Hướng dẫn giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân biểu thức liên hợp cho học sinh lớp 9 trường THCS nga hải

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP “NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP”
CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS NGA HẢI

Người thực hiện: Lê Quang Công
Chức vụ: Phó hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Hải
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
1. Mở đầu …………………………………………………………………….……………………………………………….…...…2
1.1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu ………………………………………................................................................….……...……2
1.3. Đối tượng nghiên cứu ......................................................................................................................3
1.4. Phương pháp nghiên cứu ..........................................................................................................................................3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………...................................................…………...……4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………………………..........................................……...……4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ………....................……4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……………………………………………..…….5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường…………………………………………………..………...…………..…………13
3. Kết luận, kiến nghị …………………………………………………………………..……………………..……...…..14

3.1. Kết luận …………………………………………………………………………………………...…………………………...14
3.2. Kiến nghị …………………………………………………………………………………….………………………………14

2


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình THCS toán học là môn khoa học tự nhiên chiếm một
vị trí quan trọng trong suy nghĩ và trong phương pháp học tập của học sinh.
Toán học giúp cho các em phát triển tư duy, óc sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng
hợp, tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác, năng lực sáng tạo, khả năng tìm tòi
và khám phá tri thức. Qua đó các em vận dụng những hiểu biết của mình vào
trong thực tiễn và vào các môn học khác. Toán học là chìa khoá cơ bản ban đầu
để các em khám phá kho tàng tri thức nhân loại, từ đó các em có vốn khoa học
nhất định để phát triển nhân cách và phục vụ cho công tác xây dựng đất nước
sau này.
Với vai trò quan trọng trên việc giúp các em thích học, hiểu và sau đó là
đam mê môn toán để các em mở rộng và nâng cao kiến thức là việc làm bắt buộc
đối với người dạy toán. Tuy nhiên nếu để các em tự học và tự tìm tòi, thì chỉ
định hình trong óc cách giải theo sự hiểu biết của bản thân mà không nắm được
thực chất của vấn đề.
Trong chương trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm của một phương trình
phương trình vô tỉ (phương trình có chứa ẩn số trong dấu căn) đối với học sinh
còn gặp những khó khăn như: chưa trình bày được lời giải một phương trình một
cách đầy đủ và chính xác, học sinh thường vi phạm một trong các sai lầm như:
chưa tìm tập xác định của phương trình (điều kiện có nghĩa của phương trình),
đã thực hiện các phép biến đổi phương trình như: bình phương hai vế, lập
phương hai vế hoặc khi chọn được nghiệm thì kết luận ngay không đối chiếu
nghiệm với tập xác định để chọn nghiệm rồi kết luận. Học sinh thường bỏ qua

các phép biến đổi tương đương một phương trình với một hệ điều kiện và trình
bày phương trình rời rạc không theo một quy trình.
Mặt khác, trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào THPT việc định dạng các
phương trình thường gặp trong chương trình, học sinh còn lúng túng khi tìm
hướng giải cũng như chưa có được cách giải phù hợp với từng dạng đó. Chỉ áp
dụng máy móc như bình phương liên tục (nhiều lần) các phương trình làm cho
việc trình bày lời giải dài dòng, thiếu hiệu quả.
Với suy nghĩ đó trong các năm học qua tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này.
Làm thế nào để học sinh có thể tìm ra một cách giải tốt nhất và mang lại hiệu
quả cao? Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài: Hướng dẫn giải phương trình vô tỉ
bằng phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cho học sinh lớp 9 trường THCS
Nga Hải.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng cho học sinh kỹ năng định dạng phương trình vô tỉ, từ đó các
em xác định được hướng giải phù hợp với dạng đó, làm cho bài toán tưởng
chừng là khó trở thành dễ dàng và quen thuộc, nhằm tạo nên không khí học tập
3


sôi nổi, gây hứng thú cho học sinh, làm cho các em say mê yêu thích môn toán
và qua đó các em tiếp nhận kiến thức một cách tự nhiên.
Vận dụng và thực hiện được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện
nay: Giáo viên là người tổ chức, hướng dẫn, điều khiển hoạt động của học sinh
còn học sinh là đối tượng tham gia trực tiếp, chủ động, linh hoạt, sáng tạo trong
hoạt động học tập của mình.
Tạo điều kiện để các em được thể hiện, được rèn luyện các kỹ năng cơ
bản, các em được gần gũi nhau, gần gũi với giáo viên từ đó tạo điều kiện cho
các em phát huy hết khả năng của mình.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu về kỹ năng xác định dạng và giải phương trình vô tỉ

bằng phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” trong dạy học môn Toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết:
Giáo viên xây dựng cho học sinh kỹ năng nhận dạng, biến đổi phương
trình và xác định được khi nào thì cần nhân mỗi hạng tử ở hai vế của phương
trình với biểu thức liên hợp, sau đó lấy ví dụ minh họa làm sáng tỏ vấn đề.
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm:
Bản thân đã tiến hành thực nghiệm ở các tiết dạy toán 9.
- Sử dụng phương pháp thống kê, xử lí số liệu:
Trong quá trình áp dụng vào tiết dạy trên lớp cũng như ôn luyện học sinh
giỏi, giáo viên cho học sinh làm bài khảo sát để đánh giá kết quả học tập của các
em. Qua đó thống kê và báo cáo số liệu.

4


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình phát triển xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự
nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ xung
và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy mỗi
người giáo viên nói chung phải luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy
học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.
Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình
vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền đề cơ bản để học sinh
tiếp tục học lên ở THPT.
Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở
đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai và
bậc ba). Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh trung học cơ sở coi là loại
toán khó, nhiều học sinh không biết giải phương trình vô tỉ như thế nào? Có

những phương pháp nào?
Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến
thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại
số,… Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng đơn giản
đến phức tạp.
Các bài toán về phương trình vô tỉ được đề cập nhiều trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên các tài liệu viết về vấn đề này
rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định, gây nhiều khó
khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của
giáo viên. Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện
nay còn ít giáo viên nghiên cứu.
Vì vậy hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp
“nhân biểu thức liên hợp” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực
chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ,
lòng say mê học toán cho học sinh.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi viết sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi
nhận thấy việc giải các bài toán về phương trình vô tỉ thường gặp nhiều, đặc biệt
trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT nhưng nó lại là một phần
kiến thức khó đối với học sinh, đa số học sinh thường bỏ qua hoặc chỉ có một số
học sinh khá giỏi giành thời gian để suy nghĩ, song kết quả không cao. Các em
rất lúng túng khi gặp dạng toán này vì chưa có phương pháp giải, trong khi đó
vấn đề này ở SGK toán THCS lại đề cập rất ít, không đi sâu. Các tài liệu tham
khảo không nhiều mà chỉ chung chung không có phương pháp cụ thể.

5


Trước thực trạng vấn đề và tìm cách khắc phục ngay đầu năm học 20172018. Trong bài kiểm tra khảo sát của 35 HS lớp 9B, tôi đã ghi lại kết quả sau:
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

Lớp

Số
HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

9B

35

3

8,6

6

17,1

15

42,8

8

22,9

3

8,6

Từ thực trạng trên để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã
mạnh dạn cải tiến nội dung, phương pháp đi sâu vào việc: Hướng dẫn giải

phương trình vô tỉ bằng phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cho học sinh
lớp 9 trường THCS Nga Hải.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Trong bài viết này, tôi muốn đưa ra một sáng kiến làm rõ việc giải dạng
phương trình vô tỉ bằng cách nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên
hợp. Vấn đề quan trọng nhất của phương pháp này là phải nhẩm được nghiệm
của phương trình (nghiệm phương trình nằm trong khoảng tập xác định của
phương trình), từ đó xác định cần phải nhân với biểu thức liên hợp nào và biến
đổi phương trình về dạng phương trình tích rồi giải.
Ta có một số công thức thường dùng (giả thiết các mẫu thức khác 0)

3

3

a− b=

a −b
với a, b ≥ 0
a+ b

a+ b=

a −b
với a, b ≥ 0
a− b

a−3b=
a+3b=

a −b
3

a + 3 ab + 3 b 2
2

a+b
3

a 2 − 3 ab + 3 b 2

Một số ví dụ sử dụng phương pháp nhân biểu thức liên hợp
Bài 1: Giải phương trình

2 x + 5 − 6 − x + 2 x 2 + x − 11 = 0 (1)

Phân tích bài toán:
5
2

Ta tìm một số x ( − ≤ x ≤ 6 ) sao cho 2x + 5 và 6 – x là một số chính phương thỏa
mãn phương trình trên. Dễ thấy x = 2 thỏa mãn PT (1).
Vì vậy ta đưa PT (1) về dạng: (x – 2).f(x) = 0.

6


Do đó ta cần làm xuất hiện nhân tử chung (x – 2) từ vế trái của phương trình
bằng phương pháp nhân liên hợp. Muốn vậy tìm hai số a, b > 0 sao cho hệ
phương trình sau có nghiệm x = 2.

 2 x + 5 − a = 0  a = 3
⇒

 b − 6 − x = 0
 b = 2
5
2

Lời giải: Điều kiện: − ≤ x ≤ 6
Phương trình (1) ⇔ 2 x + 5 − 3 + 2 − 6 − x + 2 x 2 + x − 10 = 0
⇔

( 2 x + 5 + 3)( 2 x + 5 − 3) (2 − 6 − x )(2 + 6 − x )
+
+ 2 x 2 + x − 10 = 0
2x + 5 + 3
2+ 6− x
⇔

2( x − 2)
x−2
+
+ ( x − 2)( x + 5) = 0
2x + 5 + 3 2 + 6 − x

2
1


⇔ ( x − 2) 

+
+ 2 x + 5 ÷ = 0 (*)
 2x + 5 + 3 2 + 6 − x

5
2

Do − ≤ x ≤ 6 nên

2
1
+
+ 2x + 5 > 0
2x + 5 + 3 2 + 6 − x

Từ đó PT (*) ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2.
Nhận xét:
Khi giải phương trình này học sinh thường hay mắc sai lầm là không tìm
điều kiện xác định, và khi giải thường là bình phương hai vế của phương trình
rồi biến đổi, làm cho phương trình càng trở nên phức tạp hơn và rơi vào bế tắc.
Đối với dạng phương trình này sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Để
xác định được biểu thức liên hợp cần nhân, thì khi nhẩm nghiệm ta nên chọn các
giá trị của biến thỏa mãn các biểu thức ở trong căn bậc hai là số chính phương
hoặc là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 2: Giải phương trình

x + 3 − 2 − x − x 2 + 4 x − 4 = 0 (2)

Phân tích bài toán:

Ta tìm một số x ( −3 ≤ x ≤ 2 ) sao cho x + 3 và 2 – x là một số chính phương thỏa
mãn phương trình trên. Dễ thấy x = 1 thỏa mãn PT (2).
Vì vậy ta đưa PT (2) về dạng: (x – 1).f(x) = 0.
Do đó ta cần làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1) từ vế trái của phương trình
bằng phương pháp nhân liên hợp.
Muốn vậy tìm hai số a, b > 0 sao cho hệ phương trình sau có nghiệm x = 1.
7


 x + 3 − a = 0  a = 2
⇒

 b − 2 − x = 0  b = 1

Lời giải: Điều kiện: −3 ≤ x ≤ 2
Phương trình (2) ⇔ ( x + 3 − 2) + (1 − 2 − x ) − ( x 2 − 4 x + 3) = 0
⇔

( x + 3) − 4 1 − (2 − x)
+
− ( x − 1)( x − 3) = 0
x + 3 + 2 1+ 2 − x

1
1


⇔ ( x − 1) 
+
+ 3 − x ÷ = 0 (*)

 x + 3 + 2 1+ 2 − x

1
1
+
+3− x > 0
x + 3 + 2 1+ 2 − x

Do −3 ≤ x ≤ 2 nên

Từ đó PT (*) ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài 3: Giải phương trình

8 x + 1 + 46 − 10 x = − x 3 + 5 x 2 − 12 x + 17 . (3)

Phân tích bài toán:
1
8

Ta tìm một số x ( − ≤ x ≤

23
) sao cho 8x + 1 và 46 – 10x là một số chính phương
5

thỏa mãn phương trình trên. Dễ thấy x = 1 thỏa mãn PT (3).
Vì vậy ta đưa PT (3) về dạng: (x – 1).f(x) = 0.
Do đó ta cần làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1) từ vế trái của phương trình
bằng phương pháp nhân liên hợp.

Muốn vậy tìm hai số a, b > 0 sao cho hệ phương trình sau có nghiệm x = 1.
 8 x + 1 − a = 0
 a = 3
⇒

 b − 46 − 10 x = 0  b = 6
1
8

Lời giải: Điều kiện: − ≤ x ≤

23
5

Phương trình (3) ⇔ ( 8 x + 1 − 3) + ( 46 − 10 x − 6) = − x 3 + 5 x 2 − 12 x + 8
⇔

−8(1 − x)
10(1 − x)
+
= (1 − x)( x 2 − 4 x + 8)
8x + 1 + 3
46 − 10 x + 6

1 − x = 0 (*)
⇔
−8
10

+

= x 2 − 4 x + 8 (**)
 8 x + 1 + 3
46 − 10 x + 6

Ta có: PT (*) ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
8


1
8

Vì − ≤ x ≤

23
nên
5

−8
10
5
+
< < 4 ≤ ( x − 2) 2 + 4 = x 2 − 4 x + 8
8x + 1 + 3
46 − 10 x + 6 3

Do đó phương trình (**) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
Bài 4: Giải phương trình

3 x − 2 − x + 1 = 2 x 2 − x − 3 (4)

Nhận xét: Đối với bài toán này ta nhận thấy vế phải của phương trình phân
tích được thành nhân tử: (2 x − 3)( x + 1) , trong đó nhân tử (2 x − 3) chính lại là hiệu
của hai biểu thức ở trong dấu căn của vế trái phương trình. Vì vậy ở một số
phương trình vô tỉ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa chọn hợp lý biểu
thức liên hợp trong mỗi phương trình. Ta có thể giải bài toán trên như sau:
Lời giải: Điều kiện: x ≥

2
3

( 3 x − 2 + x + 1)( 3 x − 2 − x + 1)
= (2 x − 3)( x + 1)
Phương trình (4) ⇔
3x − 2 + x + 1

⇔

2x − 3
= (2 x − 3)( x + 1)
3x − 2 + x + 1

1


⇔ (2 x − 3) 
− x − 1÷ = 0
 3x − 2 + x + 1

 2 x − 3 = 0 (*)

⇔ 
1

= x + 1 (**)
 3 x − 2 + x + 1

Ta có: PT (*) ⇔ x =
Vì x ≥

2
nên
3

3
(thỏa mãn điều kiện)
2

1
< 1 < x + 1 . Do đó PT (**) vô nghiệm
3x − 2 + x + 1
3
2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .

Bài 5: Giải phương trình

2x − 3 − x = 2x − 6 .

(5)

Nhận xét: Đối với bài toán này ta nhận thấy vế phải của phương trình phân
tích được thành nhân tử: 2( x − 3) chính lại là bội của hiệu hai biểu thức ở trong
dấu căn của vế trái phương trình. Vì vậy ta có thể giải bài toán trên như sau:
Lời giải: Điều kiện: x ≥
Phương trình (5) ⇔

3
2

( 2 x − 3 − x )( 2 x − 3 + x )
= 2( x − 3)
2x − 3 + x
9


⇔

x −3
1


= 2( x − 3) ⇔ ( x − 3)  2 −
÷= 0
2x − 3 + x
2x − 3 + x 


 x − 3 = 0 (*)
⇔

1
2 −
= 0 (**)
2x − 3 + x


Ta có PT (*) ⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện)
Vì x ≥

3
nên
2

1
1
<1 ⇒ 2 −
> 0 . Do đó PT (**) vô nghiệm.
2x − 3 + x
2x − 3 + x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
Bài 6: Giải phương trình

(

)(

)

1+ x +1

1 + x + 2 x − 5 = x . (6)

Lời giải: Điều kiện x ≥ −1
Nhận thấy rằng với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên nhân cả 2
vế của phương trình trên với 1 + x − 1 ≠ 0 , ta có:
PT (6) ⇔ ( 1 + x − 1) ( 1 + x + 1) ( 1 + x + 2 x − 5 ) = x ( 1 + x − 1)
⇔x

(

) (

1+ x + 2x − 5 = x

)

1 + x −1

⇔ 1 + x + 2 x − 5 = 1 + x − 1 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.
Nhận xét: Qua bài toán trên cho thấy nếu không quan sát tinh tế và lựa chọn
biểu thức liên hợp không hợp lý thì sẽ làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn.
Bài 7: Giải phương trình 2 x 2 + 3x + 5 + 2 x 2 − 3x + 5 = 3 x . (7)
Lời giải: Nhận thấy vế trái phương trình: 2 x 2 + 3x + 5 + 2 x 2 − 3x + 5 > 0 với ∀x
Suy ra phương trình có nghiệm khi x > 0.
Nhân cả 2 vế của phương trình với 2 x 2 + 3x + 5 − 2 x 2 − 3x + 5 ≠ 0
Ta có PT (7) ⇔ 6 x = 3x

(

2 x 2 + 3x + 5 − 2 x 2 − 3 x + 5

)

⇔ 2 x 2 + 3 x + 5 − 2 x 2 − 3x + 5 = 2 (*) , vì x > 0.

Lấy (*) cộng với (7) theo vế ta có:
2 2 x 2 + 3 x + 5 = 3x + 2 ⇔ 4(2 x 2 + 3 x + 5) = (3 x + 2) 2
⇔ x 2 = 16 ⇒ x = 4 (vì x > 0)
10


Vậyphương trình đã cho có nghiệm là x = 4.
Nhận xét: Qua các bài toán trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử
dụng biểu thức liên hợp. Ta có thể giải quyết một số bài toán tương tự như sau:
Bài 8: Giải phương trình

x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 .

(8)

Lời giải:
Phương trình (8) ⇔ x 2 + 12 = 3 x − 5 + x 2 + 5 (*)
5

Vì x 2 + 12 > x 2 + 5 nên từ (*) suy ra 3x − 5 > 0 ⇔ x >
3
Ta có (*) ⇔ x 2 + 12 − 4 = 3( x − 2) + ( x 2 + 5 − 3)

⇔
⇔

x2 − 4
x 2 + 12 + 4

x2 − 4

= 3( x − 2) +

( x − 2)( x + 2)
x + 12 + 4
2

= 3( x − 2) +

x2 + 5 + 3
( x − 2)(x + 2)
x2 + 5 + 3


x+2
x+2 
⇔ ( x − 2) 
−3−
÷= 0
2
2
x
+

12
+
4
x
+
5
+
3


 x − 2 = 0 (**)
⇔
x+2
x+2

−3−
= 0 (***)
2
2
 x + 12 + 4
x +5 +3

Ta có PT (**) ⇔ x = 2 (thỏa mãn)
Vì x >

5
nên x + 2 > 0 và
3

Nên suy ra

x+2
x 2 + 12 + 4

x 2 + 12 + 4 > x 2 + 5 + 3 > 0

−3−

x+2
x2 + 5 + 3

< 0 . Do đó PT (***) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.
Bài 9: Giải phương trình 4( x + 1) 2 = (2 x + 10)(1 − 2 x + 3) 2 . (9)
Lời giải: Điều kiện: x ≥ −

3
2

Phương trình (9) ⇔ 4( x + 1)2 (1 + 2 x + 3) 2 = (2 x + 10)(1 − 2 x + 3) 2 (1 + 2 x + 3) 2
⇔ 4( x + 1)2 (1 + 2 x + 3) 2 = (2 x + 10)(1 − 2 x − 3) 2
⇔ 4( x + 1) 2 (1 + 2 x + 3) 2 − (2 x + 10)  = 0

11


⇔ 4( x + 1) 2 (2 2 x + 3 − 6) = 0
x +1 = 0
 x = −1

⇔
⇔
(thỏa mãn điều kiện)
x = 3
 2x + 3 = 3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1; x = 3.
Bài 10: Giải phương trình 2 x 2 − 11x + 21 = 3 3 4 x − 4 . (10)
Lời giải:
Phương trình (10) ⇔ ( x − 3)(2 x − 5) = 3( 3 4 x − 4 − 2)
⇔ ( x − 3)(2 x − 5) =
⇔ ( x − 3)(2 x − 5) =

3( 3 4 x − 4 − 2)( 3 (4 x − 4) 2 + 2 3 4 x − 4 + 2 2 )
3

(4 x − 4) 2 + 2 3 4 x − 4 + 2 2

12( x − 3)
3

(4 x − 4) 2 + 2 3 4 x − 4 + 22



12
÷= 0
⇔ ( x − 3)  2 x − 5 −

3

(4 x − 4)2 + 2 3 4 x − 4 + 4 ÷


 x − 3 = 0 (*)

12
⇔
2x − 5 −
= 0 (**)
3

(4 x − 4) 2 + 2 3 4 x − 4 + 4

Ta có PT (*) ⇔ x = 3 (thỏa mãn)
- Nếu x > 3 thì 2x – 5 > 1 và t = 3 4 x − 4 > 2 nên t 2 + 2t + 4 > 12 ⇒

12
< 1.
t + 2t + 4
2

Do đó PT (**) không có nghiệm x > 3.
- Nếu x < 3 thì 2x – 5 < 1 và t = 3 4 x − 4 < 2 nên t 2 + 2t + 4 < 12 ⇒

12
> 1.
t + 2t + 4
2

Do đó PT (**) không có nghiệm x < 3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
Bài 11: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện: x ≥

2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0 . (11)

1
2

Phương trình (11) ⇔ ( 2 x − 1 − 1) + x 2 − 3x + 2 = 0
⇔

2( x − 1)
+ ( x − 1)( x − 2) = 0
2x −1 +1

12


2


⇔ ( x − 1) 
+ x − 2 ÷= 0
 2x −1 +1

 x − 1 = 0 (*)
⇔
2


+ x − 2 = 0 (**)
 2 x − 1 + 1

PT (*) ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Giải PT (**): Đặt t = 2 x − 1 ≥ 0 .
2
t2 +1
+
− 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + 2t − 1) = 0
PT (**) ⇔
t +1
2
 2x −1 = 1
t = 1
x =1
⇔
⇔
⇔
(thỏa mãn điều kiện)
t = 2 − 1  2 x − 1 = 2 − 1  x = 2 − 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1; x = 2 − 2 .
Bài 12: Giải phương trình

3

x + 24 + 12 − x = 6 . (12)

Lời giải: Điều kiện: x ≤ 12
Phương trình (12) ⇔ ( 3 x + 24 − 3) + ( 12 − x − 3) = 0

⇔

x−3
3

( x + 24) 2 + 3 3 x + 24 + 9

+

3− x
=0
12 − x + 3



1
1
÷= 0
⇔ ( x − 3) 
−
 3 ( x + 24) 2 + 3 3 x + 24 + 9
12 − x + 3 ÷


 x = 3 (t / m)
⇔
2
3
 12 − x − 3 ( x + 24) − 3 x + 24 − 6 = 0 (*)

Thay 6 = 3 x + 24 + 12 − x vào (*) ta có:
3

( x + 24) 2 + 4 3 x + 24 = 0 ⇔ x = −24; x = −88 (thỏa mãn đk)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x = 3; x = −24; x = −88
Bài tập vận dụng.
Giải các phương trình sau:
a)

3x − 2 + ( x − 6) 3 x + 2 = 4

b)

2x − 3 − x = 2x − 6

c) x 2 + 9 x + 20 = 2 3x + 10

13


d)

6
8
+
=6
3− x
2− x

e)

1 − x 2 x + x2
=
x
1 + x2

f)

3

x + 6 + x −1 = x2 −1

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Khi thực hiện giảng dạy và ôn luyện về phương trình vô tỉ bằng phương
pháp “nhân biểu thức liên hợp” cho học sinh lớp 9 trường THCS Nga Hải tôi
thấy có hiệu quả rõ rệt. Giúp các em có sự tư duy, sáng tạo và tháo gỡ, giải quyết
những vướng mắc về phương trình vô tỉ mà trước đây các em chưa tìm ra được
hướng giải quyết. Và cũng từ đó chất lượng học tập môn toán đã được nâng lên
đáng kể.
Cụ thể: Kết quả khảo sát cuối năm học 2017 – 2018
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

Lớp

Số
HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

9B

35

6

17,1

10

28,6

14

40,0

5

14,3

0

0

Trong quá trình tổ chức thực hiện bản thân còn nhận được sự giúp đỡ, ủng
hộ nhiệt tình của các thành viên tổ KHTN trường THCS Nga Hải bằng các buổi
hội thảo về các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, các chuyên đề nâng cao chất
lượng đại trà, bằng các tiết thể nghiệm trên lớp, bằng sự góp ý chân thành của
đồng nghiệp. Qua đó chúng tôi được học hỏi lẫn nhau, trau dồi chuyên môn để
cùng nhau tiến bộ.
Việc sử dụng phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” trong chuyên đề giải
phương trình vô tỉ đã góp phần nâng cao chất lượng môn toán nói chung và toán
9 nói riêng, nhờ đó mà chất lượng giáo dục của nhà trường cũng được nâng lên.

3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.

14


Phương trình vô tỉ là một dạng toán không thể thiếu được trong chương
trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS và trong chương trình thi vào lớp 10 THPT.
Nếu chỉ dừng lại trong chương trình SGK thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên
phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo, thường xuyên bổ xung kiến
thức và tích lũy kinh nghiệm về vấn đề này.
Để dạy cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phương trình
vô tỉ bằng phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cần phân biệt và nắm chắc
phương pháp giải các dạng phương trình vô tỉ, đồng thời quan sát tinh tế, biến
đổi và lựa chọn hợp lý biểu thức liên hợp.
Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu và áp dụng vào giảng dạy ở bộ môn
toán 9, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên, hy vọng đề tài: Hướng dẫn giải
phương trình vô tỉ bằng phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cho học sinh
lớp 9 trường THCS Nga Hải, bản thân tôi nhận thấy còn nhiều thiếu sót. Rất
mong được sự quan tâm góp ý của đồng nghiệp và cấp trên để tôi tiếp tục bổ
xung, nghiên cứu hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao năng lực tư duy, sự sáng
tạo và rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh đạt kết quả tốt hơn.
3.2. Kiến nghị.
Bản thân tôi muốn kiến nghị với phòng giáo dục Nga Sơn tổ chức các đợt
hội thảo trao đổi về vấn đề viết sáng kiến kinh nghiệm cũng như triển khai các
sáng kiến đạt giải cao cấp tỉnh để chúng tôi được học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 05 tháng 4 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện

Lê Quang Công

TÀI LIỆU THAM KHẢO

15


1. Tạp chí Toán tuổi thơ 2 (Trung học cơ sở) - Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam - Năm 2017.
2. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp - Nguyễn Văn Vĩnh (chủ biên) - Nhà
xuất bản Giáo dục - Năm 2005.
3.

Nguồn từ Internet.

DANH MỤC

16


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Quang Công
Chức vụ và đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng, trường THCS Nga Hải

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Hướng dẫn HS giải phương
trình nghiệm nguyên
2. Một số phương pháp chứng
minh đẳng thức cho học sinh
lớp 8 trường THCS Nga Thái
3. Ứng dụng bất đẳng thức
Cauchy mở rộng trong bài
toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất
4. Tổng ba lập phương và các
ứng dụng
5. Phương pháp dồn biến tìm
GTLN, GTNN của đa thức
bậc hai nhiều biến
6. Đưa dần các biến vào trong
các bình phương của tổng để
tìm GTLN, GTNN của đa
thức bậc hai
7. Nâng cao kỹ năng giải
phương trình vô tỉ cho học
sinh lớp 9 bằng phương pháp

đặt ẩn phụ
8. Nâng cao hiệu quả dạy học
trong một số tiết Toán 8 bằng
kỹ thuật “khăn phủ bàn”
9. Nâng cao hiệu quả dạy học
trong một số tiết Toán 9 bằng
kỹ thuật “khăn phủ bàn”
10. Nâng cao hiệu quả dạy học
trong một số tiết Toán 9 bằng
kỹ thuật “khăn phủ bàn”

Cấp đánh giá xếp
loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

(A, B, hoặc C)

Cấp huyện

B

2006-2007

Cấp huyện

C

2007-2008

Cấp huyện

C

2008-2009

Cấp huyện

B

2009-2010

Cấp huyện

C

2010-2011

Cấp huyện

B

2011-2012

Cấp huyện

B

2012-2013

Cấp huyện

A

2013-2014

Cấp huyện

A

2014-2015

Cấp tỉnh

C

2014-2015

17