HSG Toan 9-PGD Tam Dao

phòng gd & đt tam đảo
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008-2009
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian giao đề
Câu 1: (2,0 điểm)
Rút gọn biểu thức :

2 3 3
2
1 1 ( (1 ) (1 ) )
2 1
x x x
M
x
+ +
=
+
.
Câu 2: (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
2 2
2 4 12 0x y xy x y + + =
b) Giải hệ phơng trình:
2
3 2 2 2
3
4
4 ( 1) 2 2 1 0
x y

x x x x x y xy

+ =



+ + + + =

Câu3: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1
Q
a b c abc
= +
+ +
.
Trong đó
, ,a b c
là các số thực dơng thỏa mãn a b c+ + =1
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Hai dây cung AC và BD cắt nhau tại H. Chứng
minh rằng: AH.AC+BH.BD =AB
2
.
Câu 5:(1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E
là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng: OE

CD.

---------------------------------------Hết---------------------------------------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
phòng gd & đt tam đảo
Hớng dẫn chấm thi Chọn hsg lớp 9 THCS
Năm học 2008-2009
Môn: Toán
C Câu
Điểm toàn
bài
Nội dung
Điểm
thành
phần
1 2 điểm
* ĐKXĐ:
1 1x

2 3 3
2
1 1 ( (1 ) (1 ) )
2 1
x x x
M
x
+ +
=
+

2 3 3
2

2. 1 1 ( (1 ) (1 ) )
2.
2 1
x x x
M
x
+ +
=
+

2
2 2 (1 )(1 ) ( 1 1 )(1 1 (1 )(1 ))
2 1
x x x x x x x x
x
+ + + + + + +
=
+

2
1 2 (1 )(1 ) 1 ( 1 1 )(2 (1 )(1 ))
2 1
x x x x x x x x
x
+ + + + + + +
=
+
2
( 1 1 ) ( 1 1 )
1 1 ( 1 1 )

( 1 1 )( 1 1 )
(1 ) (1 ) 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
= + + +
= + + +
= + + +
= + =
Vậy
2
2
2
M x x= =
0,5
0,5
0,5

0,5
a)
2 2
2 4 12 0x y xy x y + + =
2
2 2
1 1 1 1 1
2 4 12 0
2 2 4 2 4
x y y y y y

+ + + =
ữ

2
2
1 1 9 9 1
12 0
2 2 4 2 4
x y y y

+ + =
ữ

2 2
1 1 3 3
10
2 2 2 2
x y y

+ =
ữ ữ

1 1 3 3 1 1 3 3
10
2 2 2 2 2 2 2 2
x y y x y y


+ + + =
ữ ữ ữ ữ

( ) ( )
2 2 1 10x y x y + + =
.
Vì ,x y Z
+
nên
2 2x y+
>0 và
2 2x y+

1x y +
, mà 10=1.10=2.5 nên ta
0,5
0,5
2 3,0 điểm
có bảng:
2 2x y+
10 5
1x y +
1 2
2x y+
12 7
x y
0 1
x 4 3
y 4 2
KL: Tập hợp các nghiệm của phơng trình là (x,y)

{ }
(4; 4),(3, 2)
--------------------------------------------------------------------------------
b)
2
3 2 2 2
3
(1)
4
4 ( 1) 2 2 1 0(2)
x y
x x x x x y xy

+ =



+ + + + =

Giải (2):

3 2 2 2
4 ( 1) 2 2 1 0x x x x x y xy + + + + =
2 2 2
4 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 0x x x x x y x

+ + + + =

2 2 2
4 ( 1)( 1) ( 1) ( ) 0x x x x x y + + + + =

[ ]
2 2
( 1) 4 ( 1) 1 ( ) 0x x x x y + + + =
2 2 2
( 1)(2 1) ( ) 0x x x y + + =
(*)
Vì
2 2
( 1)(2 1)x x+ 0 và
2
( )x y 0
,x y
nên
(*) có nghiệm khi và chỉ khi
2 1 0
0
x
x y
=


=


1
2
x y = =
Thay
1
2

x y= =
vào (1) thỏa mãn.
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
1
2
x y= =
.
0,5
0,5
0,5
0,5
3
2,0
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
1=
a b c
+ +
3
3 abc
và
2
3
3 ( )ab bc ca abc+ +
3
3 abc
.
2
3
3 ( )abc
=

9abc
Từ đó
2 2 2
1 9
Q
a b c ab bc ca
+
+ + + +
=
2 2 2
1 1 1 7
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
+ + +
+ + + + + + + +
(1)
Lại có:
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
3 . . .a b c ab bc ca ab bc ca
ab bc ca ab bc ca
a b c

= + + + + + + + +
ữ
+ + + +
+ +

2 2 2
1 1 1
a b c ab bc ca ab bc ca

+ +
ữ
+ + + + + +

( )
2 2 2
2( )a b c ab bc ca+ + + + +
( áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki )
0,5
0,5

2 2 2
1 1 1
a b c ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + + + + +

2
9
( )a b c+ +
=9 (2)
Mặt khác:
1=(
a b c
+ +
)

2
=
2 2 2
2( )a b c ab bc ca+ + + + + 3
( )ab bc ca+ +

1
ab bc ca+ +
3

(3)
Thay (2), (3) vào (1) ta đợc:
9 7.3 30.Q + =

Vậy Min
30Q =
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
a b c= = =
.
0,5
0,5
4
1,5 điểm

D
H
C
O

B
A
K
Xét
ACBV
có :
( )
1
( )
2
OA OB gt
CO AB gt
=



=




ACBV
vuông tại C.
Tơng tự:
ADBV
vuông tại D.
Kẻ HK

AB (K

AB). Ta có
AKHV
đồng dạng với
ACBV
( g-g)

. .
AK AH
AC AH AK AB
AC AB
= =
(1)
Mặt khác:
BKHV
đồng dạng với
BDAV
( g-g)

. .
BK BH
BD BH BK AB
BD AB
= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
.AC AH
+
.BD BH
=
.AK AB

+
.BK AB
=(
)AK BK AB+
=
2
AB
( ĐPCM)



0,5
0,5
0,5
5 1,5 điểm

E
O
C
A
B
D
G
M
N


Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD, AC; G là giao đểm của CD và OA, E là
giao điểm của DN và CM.
Vì tam giác ABC cân tai A nên AO là đờng trung trực của BC, mà AO cắt CD

tai G suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
2
.
3
CG
CD
=
Mặt khác E là trọng tâm của ADC nên
2
.
3
EC
CM
=
Xét DCMV có
2
3
GC EC
CD CM
= =
nên theo định lí Talét đảo ta suy ra
//EG MD

hay
//EG AB
.
Lại có: OD AB ( D là trung điểm của dây cung AB) OD EG .
Do DN là đờng trung bình của tam giác ABC
//DN BC

mà AO
BC

AO DN .
Xét
DEGV
có GO và DO là hai đờng cao cắt nhau tại O

O là trực tâm của
DEGV OE DG

hay
OE CD

.

0,5
0,5
0,5
-----------------------------------------------