Hướng dẫn học sinh lớp 7 chứng minh ba điểm thằng hàng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 CHỨNG MINH
BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Người thực hiện: Nguyễn Thùy Hương
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thọ Xương-Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2018


MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU

1

1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

1
1
2

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
dụng để giải quyết vấn đề.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

3
3
4
17

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

18

3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.

18
18

1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Theo quan điểm chỉ đạo phát triển của Bộ Giáo dục và Đào tạo trong chiến
lược phát triển giáo dục Việt Nam 2009 - 2020 đã nêu: “... giáo dục phải bám sát
nhu cầu và đòi hỏi của xã hội, thông qua việc thiết kế các chương trình đào tạo
đáp ứng yêu cầu cung cấp nhân lực phục vụ các ngành kinh tế đa dạng. Vì học
sinh có những mong muốn, nhu cầu khác nhau, điều kiện sống và học tập khác
biệt, giáo dục chỉ thực sự có hiệu quả nếu không đồng nhất tất cả mọi đối tượng.
Các chương trình, giáo trình và các phương án tổ chức dạy học phải đa dạng
hơn, tạo cơ hội cho mỗi học sinh những gì phù hợp với chuẩn mực chung nhưng
gắn với nhu cầu, nguyện vọng và điều kiện học tập của mình”.
Để đạt được những mục tiêu của nền giáo dục tiên tiến cũng như đáp ứng
được quan điểm chỉ đạo phát triển của Bộ Giáo dục và Đào tạo cần phải hướng
tới cách dạy học phù hợp với đối tượng.
Hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là tích cực hóa hoạt
động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình
thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát
triển và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức và thực tiễn, tác
động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh.
Người giáo viên khi lên lớp ngoài nhiệm vụ truyền thụ hết kiến thức cơ bản
cho học sinh còn cần có trách nhiệm bồi dưỡng, phát hiện các em có khả năng
về từng môn, giúp các em phát triển tư duy, rèn luyện các kĩ năng tạo điều kiện
đề các em trở thành nhân tài cho đất nước.
Ở chương trình Toán lớp 7, khi học bài “Hai đường thẳng song song”, học
sinh biết cách chứng minh hai đường thẳng song song, khi học bài “Hai tam giác
bằng nhau”, học về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, học sinh biết
cách chứng minh hai tam giác bằng nhau... Tuy nhiên sau khi học xong bài “Tiên
đề Ơ-clit về đường thẳng song song” học sinh chưa thành thạo ứng dụng của nó
trong dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Do vậy, ở bài toán chứng minh
ba điểm thẳng hàng các em thường không có sự định hướng tốt, lúng túng, bế

tắc, không tìm ra hướng giải.
Qua tìm hiểu của bản thân thì hiện tại chưa có nhiều tài liệu nào bàn sâu về
chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho học sinh lớp 7. Các đồng nghiệp trong
tổ chuyên môn cũng chưa có kinh nghiệm để khắc phục vấn đề này. Vì vậy, tôi
chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 chứng minh
ba điểm thẳng hàng”.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

1


Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở lớp 7, tôi phát hiện ra rằng nhiều
học sinh kĩ năng giải toán hình học còn kém đặc biệt là đối với dạng toán chứng
minh ba điểm thẳng hàng. Vì vậy, tôi cố gắng xâu chuỗi, tìm cách hướng dẫn các
dạng bài chứng minh ba điểm thẳng hàng thông qua các ví dụ cụ thể để giúp học
sinh đạt kết quả cao hơn trong học tập.
Mặt khác, triển khai đề tài giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, có cái
nhìn tổng hợp, biết sử dụng nhiều kiến thức, tự tin hơn khi giải dạng toán chứng
minh ba điểm thẳng hàng. Từ đó chăm học hơn.
Việc nghiên cứu đề tài giúp tôi có một tài liệu mang tính hệ thống về phương
pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, phục vụ cho công tác giảng dạy. Qua đó
giúp tôi tự tin hơn trong công tác giảng dạy.
Qua nghiên cứu và triển khai đề tài giúp bản thân có nhiều điều kiện để giao
lưu, học hỏi, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng
hàng phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh lớp 7 qua các ví dụ cụ thể.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Căn cứ định nghĩa ba
điểm thẳng hàng SGK Toán 6 tập 1; Tiên đề Ơ-clit SGK Toán 7 tập 1; các định lí

về các đường đồng quy trong tam giác SGK Toán 7 tập 2 của nhà xuất bản giáo
dục Việt Nam.
1.4.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Giáo viên điều
tra kiến thức trên cơ sở tiết dạy trên lớp, qua thực tế bài làm của số học sinh lớp
7 đang học tại trường.
1.4.3. Phương pháp tiếp cận vấn đề: Giáo viên quan sát trực tiếp học sinh, phân
tích thông qua bài tập.
1.4.4. Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê kết quả bài kiểm tra của
học sinh.
1.4.5. Phương pháp phân tích, bình luận: Giáo viên phân tích hiệu quả của các
hoạt động. Sau mỗi dạng bài tập tác giả luôn đưa ra bình luận, hướng dẫn học
sinh biết cách nhận dạng, tìm hướng giải cũng như sai lầm mà các em thường
mắc phải khi giải.
1.4.6. Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa: Nội dung đề tài được phân chia
thành nhiều dạng toán, là kết quả quá trình tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn
tài liệu và từ bản thân rút ra.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1. Khái niệm ba điểm thẳng hàng: Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng được
gọi là ba điểm thẳng hàng.
2.1.2. Tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường
thẳng song song với đường thẳng đó.
2.1.3. Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường
thẳng a cho trước (Hình học 7 tập 1 trang 85).
2.1.4. Các định lí về các đường đồng quy trong tam giác.
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó

cách mỗi đỉnh một khoảng bằng

2
độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
3

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách
đều ba cạnh của tam giác đó.
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách
đều ba đỉnh của tam giác đó.
Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM
2.2.1. Về phía học sinh: Học sinh lớp 7 thường suy nghĩ rằng toán học là phải
tính toán, các em chưa quen với suy luận lôgic. Vì vậy, ngại học Hình học, chưa
biết vận dụng các định lí cũng như tính chất vào giải toán hình học đặc biệt là
bài toán chứng minh. Chứng minh ba điểm thẳng hàng là bài toán xa lạ đối với
nhiều học sinh và vị trí của nó thường rất “khiêm tốn”có thể là một ý nhỏ hoặc
một câu (thường là cuối cùng) trong bài toán hình học nào đó.
2.2.2. Về phía giáo viên: Phần lớn giáo viên đã chú trọng rèn luyện cho học
sinh thao tác tư duy hình học đặc biệt là các phương pháp chứng minh hình học.
Bên cạnh đó vẫn còn một bộ phận chưa chú trọng cung cấp cho học sinh phương
pháp chứng minh hình học, thường chỉ chốt được một phương pháp trong bài tập
cụ thể nên khi gặp bài tập học sinh chưa xác định được phương pháp giải cũng
như chưa có nhiều phương pháp nào để lựa chọn.
Trước những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại học hình học, đặc
biệt là chứng minh hình học, người giáo viên cần: Xác định một trong những
nhiệm vụ quan trọng của Toán học là rèn luyện các thao tác tư duy. Môn Toán
đòi hỏi học sinh phải thực hiện những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp,so
sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa một cách thường xuyên. Mặt khác, phần lớn

việc dạy toán của chúng ta là dạy theo chương trình hóa, dạy thuật toán. Có
những bài toán hình học cần phải chứng minh thêm bước phụ ba điểm thẳng
hàng và sử dụng nó để làm các câu khác. Như vậy bài toán chứng minh ba điểm
3


thẳng hàng là bài toán rất quan trọng nhưng học sinh thường bỏ qua nó trong các
bài tập. Giáo viên cần tổng hợp một số kiến thức Hình học 6, Hình học 7 để tìm
ra một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng. Việc triển khai đề tài
này nhằm mục đích đó.
Để nắm bắt được học sinh của mình có giải được dạng toán này không tôi
đã mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi “chứng minh ba điểm thẳng hàng” vào bài 3
kiểm tra một tiết chương II: Tam giác (Tiết 46)
Cụ thể bài 3 như sau:
Cho tam giác ABC cân tại A có Aˆ < 900. Kẻ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K
∈ AB). Gọi O là giao điểm của BH và CK.
a) Chứng minh tam giác ∆ ABH = ∆ ACK.
b) Tam giác OBC cân.
c) ∆ OBK = ∆ OCK.
d) Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I sao cho IB = IC. Chứng
minh 3 điểm A, O, I thẳng hàng.
Kết quả về câu d bài 3 như sau:

Năm học

Lớp

Sĩ số

Bỏ trống

2015 - 2016

7B

40

5

Làm sai hoặc
không định
hướng được
cách làm
33

2016 - 2017

7C

35

4

28

Làm đúng
2
3

Lớp 7B (nay là lớp 9B) có 38/40 em; lớp 7C (nay là lớp 8C) có 32/35 em

đều bỏ trống hoặc làm sai không định hướng được cách làm.
2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ
DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Từ thực trạng trên để công việc đạt kết quả cao hơn, để học sinh tự tin hơn,
có khả năng tự học hỏi tìm ra những kĩ năng, phương pháp để chứng minh các
bài toán cùng loại như: Chứng minh song song, chứng minh vuông góc... tôi đã
mạnh dạn viết thành tài liệu nhỏ phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp
7 để tổng hợp các phương pháp để học sinh có thể vận dụng vào chứng minh ba
điểm thẳng hàng. Tôi đã sử dụng các biện pháp sau:
1) Tham khảo các loại sách tham khảo Hình học 6, 7.
2) Đọc kĩ SGK, sách giáo viên Toán 6, 7.
3) Đọc kĩ sách bài tập Toán 7.
Cuối cùng dựa trên nghiên cứu các tài liệu tôi đã tổng hợp được các phương
pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
4


2.3.1. Phương pháp 1: Chứng minh độ dài một đoạn thẳng bằng tổng độ dài
hai đoạn thẳng còn lại.
Phương pháp này dựa trên cơ sở công nhận nhận xét trong bài 8: Khi nào
thì AM + MB = AB? Nhận xét đó như sau: “Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A
và B thì AM + MB = AB. Ngược lại nếu điểm AM + MB = AB thì điểm M nằm
giữa hai điểm A và B” (SGK Toán 6 tập 1 trang 120). Trên cơ sở đó có những
bài toán đã cho sẵn độ dài các đoạn thẳng, học sinh có thể dựa vào đó lí luận ba
điểm thẳng hàng và vẽ hình một cách rất dễ dàng. Sau đây là một ví dụ.
Ví dụ 1 (Bài tập 49 - trang 102, SBT Toán 6 tập 1):
Cho các đoạn thẳng có độ dài sau đây cho biết ba điểm A, B, M có thẳng
hàng không?
a) AM = 3,1cm; MB = 2,9cm; AB = 6cm.
b) AM = 3,1cm; MB = 2,9cm; AB = 5cm.

Bài giải:
a) Ta có: 3,1 + 2,9 = 6 hay AM + MB = AB ⇒ Điểm M nằm giữa hai điểm A và
B ⇒ A, M, B thẳng hàng.
b) AB > AM; AB > MB mà AM + MB ≠ AB ⇒ A, M, B không thẳng hàng.
2.3.2. Phương pháp 2: Chứng minh các điểm trùng nhau (Các điểm cần chứng
minh thẳng hàng trùng với các điểm đã thẳng hàng)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt
lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Nối D với E. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các đoạn thẳng BE và BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng
hàng.
A
Bài giải:
∆ ABC (AB = AC);

GT

AB = AE. D∈ AB; E ∈ AC; MD = ME.

D

(M ∈ DE); NB = NC (N ∈ BC)
KL

A, M, N thẳng hàng.

B

M M’

N N’

E

C

x

+ Phân tích, tìm tòi lời giải: Với phương pháp này ta thường đã biết ba điểm
thẳng hàng và chứng minh cho các điểm cần thẳng hàng trùng với ba điểm đã
biết thẳng hàng. Ta đã biết ba điểm A, M’, N’ thẳng hàng vì đều thuộc tia phân
·
giác Ax của BAC
. Do đó, ta chứng minh cho các điểm cần thẳng hàng trùng với
ba điểm đó.
5


+ Bài giải
·
Vẽ tia phân giác Ax của BAC
, Ax cắt DE và BC lần lượt tại M’ và N’.

Xét ∆ABN ' và ∆ACN ' có:
AB = AC (GT)
·
·
·
)
BAN
' = CAN

' (vì Ax là tia phân giác của BAC

AN’: Cạnh chung.
Suy ra: ∆ABN ' = ∆ACN ' (c.g.c) ⇒ N’B = N’C (hai cạnh tương ứng)
Mà N’ nằm giữa B và C nên N’ là trung điểm của đoạn thẳng BC ⇒ N ' ≡ N .
Chứng minh tương tự ta có M ' ≡ M .
Ta có: M’, N’ thuộc tia Ax. Do đó, A, M, N thẳng hàng.
+ Nhận xét: Ta có thể chứng minh AM và AN đều là đường trung trực của đoạn
thẳng BC. Do đó, A, M, N thẳng hàng.
+ Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên
tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng
minh ba điểm B, K, C thẳng hàng (theo phương pháp ở 2.3.9)
2.3.3. Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề Ơ-clit
Trong SGK Toán 7 tập 1, tiên đề Ơ-clit được phát biểu như sau: “Qua một
điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường
thẳng đó” (Trang 92).
Điều đó có nghĩa là nếu ta chỉ ra được qua một điểm nằm ngoài một
đường thẳng có hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng cho
trước thì hai đường thẳng đó phải trùng nhau (nếu không sẽ trái với tiên đề Ơclit) và những điểm nằm trên hai đường thẳng đó là thẳng hàng. Cụ thể:
.
.
.
A
B
C
a

AB / / a 
 ⇒ A, B, C thẳng hàng.
AC / / a 

Ví dụ 3 (Bài tập 48 Sách bài tập Toán 7 tập 1):
Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên
tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy
điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN.

6


A

M

K

N

E

∆ ABC; KA = KB (K ∈ AB)

GT

∆ ABC; EA = EC (E ∈ AC)

B

KM = KC; EN = EB
KL

C

A là trung điểm của MN.

+ Phân tích, tìm tòi lời giải:
Nếu ta chú ý vào thao tác khi vẽ hình bài toán này thì thấy rằng cần chứng
minh AM = AN và M, A, N thẳng hàng.
+ Bài giải: Xét ∆ AKM và ∆ BKC có:
KA = KB (GT)
·
·
(đối đỉnh)
MKA
= CKB

KM = KC (GT)
·
·
Suy ra: ∆ AKM = ∆ BKC (c.g.c) ⇒ AM = BC; KAM
= KBC

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BC

(1)

Chứng minh tương tự ta có: AN = BC; AN // BC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM = AN.

Qua A ta có: AM // BC và AN // BC. Vậy theo tiên đề Ơ-clit AM ≡ AN.
⇒ A,

M, N thẳng hàng.

Kết hợp với AM = AN ta có A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Vậy A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
+ Nhận xét: Có thể chứng minh M, A, N thẳng hàng bằng cách chứng minh
·
·
·
·
·
·
MAN
= MAB
+ BAC
+ CAN
= ABC
+ BAC
+ ·ACB = 1800 (theo phương pháp của 2.3.4).
7


+ Bài tập tương tự
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Kẻ DF song
song BC (F ∈ AC ). Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi I
là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ
tia Ax sao cho C· Ax = ·ACB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tia

·
= ·ABC . Chứng minh các điểm thuộc tia Ax, các điểm thuộc tia Ay
Ay sao cho BAy
thẳng hàng.
2.3.4. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của góc bẹt
Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau. Cụ thể:
·
Nếu ·ABD + DBC
= 1800 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
D.

.

A

.

B

.

C

Ví dụ 4 (Bài tập 26 sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình
học 7): Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của
của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, C thẳng hàng.
GT

∆ABC (AB = AC); D ∈ AB;

BD = CE ; ID = IE (I ∈ DE)

KL

B, I, C thẳng hàng.

A

+ Phân tích, tìm tòi lời giải:
Để chứng minh B, I, C thẳng hàng ta cần
D

·
chứng minh BIC
= 1800 .
·
·
Do dó, ta cần chứng minh DIB
.
= CIE

Ta vẽ thêm điểm F trên cạnh BC sao cho ∆EIC = ∆DIF
+ Bài giải:
Vẽ DF // AC (F ∈ AC);

B

F

I

C

E

·
·
Ta có DFB
và ·ACB đồng vị ⇒ DFB
= ·ACB

·
Mà ·ABC = ·ACB ( ∆ ABC cân tại A) ⇒ DFB
= ·ABC ⇒ ∆ DBF cân tại D ⇒ DB = DF
Xét ∆ DIF và ∆ EIC có:
DI = EI (GT)
·
·
(so le trong do DF//AC)
FDI
= CEI
8


DF = CE (= BD)
·
·
⇒ ∆ DIF = ∆ EIC(c.g.c) ⇒ DIF
(hai góc tương ứng)
= EIC

·
·
·
·
·
Mà DIF
+ EIF
= 180 ⇒ EIC
+ EIF
= FIC
= 1800 ⇒ F, I, C thẳng hàng
⇒ B, I, C thẳng hàng.
0

+ Nhận xét: Việc vẽ thêm đường phụ DF // AC đã giúp ta chứng minh dễ dàng hơn.
Nhiều học sinh không biết vẽ thêm đường phụ và thường nhầm lẫn ∆DBI = ∆ECI
nên đã giải sai bài toán.
+ Bài tập tương tự
Bài 1: Cho tam giác ABC có µA = 600 . Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam
giác đều AMB và ANC. Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông
góc với CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx
lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
2.3.5. Phương pháp 5: Sử dụng tính chất các đường đồng quy trong tam
giác (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao)
Ví dụ 5 (Bài tập 40 trang 73 SGK - Toán 7 - tập 2):
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam
giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
A
∆ ABC (AB = AC);

GT

G là trọng tâm; I là điểm nằm trong ∆
ABC và cách đều ba cạnh của ∆ ABC.

KL

A, G, I thẳng hàng

+ Phân tích, tìm tòi lời giải:

G.

.I

B

M

C

Ta biết rằng giao điểm ba đường trung tuyến (trọng tâm) bao giờ cũng nằm
trên một đường trung tuyến bất kỳ của tam giác; giao điểm ba đường phân giác
trong tam giác bao giờ cũng nằm trên một đường phân giác bất kỳ của tam
giác; giao điểm ba đường trung trực trong tam giác bao giờ cũng nằm trên một
đường trung trực bất kỳ của tam giác; giao điểm ba đường cao (trực tâm) trong
tam giác bao giờ cũng nằm trên một đường cao bất kỳ của tam giác.
+ Bài giải:
Gọi AM là đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC. Vì tam giác

ABC cân tại A suy ra AM cũng là đường phân giác xuất phát từ A (tính chất tam
giác cân).
9


Theo giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC, mà AM là đường trung tuyến
của tam giác ABC nên G ∈ AM (1).
Mặt khác, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó,
suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác trong ∆ ABC. Mà AM là đường
phân giác của ∆ ABC nên I ∈ AM (2).
Từ (1) và (2) suy ra A, G, I thẳng hàng.
Ví dụ 6 (Bài tập 35 trang 136 sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài
toán Hình học 7): Chứng minh rằng trực tâm, trọng tâm và giao điểm ba đường
trung trực của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.
(Đường thẳng chứa trực tâm, trọng tâm và giao điểm ba đường trung trưc
của một tam giác mang tên nhà toán học nổi tiếng tìm ra nó đó là nhà toán học
Ơle (người Thụy Sỹ) là đường thẳng Ơle. Bài toán này cũng là một bài toán
nằm trong chương trình toán THPT mà học sinh lớp 10 thường hay chứng minh
bằng phương pháp vectơ).
A
∆ ABC; O là giao điểm ba đường trung

trực của tam giác; G là trọng tâm của
GT tam giác.

D

C’

H là trực tâm của tam giác.

.

KL H, G, O thẳng hàng.
+ Phân tích, tìm tòi lời giải:

B’

.

H
B

O
. .
G

C

A’

Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực
của tam giác ABC và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC, AB. Ta
chọn thêm điểm D sao cho O là trung điểm của CD để chứng minh G là trọng
tâm của tam giác CDH. Hai tam giác ABC và CDH có chung trọng tâm G vào có
HO là trung tuyến của tam giác CDH nên H, G, O thẳng hàng.
+ Bài giải:
Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực
của tam giác ABC và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC, AB.
Vẽ tia đối của tia OC; trên tia này lấy điểm D sao cho OD = OC. Suy ra O,

A’ lần lượt là trung điểm các cạnh DC, BC của tam giác DBC nên OA’ =

1
BD
2

và OA’ // BD (Ta dễ dàng chứng minh).
Mặt khác AH ⊥ BC (H là trực tâm ∆ ABC) và OA’ ⊥ BC (O, A’ cách đều B
và C) ⇒ AH // OA’ ⇒ AH // BD. Chứng minh tương tự ta có: DA // BH
10


Vì AH // BD; DA // DH nên AH = BD (Tính chất đoạn chắn).
Xét ∆ C’BD và ∆ C’AH có:
BD = AH (chứng minh trên)
·
· ' AH (BD//AH);
BDC
'=C

C’B = AC’ (GT)
· ' B = ·AC ' H
Do đó ∆ C’BD = ∆ C’AH (c.g.c) ⇒ C’D = C’H và DC
· ' B = 180 0 (hai góc kề bù) ⇒ DC
· ' B + HC
· ' B = 180 0 ⇒ D, C’, H
Mà ·AC ' H + HC
thẳng hàng và C’D = C’H ⇒ C’ là trung điểm của DH.

Hai tam giác ABC và tam giác CDH có chung đường trung tuyến CC’ nên

có chung trọng tâm. Mà G là trọng tâm của ∆ ABC nên G cũng là trọng tâm của
∆ CDH. Mặt khác HO cũng là đường trung tuyến của ∆ CDH. Do đó H, G, O
thẳng hàng.
·
+ Nhận xét: Cách giải khác có thể chứng minh HGO
= 1800

+ Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm tong
tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh A, M, N
thẳng hàng.
2.3.6. Phương pháp 6: Sử dụng tính chất: Nếu AB ⊥ a và AC ⊥ a thì ba điểm
A, B, C thẳng hàng (Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một
đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)
(Hình học 7 trang 85) (Hình vẽ)
A.
B.
C.
a
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM ⊥ AC, CN ⊥ AB (
M ∈ AC , N ∈ AB ), H là giao điểm của BM và CN. Gọi K là trung điểm BC. Chứng
minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
A

∆ ABC (AB = AC). BM ⊥ AC,

GT

CN ⊥ AB( M ∈ AC , N ∈ AB ),
BM ∩ CN={H}. KB = KC (K ∈ BC)

KL

N

M

A, H, K thẳng hàng.
B

K

C

11


+ Phân tích, tìm tòi lời giải: Theo tính chất trực tâm AH ⊥ BC nên ta cần chứng
minh AK ⊥ BC.
+ Bài giải: Vì tam giác ABC có hai đường cao là BM và CN cắt nhau tại H nên
H là trực tâm ⇒ AH là đường cao thứ ba của tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC (1)
Mặt khác, tam giác ABC cân tại A có AK là đường trung tuyến nên AK
đồng thời là đường cao của tam giác ABC ⇒ AK ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra qua điểm A có hai đường thẳng là AH và AK cùng
vuông góc với BC nên A, H, K thẳng hàng.
+ Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp chứng minh AH và AK
đều là đường cao xuất phát từ A của tam giác ABC hoặc cùng thuộc đường trung
trực của đoạn thẳng BC.
+ Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM ⊥ BC.

b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau
tại hai điểm P và Q. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Bài 2 (Bài 20 Sách bồi dưỡng Toán 7): Cho hai tam giác vuông ABC, DBC
chung cạnh huyền BC (A và D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ BC). Vẽ tia Ax
·
sao cho AC là tia phân giác của DAC
. Vẽ tia Dy sao cho DB là tia phân giác của
·ADy . Ax cắt Dy ở E.
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng OE ⊥ BE.
b) Chứng minh B, E, C thẳng hàng.
2.3.7. Phương pháp 7: Sử dụng tính chất: Tia phân giác của mỗi góc là duy
nhất.
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

x

thì ba điểm O, A, B thẳng hàng (Hình vẽ)
A.

O

B.
y

A

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao AH. Trên cạnh AB, AC
lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN. Tia BM và CN cắt nhau tại I. Gọi H là trung
điểm của BC. Chứng minh A, I, H thẳng hàng.
GT

∆ ABC (AB = AC, AH ⊥ BC (H

M

B

I
H

N
12
C


∈ BC). M ∈ AB, N ∈ AC; AM =
AN. BM ∩ CN = {I}. HB =
HC (H ∈ BC)

KL A, I, H thẳng hàng.
+ Phân tích, tìm tòi lời giải:
·
∆ ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác BAC
.
·
Ta chỉ cần chứng minh AI cũng là phân giác BAC
.
+ Bài giải:
∆ ABN= ∆ ACM (c.g.c) ⇒ ·ABN = ·ACM (2 góc tương ứng) và ·ANB = ·AMC
·

·
⇒ BMC
= MNC

Lại có: MB = AB - AM; NC = AC - AN mà AB = AC (GT); AM = AN(GT)
·
·
nên MB = NC. Do đó, ∆BIM = ∆CIN ( g.c.g ) ⇒ BI = CI ⇒ BAI
(hai góc tương
= CAI
·
ứng) ⇒ AI là tia phân giác của BAC
(1)
Mặt khác, tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH đồng thời là tia
·
phân giác của BAC
(2)
Do mỗi góc chỉ có một tia phân giác nên từ (1) và (2) suy ra tia AH và AI
trùng nhau.
Do đó A, I, H thẳng hàng.
+ Nhận xét: Có thể chứng minh A, I, H cùng thuộc đường trung trực của đoạn
thẳng BC.
+ Bài tập tương tự
Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B
và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao
cho chúng cắt nhau tại điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O,
D, A thẳng hàng.
2.3.8. Phương pháp 8: Sử dụng tính chất: Mỗi góc chỉ có một số đo duy
nhất.
Cụ thể: Để chứng minh 3 điểm O, B, C thẳng hàng

C
B

Ta chứng minh ·AOB = ·AOC và tia OB, OB thuộc
Cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA.
Khi đó, tia OB và OC trùng nhau. Do đó,
B, O, C thẳng hàng.

O

A

Ví dụ 9 (Bài tập 177 sách Toán nâng cao và các chuyên đề Hình học 7)

13


Cho tam giác ABC vuông ở A, BC = 2AB. D là một điểm trên cạnh AC sao
1
1
cho ·ABD = ·ABC , E là một điểm trên cạnh AB sao cho ·ACE = ·ACB . Gọi F là
3

3

giao điểm của BD và CE, I và K là hình chiếu của F lên BC và AC. Lấy các
điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH. Chứng
minh rằng ba điểm H, G, D thẳng hàng.
∆ ABC ( µA = 900 ), BC = 2AB.

G

1
D ∈AC sao cho ·ABD = ·ABC ,
3

B

1
E ∈AB sao cho ·ACE = ·ACB .

GT

I

3

BD ∩ CE={F},
FI ⊥ BC (I ∈BC);
FK ⊥ AC (K ∈AC);
IF = IG (I ∈FG); KF = KH (K
∈FH)

E

F

A

K D
H

C

KL H, G, D thẳng hàng.
·
·
+ Phân tích, tìm tòi lời giải: Ta chứng minh CHG
. Khi đó, tia HG và
= CHD
HD trùng nhau. Do đó, H, G, D thẳng hàng.
+ Bài giải:

Vì BC = 2AB nên ·ABC = 600 , ·ACB = 300 (định lí về tam giác vuông có một
cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền) ⇒ ·ABD = 200 , ·ACE = 100 ,·ECB = 200 .
Mà C thuộc đường trung trực của FH và FG nên CH = CF, CF = CG
⇒ CH = CG ⇒ ∆ CGH cân tại C.
·
·
·
·
= 600 (1)
Ta có, GCH
= GCF
+ FCH
= 2 ·ACB = 600 ⇒ ∆ GCH đều ⇒ CHG

·
·

Dễ chứng minh, ∆ CDH = ∆CDF (c.g .c) ⇒ CDH
= CDF
·
Tam giác ABD vuông ở A có ·ABD = 200 nên ·ADB = 700 ⇒ FDC
= 1100
·
·
⇒ DFC
= 1800 − 1100 − 100 = 600 ⇒ CHD
= 600 (2)

Từ (1) và (2) suy ra, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia HC có hai tia
·
·
= 600, CHD
= 600 nên tia HG và HD trùng nhau.
HG và HD mà ⇒ CHG
Do đó, H, G, D thẳng hàng.
+ Nhận xét:
·
Nếu ta chứng minh HDG
= 1800 thì sẽ khó khăn hơn cách trên. Vì vậy cần
lựa chọn cách giải phù hợp.
+ Bài tập tương tự:
14


·
Cho tam giác ABC cân ở A, BAC
= 1080 . Gọi O là một điểm nằm trên tia

·
phân giác của góc C sao cho CBO
= 120 . Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng
thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.
2.3.9. Phương pháp 9: Chứng minh theo định nghĩa: Ba điểm cùng thuộc
một đường thẳng.

Chẳng hạn: Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một
đoạn thẳng. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc.
Ví dụ 10 (Bài tập 46 trang SGK Toán 7 tập 2 trang 76): Cho ba tam giác
cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E
thẳng hàng.
Ba tam giác cân ABC, DBC và EBC
A
GT
có chung đáy BC.
D
KL A, D, E thẳng hàng.
C

B

E

+ Phân tích, tìm tòi lời giải: Đỉnh của tam giác cân có tính chất cách đều hai
đầu đoạn thẳng đáy, Do đó, ta chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực
của đoạn thẳng BC.
+ Bài giải:
∆ ABC cân tại A suy ra AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của BC (1)
V DBC cân tại D suy ra DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của BC (2)

V EBC cân tại E suy ra EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung
trực của đoạn thẳng BC.
+ Nhận xét: Có thể dùng phương pháp chứng minh các điểm trùng nhau ở 2.3.2
hoặc phương pháp ở 2.3.6 nhưng cách giải trên ngắn gọn hơn.
+ Bài tập tương tự
(Bài 48 sách bài tập tập toán 7 tập 2): Cho tam giác ABC cân tại A. Các
đường phân giác BD và CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trung
điểm của BC.
2.3.10. Kiểm nghiệm:
Sau khi giảng dạy song chuyên đề về chứng minh ba điểm thẳng hàng như
trên, tôi nhận thấy các em ham học hơn, ham tìm tòi hơn. Tôi đã tiến hành cho
10 học sinh đội tuyển toán 7 làm bài kiểm tra trong 30 phút. Nội dung như sau:
15


Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm
D sao cho AD =

1
1
AB; Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi F là
3
3

giao điểm của AM và CD.
Chứng minh rằng ba điểm B, F, E thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông
góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy
điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

Yêu cầu cần đạt:
Bài 1:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BD và EC.
Theo giả thiết AD =

1
1
AB; AE = AC ⇒ D, E lần lượt là trung điểm của
3
3

AP và AQ.
Từ đó học sinh chứng minh được ∠ EEP = 180 0 . Do đó, B, F, E thẳng hàng
(5 điểm)
Bài 2: ∆ AMB và ∆ CMD có:
AB = DC (gt).

B
=

·
·
BAM
= DCM
= 900

A
MA = MC (M là trung điểm AC)
·
Do đó: ∆ AMB = ∆ CMD (c.g.c). Suy ra: ·AMB = DMC

·
·
·
·
Mà ·AMB + BMC
= 1800 (kề bù) nên BMC
+ CMD
= BMD
= 1800 .
Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng (5 điểm)

/

M

C

/

=

D

Kết quả:
02 em đạt điểm 10/10.
04 em đạt điểm 8/10.
02 em đạt điểm 7/10.
02 em đạt điểm 6/10.
Bên cạnh đó, trong bài kiểm tra toán một tiết chương III (Toán 7) của lớp
7A năm nay tôi giảng dạy tôi đã ra lại bài 3 (ở mục 2.2) và đã có 32/40 (Chiếm

80%) học sinh làm được bài. Có em còn làm bằng 2 cách.
Cụ thể, số lượng học sinh giải được bài toán chứng minh ba điểm thẳng
hàng tăng lên rõ rệt:
Bỏ trống
Năm học

Lớp

Sĩ số
Số
lượng

Tỉ lệ

Làm sai hoặc
không định
hướng được
cách làm
Số
Tỉ lệ
lượng

Làm đúng
Số
lượng

Tỉ lệ
16

2015 – 2016
(Chưa áp dụng)
2016 – 2017
(Chưa áp dụng)
2017 – 2018
(Đã áp dụng)

7B

40

5

12,5%

33

82,5%

2

5%

7C

35

4

11,4%

28

80%

3

8,6%

7A

40

3

7,5%

5

12,5%

32

80%

2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI
PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN
THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục
Với đề tài “Một số phương pháp chứng minh ba điểm thằng hàng dành cho

học sinh lớp 7” (dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 và giảng dạy học sinh trong
quá trình luyện tập trên lớp), tôi đã cung cấp được cho học sinh lớp 7 một số
phương pháp để chứng minh ba điểm thẳng hàng. Học sinh không còn cảm thấy
“xa lạ” với dạng toán này nữa. Đồng thời cũng gợi cho học sinh thêm trí tò mò,
sáng tạo, lòng ham hiểu biết. Từ đó học sinh có một nền tảng kiến thức vững
chắc và tư duy lôgic để giải nhiều bài toán tương tự.
Với giải pháp trên thì số lượng học sinh chứng minh được ba điểm thẳng
hàng đã tăng lên một cách rõ rệt.
2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Việc nghiên cứu và triển khai đề tài giúp tôi và các đồng nghiệp trong tổ
chuyên môn có một tài liệu mang tính hệ thống về phương pháp chứng minh ba
điểm thẳng hàng, phục vụ cho công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua
nghiên cứu đề tài giúp tôi tự tin hơn trong công tác giảng dạy. Hơn nữa, bản thân
có thêm điều kiện để giao lưu, học hỏi, trao đổi chuyên môn với các đồng
nghiệp.

17


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Thông qua việc vận dụng đề tài ở trường, đa số học sinh đã nắm được trọng
tâm của bài, biết vận dụng kiến thức vào giải toán và làm bài một cách chủ
động, tích cực, hăng say. Các em đã vận dụng trong nhiều bài toán chứng minh
ba điểm thẳng hàng. Điều đó giúp các em chủ động được hướng tư duy của
mình trong việc giải toán, thêm nhiều hứng thú và niềm vui trong học tập, tiết
học không còn nhàm chán.
3.2. Kiến nghị
- Đối với nội dung đề tài: Vì thời gian có hạn nên trong đề tài này tôi mới chỉ
trình bày được một số phương pháp thường gặp để chứng minh ba điểm thẳng

hàng. Tôi mong trong một đề tài khác sẽ trình bày mở rộng thêm các phương
pháp giải khác đối với học sinh lớp 8, 9 như sử dụng tính chất đường chéo hình
bình hành, định lí Ta-lét, định lí Mê-nê-la-uýt, tính chất đường kính của đường
tròn… Tôi mong được sự chỉ bảo thêm của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn
chỉnh hơn.
- Đối với giáo viên: Khi nghiên cứu và dạy vấn đề gì cũng cần phải thấu đáo,
nắm chắc vấn đề. Cần tích cực tự học tập, nghiên cứu nhiều hơn để tìm ra nhiều
phương pháp giúp tiết học sôi nổi, hấp dẫn học sinh, nhiều học sinh hiểu bài hơn.
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh biết cách tổng quát hóa các bài toán để
giải được nhiều bài toán, tự tạo ra vốn kiến thức toán học của mình.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
TÁC GIẢ

18


Nguyễn Thùy Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT

Tên tài liệu

Nhà xuất bản

1

Sách giáo khoa Toán 6 tập 1

Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

2

Sách giáo khoa Toán 6 tập 2

Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

3

Sách giáo khoa Toán 7 tập 1

Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

4

Sách giáo khoa Toán 7 tập 2

Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

5

Sách bài tập Toán 7 tập 1

Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

6

Sách bài tập Toán 7 tập 2

Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

7

Nâng cao và phát triển toán 7 tập 1

Nhà xuất bản giáo dục.

8

Nâng cao và phát triển toán 7 tập 2

Nhà xuất bản giáo dục.

9

Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số
Nhà xuất bản giáo dục.
bài toán hình học 7

10

Toán nâng cao và các chuyên đề
Nhà xuất bản giáo dục.
hình học 7

11

Bồi dưỡng Toán 7

Nhà xuất bản giáo dục.

19


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thùy Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Thọ Xương - Thọ Xuân

TT
1.

Tên đề tài SKKN

nhóm khi dạy tiết luyện tập(Tiết

dụng câu hỏi trắc nghiệm để

C

2004 - 2005

Phòng giáo dục và

đào tạo Thọ Xuân

C

2006 - 2007

Phòng giáo dục và
đào tạo Thọ Xuân

C

2009 - 2010

Phòng giáo dục và
đào tạo Thọ Xuân

C

2010 - 2011

Phòng giáo dục và
đào tạo Thọ Xuân

B

2016 - 2017

kiểm tra bài cũ.
Giúp học sinh lớp 9 phát hiện
và tránh sai lầm khi giải một số

phương trình chứa căn thức bậc

6.

Phòng giáo dục và
đào tạo Thọ Xuân

43: Luyện tập- Hình học 8)
Phát huy tính tích cực, chủ động
của học sinh lớp 7 trong việc sử

4.

(A, B, hoặc
C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Đại số 7)
Phát huy tính tích cực, chủ động
của học sinh trong hoạt động

3.

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Kết quả

đánh giá
xếp loại

Sử dụng trò chơi trong học
toán(Tiết 66- Ôn tập chương IV-

2.

Cấp đánh giá
xếp loại

hai.
Hướng dẫn học sinh vận dụng
định lí Vi-ét để giải một số bài
toán về nghiệm của phương
trình bậc hai ôn thi vào lớp 10.

20