SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC hóa để GIẢI bài TOÁN tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC đại số

Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

A. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học
sinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo
đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ.
Trong các đề thi học sinh giỏi và đặc biệt là đề thi THPT Quốc gia trong
những năm gần đây, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm
số hoặc một biểu thức đại số luôn nằm trong cấu trúc của đề thi ở ít nhất một
trong các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao.
Như ta đã biết, nếu một hàm số, một biểu thức được cho hoặc chuyển
được về dạng: hàm đại số đa thức, hữu tỷ,… thì việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất sẽ trở nên đơn giản vì ở những dạng đó ta sử dụng nhiều công cụ
hiệu quả: đồ thị, đạo hàm… thậm trí học sinh có thể sử dụng máy tính casio để
tìm ra đáp án. Tuy nhiên cũng có những hàm đại số (đặc biệt là hàm đại số nhiều
ẩn) thì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng những phương pháp đồ thị,
đạo hàm, biến đổi… thì không hiệu quả lắm. Hoặc những câu hỏi nhằm tránh
học sinh sử dụng máy tính casio cũng vậy. Đây là nội dung mà đòi hỏi học sinh
phải có tư duy sâu sắc, kiên trì, chịu khó tìm tòi ngay từ giả thiết đầu tiên. Đối
với học sinh đây là mảng kiến thức khó nên thường không làm được hoặc
thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Trong những trường hợp này, nếu
điều kiện cho phép ta có thể sử dụng phương pháp lượng giác để giải. Nội dung
chính của phương pháp này là lượng giác hóa một số đại lượng trong bài toán ta
đưa việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số về tìm
cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác đơn giản.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng như sách tham khảo hầu hết chưa
hình thành cho học sinh cách thức để giải quyết các dạng, loại bài tập. Vì vậy
dẫn đến học sinh sẽ ngại học. Người thầy phải biết hướng dẫn học sinh nghiên

cứu bài học và sắp xếp các bài tập có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tin
hơn khi giải bài tập.
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:
“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI
BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO”.

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh. Xây dựng,
sắp xếp các bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc
một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa có tính hệ thống, thông qua
đó để phát huy trí tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập cho học
sinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạo hứng
thú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn toán, giúp học
sinh không phải e sợ dạng bài tập này và quan trọng hơn, đứng trước một bài
toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm
bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
+ Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa.
+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài chủ yếu là học sinh khối lớp 12 năm
học 2018 - 2019.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Đề tài kết hợp giữa các phương pháp nghiên cứu:
+ Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, các sách giáo khoa, sách
bài tập, sách bồi dưỡng nâng cao.
+ Điều tra, quan sát:Thăm lớp, dự giờ, trao đổi với các giáo viên nhiều
kinh nghiệm.
+ Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua những giờ dạy ở các
lớp 12, trường THPT Yên Định 1 - Huyện Yên Định - Tỉnh Thanh Hóa.
+ Thực nghiệm giáo dục.
6. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Để thực hiện đề tài này tôi đã lựa chọn một số bài toán về tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của biểu thức trong sách giáo khoa lớp 10, 12, trong các đề thi
ĐH, CĐ, đề thi HSG và trong các dề thi THPT QG những năm gần đây. Phân
tích việc lượng giác hóa các biểu thức đó để đưa về biểu thức chứa các hàm số
lượng giác và vận dụng các tính chất, công thức lượng giác để đưa ra giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất một cách đơn giản ngắn gọn nhất.
7. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI.
- Xây dựng được hệ thống bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của một hàm số hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa.
- Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.

2


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

B. NỘI DUNG
PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f  x  , xác định trên tập D ��.
Một số thực M là giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu:
x  D : f ( x ) M
�
�
x0 �D : f ( x0 )  M .
�
Ký hiệu M  Max f ( x ).
D

Một số thực m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu:
x  D : f ( x ) m
�
�
x0 �D : f ( x0 )  m.
�
Ký hiệu m  min f ( x ).
D

1.2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản và giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của nó
(1) Hàm số y  asinx  b( a �0 ). Tập xác định của hàm số là �.
y b
y b
a �0�sin
�x � �
1

a y b a
a
a
� b  a �y �b  a .
Vậy max y  b  a đạt được khi sinx  1 � x   / 2  k 2 ( k �Z ) .
miny  b  a đạt được khi sinx  1 � x   / 2  k 2 ( k �Z ) .
(2) Hàm số y  acos x  b( a �0 ). Tập xác định của hàm số là �.
y b
yb
a �0�
cos
�x � �
1
a y b a
a
a
� b  a �y �b  a .
Vậy max y  b  a đạt được khi cos x  1 � x  k2 ( k ��) .
miny  b  a đạt được khi cos x  1 � x    k2 ( k ��) .

(3) Hàm số y  atan x  b( a �0 ). Tập xác định của hàm số là �\  k ,k ��.
2
Vì miền giá trị của hàm tanx là � và tanx là hàm đồng biến trên tập xác
định, do đó chỉ tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên trên đoạn
  ,  �X .
tan
 
x,x   ,   tan  t tan  .
Đặt t ��
y  at  b,t �  ,   .

3


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

Bài toán trở thành xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc
nhất trên một đoạn.
(4) Hàm số y  a cot x  b( a �0 ). Tập xác định của hàm số là �\ k ,k ��.
Vì miền giá trị của hàm cotx là �và cotx là hàm nghịch biến trên toàn tập xác
định. Do đó chỉ tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  acotx  b trên một đoạn   ,   ̮̮�
X � cot  t cot  .
y  at  b,t �  ,   .
Bài toán trở thành xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc
nhất trên một đoạn.
(5) Biểu thức bậc nhất đối với sinx và cosx
y = A(x) = asinx + bcosx + c.
a
b
,sin  
.
A( x )  a 2  b 2 .sin( x   )  c , với cos  
a2  b2
a 2  b2
� c  a 2  b 2 �A( x ) �c  a 2  b 2 .
Vậy min y  c  a 2  b 2 ,max y  c  a 2  b 2 .
(6) Biểu thức bậc 2 thuần nhất của sinx và cosx

y  A( x )  a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d ( a,b,c �0 ,TXĐ X  �) .
b
ca
a  c  2d
 .sin 2x 
.cos 2x 
.
2
2
2
Đưa về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
(7) Biểu thức đối xứng của sinx và cosx
y  A( x )  a(sin x  cos x )  b.sin x cos x  c( a,b �0 ,TXĐ : X  �) .
� �
,t � 2 .
Đặt t  sin x  cos x  2 sin �x  �
� 2�
b
2c  b
Ta có: y  f ( t )  .t 2  a.t 
.
2
2
 2, 2�
Khi đó y là hàm bậc hai đối với t, xác định trên �
�
�tùy theo giá trị cụ
thể của a, b, c ta suy ra được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y.
Bài toán tương tự:
y  A( x )  a(sin x  cos x )  b.sin x cos x  c( a,b �0 ,TXĐ X  �) .

1.3. Một số kỹ năng khi sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải
bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Một điểm chú ý khi sử dụng phương pháp này là cần lưu ý đến điều kiện
tồn tại của ẩn phụ là các hàm số lượng giác.
* Chú ý giới hạn cung, góc và điều kiện.
* Các công thức lượng giác.
* Một số bất đẳng thức cổ điển như Côsi, Bunhiacopxki,...
4


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

* Điều kiện có nghiệm của phương trình a sinx  bcosx  c là
a 2  b 2 �c 2
+ Nếu x thỏa mãn: x �a thì đặt x  a cos t với 0 �t � .
+ Nếu x thỏa mãn: x �a hoặc biểu thức chứa lượng x 2  a 2 thì đặt
x

a
cost

�
� ��
2
2
t
�
0;


\


� ��� x  a  a tant ,a  0.
�
�2 �
�

a2
.
+ Nếu biểu thức chứa lượng x  a thì đặt x=atant � x  a 
cos 2 t
x 2  y 2  a 2 � x  a sint và y  a cost ,
2

2

2

2

+ Nếu có x 2  y 2 �b 2 � x 2  y 2 �a 2  b 2 , x  a sint và y  a cos t,
x ή � x  tant hay cot t .
x y
�x  tan 
x y
�
 tan      .
+ Nếu biểu thức có chứa

thì đặt �
1  xy
1  xy
�y  tan 
a  tan 
�
�
+ Nếu biểu thức có điều kiện a  b  c  abc thì đặt �
b  tan  với
�
c  tan 
�
      k .
+ Nếu biểu thức có điều kiện ab  bc  ac  1 � đặt



a  tan ;b  tan ;c  tan ,        .
2
2
2

5


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

PHẦN 2. CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP

2.1. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho x > 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 
Tính giá trị của P = a + b?
A. 4
B. 3

x
x2  1

có dạng a b .

C. 1

D. 2

1
,t � 0, / 2  � x  1, ta có:
cos t
1
x
1
1
1
cost
y x




.

cost sint
1
x 2  1 cos t
1
cos 2 t
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
1
1
2
2 2

�

�2 2.
cost sint
sint cos t
sin 2t
�sint  cost

�
� t  � x  2.
Dấu “=” xảy ra � �sin 2t  1
4
�
t
�
0,

/
2



�
Vậy min y  2 2 � a  b  2 � a  b  4.
Lời giải. Đặt x 

x 1

Chọn A.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
u  x 1  y  y 1  x , với x 2  y 2  1
A. 2  2

B.

C.2

2 2

D. 2  2

Lời giải. Đặt: x  sin  , y  cos  .
Khi đó
u  sin  1  cos   cos  1  sin  .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta thu được:
u 2 � sin 2   cos 2    2  sin   cos  
̮
̮
�
u 2  2 sin  cos  

2

2.

Vậy
u 2 �2  2.

6


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

� 1  cos 
1  sin 

2
�
� sin   cos  
.
cos 
Dâú “=” xảy ra � � sin 
2
�sin   cos 
�
Khi đó
u  2 sin  1  sin   2.

2
2
. 1
 2 2.
2
2

Vậy
max u  2  2 .

x 2  y 2 1

Chọn B.
Ví dụ 3. Cho 1 �x �1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
n
n
P   1  x    1  x  , n ��
A. 2 n
B. 2.2 n
C.2

D. 4 n

Lời giải. Vì x � 1;1 nên đặt x  cos t, ta có
t�
n
n
n
n
� 2n t

P   1  x    1  x    1  cos x    1  cos x   2 n �
sin
 cos 2n �
.
2
2�
�
t�
� t
P �2 n �sin 2  cos 2 � 2 n.
2�
� 2
� 2t
sin  0
�
x 1
�
2
��
Dấu “=” xảy ra � �
t
x  1.
�
�
sin 2  1
� 2
n
Vậy max P  2 .
 1,1

Chọn A.
Ví dụ 4. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện
a 2  b 2  25; c 2  d 2  16; ac  bd �20.
Giá trị lớn nhất của biểu thức T = a+d là :
A. 2 10
B. 20
C. 9

D.

41

Lời giải. Vì a 2  b 2  25 nên có thể đặt
a  5 sin  , b  5cos  .
c 2  d 2  16 nên có thể đặt
c  4cos , d  4 sin  .
Từ đó
7


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

ac  bd  20 sin  cos   20 cos  sin   20 sin      �20.
Từ giả thiết ac  bd �20 suy ra

sin       1 �      k2 ,k ��.
2
T


a

d

5
sin


4
sin


5
sin


4
cos 
Do đó
� 25  16 . sin 2   cos 2 ,
sin  cos 
5

� tan   (tồn tại).
hay T � 41 . Dấu “ = ” xảy ra khi
5
4
4
Vậy

max  a  d   41.
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho y 
lượt là a và
A.1

1  x6

 1  x2 

3

. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức lần

a
. Tính hiệu b – a?
b
B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải. Vì x �� nên đặt x  tan  , ta được
1  x6
1  x 2  x 4 1  tan 2   tan 4 
y


2

2 3
2 2
1

x
1

x

 

 1  tan2  
sin 2  sin4 
1

2
cos

cos 4   cos 4   sin 2  cos 2   sin 4 

1
cos 4 
2
3
  sin 2   cos 2    3 sin 2  cos 2   1  sin 2 2 .
4
2
Vì 0 �sin 2 �1 nên
1
max y = 1 khi sin 2  0 ; min y  khi sin 2  1.

4
Vậy a  1,b  4 � b  a  3.
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho a 2  b 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  20a 3  15a  36b  48b 3
A.15

B. 13

C. 26

D. 169

8


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

Lời giải. Vì a 2  b 2  1 nên đặt a  sin  , b  cos  ta có
P  20 sin 3   15 sin   36 cos   48 cos 3 
 5  3 sin   sin3   15 sin   36 cos   12  cos 3  3cos  
 5 sin3  12cos 3  5 sin3  12cos 3 � 5 2  12 2  13.
sin3 cos 3
5

� tan3 
Dấu “=” xảy ra khi
(tồn tại).

5
12
12
Vậy max P = 13.
Chọn B.
Ví dụ 7. Cho x 2  y 2  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
T  16  x 5  y 5   20  x 3  y 3   5  x  y  ,
A.2

B. 10

C. 0

D. 4

Lời giải. Đặt x  cos  ; y  sin  ,   � 0,2   và:

T  16  sin 5   cos 5    20  sin 3   cos 3    5  sin   cos   .

Ta có
sin5  16 sin 5   20 sin 3   5 sin 
cos 5  16 cos 5   20 cos 3   5cos 
�
�
5  �
. Từ đó:
Nên ta được T  cos 5  sin5  2 sin �
4�
�

* minT   2 , dấu “=” xảy ra khi
5

2
2
�  , x 
, y
.
4
4
2
2
* maxT  2 , dấu “=” xảy ra khi




5  �  
, x  cos , y  sin .
4
20
20
20
Vậy chọn C.
5 

Ví dụ 8. Với a,b �R, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 a  b   1  ab 
T
 1  a 2   1  b2  bằng:

A.10

B. 20

C. 9

D. 0

9


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

�  �
 , �
, ta có
Lời giải. Đặt a  tan  , b  tan  , với  ,  ��
�2 2�
 a  b   1  ab    tan   tan    1  tan  tan  
T
 1  a 2   1  b2 
 1  tan 2    1  tan 2  
sin      � sin  sin  �
. 1
�
cos  .cos  �
� cos  cos  �
 cos  .cos  .sin       sin  sin  .sin     

 cos 2  .cos 2  .

1
 sin      .cos       sin  2  2   .
2

1
Do đó: T � , khi 2  2    thì dấu “=” xảy ra.
2
2

1
T � , khi 2  2   thì dấu “=” xảy ra.
2
2
Vậy
1
1
maxT  , minT   .
2
2
Chọn D.
�x 2  y 2  9  1
�
�2 2
Ví dụ 9. Trong những nghiệm của hệ: �z  t  16  2 
�
�xt  yz �12  3 
Tìm nghiệm có tổng x  z đạt giá trị lớn nhất.
�9 12 16 12 � �9 16 12 16 �

�16 12 9 12 � �12 9 16 12 �
A. � , , , � B. � , , , � C. � , , , �D. � , , , �
�5 5 5 5 � �5 5 5 5 �
�5 5 5 5 � �5 5 5 5 �
x 3,
 y 3 , z 4, t 4.
Lời giải. Từ  1 , 2  ���
�x  3cos  , y  3 sin 
Nên  � 0,2  , � 0,2  : �
�z  4 cos  , t  4 sin  .

Vì xt  yz �12 � 12cos  sin   12cos  sin  �12 � sin      �1

� sin       1 �     .
2

Vì  ,  � 0,2  ,     � x  3cos  , y  3 sin  ,z  4 sin  ,t  4 cos  .
2
4
3�
�3
�
�
sin   �
.
Vậy x  z  3cos   4 sin   5.� cos   sin  � 5 sin      ; �
5
5�
�5
�

�

10


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng


� cos   sin 
2
9
�
�x  3cos   3 sin   5
�
16
�
� �z  4 sin   4 cos  
5
�
12
12
�
y

3
sin



,t

4
cos


.
�
5
5
�
�9 12 16 12 �
Vậy trong các nghiệm của hệ đã cho thì nghiệm � , , , �là nghiệm mà
�5 5 5 5 �
có tổng x  z đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là 5.
Chọn A.
� max  x  z   5 �    

Ví dụ 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
x2   x  4 y 
f  x, y  
, x 2  y 2  0. bằng:
2
2
x  4y
A. 4
B. -4
C. 4 2
D. 2 2

Lời giải. f  x, y  xác định x, y : x 2  y 2  0.
y  0 � f  x, y   f  x,0   0.
2

2

�x � �x
�


2
�2 y � �2 y
�
�
�
�
�.
y �0 :
f  x, y  
2
�x �
�2 y � 1
� �
x
� 3 �
 tan  , � 0,2  \ � , �.
Đặt
2y
�2 2
ta có

2
�x �
1
�2 y � 1  cos 2 
� �
2

2

�x � �x
�
x
�2 y � �2 y  2 � 4 2 y  4  4tan   4.
� � �
�
Suy ra

f  x, y   cos 2   4tan   4   4 sin  cos   4 cos 2 

 2 sin 2  2  2cos 2  2 sin 2  2cos 2  2.
f  x, y  là biểu thức bậc nhất với sin 2x và cos 2x . Ta có

11


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

2  2 2  ( 2 )2 �f  x, y  �2  2 2  ( 2 )2 .

�
minf  x, y   2  2 2
�
Vậy �
.
max
f
x,
y


2

2
2.


�
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho x, y > 0 với x  y �1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
E 2

 4xy
2
x y
xy
A. 4
B. 5

C. 6
D. 7
Lời giải. Ta đặt
�x  R cos 2 t
��
( t �
�
0; ;R 0 )
�
2
� 2�
�
�y  R sin t

R 1.

Khi đó,
E

1
3
1
1
3

 4xy 
�2

 2.
2

2
x y
4xy
4xy x  y
4xy
2

Hay
1
3
E� 2

2
4
4
2
R ( cos t  sin t ) 4R sin 2 t cos 2 t
1
3
6  sin 2 2t
�


2

 2 �8  sin 2 2t �7.
2
2
2
1 2

( 2  sin 2t )sin 2t
1  sin 2t sin 2t
2
Như vậy,
�R  1
1
min E  7 � �
� x y .
2
�sin 2t  1
Chọn D.
Ví dụ 12. Cho x, y, z > 0 sao cho x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của
xyz
x
y
b b
G


có dạng a 
.
x  yz y  zx z  xy
c
Giá trị a + b + c bằng:
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Lời giải. Ta thấy

12


Sáng kiến kinh nghiệm

1=x+y+z=

Giáo viên: Lê Thị Hằng

xy xz
.

z
y

yz yx
.

x
z

zx zy
.
.
y
x

Do đó, với A, B, C là 3 góc của tam giác ABC. Ta đặt
�yz
2 A

�x  tan 2
�
�zx
2 B
�  tan
2
�y
�xy
2 C
�  tan .
�z
2
C
tan
1
1
2  cos 2 A  cos 2 B  1 sinC
�G 


A
B
C
2
2 2
1  tan 2
1  tan 2
1  tan 2
2
2

2
1

3
 1  (cos A  cos B  sinC  sin ) 
.
2
3
4


C
C
3
A B
A B
3 cos
3
�1 
 cos
cos
 sin
4
2
2
2
2

A BC 
3

A B
3 �1  3  2cos 
�1 
 cos
 cos
4
2
4
4
6
3 3
�1 
.
4
Như vậy,


�
A

B

�
�
3 3
�
�x  y  2 3  3
6
maxG  1 
��

��
.
2

4
�
�z  7  4 3
C
�
3
Vậy a = 1, b = 3, c = 4. Nên a + b + c = 8.
Chọn C.
a,b �0
�
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
Ví dụ 13. Cho �
ab1
�
nhất của biểu thức P  a  b . Tính M + m?
1 b 1 a

13


Sáng kiến kinh nghiệm

A.

2
3

Giáo viên: Lê Thị Hằng

B.

5
3

C.

3
5

D. 3

Lời giải. Từ giả thiết, ta đặt
�
a  cos 2t � �  ��
�
t � 0; ��
.
�
�
b  sin 2 t � �
� 2 ��
�
Khi đó,
a
b
cos 2t

sin 2 t
cos 4t  sin 4 t  sin 2 t  cos 2t




1  b 1  a 1  sin 2 t 1  cos 2t 1  sin 2 t  cos 2t  sin 2 t cos 2 t
1
2  sin 2 2t
2

�1.
1 2
2  sin 2t
4
�
a 0
�
�
�
b1
�
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin2t = 0 � �
�
a

1
�
�

�
b0
�
�
1 2
2

sin 2t
a
b
2
2

 
�0.
Mặt khác,
1b 1 a 3
� 1 2 �
3�
2  sin 2t �
� 4
�
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin2t = 1 � a  b  .
2
2
5
� M  1,m  � M  m  .
3
3

Chọn B.
Ví dụ 14. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
 x  y   1  xy  .
thức P 
 1  x2   1  y 2  Khi đó M và m bằng:
A.

3 1
, .
2 2

B.

3 1
, .
2 2

C.

1 1
, .
2 2

D. 1, -1.

14


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

2
2
Lời giải. Vì sự có mặt của  1  x  và  1  y  và tập xác định của hàm số là �
nên ta đặt:
�x  tan 
 tan  tan    1  tan .tan  
�P
�
 1  tan2    1  tan2  
�y  tan 

sin      � sin  .sin  �
. 1
�
cos .cos �
� cos .cos �
 sin      . cos .cos -sin .sin 
 cos 2 .cos 2 

 sin      .cos      

1
sin  2  2   .
2

1
1
1

1
Do đó,  �P � . Nên M  ,m   .
2
2
2
2
Chọn C.

Nhận xét:
Qua lời giải các bài toán này ta thấy nếu giáo viên hướng dẫn học sinh cách
nhận dạng và cách đặt để “lượng giác hóa” thì bài toàn trở về rất nhẹ nhàng, đây
là công cụ giải toán quả thật rất hay và học sinh sẽ rất thích sử dụng.

15


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

2.2. Các bài tập đề nghị
Bài tập trắc nghiệm:
Bài 1. Cho số thực x, y, z thỏa mãn
x(x + y + z) = 3yz.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3
3
x  y    x  z   3 x  y   y  z   z  x 

P

3
 y  z
A. 5
B. 6
C. 7
D. 11.
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a 2  2  . b 2  2  . c 2  2 

P
ab  bc  ca
B. 7
B. 8
C. 9
D. 11.
Bài tập tự luận:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y 

1  x4

 1  x2 

2

.

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2. xy  y 2 
với điều kiện x 2  y 2  1.
P

2
1  2x  2xy
Bài 3. Cho x, y  0 và x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
y
P

.
1 x
1 y
3 y 2  4xy
.
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  2
x  y2
(x, y không đồng thời bằng không).
x2
.
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y 
1  x4

16


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Tổ chức thực nghiệm.
Tổ chức thực nghiệm được tiến hành từ tháng 10 năm 2018 đến tháng 12

năm 2018 tại trường THPT Yên Định 1, huyện Yên Định gồm:
+ Lớp thực nghiệm 12A3 dạy theo triển khai đề tài.
Lớp đối chứng 12A5 giảng dạy bình thường theo truyền thống.
+ Trình độ học sinh được chọn ở các lớp tương đương nhau. Các lớp này
được tiến hành kiểm tra trước và sau khi dạy và triển khai đề tài này.
2. Kết quả thực nghiệm
Hoạt động học tập của học sinh nhìn chung diễn ra khá sôi nổi không gây
cảm giác áp đặt. Việc sử dụng các biện pháp nhận được sự hứng thú của học
sinh trong giải toán và học toán.
Kết quả kiểm tra
Trung
Giỏi
Khá
Yếu
Số
bình
Lớp
bài
SL %
SL
% SL
%
SL
%
12A3 Lớp thực nghiệm

40

16

40

15

12A5 Lớp đối chứng

38

4

10,5

10

37,5
26,3

9

22,5

0

0

14

36,9

10

26,3

3. Kết luận thực nghiệm:

- Từ bảng kết quả nêu trên cho thấy rằng lớp dạy thực nghiệm có kết quả
học tập đạt được cao hơn. Trong đó tỷ lệ học sinh đạt kết quả loại khá, giỏi ở lớp
thực nghiệm là cao hơn hẳn. Qua quá trình áp dụng các em học sinh hiểu bài tốt,
tiếp thu nhanh, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể,
kết quả học tập của học sinh nâng lên rõ rệt so với lớp đối chứng. Các em có
được tư duy tích cực, độc lập, nhất là ở các học sinh khá giỏi, làm tăng tỷ lệ học
sinh khá giỏi và tạo cho các em mạnh dạn, tự tin hơn , yêu thích, ham mê với
môn toán. Không còn cảm giác e ngại khi gặp bài toán về giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số trong đề thi THPT QG ở
mức độ vận dụng, vận dụng cao thuộc dạng này.
- Trong giờ dạy thực nghiệm học sinh có hứng thú học tập hơn, nhiều học
sinh trước đây ngại học nay đã có ý thức học tập tốt hơn, những học sinh khá
càng say sưa và sáng tạo trong học tập, kết quả được nâng lên rõ rệt. Không khí
lớp học sôi nổi và bài học thực sự mang lại cho các em những kiến thức bổ ích,

17


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

kích thích tính sáng tạo, tìm tòi của học sinh, góp phần tạo sự cộng tác chặt chẽ
giữa giáo viên và học sinh, giữa các học sinh với nhau.
D. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

1. Kết luận:
Sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải
bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số trong
đề thi THPT Quốc Gia mức độ vận dụng, vận dụng cao” của tôi đã giải quyết
được những vấn đề sau:
- Góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh. Xây
dựng, sắp xếp các bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số
hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa có tính hệ thống, thông
qua đó để phát huy trí tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập cho
học sinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạo
hứng thú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn toán,
giúp học sinh không phải e sợ dạng bài tập này và quan trọng hơn, đứng trước
một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước
khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
- Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.
Giúp các em tự tin hơn khi gặp bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
một hàm số hoặc một biểu thức đại số trong đề thi THPT QG ở mức độ vận
dụng, vận dụng cao thuộc dạng này.
2. Một số đề xuất
- Việc dạy học cần phải kiên trì, uốn nắn và kiểm tra thường xuyên liên
tục.
- Mỗi bài toán thường là có nhiều cách giải, yêu cầu học sinh phải thành
thạo quy trình giải của từng dạng.
- Sở GD& ĐT Thanh Hóa cần mở nhiều hơn các chu kỳ bồi dưỡng thường
xuyên để giáo viên tiếp cận nhiều phương pháp dạy học mới và đưa vào thực tế
dạy học ở các trường THPT.
- Nhà trường tạo điều kiện về trang thiết bị dạy học để giáo viên có điều
kiện thực hiện các phương pháp dạy học mới.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 12 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của người
khác

18


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

Lê Thị Hằng
Tài liệu tham khảo
1. Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng
Hùng Thắng – Trần Văn Vuông, Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất
bản Giáo Dục.
2. Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh –
Đoàn Quỳnh – Ngô Xuân Sơn – Đặng Hùng Thắng – Lưu Xuân Tình (2007),
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục.
3. Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan – Trần Phương Dung - Nguyễn
Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, Nhà
xuất bản Giáo Dục.
4. Trần Thành Minh – Trần Quang Nghĩa – Lâm Văn Triệu – Dương
Quốc Tuấn (2001), Giải toán lượng giác, Nhà xuất bản Giáo Dục.
5. Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phan Văn Hạp –
Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê
Đình Thịnh (2000), Phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập 1, Nhà xuất bản

Đại học Quốc Gia Hà Nội.
6. Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục.
7. Nguyễn Văn Quý - Nguyễn Tiến Dũng - Nguyễn Việt Hà, Phương
pháp giải toán bất đẳng thức – Cực trị.
8. Phan Huy Khải (1994), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, Nhà
in SGK Đông Anh, Hà Nội.
9. Đề thi tuyển sinh.
10. Nguyễn Thu Hà (2002), dạy học các bài toán cực trị và giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác, luận văn tốt nghiệp, trường đại
học sư phạm Hà Nội.
11. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Toán học, Nhà xuất bản Giáo
dục.
12. Võ Anh Khoa – Hoàng Bá Minh (2011), Lượng giác - Một số
chuyên đề và ứng dụng, tập 3, Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh.

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….........
...........
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
………

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….........
...........
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
………

20


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

DANH MỤC CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TÁC GIẢ
ĐÃ ĐƯỢC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA XẾP LOẠI
NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÂY
Tên đề tài
Sáng kiến
1. Góp phần phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh qua dạy học
đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau - khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau.
2. Phát triển tư duy cho học
sinh lớp 10 ban khoa học tự nhiên
qua dạy học giải phương trình vô
tỷ.

Số, ngày, tháng, năm của
Năm cấp Xếp loại quyết định công nhận, cơ
quan ban hành QĐ

2005

C

2008

C

3. Khai thác và xây dựng các
2016
bài tập hình học không gian có tính
hệ thống để phát triển tư duy sáng
tạo, tính tích cực và năng lực giải
bài tập cho học sinh lớp 11 và học
sinh lớp 12 ôn thi đại học.

B

Quyết định số 132/QĐKHGDCN ngày 19/4/2005.

Cơ quan ban hành quyết định:
Sở Giáo dục và Đào tạo
Thanh Hóa.
Quyết định số 462/QĐSGD&ĐT ngày 19/12/2007.
Cơ quan ban hành quyết định:
Sở Giáo dục và Đào tạo
Thanh Hóa.
Quyết định số 972/QĐSGD&ĐT ngày 24/11/2016.
Cơ quan ban hành quyết định:
Sở Giáo dục và Đào tạo
Thanh Hóa.

21


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

MỤC LỤC
NỘI DUNG
A. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Đối tượng nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Giải pháp thực hiện
7. Đóng góp của đề tài
B. Nội dung

Phần 1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số
1.2.
Một số biểu thức lượng giác cơ bản và giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của nó
1.3. Một số kỹ năng
Phần 2. Các ví dụ và bài tập
2.1. Các ví dụ
2.2. Bài tập đề nghị
C. Thực nghiệm sư phạm.
D. Kết luận.
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
6
6

16
17
18
19

22


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: Lê Thị Hằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH I
--------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MỨC ĐỘ
VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO”.

Người thực hiện: Lê Thị Hằng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

23

THANH HÓA, NĂM 2019