Hàm số và nội dung dạy học về hàm số lượng giác trong chương trình toán 11

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*******************

PHẠM THÚY NGA

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Đại số

Hà Nội – Năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*******************

PHẠM THÚY NGA

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Đại số

Người hướng dẫn khoa học
ThS. DƯƠNG THỊ LUYẾN

Hà Nội – Năm 2018


Lời cảm ơn
Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ tận
tình của các thầy cô, em đã học hỏi và tiếp thu được nhiều tri thức
khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làm
quen với công việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán, các
thầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, dìu dắt chúng em
trưởng thành như ngày hôm nay.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới cô giáo Thạc sỹ
Dương Thị Luyến, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp
nhiều ý kiến quý báu cho em trong thời gian thực hiện khóa luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân
còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để
khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thúy Nga


Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của cô giáo Thạc sỹ Dương Thị Luyến cùng với đó là sự cố gắng

của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những thành quả
nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của
các tác giả khác.
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thúy Nga


Mục lục

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

1

Lời mở đầu

2

1 Hàm số và phương trình lượng giác

4

1.1

1.2

Khái niệm hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Các dạng bài tập
2.1

2.2

14

Hệ thống bài tập trong chương trình toán 11 . . . . . .

14

2.1.1

Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.2

Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . .

26

Ứng dụng của lượng giác trong giải toán . . . . . . . .

39

2.2.1

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức . . . . .

40

2.2.2

Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2.3

Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2.4

Tìm GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3 Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm
i

49


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Kết luận

67

Tài liệu tham khảo

68

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
1.

R: tập số thực

2.

Z: tập số nguyên

3.

TXĐ: tập xác định

4.

SGK: sách giáo khoa

5.

NXB: nhà xuất bản

6.

HS: học sinh

7.

TSĐH: tuyển sinh đại học

8.

THPT: trung học phổ thông

9.

GTLN: giá trị lớn nhất

10. GTNN: giá trị nhỏ nhất

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Lời mở đầu
Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của Toán học, đã
tồn tại và không ngừng phát triển qua hàng ngàn năm qua. Hàm
số và phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức
trọng tâm trong toàn bộ nội dung chương trình Toán THPT, đặc biệt
là ở học kì I lớp 11 (chiếm 46% số tiết dạy) và luôn xuất hiện trong
các đề thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ 2002-2016. Không những

vậy, việc sử dụng lượng giác còn giúp giải quyết một số bài toán đại số
một cách dễ dàng, hiệu quả hơn rất nhiều và thường xuất hiện trong
các kì thi HSG.
Do đó em quyết định chọn đề tài "Hàm số và nội dung dạy
học về hàm số lượng giác trong chương trình toán 11".
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì
khóa luận gồm ba chương.
Chương 1 "Hàm số và phương trình lượng giác " phân tích nội
dung dạy học phần hàm số và phương trình lượng giác trong chương
trình toán 11. Chỉ ra được sự phát triển của mạch kiến thức lượng
giác từ những lớp dưới lên đến lớp 11. Từ đó người dạy có sự lựa chọn
phương pháp cũng như cách thức dạy học phù hợp để đạt được hiệu
quả tốt nhất.
Chương 2 "Các dạng bài tập" từ những yêu cầu về kiến thức, kĩ
năng, tư duy, năng lực HS cần nắm được trong nội dung hàm số và
phương trình lượng giác chương này sẽ đưa ra các dạng bài tập với
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

phương pháp làm, cho ví dụ minh họa và bài tập áp dụng; và đưa ra
một số ứng dụng của lượng giác trong đại số.
Chương 3 "Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm" do hình thức
bài thi đánh giá năng lực HS trong kì thi THPT Quốc gia hết lớp 12
là hình thức thi trắc nghiệm nên việc đưa ra câu hỏi trắc nghiệm theo
các dạng bài tập đã được phân dạng ở chương 2 sẽ là bước đầu để các
em làm quen dần với hình thức thi này từ những lớp dưới.

3


Chương 1
Hàm số và phương trình lượng giác
1.1
1.1.1

Khái niệm hàm số lượng giác
Định nghĩa hàm số

Hàm số là một khái niệm đã xuất hiện từ rất sớm. Từ 1000 năm trước
công nguyên, người Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm
trong thiên văn và như vậy họ đã có khái niệm sơ khai về hàm số.
Trong quá trình hình thành và phát triển có rất nhiều định nghĩa
khác nhau về hàm số. Trong toán học có hai khuynh hướng cơ bản
đó là. định nghĩa hàm số dựa vào đại lượng biến thiên và định nghĩa
hàm số dựa vào ánh xạ. Do đó việc dạy định nghĩa hàm số cho HS
cũng cần hết sức lưu ý qua các lớp học.
Sách giáo khoa (SGK) Đại số 10 nâng cao (nhà xuất bản Giáo dục
Việt Nam, tái bản 2011, Đoàn Quỳnh - Tổng chủ biên) có đưa ra định
nghĩa hàm số như sau:
"Cho một tập hợp khác rỗng D ⊂ R
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc
D với một và chỉ một số, kí hiệu là f (x); số f (x) đó gọi là giá trị của
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay
đối số của hàm số f."
Tức là đến lớp 10 HS mới có định nghĩa hàm số một cách chính xác.
Tuy nhiên ở các lớp dưới HS đã được làm quen với định nghĩa hàm
số. Chẳng hạn:
- SGK Toán 7, t�n tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Chọn C.
Cách 2. Thay trực tiếp các đáp án vào phương trình.
Câu 23. Cách 1.
cos 10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8cos3 3x cos x
⇔ cos 10x + cos 8x + 1 − 2 cos x 4cos3 3x − 3 cos 3x = cos x
⇔ 2 cos 9x cos x + 1 − 2 cos x cos 9x = cos x
⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z).
Chọn C.
Cách 2.Thay trực tiếp các đáp án vào phương trình.
Câu 24.
√
π
pt ⇔
3x − 9x2 + 160x + 800 = k2π
√ 8
⇔ 9x2 + 160x + 800 = 3x − 16k



.


 3x − 16k ≥ 0
 x ≥ 16k
3
⇔
8k 2 − 25 ⇔ 
25

x=
 9x = 24k − 40 −
3k + 5
3k + 5
Vì x, k ∈ Z ⇒ 3k + 5 = ±1; ±5; ±25
k = −2; 0; −10.
Thay vào tìm x ta được x = −7; x = −31. Chọn B.
Câu 25. Cách 1. 2 cos 2x + 9 sin x − 7 = 0 ⇔ 4 sin2 x − 9 sin x + 5 = 0
π
⇒ x = + k2π. Chọn B.
2
Cách 2. Thay trực tiếp các đáp án vào phương trình.
π
Câu 26. Cách 1. Đặt t = x + , phương trình trở thành
4
√
π
sin3 t = 2 sin t −
= sin t − cos t ⇔ sin t 1 − sin2 t − cos t = 0

4

 cos t = 0
⇔ cost (sin t. cost − 1) = 0 ⇔ 
sin 2t = 2
π
π
⇔ t = + kπ ⇒ x = + kπ (k ∈ Z)
2
4
Chọn B.
62

.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Cách 2. Thay trực tiếp các đáp án vào phương trình.
Câu 27. Cách 1. Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x nên ta
xét trường hợp cos x = 0 và cos x = 0 sau đó tìm được x. Chọn A.
Cách 2.Thay trực tiếp các đáp án vào phương trình.
Câu 28.Cách 1.
pt ⇔ 4 sin x cos x − 2 cos x − 1 + 2sin2 x − 7 sin x + 4 = 0
⇔ 2 cos x (2 sin x − 1) + (2 sin x − 1) (sinx − 3) = 0
⇔ (2 sin x − 1) (2 cos x + sinx − 3) = 0

π

x
=
+ k2π

6
⇔
(k ∈ Z)
5π
x=
+ k2π
6
Chọn D.
Cách 2.Thay trực tiếp các đáp án vào phương trình.
Câu 29. Cách 1.
√
π
pt ⇔ 2 cos 2x cos + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sinx)
4 √
√
2
⇔ 2 2sin x − 4 + 2 sinx + 2 = 0

π
x
=
+ k2π

6
⇔
(k ∈ Z)

5π
x=
+ k2π
6
Chọn D.
Cách 2.Thay trực tiếp các đáp án vào phương trình
√
Câu 30. pt ⇔ sin x + sin x − cos2 x + cos x = 0.
√
Đặt t = sin x, 0 ≤ t ≤ 1.

 t = cos x − 1
Ta được t2 + t − cos2 x + cos x = 0 ⇔ 
t = − cos x


 sin x = 0
+t = cos x − 1 ⇔
⇔ x = k2π.

 cos x = 1
63

.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA





 cos x ≤ 0
 cos x ≤ 0
√
⇔
+t = − cos x ⇔
5−1


 sin x = cos2 x
 sin x =
= sin α
2
⇔ x = π − α + k2π.
Chọn A.
Câu 31. C.
Câu 32.
pt ⇔ (cos x) 2cos2 x − 1 − m cos x = msin2 x
⇔ 2cos3 x + 2cos2 x − (m + 1) cos x − m − 1 = 0

 cos x = −1(L)
⇔
m+1
cos2 x =
2
2π
thì 0 < cos2 x ≤ 1

Để phương trình có 2 nghiệm x ∈ 0;
3
1
⇒ −1 < m ≤ − . Chọn C.
2
Câu 33. pt ⇔ m sin x + cos x = 2 + sin x + cos x ⇔ (m − 1) sin x = 2
Phương trình có nghiệm ⇔




m=1


⇔
m ≤ 1 ∨ m ≥ 3 ⇔ m ≤ −1 ∨ m ≥ 3
2


≤1

 −1 ≤


m−1
 m ≤ −1 ∨ m ≥ 1


m=1

.
Chọn A.

2

5
1
Câu 34. y = f (x) = − sin x + sin x + 1 = − sin x −
4
2
2
2
1
3
5
Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sin x −
≤
⇔ −1 ≤ y ≤ .
2
2
4
5
Do đó min y = −1; max y = . Thay vào S. Chọn B.
4
2

64


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

81
1
1
− sin 2x +
Câu 35. f (x) = − sin 2x − sin 2x + 5 =
2
16
4
2
1
81
7
− 1+
≥
= . Chọn A.
16
4
2
Câu 36. C

2

2

Câu 37. pt ⇔ 2 cos2 x − (2m − 3) cos x + m − 2 = 0.
π 3π
Đặt t = cos x. Vì x ∈

;
nên t ∈ (−1; 0). Bài toán trở thành
2 2
tìm m để f (t) = t2 − (2m − 3)t + m − 2 = 0 có nghiệm t ∈ (−1; 0).
Giải ra ta được 1 ≤ m < 2. Chọn C.
Câu 38. C.
Câu 39. B.
Câu 40. C.
Câu 41. −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 3 − 5 sin x ≤ 8
⇒ 0 ≤ (3 − 5 sin x)2018 ≤ 82018 . Chọn D.
Câu 42. y = |sin4 x + 1 − 2 sin2 x + m| = | sin2 x − 1

2

+ m| ≥ |m|

⇒ |m| = 2 ⇒ m = ±2
Câu 43. B.
Câu 44. D.
Câu 45.Điều kiện tan x = ±1
a2 cos2 x
sin2 x + a2 − 2
=
cos2 x − sin2 x
cos2 x − sin2 x
⇔ a2 cos2 x = sin2 x + a2 − 2

pt ⇔

⇔ a2 + 1 cos2 x = a2 − 1 ⇔ cos2 x =

Do đó a2 − 1 ≥ 0 ⇔ |a| ≥ 1
√
a2 − 1 1
Từ tan x = ±1 ⇒ 2
= ⇒a=± 3
a +1 2
Chọn B.
65

a2 − 1
∈ (0; 1)
a2 + 1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

√

3
5π
2π
⇔ x = ± + k (k ∈ Z)
2
18
3
So sánh với điều kiện −π < x < π ta được các giá trị của x. Chọn B.

Câu 46. cos 3x = −

Câu 47. Điều kiện sin x > 0.
1
π
pt ⇔ cos 2x = ⇔ x = ± + kπ(k ∈ Z). So sánh với điều kiện ta
2
6
được 2 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Chọn B.
A √
A
A
Câu 48. sin − 3 cos = 2 sin
− 600 ≥ −2
2
2
2
A
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ sin
− 600 = −1 ⇔ A = −600 +k7200 , k ∈ Z.
2
Các đáp án A, B, C đều không thỏa mãn. Chọn D.
1
1
Câu 49. sin x + cos x = ⇔ cos x = − sin x.
5
5
2
2
Thay vào sin x + cos x = 1 ta được 25 sin2 x − 5 sin x − 12 = 0
4

3
⇔ sin x = ∨ sin x = − .
5
5
3
4
4
Vì 0 ≤ x < π nên sin x = ⇒ cos x = − ⇒ tan x = − . Chọn A.
5
5
3
Câu 50. Đặt t = sin x, −1 ≤ t ≤ 0 phương trình trở thành
2t2 − (2m + 1)t + m = 0.
1
= (2m − 1)2 ⇒ t = m ∨ t = (L).
2
Do đó để phương trình có nghiệm x ∈
A.

66

π 3π
thì −1 ≤ m < 0. Chọn
;
2 2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Kết luận
Lượng giác là một phần rất quan trọng không chỉ trong toán học
mà còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống như trong
thiên văn học, âm học, điện tử học, lí thuyết xác suất...Khóa luận
của em tập trung vào phân tích việc dạy học hàm số và phương trình
lượng giác lớp 11. Từ đó có được những lựa chọn về cách dạy sao
cho phù hợp và đạt hiệu quả nhất. Hơn nữa, em có hệ thống lại các
dạng bài tập phần cùng với một số ứng dụng của lượng giác trong giải
quyết một số bài toán đại số và đưa ra một đề trắc nghiệm để phần
nào đánh giá được mức độ hiểu bài của HS về phần kiến thức này.
Do còn hạn chế về mặt thời gian cũng như khả năng nên khóa
luận không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của thầy cô, các bạn sinh viên để khóa luận được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

67


Tài liệu tham khảo
[1] Đoàn Quỳnh, Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục,
2008.
[2] Hoàng Huy Sơn, Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục, 2009.
[3] Lê Hồng Đức - Nhóm Cự môn , Giải toán lượng giác 11, NXB Hà
Nội, 2007.
[4] Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXB
Giáo dục, 2008.
[5] Nguyễn Văn Nho, Phương pháp giải các dạng toán Đại số và giải
tích 11, NXB Đại học sư phạm , 2007.

[6] Nguyễn Văn Nho, Tuyển chọn các bài toán trắc nghiệm khách
quan Đại số Lượng giác,NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007.
[7] Trần Công Diêu - Trần Kim Anh, Luyện đề THPT Quốc gia 2018
Toán trắc nghiệm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2017.
[8] Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa , Giải
toán và câu hỏi trắc nghiệm Đại số - Giải tích 11, NXB Giáo dục,
2007.

68


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

[9] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Đại số và giải tích 11, NXB Giáo
dục Việt Nam, 2010.
[10] Vũ Tuấn (Chủ biên), Bài tập Đại số và giải tích 11, NXB Giáo
dục, 2007.

69