kiến thức
vào thực tiễn
Quá trình học tập của học sinh là quá trình rèn luyện tư duy biện chứng trong
phát hiện vấn đề (phát hiện mâu thuẫn, các mối quan hệ, đưa ra những con đường
khác nhau để đi đến mục tiêu, ), vận dụng tư duy logic trong việc giải quyết vấn
đề (như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa,
suy luận, ).
1.1.5.5. Năng lực đánh giá và tự đánh giá
Dạy học đề cao vai trò tự chủ của học sinh đòi hỏi phải tạo điều kiện, cơ hội

và khuyến khích, bắt buộc học sinh đánh giá và tự đánh giá. Chỉ có như vậy, họ mới
dám suy nghĩ, dám chịu trách nhiệm và luôn luôn tìm tòi, sáng tạo cái mới, cái hợp
lý, cái có hiệu quả cao hơn.
Theo tác giả Vũ Quốc Chung [2] thì:
Sự đánh giá trong thang nhận thức có thể hiểu là: người học ra những quyết
định hay đưa ra những nhận định, kết luận, phán xét, lựa chọn, liên quan tới tính
chính xác, tính chân lý, sự xác đáng đúng đắn, tính tương hợp, sự mong muốn phù
hợp với những tiêu chuẩn, với những ý tưởng, với những mục tiêu đã được chuẩn
hóa nhằm đáp ứng mục đích của vấn đề đang được đặt ra. Một đề thi, một đề kiểm
tra cũng nhằm đánh giá và đo đếm mức thang nhận thức của thí sinh. Công cụ để
đánh giá các mức thang nhận thức là biểu điểm, thang điểm, là đánh giá nhận xét
của người chấm. Các dạng câu hỏi và bài tập có thể yêu cầu người học phải hiểu,
phải phân tích, phải tổng hợp, phải ứng dụng. Nếu người học trả lời đúng các câu
hỏi và giải được các bài tập, có nghĩa rằng người học đã đưa ra được những
quyết định, phán xét, lựa chọn, giải pháp đúng đắn, phù hợp và đã nắm vững nội
dung đó.
18

1.2. Một số hình thức tự học
Trong quá trình học ở nhà trường phổ thông, học sinh có thể tiến hành hoạt
động tự học trong những điều kiện, hoàn cảnh khác nhau và dưới nhiều hình thức
khác nhau. Có thể nêu lên ba hình thức tự học cơ bản sau đây:
Một là, hoạt động tự học diễn ra nhằm đáp ứng nhu cầu hiểu biết riêng, bổ
sung và mở rộng tri thức ngoài chương trình đào tạo ở ngoài nhà trường phổ thông.
Người học tự đọc tài liệu tìm vấn đề, tự suy nghĩ, tự xoay sở giải quyết vấn đề, tự
rút ra kinh nghiệm và không cần có sự điều khiển của giáo viên. Đó là hình thức tự
học ở mức độ cao.
Hai là, hoạt động tự học của học sinh diễn ra khi không có sự điều khiển trực
tiếp của giáo viên. Học sinh tự sắp xếp thời gian, điều kiện vật chất để tự ôn tập, tự
củng cố, tự đào sâu những tri thức và tự hình thành những kỹ năng, kỹ xảo ở một

vấn đề nào đó theo yêu cầu của giáo viên hoặc vấn đề nào đó nằm trong quy định
của chương trình đào tạo của nhà trường.
Ba là, hoạt động tự học của học sinh diễn ra dưới sự điều khiển trực tiếp của
giáo viên. Thầy là tác nhân, hướng dẫn, tổ chức, đạo diễn để trò phát huy những
phẩm chất và năng lực vốn có và tiềm ẩn của mình như: óc quan sát, phân tích, tổng
hợp; năng lực khái quát hóa, tương tự hóa; tự tìm ra tri thức, hình thành và củng
cố các kỹ năng, kỹ xảo mà thầy đã định hướng cho hoạt động này.
Trong luận văn này chúng tôi cũng chỉ mới đi sâu được về hình thức tự học
thứ ba và có sự kết hợp với hình thức thứ hai.
1.3. Thực trạng dạy học tự học hiện nay
Đi sâu vào tìm hiểu việc dạy học toán ở trung học phổ thông hiện nay, ta
thấy:
Về phía giáo viên, vẫn còn những giáo viên chưa thật sự chú ý rèn luyện
năng lực tự học cho học sinh. Mỗi giờ dạy lí thuyết trên lớp, giáo viên chỉ chú trọng
đến việc truyền thụ các kiến thức quy định trong nội dung chương trình sách giáo
khoa cho học sinh mà ít quan tâm đến việc dạy cho các em cách khám phá và phát
huy những kiến thức đó. Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn, cách dạy – học toán hiện
nay ở nhà trường phổ thông giống như việc thầy giáo dẫn học sinh đi tham quan
19

một lâu đài đã xây dựng xong từ lâu. Còn với mỗi giờ luyện tập, việc dạy toán hiện
nay mang nặng tính luyện thi, nhằm mục đích đạt được khối lượng kiến thức mà
chưa chú ý đến việc dạy học sinh cách học, cách tư duy, cách phát hiện và giải
quyết vấn đề. Học sinh được cung cấp nhiều dạng bài tập, sau đó được luyện tập do
đó mà kỹ năng phân tích, kỹ năng tổng hợp cũng không được chú ý và rèn luyện.
Lời giải của nhiều bài tập không biết lấy ở đâu ra và học sinh chỉ có cách học thuộc
lời giải đó. Khi gặp những bài tập không nằm trong dạng đã học thì học sinh loay
hoay không biết hướng giải quyết như thế nào. Học sinh bị lệ thuộc vào giáo viên,
chỉ biết giải quyết các dạng bài mà giáo viên giao cho, không biết hệ thống kiến
thức đã học theo quan điểm của riêng mình. Với cách dạy như vậy đã hạn chế tư

duy độc lập và khả năng làm việc nhóm của học sinh, làm cho học sinh máy móc,
không sáng tạo trong việc chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng. Theo nhận xét
của GS. Hoàng Tụy thì “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo
vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ
mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản”.
Về phía học sinh, ngoài những em khá giỏi môn Toán, đại đa số còn lại các
em không có khả năng tự học; cách học tập còn thụ động, thiên về ghi nhớ, ít chịu
khó suy nghĩ, không có khả năng liên kết những kiến thức toán học thành hệ thống.
Chuyện học sinh “học vẹt”, làm bài thì dựa vào những bài mẫu đã và đang tồn tại.
Các em càng lo sợ trước áp lực của các kỳ thi, càng lao vào những lớp học thêm
một cách triền miên, quá tải về thời gian học tập mà không đem lại hiệu quả.
Với thực tế đã nêu ở trên, việc đi sâu nghiên cứu tìm ra cách rèn luyện, bồi
dưỡng, phát triển năng lực tự học cho học sinh THPT trong dạy học môn toán là rất
cần thiết.
1.4. Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh
Để rèn luyện năng lực tự học cho HS trong dạy học môn toán ở THPT, GV
cần lưu ý những điểm sau đây:
- Gợi động cơ, kích thích nhu cầu tự học của học sinh. GV tạo được niềm tin,
tạo cảm giác thú vị cho học sinh trong quá trình dạy học môn toán.
- Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu, tự tổng kết những tri thức, kĩ năng đã học.
20

- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh.
Trong đó, hệ thống cho các em các dạng bài tập, phương pháp giải cho từng dạng
cùng với những lưu ý cần thiết về kiến thức, kỹ năng cho từng dạng bài tập, rèn
luyện năng lực độc lập giải quyết vấn đề. Đồng thời, hướng dẫn cho học sinh biết
tìm nhiều hướng giải quyết khác nhau, chọn cách giải tối ưu nhất, từ đó rèn luyện
năng lực tư duy logic, năng lực tư duy quyết định đúng… Định hướng cho học sinh
biết cách tự kiểm tra các kiến thức đã được trang bị liên quan đến các chủ đề, nội
dung toán học đã được học. Giáo viên kiểm soát được kết quả học tập của học sinh

cả lý thuyết lẫn thực hành giải toán đề chủ động lấp lỗ hổng kiến thức kịp thời cho
các em trong dạy học từng chủ đề của môn toán ở THPT.

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Chương 1 chúng tôi đã trình bày hai vấn đề làm cơ sở lí luận cho việc nghiên
cứu đề tài. Đó là:
- Khái niệm tự học, các biểu hiện năng lực tự học, những kỹ năng cần thiết
của người tự học, một số hình thức tự học và thực trạng dạy học tự học hiện nay.
- Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học nói chung.












21

CHƢƠNG 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Nội dung bất đẳng thức ở trƣờng THPT
Nội dung BĐT ở trường THPT được trình bày cho học sinh lớp 10 trong
chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình. Theo hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến

thức và kĩ năng môn toán lớp 10, yêu cầu về kiến thức và kĩ năng đối với nội dung
bất đẳng thức như sau:
Về kiến thức:
- Biết định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức.
- Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số
không âm.
- Biết được bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số
không âm.
- Biết được một số bất đẳng thức có dấu giá trị tuyệt đối.
Về kĩ năng:
- Vận dụng được định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép
biến đổi tương đương để chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản.
- Biết vận dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân để
chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
- Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản có dấu giá trị tuyệt đối.
2.1.1. Khái niệm BĐT
Khái niệm BĐT được định nghĩa theo quan điểm mệnh đề.

Khái niệm BĐT
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề dạng “a < b”, “a > b”, “a ≤ b”, “a
 b” được gọi là các bất đẳng thức.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
22

+ Nếu mệnh đề “ a < b

c < d ” đúng thì ta nói rằng: c < d là bất đẳng
thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là: a < b


c < d
+ Nếu c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và ngược lại thì
ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết: a < b

c < d
Chứng minh một bất đẳng thức tức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
2.1.2. Các tính chất của BĐT
Tính chất 1: Nếu a > b và b > c

a > c (Tính chất bắc cầu)
Tính chất 2: a > b

a + c > b + c
Tính chất 3: a> b

nÕu c>0
ac<bc nÕu c<0
ac bc




Nghĩa là: Nếu nhân hai vế của BĐT với một số dương thì được một BĐT
tương đương cùng chiều. Nếu nhân hai vế của BĐT với một số âm thì ta được một
BĐT tương đương ngược chiều.
Tính chất 4:
a + c > b + d
ab
cd








Nghĩa là: Nếu cộng các vế tương ứng của hai BĐT cùng chiều, thì ta được
một BĐT cùng chiều.
Tính chất 5:
0
ac > bd
0
ab
cd







Nghĩa là: Nếu nhân các vế tương ứng của hai bất đẳng thức cùng chiều có tất
cả các vế dương, thì ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 6: a > b

a
2n+1
> b
2n+1
với


n nguyên dương.
a > b > 0

a
2n
> b
2n
với

n nguyên dương.
Tính chất 7: a > b > 0


>
nn
ab
với

n nguyên dương.
Hệ quả: Nếu a, b là hai số dương thì:
a > b

a
2
> b
2

2.1.3. Một số BĐT cơ bản trong chương trình phổ thông
2.1.3.1. Các BĐT gốc

Trong chương trình phổ thông ta thường gặp một số BĐT cơ bản sau:
 x
2


0 với

x

R. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 0.
23

 x
2
+ y
2


0 với

x , y

R. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y= 0.
 Tổng quát: x
1
2m
+ x
2
2m
+ …+ x

n
2m


0 (*) với

x
1
, x
2
,…, x
n

R;
m, n

N
*
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x
1
= x
2
=….= x
n
= 0.
Quy ước: Trong luận văn, ta gọi các BĐT có dạng (*) là các
BĐT gốc.
2.1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy và các hệ quả
* Bất đẳng thức Cauchy đối với hai số không âm.
Với mọi a  0, b  0, ta có

ab
ab
2



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .

Hệ quả 1: Nếu hai số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất
khi và chỉ khi: x = y.

Hệ quả 2: Nếu hai số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ
nhất khi và chỉ khi: x = y.
* Bất đẳng thức Cauchy đối với ba số không âm.
Với mọi a  0, b  0, c  0 ta có
3
a b c
abc
3



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
* Bất đẳng thức Cauchy đối với n số không âm:
Với a
1
, a
2
,…, a
n

là các số thực không âm, ta có:
n
n
n
aaa
n
aaa


21
21



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a
1
=….= a
n
.

Hệ quả 1: Nếu n số thực dương a
1
, a
2
,…, a
n
có tổng không đổi thì tích của chúng
T= a
1
a

2
…a
n
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: a
1
= a
2
=….= a
n
.

Hệ quả 2: Nếu n số thực dương a
1
, a
2
,…., a
n
có tích không đổi thì tổng của chúng
S = a
1
+ a
2
+

….+ a
n
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a
1
= a
2

=….= a
n
.
2.1.3.3. Bất đẳng thức BunhiaCôpxki và các hệ quả
* Bất đẳng thức BunhiaCôpxki đối với bốn số thực
Với bốn số thực a, b, x, y ta có:
 
  
2
2 2 2 2
ax by a b x y   

24

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay=bx.
Nếu x, y khác 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ab
xy

.
* Bất đẳng thức BunhiaCôpxki đối với sáu số thực
Với sáu số thực a, b, c, x, y, z cùng khác 0 ta có:
 
  
2
2 2 2 2 2 2
ax by cz a b c x y z      

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c

x y z

.
* Bất đẳng thức BunhiaCôpxki đối với 2n số thực
Cho hai dãy số a
1
, a
2
, …, a
n
và b
1
, b
2
,…, b
n
ta có
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+
…+ a
n
b
n

)
2
≤
(a
1
2
+ a
2
2
+ …+a
2
n)
(b
1
2
+b
2
2
+…+b
2
n
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 2 1 2
: : : : : :
nn
a a a b b b



Hệ quả 1: Với x, y là các số dương, ta có:
 



2
22
ab
ab
x y x y

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

ab
xy
.

Hệ quả 2: Với x
1
, x
2
, , x
n
là các số dương, ta có:
 
  
   
  
2
2

22
12
12
1 2 1 2



n
n
nn
a a a
a
aa
x x x x x x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


1 2 1 2
: : : : : :
nn
a a a x x x
.
2.1.3.4. Một số BĐT hình học
Trong chương trình phổ thông để giải bài toán bằng phương pháp hình học ta
thường dùng một số kết quả sau:

Cho hai véc tơ
, vu


ta luôn có:
+ vu v u
   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
, vu

cùng hướng.

Cho hai véc tơ
, vu

ta luôn có:
vuv u
  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
, vu

cùng phương.

25

2.1.3.5. Một số BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối

   0; ;x x x x x


    x a a x a
(với a > 0)







xa
xa
xa
(với a > 0)

    a b a b a b


2.2. Vị trí và vai trò của bài tập chứng minh bất đẳng thức
Giáo sư Hoàng Tụy có viết trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ “Các nhà toán học
thường làm việc với bất đẳng thức nhiều hơn đẳng thức”. Đối với chương trình toán
ở trường phổ thông, BĐT là một trong những phần quan trọng. Ngay từ lớp 1, học
sinh được làm quen với BĐT thông qua các bài toán như: So sánh hai số, điền dấu
,
vào ô trống. Đến lớp 9, học sinh đã được tiếp cận với một vấn đề về BĐT
nhưng ở mức độ cao hơn. Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đã được đưa vào
chương 4 - đại số 10. BĐT có trong tất cả các chủ đề của toán sơ cấp thông qua các
dạng toán như: toán cực trị, khảo sát hàm số, giải phương trình, giải bất phương
trình… Có những bài toán, việc sử dụng BĐT đóng vai trò quyết định lời giải
nhưng cũng có những bài toán ta chỉ sử dụng BĐT như một khâu trung gian.
Bài tập chứng minh BĐT có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản
là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học
sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện

định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động trí tuệ phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và
những hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập chứng minh BĐT được thể hiện cụ thể là:
Với chức năng giáo dục, bài tập chứng minh BĐT giúp học sinh hình thành thế
giới quan duy vật biện chứng và niềm tin phẩm chất đạo đức của người lao động
mới, rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập,
từng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh, sáng tạo.