Hàm số và nội dung dạy học hàm số mũ và logarit trong chương trình toán 12

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ LOAN

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN 12

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI, 05 - 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ LOAN

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN 12

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Đại số

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. Dương Thị Luyến

HÀ NỘI, 05 - 2018


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, các
thầy cô trong tổ bộ môn Đại số cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy
đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi
để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới ThS.
Dương Thị Luyến, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ
để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóa
luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận được
những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Loan

1


Lời cam đoan
Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng
em dưới sự hướng dẫn của cô ThS. Dương Thị Luyến. Trong khi nghiên
cứu và hoàn thành bản khóa luận này, em đã tham khảo một số tài liệu
đa ghi trong phần Tài liệu tham khảo.

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Hàm số và nội dung dạy học
hàm số mũ và lôgarit trong chương trình Toán 12" là kết quả của
việc nghiên cứu và nỗ lực của bản thân em không trùng lặp với kết quả
của đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Loan

2


Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời nói đầu

4

1 NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở
LỚP 12

6

1.1

Khái niệm hàm số trong chương trình Toán ở phổng thông .

6

1.2

Nội dung dạy học hàm số mũ và lôgarit . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Các định nghĩa

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ
LÔGARIT
2.1

16

Các dạng toán về hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . . . . . . 16
2.1.1. Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2. Đạo hàm - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . 17
2.1.3. Đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . . . . . . 18

2.2

Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3


2.2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Phương pháp lôgarit hóa . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3. Phương pháp đưa về phương trình tích

. . . . . . . 20

2.2.4. Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1 . . . . . . . . . . 21
2.2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2 . . . . . . . . . . 23
2.2.6. Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3 . . . . . . . . . . 24
2.2.7. Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 4 . . . . . . . . . . 25
2.2.8. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

. . 26

2.2.9. Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.10. Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.11. Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . 29
2.3

Phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . 30

2.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3. Phương pháp mũ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.4. Phương pháp đặt ẩn phụ - nâng cao . . . . . . . . . 33
2.3.5. Phương pháp biến đổi về dạng tích . . . . . . . . . . 36
2.3.6. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.7. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

. . 38

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ
LÔGARIT TRONG THỰC TẾ
3.1

41

Bài toán về lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1. Lãi đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2. Lãi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4


5

3.1.3. Bài toán vay trả góp - góp vốn . . . . . . . . . . . . 46
3.1.4. Bài toán lãi kép liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2

Bài toán dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3

Bài toán về sự phóng xạ các chất . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4

Ứng dụng của hàm lôgarit trong việc tính độ chấn động và
năng lượng giải tỏa của một trận động đất. . . . . . . . . . 52

3.5

Âm thanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

57

4.1

Ma trận đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2

Đề kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3

Đáp án và hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

KẾT LUẬN

72

TÀI LIỆU THAM KHẢO

74


Lời nói đầu
Khi xuất hiện lần đầu tiên trong lịch sử, hàm số mũ và hàm số lôgarit
đã khẳng định được vị thế riêng. Với tầm quan trọng được thừa nhận, hàm
số mũ và hàm số lôgarit được đưa vào giảng dạy ở phổ thông Việt Nam.
Nội dung dạy học hàm số mũ và hàm số lôgarit được đề cập đến trong
chương trình Toán 12 ở học kì I. Theo phân phối chương trình Toán 12
– Chuẩn, tổng số tiết học cả năm là 123 tiết, gồm 78 tiết Giải tích và 45
tiết Hình học. Nội dung dạy học hàm số mũ và hàm số lôgarit gồm 23 tiết
chiếm 18, 7% số tiết trong chương trình Toán 12. Hơn nữa, hàm số mũ và
lôgarit có rất nhiều ứng dụng trong thực tế với nhiều lĩnh vực khác nhau
như trong kinh tế, trong lĩnh vực đời sống và xã hội hay trong lĩnh vực
khoa học kỹ thuật. Bắt đầu từ năm 2017, môn Toán trong kì thi THPT
quốc gia diễn ra dưới hình thức trắc nghiệm và xuất hiện các bài toán
mang tính ứng dụng thực tế cao, hàm số mũ và lôgarit là những nội dung
không thể thiếu. Chính vì những lí do này, em đã thực hiện đề tài “ Hàm
số và nội dung dạy học hàm số mũ và lôgarit trong chương trình Toán 12”
với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo- Ths.Dương Thị Luyến.
Nội dung chính của khóa luận gồm có 4 chương:
Chương 1. Nội dung dạy học hàm số mũ và hàm số lôgarit ở
lớp 12: khái quát các kiến thức về hàm số mà học sinh được qua từng

6

7

bậc học, trình bày khái niệm tổng quát nhất về hàm số thông qua ánh xạ,
bên cạnh đó là các kiến thức về hàm số mũ, hàm số lôgarit cũng như mối
quan hệ giữa hàm số với hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Chương 2. Hệ thống bài tập về hàm số mũ và lôgarit : đưa ra
phương pháp giải các dạng bài tập cơ bản trong SGK, SBT ban cơ bản
và nâng cao, các dạng bài tập nâng cao mà trong SGK, SBT chưa đề cập
đến.
Chương 3. Một số ứng dụng của hàm số mũ và logarit trong
thực tế: trình bày một số bài toán thực tế của hàm số mũ và logarit
thường xuất hiện trong các đề thì ĐH, CĐ, bao gồm phương pháp giải và
ví dụ minh họa.
Chương 4. Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm về hàm số
mũ và lôgarit: đưa ra hệ thống câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến hàm
số mũ và hàm số lôgarit theo bốn cấp độ.


Chương 1
NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ
MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12
1.1

Khái niệm hàm số trong chương trình Toán ở
phổng thông

Ngay từ những lớp đầu tiên của bậc tiểu học, học sinh chưa được làm
quen với khái niệm “tương ứng” nhưng nội dung trình bày trong sách giáo
khoa đã ẩn chứa khái niệm này. Đó là những tương ứng đơn giản giữa các

phần tử của hai tập hợp như: tương ứng giữa số học sinh và số ghế, tương
ứng giữa số chén và số đĩa, tương ứng giữa giá trị của tổng và số hạng
khi cho cố định số hạng còn lại,. . . Các em cũng được làm quen với một số
bảng cộng, trừ các số tự nhiên.
SGK Toán ở Tiểu học bước đầu cho học sinh làm quen một cách ngầm
ẩn, với những đặc trưng của khái niệm hàm số như mối quan hệ phụ thuộc
giữa hai đại lượng biến thiên, sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập
hợp,. . . nhằm hình thành những biểu tượng ban đầu về khái niệm hàm số,
làm cơ sở cho việc trình bày chính thức khái niệm này ở lớp 7. Đồng thời,

8


Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

9

việc đưa vào những công thức, những biểu thức chứa biến và bảng tính giá
trị biểu thức là ngầm ẩn cho học sinh thấy được cách biểu thị sự tương
ứng, sự phụ thuộc giữa các đại lượng bằng công cụ toán học, tạo điều kiện
sau này tiếp thu các cách cho hàm số dễ dàng hơn.
Những vấn đề cơ bản về hàm số như: định nghĩa hàm số, đồ thị hàm
số,. . . được trình bày trong chương II phần đại số của SGK Toán 7.
Khái niệm hàm số trang 63 SGK Toán Đại số 7, tập 1, NXB Giáo dục,
tổng chủ biên Phan Đức Chính: “ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng
thay đổi x sao cho một giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị
tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.”
Trong toàn bộ SGK Toán 8 không xuất hiện thuật ngữ “hàm số” không
trình bày các vấn đề về hàm số nhưng ta có thể thấy hàm số được ứng
dụng một cách ngầm ẩn để thiết lập các khái niệm và các mối quan hệ

khác trong toán học như đa thức, phân thức, phương trình,...
Đến lớp 9, các em vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số nhưng ở
mức độ sâu hơn rộng hơn. Các vấn đề về hàm số được trình bày một cách
khái quát hơn, chặt chẽ hơn trong chương II SGK Toán 9 tập 1 và chương
IV, SGK Toán 9, tập 2. Tuy nhiên, ở đây, học sinh chỉ làm quen bước
đầu với đặc trưng biến thiên qua việc nắm khái niệm hàm số đồng biến,
nghịch biến và xét sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm số đơn giản

y = ax + b, (a = 0), y = ax2 , (a = 0), đặc trưng biến thiên chưa được ứng
dụng vào việc vẽ đồ thị và giải toán. SGK cũng chưa chính thức đưa vào
thuật ngữ “sự biến thiên của hàm số”
Định nghĩa trang 42 – SGK Toán 9, tập 1, NXB Giáo dục, tổng chủ
biên Phan Đức Chính: “ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi


Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

10

x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương
ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.” Ở đây,
hàm số được mô tả là sự phụ thuộc giữa 2 đại lượng biến thiên.
Đến lớp 10 học sinh vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số. Ở đây
SGK giới thiệu lại khái niệm hàm số một cách chính xác hơn có đề cập
đến tập xác định của hàm số, đồng thời đưa ra các khái niệm hàm số đồng
biến, hàm số nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ và giới thiệu một phương
pháp nghiên cứu hàm số là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của chúng.
Trong chương trình Đại số và Giải tích 11, SGK trình bày các loại hàm
số cụ thể như: hàm số lượng giác, hàm số với đối số tự nhiên (Dãy số).
Từ đó SGK giới thiệu về các loại phương trình lượng giác. Đồng thời, học

sinh được làm quen với một loại các khái niệm mới để nghiên cứu hàm số
như khái niệm giới hạn, tính liên tục, đạo hàm của hàm số. Các khái niệm
này đều liên quan chặt chẽ tới đặc trưng biến thiên của hàm số.
Tiếp tục chương đạo hàm ở lớp 11, chương I, SGK Giải tích 12 trình
bày ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số. SGK
nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến và giới thiệu
định lý cho phép sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Bên cạnh đó, học sinh cũng được tìm hiểu về các hầm số mũ, lũy thừa và
lôgarit.
Tuy nhiên, khi nghiên cứu ở bậc Đại học, ta có khái niệm hàm số được
định nghĩa theo ánh xạ và là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ với tập
nguồn và tập đích đều là tập hợp số. Cụ thể: “Cho X, Y là hai tập hợp số,
hàm số f xác định trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc cho tương
ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhất thuộc Y.”


Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

1.2

11

Nội dung dạy học hàm số mũ và lôgarit

Nội dung dạy học hàm sỗ mũ và lôgarit được trình bày trong chương II
Toán 12. Và dưới đây là các định nghĩa và tính chất được nêu trong sách
giáo khoa Giải tích 12.

1.2.1.

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. (Lũy thừa với sô mũ nguyên) Cho n là một số nguyên
dương Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
1
Với a = 0 : a0 = 1; a−n =
n
0
−n
Chú ý: 0 và 0 không tồn tại.
Định nghĩa 1.2.2. (Căn bậc n) Cho số thực b và số nguyên dương n
(n ≥ 2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b.
Định nghĩa 1.2.3. (Lũy thừa với số mũ hữu tỉ) Cho số thực dương a và
m
sỗ hữu tỉ r = , trong đó m, n ∈ Z, n ≥ 2. Lũy thừa của a với số mũ r
n
√
r
là số a xác định bởi n am .
Chú ý: Khi xét thừa với số mũ hữu tỉ, ta chỉ xét cơ số a dương.
Định nghĩa 1.2.4. (Logarit cơ số a của b) Cho a, b > 0; a = 1. Số α thỏa
mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b.

α = loga b ⇔ aα = b
Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0; cơ số của lôgarit phải dương
và khác 1.
Định nghĩa 1.2.5. (Lôgarit thập phân) Lôgarit thập phân là lôgarit cơ
số 10. Kí hiệu: log b.

Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

12

Định nghĩa 1.2.6. (Lôgarit tự nhiên) Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e.
Kí hiệu: ln b.
Định nghĩa 1.2.7. (Hàm số lũy thừa) Hàm số y = xα , với α ∈ R, được
gọi là hàm số lũy thừa.
Định nghĩa 1.2.8. (Hàm số mũ) Cho a > 0, a = 1. Hàm số y = ax được
gọi là hàm số mũ cơ số a.
Định nghĩa 1.2.9. (Hàm số lôgarit) Cho a > 0, a = 1. Hàm số y = loga x
được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

1.2.2.

Một số tính chất

Tính chất 1.2.1. (Về lũy thừa) Cho a > 0, m, n ∈ R; (m, n ≥ 2). Khi đó
ta có:

3.(am )n = am.n
1.am .an = am+n

4.(ab)n = an .bn

am
2. n = am−n
a

an

an
5.( ) = ( n )
b
b

Tính chất 1.2.2. (Về căn bậc n) Cho a, b ∈ R; m, n ∈ Z; (m, n ≥ 2). Khi
đó, ta có:

√
√ √
n
n
1. n a. b = ab
√
n
a
a
n
2. √
=
n
b
b

√
a = nm a
√
√
m
4.( n a)m = n am = a n

3.

n

√
m

an
an
5.( ) = ( n )
b
b


Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

13

Tính chất 1.2.3. (Sô sánh các lũy thừa) Cho a ∈ R; m, n ∈ Z. Khi đó ,
ta có:
+ Với a > 1 thì am > an khi và chỉ khi m > n
+ Với 0 < a < 1 thì am > an khi và chỉ khi m < n
Tính chất 1.2.4. (Quy tắc tính lôgarit)

5.loga bn = n.loga |b|
1.log1 1 = 0; loga a = 1
2.loga an = n; aloga n = n
3.loga bc = loga b + loga c
b
4.loga = loga b − loga c

c

1
log|a| b
n
1
7.loga b =
logb a

6.logan b =

8.loga b = loga c.logc b
9.loga b =

logc b
logc a

Tính chất 1.2.5. (So sánh hai lôgarit cùng cơ số ) Cho a > 0, a = 1 và

b, c > 0.
Khi a>1 thì loga b > loga c ⇔ b > c
Khi 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c
Tính chất 1.2.6. (So sánh hai lôgarit khác cơ số) Nếu 0 < a, b < 1 hoặc

1 < a < b thì:
loga x > logb x ⇔ x > 1
loga x < logb x ⇔ x < 1
Tính chất 1.2.7. (Đạo hàm của các hàm số mũ, lũy thừa và lôgarit)

Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

14

Tính chất 1.2.8. (Đồ thị của các hàm số số mũ, lũy thừa và lôgarit)
i. Hàm số lũy thừa y = xα

Đây là hình dạng của hàm lũy thừa trong các trường hợp xét trên tập

(0, +∞)
Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm
số đó trên toàn tập xác định của nó.


Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

15

ii. Hàm số mũ y = ax , a > 0, a = 1

Đồ thi đi qua điểm (0; 1), nằm phía trên trục hoành (dương với mọi x
thuộc tập xác định ) và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Với a > 1 thì lim ax = 0; lim ax = +∞
x→−∞

x→+∞

x

Với 0 < a < 1 thì lim a = +∞; lim ax = 0

x→−∞

x→+∞

Hàm số đồng biến với a > 1 và nghịch biến với 0 < a < 1.
iii. Hàm số lôgarit y = loga x, a > 0, a = 1

Đồ thi đi qua điểm (1; 0), nằm phía bên phải trục tung và nhận trục tung
làm tiệm cận đứng..
Với a > 1 thì lim loga x = +∞; lim ax = −∞
x→−∞

x→+∞


Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

16

Với 0 < a < 1 thì lim ax = −∞; lim ax = +∞
x→−∞

x→+∞

Hàm số đồng biến với a > 1 và nghịch biến với 0 < a < 1.

Từ sự trình bày của sách giáo khoa ta có một số nhận xét sau đây:
+ Điều kiện xác định của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Ta đã biết hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ với tập nguồn
và tập đích cùng là tập hợp số.

Hàm số mũ là ánh xạ f thỏa mãn ∀a > 0, a = 1, f : R −→ R+ tuân theo
quy tắc x −→ f (x) = ax
Do điều kiện của cơ số a thay đổi nên tập đích của hàm số cũng thay đổi.
Ta chỉ xét trường hợp 1 = a > 0. Để giải thích cho điều này ta cùng xét
các trường hợp sau.
Trường hợp 1: a

=

1. Nếu a

=

1 thì theo quy tắc ta có

f (x) = 1x = 1, ∀x ∈ R. Khi đó, f là một hàm hằng.
Trường hợp 2: a > 0. Giả sử tồn tại hàm số mũ y = ax , a < 0. Ta xét ví
1

dụ sau: Tính giá trị của (−1) 3 ? Theo định nghĩa của hàm lũy thừa ta có
1
2
1
1
2
(−1) 3 = 3 (−1)1 = −1. Mặt khác, do = nên (−1) 3 = (−1) 6 . Áp
3
62
dụng định nghĩa của hàm lũy thừa ta có (−1) 6 = 6 (−1)2 = 1. Như vậy,
ta chứng minh được −1 = 1 (vô lí).

Như vậy, dựa vào định nghĩa lũy thừa ta chứng minh được điều kiện để
tồn tại hàm số mũ là 1 = a > 0.
Trong toán học, lôgarit là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Điều đó có
nghĩa lôgarit của một số là số mũ của một giá trị cố định, gọi là cơ số,
phải được nâng lên lũy thừa để tạo ra con số đó. Trong trường hợp đơn
giản logarit là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân. Tổng quát hơn,


Chương 1. NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT Ở LỚP 12

17

lũy thừa cho phép bất kỳ số thực dương nào có thể nâng lên lũy thừa
với số mũ thực bất kỳ, luôn luôn tạo ra một kết quả là số dương, vì vậy
lôgarit có thể được tính toán cho bất kỳ hai số thực dương a và b trong
đó a = 1.
Dựa vào lí thuyết của lũy thừa, ta có thể chứng minh điều kiện của hàm
số lôgarit y = loga x tương tự như đã chứng minh với điều kiện của hàm
số mũ y = ax .

+ Hàm số mũ và hàm số lôgarit là hai hàm ngược của nhau. Do đó,
khi giải phương trình mũ và phương trình lôgarit ta có hai phương pháp
ngược nhau đó là phương pháp lôgarit hóa và phương pháp mũ hóa.

+ Ta sẽ sử dụng các quy tắc tính logarit để biến đổi biểu thức ban đầu
về dạng đơn giản và phù hợp với từng yêu cầu của bài toán.


Chương 2
HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ HÀM

SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Hàm số mũ và hàm số lôgarit là nội dung rất quan trọng trong các kì
thi tốt nghiệp và đại học, cao đẳng. Các dạng bài tập cũng rất đa dạng
và phong phú như tìm tập xác định, tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, các
dạng bài tập về phương trình, bất phương trình... Trong chương 2 này
sẽ là các dạng bài tập về hàm số mũ và hàm số lôgarit được phân theo
các dạng dựa trên các bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12, cũng
như các bài tập tham khảo trên các trang web, diễn đàn toán học như
Luyenthithukhoa.vn, Toanmath.vn.

2.1
2.1.1.

Các dạng toán về hàm số mũ, hàm số lôgarit
Tìm tập xác định của hàm số

Khi làm dạng bài tập này ta cần lưu ý:
+ Hàm số mũ: Tập xác định là D = (0; +∞)\{1}.
+ Hàm số lôgarit: Tập xác định là D = (0; +∞)\{1}.
18


Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

19

Ví dụ 2.1.1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y = lg(−x2 + 3x + 4) + √

1

;
x2 − x − 6

1

b. y = (x2 − 2x) 3 .
Hướng dẫn

a. Điều kiện:



−x2 + 3x + 4 > 0

⇔


x2 − x − 6 > 0



x ∈ (−1; 4)

x ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞)

⇔ x ∈ (−1; −2) ∪ (3; 4).
b. Vì

1
∈

/ Z nên x2 − 2x > 0 ⇔ x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
3

2.1.2.

Đạo hàm - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Khi làm dạng bài tập này ta cần lưu ý:
i. Đạo hàm: Sử dụng bảng đạo hàm.
ii. Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất:
– Tính y .
– Giải phương trình y = 0 và chỉ nhận những nghiệm x0 ∈ [a; b].
– Tính f (a), f (b), f (x0 ).
– Kết luận: min f (x) = min {f (a), f (b), f (x0 )}.
[a;b]

Chú ý:

• Nếu hàm số f (x) đồng biến trên [a; b] thì min f (x) = f (a) và
[a;b]

max f (x) = f (b).
[a;b]


Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

20

• Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên [a; b] thì min f (x) = f (b) và

[a;b]

max f (x) = f (a).
[a;b]

• Nếu bài toán có đặt ẩn phụ thì phải có điều kiện của ẩn.
Ví dụ 2.1.2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

√

a. y =

ex + e2x+1 − 5;

b. y = log2

x−1
.
x+1

Hướng dẫn

1 x
a. y = e 2 + 2e2x+1 .
2

b. y =

x−1
2

x+1
=
.
x−1
(x − 1)(x + 1). ln 2
. ln 2
x+1

Ví dụ 2.1.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x−1 + 23−x .
Hướng dẫn

√
Cách 1: Theo bất đẳng thức Cauchy có 2x−1 + 23−x ≥ 2 2x−1 .23−x = 4.
Đẳng thức đạt được khi 2x−1 = 23−x ⇔ x − 1 = 3 − x ⇔ x = 2. Vậy giá
trị nhỏ nhất của hàm số là 4 khi x = 2.
Cách 2: y = 2x−1 . ln 2−23−x . ln 2. Ta có: y = 0 ⇔ x−1 = 3−x ⇔ x = 2.
Lập bảng biến thiên được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 khi x = 2.

2.1.3.

Đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit

Ví dụ 2.1.4. So sánh a, b, c từ đồ thị hàm số trong hình sau:


Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

21

Hướng dẫn

Ta thấy với x = 1 thì y bằng cơ số, nên ta kẻ đường x = 1 cắt đồ thị tại
các điểm có tung độ là a, b, c. Từ đây thấy ngay a > b > c.

2.2

Phương trình mũ

Khi giải phương trình mũ ta thưởng sử dụng các phương pháp sau.

2.2.1.

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Phương pháp đưa về cùng cơ số là phương pháp sử dụng quy tắc biến
đổi lũy thừa để đưa phương trình đã cho về phương trình mà hai vế là hai
lũy thừa có cùng cơ số. Nghĩa là:

af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x).
Chú ý: 0 < a = 1.


Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Ví dụ 2.2.1. Giải phương trình (1, 5)

5x−7

Hướng dẫn

3

Đưa hai vế về cùng cơ số ta được:
2
−x − 1 ⇔ x = 1.
2.2.2.

3
2

2
3

=

5x−7

=

22

x+1

.

3
2

−x−1

. Do đó 5x−7 =

Phương pháp lôgarit hóa

Với phương trình không có cùng cơ số dạng af (x) = bg(x) , lấy lôgarit cơ
số a (hoặc cơ số b) cho hai vế, ta được:

af (x) = bg(x) ⇔ loga af (x) = loga bg(x) ⇔ f (x) = g(x) loga b.
2

Ví dụ 2.2.2. Giải phương trình 3x .2x = 1.
Hướng dẫn
Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 (còn gọi là lôgarit hóa) ta được

log3 3x .2x

2

2

= log3 1 ⇔ log3 3x + log3 2x = 0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = 0 và x2 = −

− log2 3.
2.2.3.

Phương pháp đưa về phương trình tích

Phương pháp: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng tích.

A=0

A.B = 0 ⇔ 
B=0
Ví dụ 2.2.3. Giải phương trình 12 + 6x = 4.3x + 3.2x .

1
=
log3 2


Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

23

Hướng dẫn
x
x
12 + 6x = 4.3x + 3.2x ⇔ 12 −
⇔ 4(3 − 3x ) =2x (3 − 3x )
 4.3 = 3.2 − 6 
x

x

⇔ (4 − 2 )(3 − 3 ) = 0 ⇔ 

4 − 2x = 0

⇔

2x = 4

3 − 3x = 0
3x = 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x = 2.

2.2.4.

⇔

x=2

.

x=1

Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1

Với phương pháp này, ta sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình
ban đầu thành một phương trình một ẩn phụ.
Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp:
Dạng 1: Phương trình αk + αk−1 a(k−1)x + · · · + α1 ax + α0 = 0.
Khi đó ta đặt t = ax , điều kiện t > 0, ta được:

αk tk + αk−1 tk−1 + · · · + α1 t + α0 = 0.
Mở rộng: Nếu đặt t = af (x) , điều kiện hẹp t > 0. Khi đó a2f (x) = t2 ,
1
a3f (x) = t3 , . . . , akf (x) = tk và a−f (x) = .
t
x
x

Dạng 2: Phương trình α1 a + α2 b + α3 = 0 với a.b = 1.
1
Khi đó đặt t = ax , điều kiện t > 0 suy ra bx = ta được:
t
1
α1 t + α2 . + α3 = 0 ⇔ α1 t2 + α3 t + α2 = 0.
t
Mở rộng: Với a.b = 1 thì đặt t = af (x) , điều kiện hẹp t > 0 suy ra
1
bf (x) = .
t
Dạng 3: Phương trình α1 a2x + α2 (ab)x + α3 b2x = 0.
Khi đó chia hai vế của phương trình cho b2x > 0 (hoặc a2x , (ab)x ) ta
a 2x
a x
được: α1
+ α2
+ α3 = 0.
b
b
x
a
Đặt t =
, điều kiện t > 0, ta được α1 t2 + α2 t + α3 = 0.
b