Tập lội ngược ... khi giải toan.doc

Tập "lội ngược" ... khi giải toán
“Lội ngược dòng” là một cụm từ quen thuộc trong thể thao, dùng để chỉ những cố gắng
đảo ngược kết quả của một trận đấu. Còn “lội ngược dòng” khi giải toán là quá trình phân tích
đi lên từ kết quả để tìm ra lời giải. Với mỗi hướng “lội ngược dòng” ta sẽ có thể tìm ra một
cách giải.
Ta xét bài toán sau :
Bài toán : (định lí Py-ta-go) Cho ∆ABC vuông tại A, BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng ming rằng : a
2
= b
2
+ c
2
(*)
Hướng 1 : Từ a
2
, b
2
, c
2
ta liên hệ đến diện tích của các hình vuông có cạnh là a, b, c.
Nếu dựng về phía ngoài của ∆ABC các hình vuông có cạnh lần lượt là BC, CA, AB thì (*)
tương đương với diện tích hình vuông cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh
CA, AB.
Ta tiếp tục đặt vấn đề : liệu có thể chia hình vuông cạnh BC thành hai hình chữ nhật có
diện tích bằng diện tích của hai hình vuông còn lại không.
Từ đó ta phát hiện ra đường HH’, trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ A của
ABC. ⇼
Cách 1 : Dựng về phía ngoài của ∆ABC các hình vuông AEFB, BMNC, CPQA (hình
1). Đường cao AH ^ BC cắt MN tại H’ (H Є BC). Đặt BH = c’ và CH = b’. Ta cần chứng
minh : S

CNH’H
= S
CPQA
; S
BMH’H
= S
AEFB
hay a.b’ = b
2
; a.c’ = c
2
(**).
Thật vậy, vì hai tam giác vuông ABC và HBA có chung nên ∆ABC đồng dạng
với ∆HBA suy ra : AB/HB = BC/AB => AB
2
= HB.BC => c
2
= a.c'.
Tương tự ta có b
2
= ab’.
Định lí được chứng minh và nếu biết trước (**) thì ta cũng không cần vẽ thêm các hình
vuông phụ.
Hướng 2 : Ta có :
a
2
= b
2
+ c
2

= (b + c)
2
- 2bc
<=> a
2
+ 4. 1/2 bc = (b + c)
2
: (1).
Liên hệ với các công thức tính diện tích, ta nhận thấy a
2
và (b + c)
2
là diện tích các hình
vuông có cạnh a và b + c ; 1/2 bc là diện tích tam giác có hai cạnh bên là b và c. Từ đây ta thử
tìm cách dựng hình phụ và chứng minh.
Cách 2 :
Dựng hình vuông ADEF có độ dài cạnh là b + c ; B Є AD ; C Є AF (hình 2).
Lấy I Є EF ; K Є DE sao cho IF = KE = b.
Ta nhận thấy ∆ABC = ∆DKB = ∆EIK = ∆FCI ;
BCIK là hình vuông.
=> S
BCIK
+ S
ABC
+ S
DKB
+ S
EIK
+ S
FCI

= S
ADEF

<=> S
BCIK
+ 4.S
ABC
= S
ADEF

<=> a
2
+ 4. 1/2 bc = (b + c)
2

<=> a
2
= b
2
+ c
2
.
Hướng 3 : Thay đổi cách nhìn một chút so với cách 2, ta thấy :
(*) <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a
2
+ 2. 1/2bc , trong đó vế trái là diện tích của hình thang
có hai đáy là b, c và có đường cao là b + c.
Cách 3 : Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = c ; Dựng điểm D thuộc nửa mặt
phẳng có bờ AE, chứa điểm B, DE ^ AE, DE = b (hình 3).
Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy AB = c, DE = b, đường cao AE = b

+ c ; ∆ABC = ∆ECD ; ∆BCD vuông cân tại C có cạnh là a.
=> S
ABDE
= S
BCD
+ S
ABC
+ S
ECD

<=> S
ABDE
= S
BCD
+ 2.S
ABC

<=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a
2
+ 2. 1/2bc
<=> a
2
= b
2
+ c
2
.
Hướng 4 : Tiếp tục biến đổi (*) theo hướng khác, a
2
= b

2
+ c
2
= (b - c)
2
+ 2bc <=> a
2
=
(b - c)
2
+ 4. 1/2bc.
Cách 4 : Không mất tính tổng quát, giả sử b > c. Dựng hình chữ nhật ABA’C ; hình
vuông BCED (chứa A’) ; trên BA’ lấy điểm B’ sao cho BB’ = c ; trên DB’ lấy điểm C’ sao cho
DC’ = c ; CA’ ∩ EC’ = D’ (hình 4).
Ta chứng minh được những kết quả sau :
∆ABC = ∆A’CB = ∆B’BD = ∆C’DE = ∆D’EC và A’B’C’D’ là hình vuông có cạnh là b
- c.
=> S
BCED
= S
A’B’C’D’
+ S
A’BC
+ S
B’BD
+ S
C’DE
+ S
D’EC

<=> S
BCED
= S
A’B’C’D’
+ 4.S
ABC

<=> S
BCDE
= S
A'B'C'D'
+ 4.S
ABC

<=> a
2
= (b - c)
2
+ 4. 1/2bc <=> a
2
= b
2
+ c
2
.
Việc tập “lội ngược dòng” sẽ giúp các bạn tập giải quyết được các bài toán. Các bạn
thử tìm lời giải của các bài tập :
Bài tập 1 : Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng :
SS
ABCD

≤ 1/2.AC.BD.
Bài tập 2 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó.
Chứng minh rằng :
Nguyễn Anh Vũ
( Hoài Ân, Bình Định)