Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 6 khai thác bài toán về giá trị nguyên của một phân số từ một bài toán trong sách bài tập toán 6

PHÒNG
PHÒNG GIÁO
GIÁO DỤC
DỤC VÀ
VÀ ĐÀO
ĐÀO TẠO
TẠO NHƯ
NHƯ THANH
THANH

TRƯỜNG
TRƯỜNG TRUNG
TRUNG HỌC
HỌC CƠ
CƠ SỞ
SỞ THỊ
THỊ TRẤN
TRẤN BẾN
BẾN SUNG
SUNG

SÁNG
SÁNG KIẾN
KIẾN KINH
KINH NGHIỆM
NGHIỆM

MỘT
MỘT SỐ
SỐ KINH
KINH NGHIỆM

NGHIỆM HƯỚNG
HƯỚNG DẪN
DẪN
HỌC
HỌC SINH
SINH KHÁ
KHÁ GIỎI
GIỎI LỚP
LỚP 66 KHAI
KHAI THÁC
THÁC BÀI
BÀI TOÁN
TOÁN
VỀ
VỀ GIÁ
GIÁ TRỊ
TRỊ NGUYÊN
NGUYÊN CỦA
CỦA MỘT
MỘT PHÂN
PHÂN SỐ
SỐ
TỪ
TỪ MỘT
MỘT BÀI
BÀI TOÁN
TOÁN TRONG
TRONG SÁCH
SÁCH BÀI
BÀI TẬP

TẬP TOÁN
TOÁN 66

Người
Ngườithực
thựchiện:
hiện:Vũ
VũChí
ChíCường
Cường
Chức
Chứcvụ:
vụ: Giáo
Giáoviên
viên
Đơn
Đơnvị
vịcông
côngtác:
tác: Trường
TrườngTHCS
THCSTT
TTBến
BếnSung
Sung
SKKN
SKKNthuộc
thuộclĩnh
lĩnhmực
mực(môn):

(môn): Toán
Toán

NHƯ THANH, NĂM 2018
NHƯ THANH, NĂM 2018
1


MỤC LỤC

Trang
A. MỞ ĐẦU

I.
II.
III.
IV.

Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I.
II.
III.
1.
2.
3.

Cơ sở lý luận
Thực trạng của vấn đề khi chưa áp dụng SKKN
Các giải pháp đã áp dụng để giải quyết vấn đề
Kiến thức cơ bản về phân số
Nghiên cứu bài tậ 22 (Trang 9, SBT toán 6- tập hai)
Khai thác và mở rộng các tình huống về bài toán
giá trị nguyên của phân số
4. Các bài tập tự luyện
IV.
Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
6
11
12
13

A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
2


Qua nhiều năm công tác, giảng dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi
môn Toán, nội dung mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong các đề thi nói
chung và đề thi học sinh giỏi nói riêng đó chính là các bài tập về phần số học.
Thực tế trong nhiều năm liền trong kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, rất ít
học sinh giải quyết hết được phần số học. Đối với huyện Như Thanh hầu như chỉ
giải quyết được một nửa số lượng về phần này. Vì thế mà ảnh hưởng không nhỏ
đến khả năng đạt giải của các em.
Thực tế, thời lượng cho phần số học trong chương trình Toán THCS là
không nhiều, chủ yếu kiến thức cơ bản nằm ở chương trình Toán 6. Điểm khó là
với đối tượng học sinh lớp 6, việc thay đổi môi trường học tập từ trường Tiểu
học lên THCS, với yêu cầu cao hơn trong tư duy và suy luận. Mặt khác, khả
năng về ngôn ngữ để diễn đạt vấn đề và lập luận có căn cứ đối với các em lớp 6
còn rất hạn chế. Vì thế, mà đối với học sinh lớp 6 gặp không ít khó khăn trong
quá trình học tập và giải toán.
Một thực tế nữa là kiến thức Số học trong sách giáo khoa, mới chỉ đưa ra
các khái niệm cơ bản ban đầu. Các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và
các nguồn tài liệu khác còn hạn chế, thường chú trọng đến việc đưa ra lời giải cụ
thể cho từng bài mà chưa quan tâm đến việc khái quát và phân dạng.
Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy bài toán về giá trị nguyên của một
phân số là một dạng toán rất hay và khó đối các em học sinh lớp 6. Vậy, làm thế
nào để ngay cả các em lớp 6 có thể tiếp cận, tìm tòi và giải quyết tốt bài toán?
Và đặc biệt cách tiếp cận đó làm sao phải phù hợp quá trình nhận thức của học
sinh, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp.
Từ những lý do đó, tôi mạnh dạn viết sáng kiến “ Một số kinh nghiệm
hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 6 khai thác bài toán về giá trị nguyên của

phân số từ một bài toán trong sách bài tập toán 6” để cùng trao đổi thảo luận
và chia sẻ với các đồng nghiệp.
II. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này góp thêm một số kinh nghiệm nữa trong việc hướng dẫn học
sinh lớp 6 tìm tòi, khai thác bài toán, đặc biệt trong bài toán về giá trị nguyên
của một phân số. Từ đó giúp các em hiểu rõ hơn về bản chất của một bài toán và
biết cách suy luận logic. Đồng thời góp phần rèn luyện khả năng tư duy linh
hoạt sáng tạo trong giải toán.
III. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán thuộc phạm vi trong chương trình
toán 6 được khai thác và mở rộng từ bài tập 22 (Trang 9, SBT Toán 6- tập hai)
IV. Phương Pháp nghiên cứu:
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế từ bài toán về giá trị nguyên của
phân số đối với học sinh lớp 6.
- Phương pháp thực hành giải toán.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3


I. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Chúng ta biết rằng, dù là dạng toán nào thì đều phải yêu cầu học sinh
nắm vững kiến thức cơ bản. Phân tích cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa
các đối tượng, giữa cái đã biết với cái chưa biết, cái đang tìm hiểu. Từ đó hướng
dẫn các em vận dụng sáng tạo, linh hoạt vào từng tình huống bài toán cụ thể.
Việc hướng dẫn học sinh ôn tập từ kiến thức cơ bản để giải quyết các bài
toán từ dễ đến khó, nâng dần mức độ đảm bảo khả năng tiếp thu của học sinh là
hoàn toàn phù hợp với quá trình nhận thức.
Trong học tập nói chung và học toán nói riêng, nếu người học mà tự tìm

tòi, khai thác và hệ thống được kiến thức từ những bài toán cơ bản thì không
những giúp cho người học nhớ, lâu tránh được lối tiếp thu thụ động mà còn tạo
được thói quen suy nghĩ tích cực, tư duy linh hoạt sáng tạo, góp phần tích cực
hóa hoạt động học tập.
II.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua việc dạy học các lớp chọn và ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,
bản thân nhận thấy các bài toán về phân số có giá trị nguyên luôn là nội dung
khó đối với các em học sinh lớp 6, kể cả với các em trong đội tuyển học sinh
giỏi môn toán.
Trước khi triển khai đề tài, bản thân đã tiến hành khảo sát kiến thức với
30 học sinh lớp 6A trường THCS Thị trấn Bến Sung năm học 2016-2017. Các
em là những học sinh có lực học khá, giỏi môn Toán.
Đề kiểm tra khảo sát: (Thời gian: 45 Phút)
Bài 1 (7,5 điểm): Tìm số nguyên n để các phân số sau có giá trị là một số
nguyên
a)

2
n +1

b)

n−3
n+2

c)

n+2
2n + 1

a
lớn nhất với a, b là các số tự nhiên,
b
4 6
a
sao cho khi chia mỗi phân số ;
cho ta được kết quả là số tự nhiên.
7 165
b

Bài 2 (2,5 điểm): Tìm phân số tối giản

Kết quả kiểm tra
Tổng
số HS
25

Giỏi

Khá

TB

Yếu, Kém
SL
%
SL
%
SL
%

SL
%
0
0
2
8,0
7
28,0
16
64,0
Từ kết quả trên cho thấy, tuy các em có lực học khá giỏi nhưng kết quả
còn nhiều hạn chế. Kinh nghiệm làm bài chưa có, khả năng suy luận, lập luận
còn hạn chế. Nhiều em còn không xác định được hướng giải quyết bài toán. Đặc
biệt, không có học sinh nào giải quyết được bài 2.
III. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
1. Kiến thức cơ bản về phân số: Yêu cầu nắm vững một số kiến thức sau:

4


- Phân số có dạng
- Phân số

a
, (a, b ∈ Z , b ≠ 0)
b

a
có giá trị là một số nguyên khi aMb .
b

2. Nghiên cứu bài tập 22 (Trang 9, SBT Toán 6- Tập hai)
Cho biểu thức A =

3
n−2

a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.
b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là một số nguyên.
* Phân tích và hướng dẫn:
- Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài.
Câu a: Yêu cầu học sinh nhớ lại định nghĩa về phân số và cho biết biểu
thức A là phân số khi nào?
Câu b: Yêu cầu học sinh tìm hiểu và cho biết biểu thức A có kết quả là
một số nguyên khi nào?
- GV cần lưu ý với học sinh: Để phân số có giá trị là một số nguyên thì tử
phải chia hết cho mẫu.
Biểu thức A =

3
là một số nguyên khi 3Mn − 2 .
n−2

Với cách suy luận trên chúng ta đã đưa bài toán ở câu b về bài toán chia
hết mà học sinh đã biết. Điều này rất phù hợp với tư duy về toán, đó là ta đưa
những bài toán mới, khó về những bài toán đơn giản hơn đã biết. Công việc còn
lại là khá đơn giản.
* Sơ lược lời giải:
3
là phân số khi n − 2 là số nguyên khác 0.

n−2
Từ đó suy ra: n ≠ 2 .
3
b) Biểu thức A =
là một số nguyên khi 3Mn − 2 .
n−2
Suy ra: n − 2 là ước của 3. Ta có:
n−2
1 -1 3 -3
n
3 1 5 -1
Vậy, n ∈ { 3;1;5; −1}

a) Biểu thức A =

- Đặt vấn đề khai thác bài toán: Nếu tử không phải là một số nguyên cụ
thể, thì bài toán sẽ giải quyết thế nào?
Ví dụ 1. Tìm số nguyên n để phân số B =

n +1
có giá trị là một số nguyên.
n−2

* Phân tích và hướng dẫn
- Yêu cầu học sinh tìm hiểu bài toán và trả lời câu hỏi tương tự như trên:
Phân số B =

n +1
có giá trị là số nguyên khi nào?
n−2

- Từ đó, ta đưa về bài toán chia hết.

5


* Sơ lược lời giải:

n +1
có giá trị là số nguyên khi n + 1Mn − 2
n−2
Suy ra: (n − 2) + 3Mn − 2 ⇒ 3Mn − 2 . Khi đó, n − 2 là ước của 3.
Tương tự như bài toán trên ta tìm được n ∈ { 3;1;5; −1} .

Phân số B =

* Một hướng suy nghĩ khác về bài toán:
- Trong bài toán trên, ta cũng đã đưa về bài toán chia hết để thực hiện,
trong cách làm đó, ta đã tách n + 1 thành n − 2 cộng với 3. Ta biết rằng n − 2 chia
hết cho n − 2 ( thương là 1) nên suy ra 3Mn − 2 .
Từ đây, bài toán gợi ý cho ta cách trình bày thứ 2 mà tôi gọi là “tách phần
nguyên” (tương tự như đối với hỗn số):
n +1 n − 2 + 3
3
=
= 1+
n−2
n−2
n−2
3

Để B có giá trị là số nguyên thì
có giá trị là một số nguyên. Đây là
n−2

Ta có: B =

bài toán ta đã giải quyết ở trên ( Bài 22, Trang 9, SBT Toán 6- tập hai).
* Một tình huống khác của bài toán:
- Khi tử của phân số không phải là một số nguyên cụ thể và phân số lại
không tách được phần nguyên thì bài toán sẽ giải quyết thế nào?
Ví dụ 2. Tìm số nguyên n để phân số C =

n −1
có giá trị nguyên.
2n + 2

* Phân tích và hướng dẫn:
- Với bài toán này, ta vẫn yêu cầu học sinh dùng các suy luận trên để làm
bài. Nhưng học sinh sẽ gặp khó khăn khi phân số đã cho không tách được phần
nguyên. Và nếu có chuyển về bài toán chia hết: n − 1M2n + 2 thì cũng không tách
ra được số hạng chia hết cho 2n + 2 . Vậy phải xử lý bài toán thế nào?
- Trước hết, ta cũng đưa bài toán trên về bài toán chia hết: n − 1M2n + 2
- Vì hệ số của n ở số chia là 2 nên ta “mong muốn” xuất hiện hệ số 2 của
n ở số bị chia, bằng cách dùng tính chất của phép chia hết như sau:
Từ n − 1M2n + 2 suy ra: 2(n − 1)M2n + 2
⇒ 2n − 2M2n + 2
⇒ (2n + 2) − 4M2n + 2
⇒ 4M2n + 2
Suy ra 2n + 2 là ước của 4. Từ đó ta tìm ra n.

Tuy nhiên, vì n tìm được là những giá trị để 2(n − 1)M2n + 2 chứ chưa phải
là các giá trị để n − 1M2n + 2 . Vậy, ta cần thử lại để có kết luận bài toán.
* Sơ lược lời giải:
Phân số C =

n −1
có giá trị nguyên khi n − 1M2n + 2
2n + 2

6


⇒ 2n − 2M2n + 2
⇒ (2n + 2) − 4M2n + 2
⇒ 4M2n + 2
Suy ra 2n + 2 là ước của 4. Mà 2n + 2 là số chẵn nên ta có bảng sau:

2n+2
n

-2
-2

2
0

-4
-3

4

1

3
(không thỏa mãn)
2
−1
+) Với n=0 thì C =
(không thỏa mãn)
2
+) Với n=-3 thì C = 1 (thỏa mãn)
+) Với =1 thì C = 0 (thỏa mãn)
Vậy, n ∈ { −3;1}

Thử lại:

+) Với n=-2 thì C =

* Nhận xét:
- Như vậy, trong bài toán trên ta đã chọn một bội của n-1 sao cho hệ số
của n trên tử phải chia hết cho hệ số của n dưới mẫu. Ta có thể chọn các bội
khác là 4(n − 1);6(n − 1)... nhưng để đơn giản ta chọn là 2(n − 1)
- Từ góc nhìn khác về bài toán, ta có thể phân tích bài toán như sau:
Yêu cầu học sinh quan sát và phát hiện đặc điểm của mẫu số: Hai hạng tử
của mẫu đều có chứa thừa số 2, nên ta có thể dùng tính chất phân phối của phép
nhân với phép cộng để đặt thừa số 2 làm chung cho tổng:

2n + 2 = 2(n + 1)
Từ n − 1M2n + 2 ta có: n − 1M2(n + 1) . Theo quan hệ chia hết ta có thể suy

luận ra điều gì?

Suy ra: n − 1Mn + 1 .
- Đến đây, ta được bài toán như ví dụ 1. Việc giải tìm n là đơn giản. Tuy
nhiên các giá trị n tìm được để n − 1Mn + 1 nhưng chưa phải là các giá trị để
n − 1M2n + 2 ( n − 1Mn + 1 nhưng chưa chắc n − 1M2n + 2 ). Vì vậy, ta phải thử lại để
có được các giá trị n cần tìm.
* Sơ lược cách giải:
Phân số C =

n −1
có giá trị nguyên khi n − 1M2n + 2
2n + 2
⇒ n − 1M2n + 2
⇒ n − 1M2(n + 1)
⇒ n − 1Mn + 1
⇒ n + 1 − 2Mn + 1
⇒ 2Mn + 1

Suy ra n + 1 là ước của 2. Ta có bảng sau:
n+1 -1 1 -2
n
-2 0 -3

2
1
7


3
(không thỏa mãn)
2

−1
+) Với n=0 thì C =
(không thỏa mãn)
2
+) Với n=-3 thì C = 1 (thỏa mãn)
+) Với =1 thì C = 0 (thỏa mãn)
Vậy, n ∈ { −3;1}

Thử lại:

+) Với n=-2 thì C =

- Với ví dụ này, ta có thể trình bày theo cách “tách phần nguyên” được
không? Ta hoàn toàn có thể làm được. Vì việc xử lý bài toán bằng cách dựa vào
quan hệ chia hết như trên chính là gợi ý cho chúng ta trình bày theo cách tách
phần nguyên. Để thấy rõ nét hơn về cách làm, chúng ta cùng đến với bài tập sau:
Ví dụ 3. Tìm số nguyên n để D =

n −1
có giá trị là một số nguyên.
2n + 1

* Phân tích và hướng dẫn:
- Theo cách làm trên, ta sẽ phải nhân với tử một số nguyên sao cho hệ số
của n trên tử phải chia hết cho hệ số n ở dưới mẫu. Ta chọn số 2.
* Sơ lược cách giải:
Phân số D =

n −1
2n − 2

có giá trị là một số nguyên, suy ra: 2 D =
có giá
2n + 1
2n + 1

trị là một số nguyên.

2n − 2 2n + 1 − 3
3
=
= 1−
2n + 1
2n + 1
2n + 1
Để 2D có giá trị nguyên thì 2n + 1 là ước của 3. Ta có bảng sau:

Ta có: 2 D =

Thử lại:

2n+1 -1 1 -3 3
n
-1 0 -2 1
+) Với n=-1 thì D = −2 (thỏa mãn)
+) Với n=0 thì D = −1 (thỏa mãn)
+) Với n=-2 thì D = 1 (thỏa mãn)
+) Với n=1 thì D = 0 (thỏa mãn)

Vậy, n ∈ { −1;0; −2;1}
Từ bài tập trên, ta có thể khai thác, mở rộng và hệ thống thành dạng bài

tập về tìm điều kiện để phân số có giá trị là một số nguyên. Đây là một dạng bài
tập khá hay và phổ biến trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở lớp 8,
lớp 9. Tuy nhiên, đối với học sinh lớp 6 thì đang còn rất mới mẻ và khó.
3. Khai thác và mở rộng các tình huống về bài toán giá trị nguyên của phân
số.
3.1.Tình huống 1: Khai thác bài toán bằng cách thay đổi về tính chất số.
3
có giá trị là một số nguyên âm.
n−2
n+4
b) Tìm số tự nhiên n để phân số
có giá trị là một số nguyên.
n+2

Bài 1: a) Tìm số nguyên âm n để phân số

* Sơ lược cách giải:

8


3
có giá trị là số nguyên âm khi n − 2 là ước âm của 3.
n−2
Ta có: +) n − 2 = −1 ⇒ n = 1 (không thỏa mãn)
+) n − 2 = −3 ⇒ n = −1 (thỏa mãn)
Vậy, n = −1 .
n+4
2
= 1+

b) Ta có:
n+2
n+2
n+4
Phân số
có giá trị là một số nguyên khi n + 2 là ước của 2, mà n là
n+2
số tự nhiên nên n + 2 = 2 ⇒ n = 0 .
Vậy, n = 0 .

a) Phân số

3.2.Tình huống 2: Tìm điều kiện để nhiều phân số đều có giá trị nguyên.
Bài 2: Tìm số nguyên n để các phân số sau đều có giá trị nguyên:
3
4
5
;
và
n+2 n+2
n+2
2
n+5
b)
và
n +1
n +1

a)

* Phân tích và hướng dẫn:
- Ở câu a, ta cho học sinh suy nghĩ để suy luận tương tự như bài tập trên
đối với mỗi phân số và phát hiện “điểm” đặc biệt của bài toán. Đó là n+2 là ước
chung của 3; 4 và 5
- Ở câu b, ta định hướng để học sinh phát hiện được đặc điểm khác nhau
cơ bản của 2 phân số. Từ đó, đề xuất phương án “ tách phần nguyên” đối với
phân số

n+5
.
n +1

* Sơ lược cách giải:
3
4
5
;
và
đều có giá trị là các số nguyên khi
n+2 n+2
n+2
n+2 là ước chung của 3, 4 và 5. Mà ƯC(3,4,5) = { −1;1} nên:
+) n + 2 = −1 ⇒ n = −3
+) n + 2 = 1 ⇒ n = −1 .
Vậy n = { −1; −3} .

a) Các phân số

b) Ta có:

n + 5 n +1+ 4
4
n+5
=
= 1+
. Để phân số
có giá trị là một số
n +1
n +1
n +1
n +1

nguyên thì n + 1 là ước của 4.

2
có giá trị nguyên thì n + 1 là ước của 2.
n +1
Suy ra, n + 1 là ước chung của 2 và 4. Mà ƯC(2,4) = { ±1; ±2} . Nên ta có:

Mặt khác, để phân số

n+1
n

Vậy, n ∈ { −2;0; −3;1}

-1
-2

1

0

-2
-3

2
1
9


Bài 3: Tìm số tự nhiên n để các phân số có giá trị là các số nguyên:
3
9
và
n +1
2n + 3
4
2n − 1
b)
và
n +1
n+2

a)

* Phân tích và hướng dẫn:
- Ở câu a, nhận thấy hai phân số này không cùng mẫu. Vì vậy, ta định
hướng cho học sinh giải độc lập đối với hai phân số. Sau đó, để học sinh suy
nghĩ trả lời cho câu hỏi: Với số tự nhiên n là bao nhiêu thì cả hai phân số đã cho
có kết quả là một số nguyên?

- Ở câu b, ta phải “tách phần nguyên” để đưa về dạng như câu a.
* Sơ lược cách giải:
3
có giá trị là một số nguyên khi n + 1 là ước của 3. Với n là
n +1
số tự nhiên, ta tìm được n ∈ { 0;2;}

a) Phân số

9
có giá trị là số nguyên thì 2n + 3 là ước của 9. Với n là số
2n + 3
tự nhiên, ta tìm được: n ∈ { 0;1;3}

- Phân số

Suy ra, để các phân số đều có giá trị là số nguyên thì n=0. Vậy n=0
* Lưu ý: Ở bài tập này, sau khi ta tìm được các số tự nhiên n để phân số thứ nhất
có giá trị là số nguyên. Ta có thay lần lượt các số vừa tìm được vào phân số thứ
hai để kiểm tra trường hợp nào cho phân số có giá trị là số nguyên, từ đó ta tìm
được kết quả nhanh hơn.

2n − 1 2( n + 2) − 5
5
2n − 1
=
= 2−
. Để phân số
có giá trị là
n+2

n+2
n+2
n+2
một số nguyên thì n + 1 là ước của 5. Với n là số tự nhiên, ta tìm được: n = 3 .
4
4
=
= 1 (thỏa mãn).
- Nhận thấy, với n=3 thì phân số
n +1 3 +1
Vậy giá trị cần tìm là n = 3 .

b) Ta có:

3.3.Tình huống 3: Tìm điều kiện để tổng, hiệu của nhiều phân số có giá trị
nguyên.
Bài 4: Tìm số tự nhiên n, để mỗi biểu thức sau có giá trị là số tự nhiên:
4
6
3
+
+
n −1 n −1 1 − n
2n + 3 3n
5n + 8
−
+
b) B =
n+2 n+2 n+2

a) A =

* Phân tích và hướng dẫn
- Ở bài tập này, biểu thức là tổng của nhiều phân số. Việc đầu tiên là ta
định hướng cho học sinh thực hiện việc cộng, trừ phân số để thu gọn biểu thức.
* Sơ lược cách giải:

10


4
6
3
4
6
3
7
+
+
=
+
−
=
n −1 n −1 1 − n n −1 n −1 n −1 n −1
Để A có giá trị là một số tự nhiên thì n − 1 là ước dương của 7. Ta có:
+) n − 1 = 1 ⇒ n = 2 (thỏa mãn)
+) n − 1 = 7 ⇒ n = 8 (thỏa mãn)
Vậy, n ∈ { 2;8}

a) Ta có: A =

b) Ta có:

2n + 3 3n
5n + 8 2n + 3 − 3n + 5n + 8 4 n + 11
3
−
+
=
=
= 4+
n+2 n+2 n+2
n+2
n+2
n+2
n
+
2
Để B có giá trị là một số tự nhiên thì
là ước của 3. Mà n là số tự
n
+
2
≥
2
n
+
2
=
3

⇒
n
=
1
nhiên nên
Suy ra:
(thỏa mãn)
n
=
1
Vậy,
.
B=

3.4. Tình huống 4: Phân số có tử và mẫu là các biểu thức phức tạp.
Bài 5: Tìm số nguyên x để các phân số có trị nguyên
x+2
( x − 2)( x + 1)
x2 − x + 2
b)
1− x

a)

* Phân tích và hướng dẫn:
- Ở câu a, ta đưa về bài toán chia hết: x + 2M( x − 2)( x + 1) ⇒ x + 2Mx + 1
Từ đó, suy luận ta tìm được giá trị của x, rồi thử lại để kết luận bài toán.
- Ở câu b, liên hệ với mẫu 1 − x , ta thấy x 2 − x có gì đặc biệt?
1 − x . Nó chính là cơ sở để chúng ta suy luận giải
Ta có: x 2 − x = x( x − 1)M

quyết bài toán.
* Sơ lược cách giải:
x+2
có giá trị nguyên khi x + 2M( x − 2)( x + 1)
( x − 2)( x + 1)
Suy ra: x + 2Mx + 1 ⇒ x + 1 + 1Mx + 1
⇒ 1Mx + 1
⇒ x + 1 là ước của 1
Ta có:
+) x + 1 = −1 ⇒ x = −2
+) x + 1 = 1 ⇒ x = 0
x+2
= −1 (thỏa mãn)
Thử lại:
+) x = 0 ⇒
( x − 2)( x + 1)
x+2
= 0 (thỏa mãn)
+) x = −2 ⇒
( x − 2)( x + 1)
Vậy, x ∈ { 0; −2}

a) Phân số

x 2 − x + 2 x( x − 1) + 2
2
=
= −x +
b) Ta có:
1− x

1− x
1− x

11


x2 − x + 2
Phân số
có giá trị nguyên khi 1 − x là ước của 2. Ta có bảng:
1− x
1 − x -1 1 -2
2
x
2 0 3 -1
Vậy, x ∈ { 2;0;3; −1}

3.5. Tình huống 5: Áp dụng vào bài toán tìm phân số để kết quả nhân, chia
phân số là một số nguyên.
Bài 6: Tìm phân số có giá trị nhỏ nhất mà tử và mẫu là số tự nhiên khác 0,
sao cho khi nhân phân số này lần lượt với phân số

2 4
; thì mỗi tích tìm được là
3 5

một số tự nhiên.
* Phân tích và hướng dẫn:
- Yêu cầu học sinh tiếp cận bài toán bằng việc gọi phân số cần tìm là
với (a, b) = 1 . Rồi thực hiện phép nhân phân số, ta được:

a
b

a 2 2a a 4 4a
. =
; . =
b 3 3b b 5 5b
2 a 4a
; là một số tự nhiên khi nào? Từ
- Khi đó kết quả mỗi tích thu được
3b 5b

đó ta có thể suy luận được điều gì?
2a
có giá trị là một số tự nhiên, khi 2aM3b .Suy ra:
3b
+) 2aM3 mà (2,3) = 1 nên aM3
+) 2aMb mà (a, b) = 1 nên 2Mb
Tượng tự, ta được: aM5 , 4Mb

- Hướng dẫn: Ta có

Do đó: a là bội chung của 3 và 5, b là ước chung của 2 và 4.
Vì theo đề bài

a
là phân số nhỏ nhất nên a là số tự nhiên nhỏ nhất, b là số
b

tự nhiên lớn nhất. Suy ra: a=BCNN(3,5), b=ƯCLN(2,4).

* Sơ lược cách giải:
a
với (a, b) = 1
b
a 2 2a a 4 4a
Ta có: . = ; . =
b 3 3b b 5 5b
2a
Phân số
là số tự nhiên khi 2aM3b . Suy ra:
3b
+) 2aM3 mà (2,3) = 1 nên aM3
+) 2aMb mà (a, b) = 1 nên 2Mb
4a
Phân số
là số tự nhiên khi 4aM5b . Tương tự, suy ra: aM5 , 4Mb
5b

Gọi phân số cần tìm là

Do đó, a là bội chung của 3 và 5, b là ước chung của 2 và 4.
12


Vì theo đề bài

a
là phân số nhỏ nhất nên a là số tự nhiên nhỏ nhất, b là số
b

tự nhiên lớn nhất. Suy ra: a=BCNN(3,5)=15, b=ƯCLN(2,4)=2.
Vậy, phân số cần tìm là

15
.
2

a
lớn nhất (a, b là các số tự nhiên khác 0), sao
b
8 16
a
cho khi chia mỗi phân số ;
cho ta được kết quả là số tự nhiên.
b
30 21

Bài 7: Tìm phân số tối giản

* Sơ lược cách giải:
a
tối giản mà a, b là các số tự nhiên nên (a, b) = 1 .
b
8 a 4 b 4b 16 a 16 b 16b
: = . =
: = . =
Ta có
;
30 b 15 a 15a 21 b 21 a 21a
4b

15a . Suy ra:
Phân số
có kết quả là số tự nhiên khi 4bM
15a
+) 4bMa mà (a, b) = 1 nên 4Ma
15 mà (4,15)=1 nên bM
15
+) 4bM
16b
Phân số
có kết quả là số tự nhiên khi 16bM21a . Tương tự, suy ra:
21a
16Ma , bM21

Phân số

Do đó: a là ước chung của 4 và 16, b là bội chung của 15 và 21.
Vì

a
là phân số lớn nhất nên a là số tự nhiên lớn nhất, b là số tự nhiên
b

nhỏ nhất.
Suy ra: a=ƯCLN(4,6)=4, b=BCNN(15,21)=105
Vậy phân số cần tìm là

a
4
=

.
b 105

4. Các bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để cả ba phân số sau đều là số nguyên:
15 12
6
;
;
n n + 2 2n − 5

Bài 2: Cho phân số A =

6n − 1
( n ∈ Z ) . Tìm n để A có giá trị nguyên.
3n + 2

Bài 3: Tìm số a nguyên sao cho:

a+3
là số nguyên âm;
a−2
a+7
b)
là số nguyên;
3a − 1
3a + 2
c)
là số tự nhiên.
4a − 5

a)

13


Bài 4: Tìm các số nguyên x biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

2 x + 9 5 x + 17 −3 x −4 x − 23
+
+
+
x+3
x+3
x+3
x+3
a
Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ nhất (a, b ∈ N * ) sao cho khi nhân số đó với
b
24
16
và
đều được tích là một số tự nhiên.
5
3
P=

Bài 6: Tìm phân số tối giản

(

)

a
lớn nhất a, b ∈ N * sao cho khi chia mỗi phân số
b

28 32
a
;
cho ta được kết quả là số tự nhiên.
75 165
b

Bài 6: Tìm các số nguyên n để biểu thức A =

1 225 3 196
.
+ .
có giá trị là
15 n + 2 14 3n + 6

một số nguyên.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Sau thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy học sinh có
nhiều tiến bộ khi gặp dạng toán về giá trị nguyên của một phân số. Nhiều em đã
thấy rất hứng thú, say mê tìm hiểu và tự tin hơn.
Việc lồng ghép hướng dẫn học sinh khai thác các ứng dụng từ một bài
toán đã biết vào các bài toán tương tự khó hơn, phức tạp hơn, đã giúp các em
chủ động tiếp thu kiến thức, kích thích sự tìm tòi sáng tạo, qua đó các em làm

chủ được kiến thức của mình để tiếp nhận các bài tập khác một cách nhẹ nhàng
điều này giúp đạt kết quả cao trong các kì thi.
Sau khi triển khai đề tài, để kiểm định chất lượng của sáng kiến, tôi cho
học sinh làm bài kiểm tra, thời gian kiểm tra 45phút.
Đối tượng kiểm tra: 30 học sinh là học sinh có lực học khá giỏi môn Toán
lớp 6A trường THCS TT Bến Sung.
Đề kiểm tra: (Thời gian: 45 Phút)
Bài 1. (4,0 điểm) Tìm số nguyên n để các phân số sau đều có giá trị là một số
nguyên:
a)

3
2n − 1

b)

n −1
n+2

Bài 2. (4,0 điểm) Tìm số tự nhiên a để biểu thức sau có giá trị là số tự nhiên
a +1
3a + 2
a +1
a
−
b) B =
a−2 2−a

a) A =

Bài 3. (2,0 điểm) Cho hai phân số

5
15
và
. Tìm phân số tối giản lớn nhất sao
12
21

cho khi chia mỗi phân số trên cho phân số đó ta được kết quả là một số nguyên.
Kết quả thu được :
14


Giỏi
Khá
TB
Yếu,kém
Tổng
số HS
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
25
10

40,0
9
36,0
6
24,0
0
0,0
Đối chiếu với kết quả khảo sát cho thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt: Với nội
dung kiểm tra có phần khó hơn đề đã khảo sát thì kết quả hoàn thành của học
sinh rất tốt. Không có học sinh nào có điểm yếu, kém; chủ yếu là đạt điểm khá
giỏi; có 5 em học sinh đã giải quyết tốt cả ba bài.
Tuy nhiên, đề tài này chỉ có hiệu quả đối với đối tượng học sinh có lực
học khá, giỏi và ít hiệu quả đối với các em có lực học TB và yếu, kém về môn
Toán.
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Đây là một chuyên đề khá vừa sức với các em học sinh có năng lực về
môn Toán và việc các em lĩnh hội cũng không gặp nhiều khó khăn.
Trong phạm vi nhỏ của đề tài bản thân chưa thể bao quát hết các kiến thức
từ việc khai thác kết quả của một bài toán, tuy nhiên khi thực hiện đã có tác
dụng rất tốt đối với học sinh. Từ những thành công trong việc vận dụng sáng
kiến kinh nghiệm vào giảng dạy tôi xin mạnh dạn chia sẻ cùng đồng nghiệp.
Bài viết không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận
được sự góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị: Không.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Như Thanh , ngày 14 tháng 3 năm 2018.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung người khác.
Người viết

Vũ Chí Cường

15


Tài liệu tham khảo:
[1] Nâng cao và phát triển toán 6-Tập hai. Tác giả: Vũ Hữu Bình. NXB
Giáo Dục Việt Nam, năm2015.
[2] Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6,7,8 cấp Huyện năm học 2016-2017.
PGD&ĐT Huyện Như Thanh.
[3] Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6. Tác giả: Vũ Dương Thụy chủ
biên. NXB Giáo Dục, năm 2006.
[4] Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán 6 tập một. Tác giả: Vũ Hữu
Bình chủ biên. NXB Giáo Dục Việt Nam, năm 2014.

16