Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véc tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ

Người thực hiện: Hà Thị Nguyệt
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

1


MỤC LỤC
Mục
1. Mở đầu.
1.1.Lý do chọn đề tài.
1.2.Mục đích nghiên cứu.
1.3.Đối tượng nghiên cứu.
1.4.Phương pháp nghiên cứu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1Cơ sở lí luận
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
2.3.Nội dung SKKN

2.3.1.Các giải pháp chung
2.3.2.Các biện pháp tổ chức thực hiện
2.3.3. Nội dung thực hiện
2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ
2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về khoảng cách
và góc
*BÀI TOÁN 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
*BÀI TOÁN 2 .Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng
chéo nhau
2.4. Hiệu quả của SKKN
3. Kết luận-Kiến nghị
3.1.Kết luận
3.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN đã được cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ
loại C trở lên

Trang
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5

5
6
6
10
16
17
17
17
19
20

2


1- MỞ ĐẦU:
1.1.Lí do chọn đề tài:
-Trong chương trình toán THPT, “ Hình học không gian” là một bộ môn tương
đối khó , bởi nó đòi hỏi phải vận dụng rất nhiều kiến thức tổng hợp cả trong mặt
phẳng - không gian và cả kĩ năng tính toán. Hơn nữa để có thể học tốt môn học
này thì học sinh phải vẽ được hình. Tuy nhiên đối với một số bài toán hình học
không gian, việc xác định được các yếu tố cần tính trên hình vẽ một cách
trực quan không phải lúc nào cũng dễ dàng đối với tất cả học sinh , Khoảng
cách - góc là một trong những bài toán như vậy
- Trong những năm gần đây, câu hình học không gian trong đề thi Đại học, cao
đẳng tuy không được đánh giá ở mức độ khó nhưng vẫn là thử thách đối với học
sinh nên các em thường có tâm lí hơi sợ câu hỏi này, đặc biệt là một số em bị
hổng kiến thức hình học ở lớp dưới. Lí do vì các em này không có kỹ năng tốt
trong việc vẽ hình để xác định khoảng cách cần tính.
- Thông thường các bài toán về khoảng cách -góc giải bằng phương pháp hình học
thuần túy đều đòi hỏi học sinh phải vẽ thêm nhiều đường phụ trên hình để tìm

ra khoảng cách -góc cần tính. Nhưng đây lại là điểm yếu của một bộ phận không
nhỏ học sinh
-Phương pháp véctơ có thể giải một số bài toán về khoảng cách - góc mà
không cần vẽ thêm đường phụ nào, không phải xác định khoảng cách-g óc
trên hình nên có thể giải quyết vấn đề này cho học sinh.
Vì vậy tôi đã chọn đề tài SKKN:"Hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp
véctơ”.
1.2.Mục đích nghiên cứu:
-Giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ hình, làm cho
học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian ,không còn
"sợ hình" đặc biệt là các bài tâp về góc và khoảng cách .
-Giúp học sinh giải được tốt hơn bài tập về khoảng cách - góc mà không cần
vẽ thêm đường phụ.
-Cung cấp thêm cho học sinh khá giỏi một ứng dụng mới của phương
pháp véctơ vì biết một vài phương pháp giải vẫn là chưa đủ. Từ đó tạo
hứng thú tìm tòi khám phá thêm các cách giải mới cho những học sinh có khả
năng học tốt hơn nhằm phát triển tư duy cho các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:

3


Đề tài tập trung nghiên cứu hình thành cho học sinh cách tính khoảng cách từ
một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách - góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng phương pháp véctơ và rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập .
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
-Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết kết hợp với thực tế học hỏi
tìm tòi đúc rút kinh nghiêm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm.
-Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin để đánh giá tình hình

hiệu quả áp dụng cúa SKKN.

2.NỘI DUNG SKKN:
2.1.Cơ sở lí luận
a- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
ĐN:Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng(P) là khoảng cách từ điểm đó
đến hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng(P).
Từ đó:
+Nếu

M

có

hình

chiếu



 
MN ⊥ AB
MN . AB = 0
 ⇔  
 
MN . AC = 0
MN ⊥ AC

vuông

góc

trên

mp(ABC)

là

N

thì



+Khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MN

b-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ĐN: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng đó.
+Nếu P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2) thì
→
→
→
→
P1 P2 ⊥ u1
P1 P2 .u1 =0
→

→

P1 P2 ⊥ u 2
→

<=>

→

→

P1 P2 .u 2 =0

→

với u1 , u 2 lần lượt là véctơ chỉ phương của d1 , d2
+ Khoảng cách giữa d1 , d2

→

l à P1 P2

c-Công thức tính góc giữa d1 và d2

4


→

→

→

→

u1 . u 2

Cos ϕ =

u1 . u 2

2.2. Thực trạng của vấn đề:
-Trong những năm gần đây,bài toán khoảng cách -góc có mặt trong đề thi đại
học
,cao
đẳng
tương
đối
nhiều
,chẳng
hạn
đề
khối
B2007,D2008,A2010,A2011,THPTQG2015 ,HSG tỉnh Thanh hoá 2016 …
-Thời lượng 2 tiết đối với bài "khoảng cách " được quy định trong phân phối
chương trình là hơi hạn hẹp nên thực tế giảng dạy giáo viên cũng không có
nhiều thời gian để rèn luyện cho học sinh giải bài tập về khoảng cách .
-Học sinh thường có tâm lí "sợ hình",hình không gian lại càng sợ. Thêm vào đó
do nhiều em bị hổng kiến thức hình từ cấp hai nên đối vơi các bài toán phải vẽ
thêm đường phụ như khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau là rất lúng túng và thường đầu hàng vô điều
kiện. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học về góc - khoảng cách

,trong một lớp chỉ có khoảng 10% số học sinh có thể giải được bài tập, 20% ->
25% giải được sau khi có hướng dẫn, gợi ý, còn lại đa số học sinh rất lúng
túng, không xác định được phương hướng giải.
-Phương pháp véctơ có thể tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phảng
mà không cần dựng được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng; khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần vẽ chính xác đoạn
vuông góc chung, cũng không cần xác định thêm các khoảng cách trung
gian khác như khoảng cách giưã đường thẳng và mặt phẳng song song hay
giữa hai mặt phẳng song song…ngoài ra cũng tính luôn được góc giưã
chúng mà không phải vẽ thêm đường phụ nào.
Do đó để giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ
hình, làm cho học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian
về góc và khoảng cách, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài :" Hướng dẫn học
sinh giải một số bài toánhình học không gian về khoảng cách và góc bằng
phương pháp véctơ”.
2.3. Nội dung SKKN và các giải pháp
2.3.1-Các giải pháp thực hiện:
Khi giảng dạy trên lớp, ngoài những phương pháp tính khoảng cách và góc
bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp, tôi đã hướng dẫn cho học sinh phương pháp

5


véctơ để phần nào giải quyết khó khăn về vấn đề xác định khoảng cách và góc
cần tính bằng hình vẽ trực quan cho các em.Vì vậy tôi đưa ra giải pháp như sau:
*Yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức về véctơ đặc biệt là :
+ Công thức tính độ dài véctơ, góc giữa 2 véctơ.
+ Biểu diễn một véctơ theo 3 véctơ không đồng phẳng.
+ Các phép toán véctơ, đặc biệt là tích vô hướng.
*Tổ chức rèn luyện kỹ năng định hướng giải các bài toán liên quan đến khoảng

cách -góc:
+Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+ Bài toán 1: Tính khoảng cách -góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2.3.2-Các biện pháp tổ chức thực hiện:
Nội dung SKKN được triển khai thông qua 3 tiết:
Tiết 1:Ôn tập về: +các kiến thức véctơ cần thiết .
+quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ.
Tiết 2:+Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt phẳng và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa.
+ Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách-góc
giữa hai đường thẳng chéo nhau và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa.
Tiết 3:+Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập.
+Nhận dạng bài toán tính khoảng cách-góc có thể giải được bằng phương
pháp véc tơ. (hình đa diện có các góc phẳng ở đỉnh nào đó đã xác định và biết độ
dài các cạnh của các góc đó)
2.3.3-Nội dung thực hiện:
2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ
Bước 1: Chọn hệ véctơ cơ sở, biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán theo
ngôn ngữ véctơ.
Bước 2: Thực hiện yêu cầu bài tập thông qua việc biểu diễn các véctơ cần xét
theo hệ véctơ cơ sở, biến đổi các hệ thức theo yêu cầu bài toán.
Bước 3: Từ kết quả bằng véctơ suy ra kết quả hình học tương ứng.
Lưu ý:
+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ
chung gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài) Từ đó tính tích
vô hướng của các véctơ cơ sở dễ dàng.

6

2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toánvề khoảng cáchvà góc
*BÀI TOÁN 1. . Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho mp (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) .
Phương pháp giải:
+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ chung
gốc, vuông góc hoặc
góc giữa chúng xác định,biết độ dài)
uuur r uuur r
 
Chẳng hạn :Đặt AB = a, AC = b , AM = c
Gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).
   

(
k
a
+ lb − c ) a = 0







Khi đó : MN = AN − AM = ka + lb − c . Do MN ⊥ ( ABC ) nên     
(ka + lb − c )b = 0

  
Khi tìm được k,l ta có khoảng cách từ M đến (ABC) là MN = (ka + lb − c ) 2 .

Ví dụ 1: (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014).
· B = SAC
·
Cho khối chóp S . ABC có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a, AS
= 900 ,
·
BSC
= 1200 . Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a.
a,Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a.
b,Chứng minh tam giác AMN vuông.
Hướng dẫn,phân tíchcâu a:
+Các góc phẳng ở đỉnh S đều biết và tính được, SA,SB,SC có độ dài cho trước
uur r uur r uuu
r r
nên nếu chọn hệ véctơ cơ sở là: SA = a, SB = b, SC = c thì tích vô hướng và độ dài
các véctơ này đều tính được dễ dàng.
+Muốn giải bằng phương pháp véc tơ chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết,
kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:
Gọi H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB)
uuur
uur uur
r r
Vì
H
là
điểm
thuộc
mp(SAB)
nên
SH = k SA + lSB = ka + lb

uuur uuur uuu
r
r r r
⇒ CH = SH − SC = ka + lb − c

Mặt khác H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB) nên ta có:


 

SA ⊥ CH
SA.CH = 0
⇔  
 
SB ⊥ CH
SB.CH = 0

S

r
b

Từ đó tính được k,l và suy ra độ dài CH.
Bài giải:
Trong tam giác vuông SAC ta có:
SA 1
·
·
cos ASC
=

= ⇒ ASC
= 600
SC
2
uur r uur r uuu
r r
Đặt SA = a, SB = b, SC = c
r2
r2
r2
Ta có: a = 4a 2 , b = 9a 2 , c = 16a 2
rr
rr
rr
và a.b = 0, b.c = −6a 2 , a.c = 4a 2

r
c
r
a

. N

M .
B

a,Gọi
H
là hình chiếu
của C

trên mp (SAB)
thì
uuur
uur uur
r r
uuur uuur uuu
r
r r r

SH = k SA + lSB = ka + lb ⇒ CH = SH − SC = ka + lb − c

C

A

7


và

uur uuur
2
2
k = 1
 SA.CH = 0
 k .4a + l.0 − 4a = 0

⇒
⇔
2

 uur uuur
2
2
l = − 3
 SB.CH = 0  k .0 + l.9a − ( −6a ) = 0
uuur r 2 r r
⇒ CH = a − b − c
3
uuur 2
4
2
2
⇒ CH = 4a 2 + .9a 2 + 16a 2 − 2. .0 − 2.4a 2 + 2. . ( −6a 2 ) = 8a 2 ⇒ CH = 2a 2
9
3
3
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là CH = 2a 2 .
uuur 2 r uuu
r 1r
b, Ta có SM = b, SN = c .
3
2
uuuu
r uuur uur
r 2r
Suy ra AM = SM − SA = −a + b ,
3
uuur uuu
r uur
r 1r

AN = SN − SA = − a + c
2
uuuu
r uuur
1
1 2
Từ đó: AM . AN = 4a 2 + 0 − .4a 2 + . . ( −6a 2 ) = 0
2
2 3
Vậy AM ⊥ AN , tức là tam giác AMN vuông tại A.

Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007).
·
·
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Góc ABC
= BAD
= 900 , BA=BC=a,
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Hướng dẫn,phân tích:
Các góc phẳng ở A đều biết và bằng 90 o ,AB,AD, SA có độ dài cho trước nên
uuu
r r uuur r uur r
nếu chọn hệ véctơ cơ sở là: AB = a, AD = b, AS = c thì tích vô hướng và độ dài các
S
véctơ này đều tính được dễ dàng.
Bài ugiải:
r
uu
r r uuur r uur r

c
Đặt AB = a, AD = b, AS = c
rr rr rr
Ta có: a.b = b.c = c.a = 0
uur r r uuu
r r 1 r r uuu
r r r
SB = a − c, SC = a + b − c, SD = b − c
2

r
b

H

r
a

Gọi K là hình chiếu của H trên mp (SCD)
⇒ d ( H ;( SCD )) = HK

Dễ dàng tính được

SH 2
=
SB 3

Khi đó :

B

D

A

C

uuur uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r 
2r k r  2
2 uur
r
HK = HS + SK = − SB + k SC + l SD =  k − ÷a +  + l ÷b +  − k − l ÷c
3
3

2 
3


8


2  r2 1  k  r2  2

 r2

uuur uuu
r
k − ÷a +  + l ÷b −  − k − l ÷c = 0 k = 5


 HK ×SC = 0 
3
22 
3


6
⇒
Ta có:  uuur uuur ⇒ 
r
r
l = − 1
 HK ×SD = 0  k + l  b2 −  2 − k − l  c 2 = 0

÷

÷

 2 
3
3

2
uuur 1 r 1 r 1 r
1  r 1 r r

a
⇒ HN = a + b + c ⇒ HK =
a
+
b
+
c

÷ = .
6
12
6
6 
2
3

a
Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh
bằng a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài giải:uuu
r r uuu
r r uuur r
S
a) Đặt AS = a, AB = b, AD = c
r2

r2 r2
rr rr rr
Ta có: a = 3a 2 , b = c = a 2 và a.b = b.c = c.a = 0
uuur uuu
r uuur r r
Khi đó: AC = AB + AD = b + c ,
uur uuu
r uur
r r uuur r
r
SB = AB − AS = −a + b, BC = c ,
c
uuu
r uuur uur
r 1r 1r
SO = AO − AS = −a + b + c
2
2

.
G

Huuthuộc
mặt phẳng (SBC)
thì
ur
uur uuur
r
r r

SH = k SB + l BC = −ka + kb + lc
r 
uuur uuur uuu
r
1r  1r
=
1
−
k
a
+
k
−
(
)
OH = SH − SO

÷b +  l − ÷c
2

 2

D

C

r
b

O

A

r
a

B

Nếu H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC) ta có:

1

7

uuur uur
− ( 1 − k ) .3a 2 +  k − ÷.a 2 = 0
k=

OH .SB = 0

2




8
⇔
⇔
 uuur uuur
OH . BC = 0

 l − 1  .a 2 = 0
l = 1

÷
 2 
 2
uuur 1 r 3 r uuur 2 3a 2
a 3
⇒ OH = a + b ⇒ OH =
⇒ OH =
.
8
8
16
4
uuur 1 uur uuu
r 1r 1r
b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB ⇒ AG = AS + AB = a + b
3
3
3
uuur
uur
uuur
uuu
r
uuu
r uuur
r
r

r
K thuộc mặt phẳng (SAC) ⇒ AK = m AS + n AC = m AS + n AB + AD = ma + nb + nc

(

uuur uuur uuur 
r
1r 
1r
Suy ra: GK = AK − AG =  m − ÷a +  n − ÷b + nc
3
3






)
(

)



Nếu K là hình chiếu của G trên mặt phẳng (SAC) ta có:

9


1 2
1

uuu
r uuur
m=
 m − 3 ÷.3a = 0
 AS .GK = 0




3
⇒
⇔
 uuur uuur
 AC.GK = 0  n − 1  .a 2 + na 2 = 0
n = 1

÷


6
3
uuur
1 r 1 r uuur 2 1
1
1 1
2a 2

a 2
⇒ GK =
Khi đó GK = − b + c ⇒ GK = a 2 + a 2 − 2. . .0 =
6
6
36
36
3 6
36
6

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) là
GK =

a 7
.
6

Ví dụ 4 :Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh
SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính khoảng
cách từ S đến mp(ABC) của hình chóp.
Bài giải:
Chọn
hệ
véc
tơ
cơ
sở
S

{

     
SA = a; SB = b ; SD = c }
Đặt ϕ là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp.

N là hình chiếu vuông góc của điểm A
trên
đường thẳnguBD.
uuur uuur uuur
uur uuur
r
r
r

D

C

A
N

AN = DN − DA = xDB − DA = − a + xb) + (1 − x )c
Do AN ⊥ DB

B

uuur uuur
r
r

r r r
⇒ AN .DB = 0 ⇔ −a + xb + (1 − x)c (b − c) = 0

(

)

⇔ (17 x − 1) − 8( x + 1)cosϕ = 0
(1)
uuur 2
Mặt khác: AN = 2 ⇔ AN = 4 ⇔ 17 x 2 − 2 x + 13 − 8( x + 1) 2 cos ϕ = 0 (2)
7
9

Từ (1) và (2) ta được x = .Vì vậy : cosϕ =

55
64

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC) .Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên

uuu
r 1 uur uur uuu
r 1 r r r
SO = SA + SB + SC = a + b + 4c
3
3
uuu
r 1 r r r 2 1
1

⇒ SO =
a + b + 4c =
48 + 96cosϕ =
58 (Nếu muốn tính cạnh đáy thì ta có
3
3
2
uuur 2 r r 2 9
AB = b − a =
2
58
Vậy khoảng cách từ S đến mp(ABC) của hình chóp là
2

(

)

(

(

)

)

Bài tập tương tự:
Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và

10


·
SBC
= 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SAC) theo a.
Bài 2:
Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc
·BAD = 600 . Các cạnh bên SA = SC , SB = SD = a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng (SBC).
* BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Đường thẳng d1 đi qua A1, có véctơ chỉ
→

→

phương u1 . Cho đường thẳng d2 đi qua A2, có véctơ chỉ phương u 2 .Tính khoảng
cách và góc giữa d1, d2.
Phương pháp giải:
* Tính khoảng cách giữa d1 và d2
Gọi P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2)
→

→

→

→

→

→

→

P1 P2 = P1 A1 + A1 A2 + A2 P2 = x u1 + A1 A2 + yu 2
→

→

→

→

→

→
( x u→ + A→A + yu
) u1 = 0
1
1 2
2

P1 P2 ⊥ u1

<=>

P1 P2 ⊥ u 2

→

→
( x u→ + A→A + yu
) u2 = 0
1
1 2
2

Giải hệ tìm x, y → P1P2= ( x u→ + A→A + yu→ ) 2
1
1 2
2
→

→

* Tính góc giữa d1 và d2 : chỉ cần dựa vào biểu diễn u1 , u 2 theo hệ véctơ cơ sở
→

→

→ →
ta tính được u1 .u2 , u1 , u 2 . Từ đó:

→

→

→

→

u1 . u 2

Cos ϕ =

u1 . u 2

Bình luận:
+Nếu bài toán yêu cầu dựng đoạn vuông góc chung của d 1 và d2 thì với
x,y ở trên ta cũng tìm được P1, P2 dựa vào hệ thức :
→

→

P1 A1 = x u1
→

→

A2 P2 = y u 2

+Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau theo cách này ngắn gọn hơn
cách xác định góc trên hình rồi tính bằng hệ thức lượng trong tam giác
nhất là với các bài toán cho nhiều đại lượng độ dài như a, b,h …

11

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có BD ⊥ BC, AB ⊥ (BCD). AB=1, BC=BD, CD=
2 2 .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính khoảng cách và góc
giữa AM và BN.
Hướng dẫn,phân tích:
*Các góc phẳng ở đỉnh B đều biết và bằng 90 o , BA,BC,BD có độ dài cho trước
→
→
→
→
→
→
nên nếu chọn hệ véc tơ cơ sở là: BC = a , BD = b , BA = c thì tích vô hướng
và độ dài các véctơ này đều tính được dễ dàng.
  
a.b = b .c = a.c = 0 ,

A


 
a.a = b .b = 4 , c 2 = 1

Muốn giải bằng phương pháp véc tơ

E

chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết
kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:

D

B

Gọi EF là đường vuông góc chung
(E∈ AM, F∈ BN)

của AM và BN

F

M

N

C

+ M là trung điểm của BC
+ N là trung điểm của CD

1 →
=> BM = BC
2
→
→
1 →
=> BN = ( BC + BD)
2

→

+E ∈ AM

→

→

=> ∃x để AE = x AM
→
→
=> ∃y để BF = y BN

+F ∈ BN

→

+ EF ⊥ AM

→

=> EF . AM = 0
→
→
=> EF . BN = 0

+ EF ⊥ BN

→

→

+ Độ dài EF:

EF = EF 2
→

+ Góc giữa AM và BN :

→

AM . BN

Cos(AM,BN)=

AM .BN

Bài giải
→

→

→

*Chọn hệ véc tơ cơ sở { BC; BD; BA }

→

→

→

→

→

→

Đặt: BC = a , BD = b , BA = c

+Tính tích vô hướng của các véc tơ cơ sở

  
a.b = b .c = a.c = 0 ,


 
a.a = b .b = 4 , c 2 = 1

*Ta có:
→

→

→

AM = BM − BA =

1 
a −c
2

là véc tơ chỉ phương của AM

12


→
1 →
1  1→
( BC + BD ) = a + b
2
2
2

→

BN =

là véc tơ chỉ phương của BN

Gọi EF là đường vuông góc chung của AM và BN
→

→

1  →
xa − x c
2

→

→

→
1 
ya + y b
2

AE = x AM =
BF = y BN =

(E ∈ AM, F ∈ BN)

→
→
→
→
1
 1 →

EF = EA+ AB + BF = ( y − x)a + y b + ( x − 1)c
2
2

→

1
 1 →
 1 
[ ( y − x)a + y b + ( x − 1)c ][ a − c ] = 0

2
2
2

→

EF . AM = 0
→

<=>

→

1
 1 →
 1 1
[ ( y − x)a + y b + ( x − 1)c ][ a + b ] = 0
2
2
2
2
2
x=
3

EF . BN = 0
y − 2x + 1 = 0

=>

=>

2y − x = 0

y=

1
3

1  1→ 1
6
6
3

→

=> EF = − a + b − c

→

→

→
EF = EF 2 = (− 1 a + 1 b − 1 c) 2 = 3
6
6
3
3

Từ đó ta có:

* AM . BN = ( 1 a − c)( 1 a + 1 b ) = 1 a2 = 1 .4 = 1
→

→

→

2

2

2

4

4

⇒ Cos ( AM , BN ) =

mà AM = 2 , BN = 2

1
1
=
2. 2 2

3
3
=> EF =

là khoảng cách giữa AM và BN.
3
3
1
Cos ( AM , BN ) =
=> ( AM , BN ) = 600
2
→

Kết luận: EF =

Nhận xét: nếu BT yêu cầu dựng đường vuông góc chung ta xác định được ngay
→

2
3

→

→

1
3

→

E,F vì AE = AM và BF = BN
Ví dụ 2 :Đáy của hình chóp SABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh
bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
cạnh BC và AB. Tính khoảng cách và góc giữa SM và CN.

13


Bài giải:
→

→

S

→

* Chọn hệ véc tơ cơ sở { CA; CB; CS }
→

→

→

→

→

→

Đặt: CA = a , CB = b , CS = c
(Tính tích vô hướng-Xem bảng bên)

Ta có :

P

1 → →
SM = CM − CS = (b − 2c)
2
→

→

→

C

A

1
CN = ( a + b)
2
→

→

→

Q

N

M
B

* Tính khoảng cách giữa SM và CN
Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN
(P∈ SM, Q∈ NC)
→
→
→
→
→
→
→
PQ = PS + SC + CQ = xSM + SC + y CN
→
→ →
→
→

= x (b − 2 c)− c + y ((a + b) = 1[ ya +( x + y ) b − (2 x + 2)c]

2

2

2

→

→

→

→

PQ ⊥ SM
PQ ⊥ CN

→

<=>

→

PQ . SM = 0
→

→

PQ . CN = 0

→
→
 1 
1 →
[ ya +( x + y ) b − (2 x + 2)c ]. (b − 2 c) = 0
2
2

<=>

<=>

⇒

→
 1  
1 →
[ ya +( x + y ) b − (2 x + 2)c ]. (a + b ) = 0
2
2
2
x= −
→

3 => PQ = 1 ( a − b − 2c).
6
1
y=
3

PQ =

<=>

3 x + 3 y = −1
x + 2y = 0

1   2 2 3
( a − b − 2c ) =
6
3

* Tính góc giữa SM và CN
Cos(SM,SN)=

SM .CN
SM .CN

=

12
2 3 .2 6

=

2
2

=> (SM,CN)=450

Kết luận:Khoảng cách giữa SM và CN bằng

2 3
.
3

Góc giữa SM và CN bằng 450

14

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD và SABE có chung cạnh AB nằm trong 2 mặt
phẳng vuông góc với nhau. Biết AB=a. Tính khoảng cách và góc giữa AC và
SD.
S
E
Bài giải:
→

→

→

Chọn hệ véc tơ cơ sở { AB; AD; AS }
→

→

→

→

→

→

Đặt: AB = a , AD = b , AS = c

A

  

Ta có: a = b = c = a
  
a.b = b .c = c .a = 0

J
I

* Gọi IJ là đường vuông góc chung của AC và SD
(I ∈ AC, J ∈ SD)
→

→

→

→

→

→

B

D

C

→

IJ = IA+ AS + SJ = x CA+ AS + y SD

→
→
→
 
Mặt khác: CA
= CB + BA = − a − b

→
→
→
 
SD = − AS + AD = −c + b
→

  
 


IJ = − x(a + b ) + c + y (−c + b ) = − xa + ( y − x)b − ( y − 1)c

IJ ⊥ AC
IJ ⊥ SD

<=>

→

→

→

→

IJ . AC = 0

IJ . SD = 0

Thay vào ta được hệ phương trình:
y − 2x = 0

=>

− xa 2 + ( y − x )a 2 = 0
( y − x) a 2 + ( y − 1)a 2 = 0

1
3
2
y=
3

x=

2 y − x −1 = 0

=>

→
→ 2
1 1 1

1
1
1
1
IJ = − a + b + c => IJ = a 2 + a 2 + a 2 = a 2
3
3
3
9
9
9
3
a
→ Khoảng cách giữa AC và SD là: IJ =
3

* Tính góc (AC,SD)

→
→
    
AC . SD = (a + b )(b − c ) = b 2 = a 2

AC = a 2 = SD
Cos ( AC , SD) =

AC.SD
AC.SD

=

a2
1
=
a 2 .a 2 2

= >( AC , SD ) = 600

15


a
.
3

Kết luận: Khoảng cách giữa AC và SD bằng
Góc giữa AC và SD bằng 600

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA=a, CB=b,
SA=h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm của AB.
a, Tính góc φ giữa AC và SD.
b, Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài giải
→

→

→

→

→

→

→

→

→

* Chọn hệ véc tơ cơ sở { AS ; CA; CB } .Đặt: AS = h , CA = a , CB = b


S





Ta có: h = h , a = a, b = b
  
h .a = a.b = b .h = 0

M
A

 1  
DS = AS − AD = h − (b − a )
2

→

→

→

D

B

N

→
1 → 1 →
1  
BA = (CA− CB ) = (a − b )
2
2
2
→
→
1 1  1 2
a, Ta có: DS .CA = a ( a − b + h ) = a
2
2
2
→

DA =

C

1 2
a
a
2
=
=
Cosϕ =
2


DS .CA
1 1
a + b 2 + 4h 2
a ( a − b + h )2
2
2
DS .CA

b, Gọi MN là đường vuông góc chung của SD và AC
→

→

→

→

→

→

→

MN = MD + DA+ AN = x DS + DA+ y CA

Theo giả thiết =>

MN ⊥ SD
MN ⊥ AC

Từ đó ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta được:

→

<=>

1
2

1
2



1
2

1 
2



=> MN = ( x + + y )a + (− x − )b + xh

→

→

MN . SD = 0
→

→

MN . AC = 0

b 2 ( x + 1) + 4 xh 2 = 0
x + 2y +1 = 0

− b2
b 2 + 4h 2
− 2h 2
y= 2
b + 4h 2

x=

16

→

1
4h 2
− b2 
MN
=
−
(
)
b
+
h
=>
2 b 2 + 4h 2
b 2 + 4h 2
→

MN =

1
bh 4h 2 + b 2
4 2
4 2
4
h
b
+

b
h
=
b 2 + 4h 2
b 2 + 4h 2

2
2
Kết luận: Khoảng cách giữa AC và SD là: bh 24h + 2b

b + 4h

Góc φ giữa AC và SD thỏa mãn: Cosϕ =

a

a + b 2 + 4h 2
2

Nhận xét: Do bài toán cho ba đại lượng a,b,h nên tính góc giữa SD và AC theo
cách này đỡ phải tính toán hơn khi xác định góc bằng hình vẽ rồi dùng hệ thức
lượng trong tam giác.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính
khoảng cách và góc giữa BC’ và CD’
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có BC=a, AC=b, AA’=h. Tính khoảng
cách và góc giữa AB1 và BC1.
Bài 3: Cho lăng trụ đều ABC.A1B1C1, cạnh đáy bằng a. Các đỉnh M và N của tứ
diện đều MNPQ nằm trên BC1 còn các đỉnh P và Q nằm trên A1C
a, Tìm đường cao của lăng trụ.

b, Tính khoảng cách giữa BC1 và A1C.
Bài 4: Cho hình tứ diện đều ABCD. M là trung điểm AD, O là trọng tâm tam
giác ABC, N và K lần lượt là trung điểm AB, CD.
Tính khoảng cách và góc giữa MO và KN.
2.4.Hiệu quả của SKKN:
Trong các năm học từ 2013-2014 đến 2014-2015 ,tôi đã tiến hành thực
nghiệm sáng kiến này vào các buổi sinh hoạt chuyên đề và được đồng nghiệp
đánh giá tương đối tốt .
Liên tục trong các năm học từ 2015-2016 đến 2018-2019 tôi thực nghiệm
với học sinh trong các tiết dạy tự chọn .Sau khi áp dụng phương pháp véctơ vào
giảng dạy ở một số lớp tôi đã thu được kết quả tương đối khả quan. Với một số
bài toán mà các em không xác định được khoảng cách và góc giữa hai đường
thẳng chéo nhau, áp dụng phương pháp véctơ các em đã có thể giải được. Thậm
chí một số em còn cảm thấy thích thú với phương pháp này hơn.Cụ thể:
Lớp 11A5 và 11A4 năm học 2015-2016.
Lớp 11A3và 11A9 năm học 2016-2017.
Lớp12A2;và 11A2 năm học 2017-2018.

17


Lớp11A8và 11A2 năm học 2018-2019.
* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra như
sau:
Bài 1:
Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc
·BAD = 600 . Các cạnh bên SA = SC , SB = SD = a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng (SBC).
Bài 2: Cho hình tứ diện đều ABCD. M là trung điểm AD, O là trọng tâm
tam giác ABC, N và K lần lượt là trung điểm AB, CD.

Tính khoảng cách và góc giữa MO và KN.

Tỉ lệ học sinh giải đúng
cả 2 bài
12-15%

Tỉ lệ học sinh giải đúng ít Tỉ lệ học sinh không làm
nhất 1 bài
được bài
50-62%
23-38%

*Sau khi đã rèn luyện cho học sinh phương pháp véctơ thì vẫn 2 bài tập
đó kết quả đã thay đổi rõ rệt như sau:
Tỉ lệ học sinh giải đúng
cả 2 bài
72-76%

Tỉ lệ học sinh giải đúng ít Tỉ lệ học sinh không làm
nhất 1bài .
được bài
90-96%
3-5%

3.KẾT LUẬN -KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận:
-Do thời lượng của bài: “Khoảng cách” trong phân phối chương trình hạn hẹp(
2 tiết), vì vậy để áp dụng được sáng kiến kinh nghiệm này thì thời gian chủ yếu
là bố trí vào các tiết tự chọn đối với học sinh lớp 11, đối với lớp 12 thì được bố
trí dạy vào các buổi ôn tập.

-Sau khi áp dụng nội dung SKKN trên lớp có thể định hướng cho học sinh giải
một số bài toán khác bằng phương pháp véctơ.
3.2.Kiến nghị-đề xuất:
-Phương pháp véctơ trong thực tế còn có nhiều ứng dụng rất lớn và có thể giải
được nhiều dạng toán khác nên tôi cũng mong muốn sau khi học thêm nội dung
này học sinh thấy hứng thú hơn với phương pháp véctơ trong quá trình giải toán.
-Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong
giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học

18


tập tốt hơn. Tuy nhiên để đề tài được hoàn chỉnh hơn chắc chắn vẫn còn phải
tiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân
tình của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Hà Thị Nguyệt

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.SGK,SBT,SGV hình học nâng cao 11.
2.SGK,SBT ,SGVhình học cơ bản 11.

3."Các bài toán hình không gian giải bằng phương pháp véc tơ"-Đặng Khắc
Nhân-Lê Đỗ Lập,NXBGD 1994
4."Quy trình giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ"Nguyễn Văn Lộc NXBGD 1994.
5."Hình học 11-Ban KHTN-KT"-Văn Như Cương,Phạm Gia Đức, Vũ Dương
Thụy-NXBGD 1995
6.Các đề thi học kì,thi chọn học sinh giỏi ,thi thử đại học của các trường
THPT,của các sở GD-ĐT trên cả nước.
7. Các đề thi Đại học của Bộ giáo dục và đào tạo.

20


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: HÀ THỊ NGUYỆT
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Hoàn

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Phương pháp thể tích giải
một số bài toán hình học

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học

giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
SỞ
GD&ĐT
C
2009-2010
Thanh hóa

không gian
2.
3.
4.
5.
...
------------------------------------

21