Nâng cao hiệu quả dạy học dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó

Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
MỤC LỤC
Tên tiêu đề

Trang
Phần I: Đặt vấn đề
1
I. Lí do chọn đề tài
1
II. Phạm vi thực hiện
2
III. Khảo sát đầu năm
2
Phần II: Giải quyết vấn đề
3
I. Cơ sở lý luận
3
II. Thực trạng
3
III. Các biện pháp thực hiện.
4
1. Giáo viên cần nắm vững các dạng toán điển hình trong chương trình
4
sách giáo khoa, để nâng cao hiệu quả dạy giải bài toán “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 5.
2. Biện pháp nâng cao hiệu quả dạy giải bài toán “Tìm hai số khi biét
5
hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 4,5
3. Kết quả đạt được.
Phần III: Kết luận

18
19


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài:
Trong các môn học ở Tiểu học, môn Toán chiếm thời lượng khá lớn và có
một vị trí vô cùng quan trọng bởi qua học toán sẽ rèn cho học sinh phương pháp
suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề. Toán học sẽ
bồi dưỡng cho các em tính chính xác, đức tính trung thực, cẩn thận và hăng say
lao động. Toán góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh
hoạt, sáng tạo và rèn kĩ năng sống cho học sinh. Nói đến toán ta không thể
không nhắc tới mạch kiến thức giải toán được sắp xếp xen kẽ với các mạch kiến
thức cơ bản khác của môn toán ở bậc Tiểu học.
Như ta đã biết, giải toán trong dạy học toán có vai trò hết sức quan trọng.
Đó là:
- Giúp học sinh biết vận dụng những kiến thức về toán vào các tình huống
thực tiễn đa dạng, phong phú; những vấn đề thường gặp trong cuộc sống.
- Nhờ giải toán học sinh có điều kiện rèn luyện, phát triển năng lực tư duy,
rèn luyện phương pháp suy luận và những phẩm chất của người lao động mới.
Bởi giải toán là một hoạt động bao gồm những thao tác: xác lập mối quan hệ
giữa các dữ liệu, giữa cái đã cho và cái cần tìm, trên cơ sở đó chọn được phép
tính thích hợp và trả lời đúng câu hỏi của bài toán.
- Dạy học giải toán còn giúp học sinh tự phát hiện, tự giải quyết vấn đề, tự
nhận xét, so sánh, phân tích tổng hợp rút ra quy tắc khái quát nhất định tức là
phát triển năng lực và thao tác tư duy toán học.
Lớp 5 mở đầu cho giai đoạn học tập sâu. Học sinh được làm quen với các

dạng bài toán mới - các dạng toán điển hình. Mỗi dạng toán điển hình thường
được giải theo một quy trình như một thuật toán. Tuy nhiên, ở mức độ phát triển
thì đối với mỗi dạng toán điển hình lại có nhiều cách giải phong phú, đa dạng và
rất hấp dẫn. Bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó ” là một
trong những dạng toán điển hình. Trong quá trình dạy học, để giúp cho mọi học
sinh thành thạo khi giải bài toán này, cả học sinh và giáo viên đều gặp nhiều khó
khăn.
Vậy làm thế nào để khắc phục những tồn tại trên, giúp học sinh thành thạo
trong giải các bài toán điển hình, có khả năng lập luận chặt chẽ và trình bày bài
giải hợp lí? Xuất phát từ những vấn đề nêu trên, tôi đã tìm tòi nghiên cứu để:
“Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của
hai số đó”cho học sinh lớp 5”.
1/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
II. Phạm vi thực hiện
1. Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu về nội dung, mức độ và phương pháp trong dạy học về “Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” trong môn toán 5.
2. Thời gian nghiên cứu:
Năm học 2016 – 2-17
3. Phạm vi nghiên cứu và ứng dụng:
HS lớp 5 được học 2 buổi/ngày, đang học SGK chương trình Tiểu học
năm 2000.
III. Khảo sát đầu năm:
Đầu năm học tôi tiến hành khảo sát để tìm hiểu về tình hình học sinh học dạng
toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó’, tôi thu được kết quả
như sau:

Thời
Lớp
Sĩ số Hoàn thành tốt
Hoàn thành
Chưa hoàn thành
SL
TL %
SL
TL %
SL
TL %
gian
Đầu
5D
47
13
27,7
28
59,6
6
12,7
năm
học
Trên đây là một số thực trạng và nguyên nhân tồn tại của vấn đề. Muốn nâng
cao hiệu quả dạy giải bài toán về “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó” cho học sinh lớp 5 ta cần tìm ra các biện pháp để khắc phục.

2/20

Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận
Cũng như các ngành khoa học khác, Toán học nghiên cứu một số mặt
hoạt động của thế giới vật chất. Các ngành khoa học tự nhiên như Vật lý học,
Hoá học, Sinh học ... nghiên cứu những dạng riêng biệt của vận động vật chất.
Toán học không nghiên cứu một dạng riêng biệt nào của vật chất như nặng, nhẹ,
rắn mềm, nóng lạnh, sắc mầu ... mà nghiên cứu cái chung, để giữ ại những cái
chung tồn tại khách quan ở các sự vật hiện tượng về hình dạng (trong không
gian) về quan hệ (về lượng). Ăng gen nói "Đối tượng của Toán học thuần tuý là
những hình học không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực".
Vậy nên, Toán học là một khoa học nghiên cứu những mặt xác định của thế giới
hiện thực có nguồn gốc thực tiễn. Môn Toán học ở trường phổ thông nói chung,
ở trường Tiểu học nói riêng, luôn được coi là môn học cơ bản, chiếm giữ vị trí
quan trọng, trong đó việc giải toán là khâu quan trọng không thể thiếu được
trong quá trình học Toán. Trong hoạt động giải toán, học sinh phải tư duy tích
cực, linh hoạt, phải huy động tư duy tổng hợp, tích hợp các kiến thức, năng lực,
khả năng, các kĩ năng ... sẵn có vào các tình huống khác nhau. Trong nhiều
trường hợp, học sinh phải biết phát hiện những dữ kiện hoặc những điều kiện
chưa được đưa ra một cách tường minh. Trong quá trình giải toán, đòi hỏi học
sinh phải luôn luôn tư duy năng động, sáng tạo. Vì vậy, giải toán có thể coi là
một trong những hoạt động trí tuệ năng động, sáng tạo, bổ ích nhất của học sinh.
Giải toán giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng thực hành các kiến thức.
Giải toán còn giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng tính toán, từng bước tập dượt
vận dụng kiến thức đã học vào đời sống thực tế hàng ngày. Thông qua việc giải
toán, học sinh được rèn luyện các đức tính cần thiết như: tính kiên trì, biết khắc
phục khó khăn để làm việc, tính chu đáo, cẩn thận, làm việc có kế hoạch.
II. Thưc trạng:

Qua thực tế nhiều năm giảng dạy, tôi nhận thấy:
* Về phía giáo viên:
- Giáo viên chưa nhận thấy hết được tầm quan trọng của giải toán và việc
hướng dẫn giải toán, nhất là những dạng toán điển hình. Vì thế, giáo viên chưa
chú trọng việc khắc sâu, chốt kiến thức hoặc chốt cách giải theo từng dạng.
- Việc nghiên cứu sách giáo khoa và tài liệu tham khảo của một số giáo
viên còn hạn chế dẫn đến giáo viên còn lệ thuộc và chỉ làm theo những gợi ý
3/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
chung của sách giáo viên, chưa có sự phân tích, tổng hợp và chưa gắn với thực
tế trình độ học sinh. Thậm chí, đôi chỗ giáo viên còn chưa hiểu hết được ngụ ý
của sách giáo khoa đưa ra cho nên chưa khắc sâu được những cốt lõi kiến thức
cần ghi nhớ cho học sinh.
- Cho dù đã phân loại đối tượng học sinh thì cùng một lúc giáo viên phải
quan tâm đến cả ba đối tượng học sinh nên khó khăn trong việc kèm cặp sát sao
học sinh chưa hoàn thành kiến thức, kĩ năng, phát triển nâng cao với học sinh
hoàn thành tốt. Giáo viên không có thời gian khai thác kiến thức và khắc sâu với
từng dạng bài cho các em.
* Về phía học sinh:
- Đa số các em hiểu và vận dụng kiến thức vào làm bài thành thạo ở mức
độ đề bài cho tường minh các yếu tố có liên quan.
- Khả năng phân tích, tìm hiểu bài của một số em còn hạn chế. Gặp những
dạng còn “ẩn hiệu”, “ẩn tỉ số” và “ẩn hai số cần tìm” một số em không biết lập
luận để chỉ ra các yếu tố “hai số cần tìm”, “hiệu số”, hay “tỉ số” để biểu diễn
được mối quan hệ giữa các yếu tố có liên quan trong bài toán. Như vậy, các em
sẽ rất khó khăn trong việc lập kế hoạch giải bài toán.
- Do khả năng nhận thức của học sinh chưa đồng đều và còn ở mức độ cảm

tính nên việc khái quát kiến thức cũng như khả năng vận dụng kiến thức đã học
vào quá trình luyện tập còn hạn chế.
III. Các biện pháp thực hiện.
1. Giáo viên cần nắm vững các dạng toán điển hình trong chương
trình sách giáo khoa, để nâng cao hiệu quả dạy giải bài toán “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 5.
a. Những dạng toán có lời văn lớp 4-5
b. Nghiên cứu dạng bài”Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
c. Mức độ yêu cầu về kiến thức và kĩ năng khi dạy bài “Tìm hai số khi biết
hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Giúp học sinh biết giải bài toán về “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” là một yêu cầu cơ bản cần đạt trong quá trình dạy học toán lớp 5. Để học
tốt bài, học sinh phải nắm chắc một số kiến thức cơ bản sau:
- Hiệu số và tỉ số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số
thập phân hay các dạng số đo đại lượng.
- Thực tế trong cuộc sống hàng ngày, học sinh đã thường nghe và có thể
sử dụng khái niệm “Tỉ số”. Học sinh phải biết đọc, biết viết và biết vẽ sơ đồ tỉ số
của hai số. Muốn vậy, học sinh phải hiểu đúng về tỉ số của hai số.
4/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
- Học sinh phải biết vận dụng những hiểu biết để chủ động khám phá,
chiếm lĩnh kiến thức mới đó là “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”;
tự rút ra và ghi nhớ được các bước giải chung ngắn gọn. Từ đó có các kĩ năng để
giải bài toán. Vậy học sinh cần phải:
+ Xác định hiệu của hai số phải tìm (hoặc hiệu của hai số có liên quan đến
số phải tìm).
+ Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan đến

số phải tìm) biểu thị từng số đó thành số các phần tử bằng nhau tương ứng.
+ Thực hiện phép chia hiệu của hai số phải tìm cho hiệu các phần biểu thị
của tỉ số để tìm giá trị một phần đó.
+ Tìm mỗi số theo số phần được biểu thị.
d. Các phương pháp giải bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó”
Bài toán “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó ” là một trong
những dạng toán điển hình có các bước giải chung thống nhất. Song một bài
toán hợp thường có nhiều cách giải khác nhau. Hơn nữa, từ bài toán cơ bản ta có
thể mở rộng cho học sinh nhiều bài toán khác. Vì vậy, để giải dạng toán này, cần
lưu ý một số phương pháp thường dùng như sau:
- Dùng sơ đồ đoạn thẳng
- Dùng phương pháp tỉ số
- Dùng phương pháp khử hoặc phương pháp thay thế
- Dùng đơn vị quy ước
Mặc dù vậy, ở mức độ ban đầu chỉ yêu cầu các em thành thạo phương
pháp Dùng sơ đồ đoạn thẳng
2. Biện pháp nâng cao hiệu quả dạy giải bài toán “Tìm hai số khi biết
hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 5
- Cũng như dạy học các nội dung khác, khi dạy giải toán bài toán “ Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó ”, tôi đã nghiên cứu kĩ chương trình,
sách giáo khoa, tìm hiểu những kiến thức có liên quan, giúp các em phát huy
vốn kiến thức đã có để chủ động tiếp thu và chiếm lĩnh kiến thức.
- Dạy đến đâu khắc sâu kiến thức cơ bản đến đó, giúp các em nắm chắc
các bước giải như một thuật toán.
- Khi dạy giải toán - đặc biệt là khi rèn kĩ năng làm bài cho học sinh - ta
cần lưu ý tới khả năng vừa sức đối với học sinh. Trong quá trình hướng dẫn học
sinh luyện tập, tôi đã phân loại và đề ra những biện pháp cụ thể kèm cặp theo
từng đối tượng học sinh để phát huy hết khả năng học tập, khả năng sáng tạo của
học sinh. Để giúp học sinh làm tốt bài toán: “ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số

5/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
của hai số đó ”, tôi đã phân nhóm các đối tượng học sinh theo năng lực và đưa
ra ba mức độ sau:
Mức độ 1:
Yêu cầu học sinh giải được bài toán cho ở mức độ tường minh các yếu tố
“ hai số cần tìm” “hiệu số” và “tỉ số” của các số đó.
Yêu cầu cần đạt:
- Nhận diện, nêu được các bước giải dạng toán.
- Xác định đúng các yếu tố “hiệu số”,“tỉ số” ,“số lớn” và “số bé”. Vẽ sơ
đồ biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Giải bài toán theo dạng cơ bản (có sự hỗ trợ của giáo viên hay của bè
bạn).
Mức độ 2:
Yêu cầu học sinh giải được bài toán ở mức độ chưa tường minh các yếu
tố. Có thể “ ẩn hiệu” hoặc “ ẩn tỉ số ”
Yêu cầu cần đạt:
- Xác định được “ hai số cần tìm” ; “ hiệu ẩn ” hoặc “ tỉ số ẩn ”
- Xác định các mối quan hệ giữa các yếu tố
- Tự vẽ sơ đồ minh hoạ rồi giải bài toán theo yêu cầu.
Mức độ 3:
Bài toán có thể cho dưới dạng “ẩn hai số cần tìm”, “ẩn hiệu” và “ ẩn tỉ số
” hay từ bài toán cơ bản ta có thể mở rộng, nâng cao hơn theo khả năng cho học
sinh.
Yêu cầu cần đạt:
- Xác định được “hai số cần tìm” ; “hiệu ẩn” hay “ tỉ số ẩn”.
- Xác định các mối quan hệ giữa các yếu tố.

- Thành thạo trong việc giải bài toán điển hình ở dạng cơ bản.
- Huy động, vận dụng những kiến thức đã học để giải một số bài toán ở
dạng mở rộng, nâng cao.
- Tìm nhiều cách giải cho một bài toán.
Cụ thể như sau:
Mức độ 1: Dành cho học sinh ở mức độ nhận biết, nhắc lại được kiến
thức, kĩ năng đã học:
Ta giúp các em dùng “Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng” để giải.
Đối tượng này, học sinh cần vận dụng ngay kiến thức vừa học để làm bài.
Qua đó giúp các em củng cố về cách làm, cách trình bày bài giải dạng cơ bản.
Tôi yêu cầu học sinh:
6/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
- Đọc kĩ đề bài, xác định dạng toán (Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó)
- Phân tích bài (Bài toán cho biết gì? Bài toán cần tìm gì?)
- Lập kế hoạch giải và thực hiện bài giải theo quy trình.
Ví dụ 1:
Hiệu của hai số là 33. Số thứ nhất bằng số thứ hai. Tìm hai số đó.
Trong ví dụ này, sau khi xác định bài toán cho biết gì? Bài toán cần tìm gì?
giáo viên cần giúp học sinh hiểu rõ hơn:
+ Bài toán cần đi tìm gì? (Tìm hai số)
+ Hiệu hai số là gì? (33)
+ Tỉ số của hai số là gì? ()
+ Tỉ số này cho em biết điều gì? (Số thứ nhất là 8 phần thì số
thứ hai là 5 phần.
- Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ biểu diễn các mối quan hệ.

Căn cứ vào sơ đồ, hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải và giải bài toán
(Theo quy trình hướng dẫn giải bài toán có lời văn)
- Học sinh làm bài.
Ta có sơ đồ :
?
Số thứ nhất :
Số thứ hai :

33

?

Bài giải
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
8 - 5 = 3 (phần)
Số thứ nhất là:
33 : 3 x 8 = 88
Số thứ hai:
88 – 33 = 55
Đáp số: 88 và 55
Ví dụ 2: Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng

2
tuổi mẹ. Tính tuổi mỗi
7

người.
- Trong ví dụ này, sau khi xác định Bài toán cho biết gì? Bài toán cần tìm
gì? giáo viên cần giúp học sinh hiểu rõ hơn:
+ Hai số cần tìm là gì? (Tuổi con và tuổi mẹ)

+ Hiệu hai số là gì? (25 tuổi)
7/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
2
7

+ Tỉ số của hai số là gì? ( )
+ Tỉ số này cho em biết điều gì? (Tuổi con là 2 phần thì tuổi
mẹ là 7 phần như thế)
 Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ biểu diễn các mối quan hệ.
Căn cứ vào sơ đồ, hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải và giải bài toán
(Theo quy trình hướng dẫn giải bài toán có lời văn)
 Học sinh làm bài.
Bài giải
Ta có sơ đồ :

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
7 - 2 = 5 (phần)
Tuổi con là:
25 : 5 x 2 = 10 (tuổi)
Tuổi mẹ là:
10 + 25 = 35 tuổi
Đáp số: Con: 10 tuổi
Mẹ: 35 tuổi
Tóm lại: Với những học sinh ở mức độ nhận biết, nhắc lại được kiến
thức, kĩ năng đã học thì khả năng vận dụng kiến thức đã học vào quá trình luyện
tập còn chưa nhanh. Vì thế, giáo viên cần chọn cho các em những bài toán cho ở

dạng tường minh các yếu tố, yêu cầu các em thuộc các bước giải cơ bản ngắn
gọn để vận dụng làm bài như sau :
+ Vẽ sơ đồ
+ Tìm hiệu số phần bằng nhau
+ Tìm giá trị của một phần
+ Lần lượt tìm hai số
Mức độ 2: Dành cho học sinh hiểu kiến thức, kĩ năng đã học.
Với đối tượng học sinh này, giáo viên vẫn theo 4 bước hướng dẫn giải bài
toán có lời văn. Song giáo viên cần yêu cầu học sinh :
- Nhận dạng toán. (Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó)
- Xác định rõ hai số cần tìm; xác định “hiệu ẩn” hay “tỉ số ẩn”, ý nghĩa
của tỉ số.
8/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
Ví dụ 3: Số thứ hai hơn số thứ nhất 60. Nếu số thứ nhất gấp lên 5 lần thì
được số thứ hai. Tìm hai số đó. ( Bài toán “ẩn tỉ số"ở mức độ đơn giản)
+ Ở VD3: Học sinh phải xác định tỉ số ẩn trước khi vẽ sơ đồ.
Chẳng hạn ta hỏi: Nếu số thứ nhất gấp 5 lần lên thì được số thứ hai, nghĩa
là gì? (nghĩa là tỉ số của hai số là

1
tức là số thứ nhất là 1 phần thì số thứ hai là 5
5

phần như vậy).
Ví dụ 4:
Lớp 5A có 35 học sinh và lớp 5B có 33 học sinh cùng tham gia trồng cây.

Lớp 5A trồng nhiều hơn lớp 5B là 10 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiều
cây, biết rằng mỗi học sinh đều trồng số cây như nhau.
Đây là bài toán “ẩn tỉ số”, học sinh có thể lúng túng khi xác định tỉ số của
hai số. GV cần giúp các em phân tích và hiểu được hai số cần tìm là số cây của
lớp 5A và số cây của lớp 5B. Từ đó suy ra tỉ số giữa số cây của lớp 5A và 5B
chính là tỉ số số học sinh của 2 lớp. Tức là tỉ số của 2 số là

35
. Từ đó mới vẽ
33

được sơ đồ hoặc lập luận thay sơ đồ và áp dụng các bước để giải bài toán.
Tóm lại: Ở mức độ học sinh đại trà chung, bài toán có thể cho dưới dạng
ẩn hiệu hoặc ẩn tỉ số hay ẩn hai số cần tìm. Giáo viên cần giúp các em huy động
vốn kiến thức sẵn có phân tích để:
+ Chỉ rõ hai số phải tìm (số lớn là gì? số bé là gì?)
+ Xác định rõ hiệu của hai số phải tìm (hoặc hiệu của hai số có liên quan
đến số phải tìm).
+ Xác định đúng tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên
quan đến số phải tìm), biểu thị từng số đó thành số các phần tử bằng nhau tương
ứng.
Ngoài việc giúp học sinh nắm chắc quy trình giải dạng toán này, bước đầu
còn giúp học sinh làm quen với cách lập luận chặt chẽ khi giải các bài tập nâng
cao (ở mức độ đơn giản).
Mức độ 3: Dành cho học sinh biết vận dụng kiến thức, kĩ năng đã
học để giải quyết những vấn đề những vấn đề mới.
Với học sinh ở mức độ này không chỉ yêu cầu giải đúng bài tập mà còn
yêu cầu các em tìm nhiều cách giải khác hay hơn bằng nhiều phương pháp giải
khác nhau. Đây cũng chính là cơ hội để giúp các em phát triển năng lực môn
toán. Hoặc từ bài tập cơ bản ta có thể mở rộng thành các bài toán khác có liên

quan đến phân số hoặc dạng bài toán tính tuổi..., yêu cầu học sinh phải giải bài
9/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
toán phụ để đưa về dạng cơ bản. Do vậy, các em phải đào sâu suy nghĩ, phân
tích, tìm tòi cách giải.
* Trường hợp ẩn hiệu, ẩn tỉ số bình thường
Ví dụ 5: Sau 7 năm nữa thì tuổi của An sẽ nhiều gấp 3 lần tuổi của An trước
đây 5 năm. Tính tuổi của An hiện nay.
Đây là dạng ẩn hiệu, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích bài toán
để chỉ rõ hiệu số:
- Số bé là gì? (Tuổi An trước đây 5 năm)
- Số lớn là gì? (Tuổi An sau đây 7 năm).
- Hiệu của hai số là gì ? (Khoảng cách giữa tuổi An trước 5 năm và
sau 7 năm nữa. Chính là : 7 + 5 = 12)
- Bài yêu cầu tìm gì ? (Tuổi của An hiện nay)
Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải bài toán.
Bài giải:
Tuổi của An sau 7 năm nữa sẽ nhiều hơn tuổi của An trước đây 5 năm là:
5 + 7 = 12 (tuổi)
Biểu thị số tuổi của An trước đây 5 năm là 1 phần thì tuổi của An sau 7
năm nữa là 3 phần.
Ta có sơ đồ:

Trước đây 5 năm, tuổi của An là :
12 : (3 - 1) = 6 tuổi.
Tuổi của An hiện nay là :
6 + 5 = 11 (tuổi)

Đáp số: 11 tuổi.
Ví dụ 6: Cho một số có chữ số hàng đơn vị là 0. Nếu xoá chữ số 0 đó ta
được số mới. Biết số đã cho lớn hơn số mới 549. Tìm số đã cho.
Đây là dạng ẩn tỉ số và ẩn hai số cần tìm. Giáo viên cần hướng dẫn học
sinh phân tích bài toán, để học sinh nhận ra dạng toán Tìm hai số khi biết hiệu
và tỉ số của hai số đó. Tiếp tục phân tích để chỉ rõ các yếu tố liên quan:
- Số bé là gì? (Là số đã cho sau khi xoá đi chữ số 0)
- Số lớn là gì? (Là số đã cho ).
- Hiệu của hai số là gì ? (549)
- Bài yêu cầu tìm gì ? (Tìm số đã cho)

10/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
- Nếu xoá chữ số 0 ở số đã cho ta được số mới, nghĩa là gì? (Nghĩa là
số mới bằng

1
số đã cho.)
10

Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải và làm bài.
(Đáp số: 610)
Ví dụ 7: Số cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là 360 cây. Nếu
khối Năm trồng thêm được 30 cây nữa và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây thì số
cây của khối Năm sẽ nhiều gấp 4 lần số cây của khối Bốn. Tính số cây đã trồng lúc
đầu của mỗi khối.
Giúp học sinh phân tích bài toán:

Bài toán cho biết “tỉ số mới” đó là tỉ số giữa số cây nếu khối Năm trồng
thêm 30 cây và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây nên phải xác định lại “hiệu mới”
(Theo chú ý 3.b). Sau đó hướng dẫn học sinh cách giải bài tập theo các bước
thông thường.
Cách 1: Sau khi xác định “hiệu mới” học sinh giải bằng “phương pháp sơ
đồ đoạn thẳng” . (Theo cách giải thông thường - khuyến khích học sinh tự làm
bài, rồi chữa bài)
Cách 2: Giáo viên khuyến khích học sinh vận dụng kiến thức đã học về tỉ
số và dùng “phương pháp tỉ số” để giải bài tập. Cụ thể như sau:
Bài giải
Nếu khối Năm trồng thêm 30 cây và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây
thì lúc đó số cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là:
360 + (30 + 30) = 420 (cây)
Giả sử lúc này, Khối 4 trồng được 1 cây thì Khối 5 trồng được 4
cây như vậy Khối 5 trồng được nhiều hơn Khối 4 là:
4 - 1 = 3 (cây)
Tỉ số của 420 và 3 là:
420 : 3 = 140
Số cây trồng lúc đầu của Khối 4 là :
1 x 140 + 30 = 170 (cây)
Số cây trồng lúc đầu của Khối 5 là:
170 + 360 = 530 (cây)
Đáp số : Khối 4 : 170 cây; Khối 5 : 530 cây.
Ví dụ 8: Thương của hai số bằng số lẻ nhỏ nhất có hai chữ số. Hiệu của
hai số đó thì bằng số lượng số có ba chữ số. Tìm tích của hai số đó.

11/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai

số đó” cho học sinh lớp 5
Gặp bài này, học sinh sẽ lúng túng vì bài toán cho ẩn cả hai yếu tố “hiệu
số” và “tỉ số”của hai số. Tỉ số lại cho dưới dạng“thương của hai số”. Giáo viên
cần hướng dẫn các em chỉ rõ:
- Thương (tức là tỉ số) của hai số là: 11 (số lẻ nhỏ nhất có hai chữ số)
- Hiệu của hai số là 900 (do có 900 số có ba chữ số)
Sau đó các em tiếp tục giải bài toán và tìm được: hai số là 90 và 990
- Tích hai số: 81000.
* Trường hợp "Tìm ba, bốn... số khi biết hiệu và tỉ số của các số đó".
Ví dụ 9: Cho 3 số tự nhiên, trong đó số thứ nhất bằng

2
số thứ hai ; số thứ ba
3

bằng trung bình cộng của 2 số kia. Tìm ba số đó, biết rằng số thứ nhất kém số thứ ba là
35 đơn vị.
Phân tích: Bài toán cho biết hiệu giữa số thứ nhất với số thứ ba là 35 đơn vị. Ta
phải chỉ ra được tỉ số giữa số thứ nhất với số thứ ba để tìm được hiệu số phần bằng
nhau tương ứng.
Bài giải
Cách 1:

Vì

2 4

3 6

Biểu thị số thứ nhất là 4 phần bằng nhau thì số thứ 2 là 6 phần như

thế khi đó số thứ 3 được biểu thị là:
(4 + 6) : 2 = 5 (phần)
Ta có sơ đồ:

Số thứ nhất là :
35 : (5 - 4) x 4 = 140
Số thứ hai là:
35 : (5 - 4) x 6 = 210
(Hoặc 140 : 2 x 3 = 210)
Số thứ ba là :
(140 + 210) : 2 = 175
(Hoặc 140 + 35 = 175)
Đáp số : 140 ; 210 ; 175
Cách 2 : Giúp học sinh tìm hiểu và giải bài toán bằng phương pháp
‘‘Dùng đơn vị quy ước’’
12/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
Bài giải
Coi số thứ nhất là 1 đơn vị thì số thứ hai là

3
đơn vị khi đó số thứ 3 là:
2

5
 3
1   : 2  (đơn vị)

4
 2

Số thứ 3 lớn hơn số thứ nhất là:
5
1
 1  (đơn vị)
4
4

Theo bài ra, số thứ ba lớn hơn số thứ nhất là 35 . Do đó số thứ nhất phải
tìm là:

35 :

1
140
4

Số thứ hai phải tìm là:
140 :
Số thứ ba phải tìm là:

= 210

140 + 35 = 175
Đáp số: 140 ; 210 ; 175
Bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” ta cũng có thể
hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp khác: “Phương pháp khử” hoặc
“phương pháp thay thế”

Ví dụ 10: Điểm kiểm tra Toán cuối năm của Linh hơn Quang 1 điểm và bằng
điểm của Anh. Điểm của Quang bằng

5
4

9
điểm của Anh. Hãy tính điểm Toán của mỗi
8

người.
Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
Bài tập cho biết hiệu hai số (Điểm của Linh và Quang) nhưng lại cho biết
tỉ số điểm giữa Linh và Anh; giữa Quang và Anh. Vậy cần phải tìm tỉ số điểm
của Linh và Quang(tương ứng với hiệu hai số) rồi giải bài toán theo mẫu (Dùng
Phương pháp khử)
Bài giải
Tỉ số điểm của Linh so với điểm của Quang là:
5 9 10
: 
4 8 9

Ta có sơ đồ:

Hiệu số phần bằng nhau là:
13/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5

10 - 9 = 1 (phần)
Điểm của Linh là:
1 x 10 = 10 (điểm)
Điểm của Quang là:
1 x 9 = 9 (điểm)
Điểm của Anh là :
4
10  8 (điểm)
5

Đáp số :10 điểm; 9 điểm; 8 điểm
Đây là dạng mở rộng của bài tập cơ bản mà tỉ số bài tập cho cũng ở dạng
phức tạp hơn. Song bài tập cũng không quá khó đối với học sinh giỏi. Các em
phải xác định đúng yêu cầu của bài, gắn tỉ số với hiệu số của hai số tương ứng
để vẽ đúng sơ đồ và giải theo phương pháp sơ đồ đoạn thẳng hoặc kết hợp với
phương pháp khử.
* Trường hợp liên quan đến phân số
Có một số bài toán dạng Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó
liên quan đến phân số. Gặp dạng toán này, học sinh rất lúng túng, khó xác định
được các yếu tố “hai số cần tìm” ; “hiệu số” hoặc “tỉ số”, giáo viên cần hướng
dẫn học sinh phân tích bài toán để nhận ra dạng toán và chỉ rõ các yếu tố cần
thiết. Sau đó, ta tiếp tục hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải.
Ví dụ 11:: Cho phân số

73
. Hãy tìm một số sao cho khi đem tử số và
98

mẫu số của phân số đã cho trừ đi số đó ta được phân số tối giản

1
.
6

Phân tích: Ta thấy mẫu số hơn tử số là 25 ( 98 - 73 = 25). Lúc này ta đã
dùng mẫu số làm số lớn (số bị trừ), tử số làm số bé (số trừ), mà khi cùng bớt ở
cả số bị trừ và số trừ một số như nhau (theo chú ý 3.a) thì hiệu số không thay
đổi. Như vậy sau khi cùng bớt, mẫu số vẫn hơn tử số 25 đơn vị. Phân số

1
tức
6

là tử số chiếm 1 phần, mẫu số chiếm 6 phần. Bài toán trở về dạng bài toán “Tìm
hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Bài giải
Mẫu số hơn tử số là:
98 - 73 = 25
Ta có sơ đồ:

14/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
Khi cùng bớt ở cả tử số và mẫu số một số đơn vị như nhau thì mẫu
số vẫn hơn tử số 25 đơn vị. Hiệu số phần bằng nhau là:
6 - 1 = 5 (phần)
Tử số của phân số mới là:
25 : 5 = 5

Mẫu số của phân số mới là:
5 x 6 = 30
Số phải tìm là:
73 - 5 = 68 (hoặc 98 - 30 = 68)
Đáp số: 68
Ví dụ 12: Cho phân số

29
. Hãy tìm một số sao cho khi đem tử số và mẫu
99

số của phân số đã cho cộng với số đó ta được phân số tối giản

1
.
3

Phân tích: Ta thấy mẫu số hơn tử số là 70 ( 99 - 29 = 70). Lúc này ta đã
dùng mẫu số làm số lớn (số bị trừ), tử số làm số bé (số trừ), mà khi cùng cùng
thêm ở cả số bị trừ và số trừ một số như nhau (theo chú ý 3.a) thì hiệu số không
thay đổi. Như vậy sau khi thêm, mẫu số vẫn hơn tử số 70 đơn vị. Phân số

1
tức
3

là tử số chiếm 1 phần, mẫu số chiếm 3 phần. Bài toán trở về dạng bài toán “Tìm hai
số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Bài giải
Mẫu số hơn tử số là:

99 - 29 = 70
Ta có sơ đồ:

Khi cùng thêm vào tử số và mẫu số một số đơn vị như nhau thì mẫu số vẫn
hơn tử số 70 đơn vị. Hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số là:
3 - 1 = 2 (phần)
Tử số của phân số mới là:
70 : 2 = 35
Mẫu số của phân số mới là:
35 x 3 = 105
Số phải tìm là:
35 - 29 = 6
Đáp số: 6
15/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
Qua ví dụ 13 và ví dụ 14 dạng “cùng thêm” hoặc “cùng bớt” ở tử số và
mẫu số một số đơn vị như nhau (theo chú ý 3.a: hiệu số giữa tử số và mẫu số vẫn
không thay đổi), cũng như các dạng khác, khi dạy bài toán dạng Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó liên quan đến phân số, ta cần lưu ý học sinh cách
xác định rõ các yếu tố:
- Hai số cần tìm chính là tử số và mẫu số của phân số cần tìm.
- Hiệu là hiệu giữa mẫu số và tử số (Nếu mẫu số lớn hơn tử số). Hoặc hiệu
là hiệu giữa tử số và mẫu số (Nếu tử số lớn hơn mẫu số).
- Tỉ số giữa tử số và mẫu số của phân số mới chính là phân số rút gọn (tối
giản).
Ngoài ra, giáo viên cần giúp học sinh rút ra cách giải chung. Cụ thể
như sau:

Bước 1: Xác định đúng hiệu giữa mẫu số và tử số.
Bước 2: Chỉ rõ: hiệu giữa mẫu số và tử số vẫn không thay đổi.
Bước 3: Xác định tỉ số giữa mẫu số và tử số của phân số mới.
Bước 4: Vẽ sơ đồ, tìm tử số mới, mẫu số mới, lập phân số mới và giản ước
để được phân số mới đã cho.
Bước 5: Tìm số cần tìm.
* Trường hợp liên quan đến các bài toán về tính tuổi
Khi các em đã nắm chắc dạng cơ bản, giáo viên tiếp tục hướng dẫn các em
vận dụng bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” để giải các
bài toán về tính tuổi dạng Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi của A và B.
Ví dụ 13: Hiện nay em 5 tuổi, anh 19 tuổi. Hỏi mấy năm nữa tuổi anh gấp 3
lần tuổi em?
GV cần giúp học sinh xác định đúng hai số cần tìm, hiệu của hai số (19-5
= 14) và tỉ số của hai số là

1
rồi giải bài toán theo mẫu.
3

Bài giải
Hiệu số tuổi của hai anh em là:
19 - 5 = 14 (tuổi)
Do hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi theo thời gian, nên khi tuổi
anh gấp 3 lần tuổi em thì anh vẫn hơn em 14 tuổi. Lúc đó ta có sơ đồ:

Vậy: Tuổi của em khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em là:
14 : ( 3 - 1) = 7 (tuổi)
16/20

Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
Do hiện nay em 5 tuổi nên còn 2 năm nữa ( vì 7 - 2 = 5) thì tuổi anh gấp 3
lần tuổi em.
Đáp số: 2 năm
Đối với dạng toán này, giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra cách giải như
sau:
1- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn tỉ số tuổi của hai người ở thời điểm đã
cho.
2- Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai người bằng hiệu số phần bằng nhau trên
sơ đồ đoạn thẳng. (Lưu ý: Hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời
gian)
3- Tìm số tuổi ứng với một phần bằng nhau trên sơ đồ.
4- Tìm số tuổi của mỗi người.
Tóm lại: Muốn Nâng cao hiệu quả dạy giải bài toán về “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 5, khi hướng dẫn học sinh giải
bài toán, giáo viên cần giúp các em nắm chắc một số kiến thức cơ bản:
- Tỉ số của hai số được nêu dưới những dạng thức sau:
+ Số này gấp mấy lần số kia.
+ Số này bằng mấy phần số kia.
+ Thương của hai số phải tìm, hoặc thương của hai số có liên quan đến số phải
tìm.
+ Phân số được coi là thương của số bị chia và số chia.
+ Tỉ số của hai số.
+ Tỉ số phần trăm của hai số (Lớp 4 chưa học - chỉ mở rộng hoặc đưa về
25 1
 ).
100 4

dạng phân số. Ví dụ : Tỉ số của hai số là 25% 

- Và hiệu số của hai số cũng được nêu dưới nhiều hình thức khác nhau.
Có thể các em phải giải bài toán phụ mới xác định được. Với đối tượng học sinh
khá giỏi, đòi hỏi giáo viên phải giúp các em có khả năng phân tích, tổng hợp,
xác định rõ các yếu tố, phối hợp tất cả các phương pháp để giải.
Trên đây là một số ví dụ, qua đó tôi nhận thấy :
- Chỉ với dạng bài “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” ta đã
có thể mở rộng ra thành nhiều kiểu bài khác nhau, với những dạng “hiệu”, “tỉ
số” khác nhau.
- Tuỳ mức độ học sinh mà giáo viên giao cho những mức độ bài khác
nhau.
- Học sinh tuỳ khả năng mà vận dụng những kiến thức đã học để tìm ra
một hay nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán.
17/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
- Sau khi học xong cần giúp các em rút ra phương pháp giải chung như
sau:
+ Đọc kĩ đề, xác định rõ các yếu tố “hai số cần tìm”, “hiệu số” và “tỉ
số”.
+ Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ.
+ Tìm hiệu số phần bằng nhau.
+ Tìm giá trị 1 phần:
Giá trị 1 phần = Hiệu số : Hiệu số phần bằng nhau.
+ Tìm từng số cần tìm:
Cách 1: Số bé = Giá trị 1 phần  số phần của số bé. - Tìm tiếp số lớn
Cách 2: Số lớn = Giá trị 1 phần  số phần của số lớn. - Tìm tiếp số bé
3. Kết quả đạt được.

a. Tỉ lệ HS hoàn thành tốt qua các bài kiểm tra ở các lớp cao hơn.
b. Kĩ năng thực hành, thảo luận nhóm, trình bày ý kiến cá nhân... của học
sinh cũng cao hơn.
c. Ở các tôi, hứng thú học tập của HS cũng cao hơn rõ rệt. Các em hoạt
động tích cực hơn và chủ động trong quá trình chiếm lĩnh tri thức.
Kết quả cụ thể như sau:
Thời
Lớp
Sĩ số Hoàn thành tốt
Hoàn thành
Chưa hoàn thành
SL
TL %
SL
TL %
SL
TL %
gian
Cuối
5D
47
29
61,7
18
38,3
0
0
học kì I
Những kết quả trên đã chứng tỏ quá trình thực nghiệm đã khẳng định
được giả thuyết khoa học mà sáng kiến kinh nghiệm đã đề ra. Việc nắm vững

cấu trúc chương trình sách giáo khoa, phối hợp các phương pháp dạy học tích
cực, cộng với sự nhiệt tình của giáo viên sẽ đem lại hiệu quả cao trong giờ học.

18/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
PHẦN III: KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu và thực nghiệm, tôi rút ra một số bài học trong
dạy học toán nói chung và dạy dạng bài “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của
hai số đó” nói riếng cho học sinh như sau:
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung chương trình cũng như nội dung
từng bài để đặt ra mục tiêu, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho
từng tiết dạy.
- Giúp học sinh hình thành thói quen: phân tích đề, nắm chắc yêu cầu của
đề, xác định rõ ràng các yếu tố “hai số cần tìm”, “hiệu số”, “tỉ số” và nắm chắc
phương pháp chung để giải dạng toán.
- Với những bài mở rộng và nâng cao dành cho học sinh hoàn thành tốt,
ngoài cách giải theo dạng cơ bản, giáo viên cần khuyến khích các em suy nghĩ,
tìm tòi nhiều cách giải khác hay hơn cho cùng một bài để phát triển năng lực
môn Toán cho các em. Học sinh cần được làm quen với việc lập luận chặt chẽ
khi làm bài. Ta cần chọn ra những bài toán giải theo phương pháp chung, tương
tự như nhau, để đưa vào từng nhóm, từng loại bài, theo mức độ từ dễ đến khó.
Sau khi làm quen với mỗi loại bài nâng cao trong dạng bài, giáo viên cần giúp
các em khái quát kiến thức, những điều cần ghi nhớ và cách giải với từng loại
bài đó.
- Đặc biệt, giáo viên cần phân loại và nắm chắc từng đối tượng học sinh
trong lớp để có biện pháp cung cấp kiến thức và rèn kĩ năng cho phù hợp. Nhà
giáo không phải là người nhồi nhét kiến thức mà phải là người khơi dậy ngọn

lửa cho tâm hồn. Vì vậy, ta cần thường xuyên động viên khuyến khích, tạo
không khí thi đua học tập, tạo niềm vui và say mê trong học toán cho các em.
Đó chính là ta đã khơi nguồn, tạo hướng nâng cao và phát triển cho học sinh.
Trên đây là những ý kiến nhỏ của riêng tôi về “Nâng cao hiệu quả dạyhọc dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh
lớp 5 . Tuy tôi đã đầu tư nhiều thời gian, đúc kinh nghiệm nhiều năm dạy dỗ các
em nhưng vì khả năng tìm tòi, phân tích tổng hợp của tôi còn nhiều hạn chế nên
chưa bao quát hết được mọi vấn đề. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của các đồng chí cán bộ giáo viên để cho nội dung sáng kiến của tôi được đầy đủ
hơn. Cũng qua đó giúp tôi vững vàng hơn trong quá trình đổi mới phương pháp
giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng dạy - học. Tôi xin chân trọng cảm ơn.

19/20


Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai
số đó” cho học sinh lớp 5
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp dạy học môn Toán – Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thuỵ.
2. Phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học - Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình
Hoan, Vũ Dương Thuỵ, Vũ Quốc Chung.
3. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên theo chu kì ( 2003-2007)
4. Các phương pháp giải Toán ở Tiểu học- Nhà xuất bản giáo dục
5. Các bài Toán điển hình lớp 4 - 5 - Nhà xuất bản giáo dục
6. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Nhà xuất bản giáo dục
7. Các tạp chí “Thế giới trong ta”, “Giáo dục Tiểu học”, “Toán tuổi thơ”.

20/20