Một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11, chủ đề ‘‘ tìm giới hạn dãy số

MỤC LỤC
Nội dung
I- MỞ ĐẦU

Tran
g
2

1. Lí do chọn đề tài.

2

2. Mục đích nghiên cứu.

2

3. Đối tượng nghiên cứu.

2

4. Phương pháp nghiên cứu.

2

II- NỘI DUNG

3

1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

3

2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

4

2.1. Thuận lợi.

4

2.2. Khó khăn.

4

3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

5

3.1. Giải pháp 1: Tính giới hạn dãy số bằng cách tìm công thức
số hạng tổng quát của dãy số đó.

5

3.2. Giải pháp 2: Tính giới hạn dãy số bằng công thức cơ bản.

9

3.3. Giải pháp 3: Tính giới hạn dãy số bằng nguyên lý kẹp.

13

Bài tập tham khảo.

15

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

17

III- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

17

Tài liệu tham khảo

1

18


I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Dãy số và giới hạn của dãy số là phần mở đầu của bộ môn giải tích, do vậy
nó đóng vai trò quan trọng đối với môn học và đối với người học. Bài toán tính
giới hạn của dãy số thường xuyên xuất hiện trong các kì thi olimpic Toán, các kì
thi học sinh giỏi quốc gia và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Song khái niệm dãy số
học sinh mới được làm quen trong chương trình toán lớp 11 phần mở đầu của
giải tích toán học. Các dạng toán liên quan đến nội dung này thường là khó đối
với học sinh THPT không chuyên, các em học sinh không định hướng hoặc chưa
nắm được cách thức để giải các bài toán về tính giới hạn của một dãy số, đặc

biệt là các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi.
Qua thực tế giảng dạy chương trình môn toán lớp 11 những năm qua, cũng
như việc ôn luyện trực tiếp cho đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 11, tôi
nhận thấy rằng phần lớn các em học sinh chỉ làm được các bài toán đơn giản về
giới hạn của dãy số, còn đối với các bài toán dãy số nằm trong đề thi học sinh
giỏi các cấp thì các em học sinh hầu như không làm được hoặc làm chưa hoàn
chỉnh câu này.
Xuất phát từ các lý do trên tôi chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm ôn thi học
sinh giỏi lớp 11, chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’. Qua nội dung các bài toán
trong đề tài này nhằm giúp các em học sinh giỏi lớp 11 không chuyên có thêm
kiến thức, kĩ năng giải một số bài toán về tính giới hạn của dãy số nhằm đáp ứng
cho việc học và ôn thi học sinh giỏi môn toán lớp 11.
2. Nhiệm vụ của đề tài.
+ Nắm được định nghĩa dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn,
định lý tồn tại giới hạn của một dãy số, nguyên lý kẹp để tìm giới hạn của dãy
số.
+ Nắm được cấp số cộng, cấp số nhân và các tính chất của nó để tìm công
thức số hạng tổng quát phục vụ cho việc tính giới hạn của dãy số.
+ Nắm vững một số công thức cơ bản và biết tính tổng hoặc tích của các
dãy số hữu hạn có quy luật.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Các em học sinh giỏi môn toán lớp 11 trường THPT Yên Định 2.
4. Phạm vi nghiên cứu.
Chỉ xét các bài toán tính giới hạn của một số dãy số có quy luật hoặc dãy số
cho bởi hệ thức truy hồi tuyến tính mà học sinh được học trong chương trình
môn toán lớp 11 hoặc các dãy số có thể dùng định lý kẹp để giải.
5. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn
đề liên quan đến đề tài.
+ Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng để nắm bắt

được những mặt hạn chế, những sai lầm thường gặp của học sinh giỏi lớp 11
THPT trong quá trình học chuyên đề tính giới hạn của dãy số.
2


+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và đối
chứng tại một số lớp học cụ thể để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp. Kết quả thực nghiệm sư phạm được xử lý bằng phương pháp thống kê
toán học trong khoa học giáo dục.

II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận.
1.1. Định nghĩa dãy số:

¥*

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương
được gọi là một
dãy số vô hạn ( hay gọi tắt là dãy số )
( un )
Người ta thường kí hiệu dãy số u = u(n) bởi
1.2. Dãy số tăng, dãy số giảm.
( un )
un+1 > un , ∀n ∈ ¥ *
+ Dãy số
được gọi là dãy số tăng nếu
( un )
un+1 < un , ∀n ∈ ¥ *
+ Dãy số
được gọi là dãy số giảm nếu

1.3. Dãy số bị chặn.
( un )
+ Dãy số
được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho
un ≤ M , ∀n ∈ ¥ *
+ Dãy số

+ Dãy số

( un )

được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho
un ≥ m, ∀n ∈ ¥ *

(u )
n

được gọi là bị chặn nếu tồn tại m và M sao cho
m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ¥ *

1.4. Cấp số cộng.
1.4.1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) mà
trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng
ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là
( un )
⇔ ∀n ≥ 2, un = un−1 + d
là cấp số cộng
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
u1
1.4.2. Số hạng tổng quát: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu

và
( un )
công sai d thì số hạng tổng quát
của nó được xác định theo công thức sau:
3


un = u1 + ( n −1) d , ∀ n ≥ 2

(u )
n

1.4. 3. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: Giả sử
là một
Sn
cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi
là tổng n số hạng đầu tiên của
n(u1 + un )
Sn = u1 + u2 + ... + un =
2
nó. Khi đó, ta có:
1.5. Cấp số nhân.
1.5.1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) mà
trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng
ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:
( un )
⇔ ∀n ≥ 2, un = un −1.q
là cấp số nhân
.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

u1
1.5.2. Số hạng tổng quát: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công
q≠0
un
bội
thì số hạng tổng quát
của nó được xác định theo công thức sau:
n −1
un = u1.q , ∀ n ≥ 2.

(u )
n

1.5.3. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: Giả sử
là một
q ≠1
Sn
cấp số nhân với công bội
thì
là tổng n số hạng đầu tiên của nó được
tính theo công thức:
u1 ( 1 − q n )
S n = u1 + u2 + ... + un =
1− q
1.6. Phương trình sai phân tuyến tính đơn giản.
1.6.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một: Phương trình sai phân
ax n +1 + bxn = f n , a ≠ 0
tuyến tính cấp một có dạng
1.6.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai: Phương trình sai phân
ax n + 2 + bxn +1 + cxn = f n , a ≠ 0

tuyến tính cấp hai có dạng
1.7. Nguyên lý kẹp.
Cho ba dãy số
4

(u ) (v )
n

;

n

và

(w )
n

thỏa mãn

vn ≤ un ≤ w n , ∀ n


Nếu

lim vn = lim w n = L

lim un = L
thì

.

1.8. Định lý về sự tồn tại giới hạn của dãy số.
Định lý: Một dãy số tăng ( giảm ) và bị chặn trên ( dưới ) thì có giới hạn.
1.9. Phương pháp quy nạp toán học.

n∈¥*

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên
là đúng với
mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
n = k ≥1
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì
( gọi là giả
thiết quy nạp ), chứng minh nó đúng với n = k + 1.
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy
nạp.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Thuận lợi: Trong những năm gần đây công tác bồi dưỡng cho học sinh
giỏi khối 11 rất được nhà trường và BGH quan tâm. Chất lượng học sinh cũng
được nâng cao, đa số các em đều có ý thức trong học tập, các thầy cô trong tổ
toán hăng say nhiệt tình trong vấn đề ôn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi.
2.2. Khó khăn: Tuy chất đội tuyển đã được nâng cao, tuy vậy giữa các em
học sinh còn có khoảng cách nhất định, kiến thức về phần giới hạn của dãy số
trình bày trong sách giáo khoa chỉ là kiến thức cơ bản, tài liệu tham khảo cho
học sinh và giáo viên về chuyên đề giới hạn dãy số không nhiều. Tuy nhiên các
bài toán về tính giới hạn của dãy số trong kì thi học sinh giỏi các cấp lại rất khó
và đa dạng, cần vận dụng nhiều kiến thức, nhiều kĩ năng mới giải quyết được
các bài toán đó.
Được tổ Toán trường THPT Yên Định 2 trực tiếp phân công dạy chuyên đề

giới hạn của dãy số cho đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11, tôi nhận thấy rằng
các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài toán về tính
giới hạn của dãy số. Vì vậy thông qua đề tài này tôi mong rằng sẽ phần nào giúp
các em học sinh giải thành thạo các bài toán tính giới hạn của dãy số, đặc biệt là
các bài toán về giới hạn dãy số trong đề thi học sinh giỏi các cấp.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Giải pháp 1: Tính giới hạn của một dãy số bằng cách tìm công thức
số hạng tổng quát của dãy số đó.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của
cấp số cộng, cấp số nhân, hoặc sử dụng cách giải một số phương trình sai phân
tuyến tính cấp 1 và cấp 2 để tìm ra công thức số hạng tổng quát, từ đó suy ra
giới hạn dãy số cần tính.
5


+ Dùng cấp số cộng và cấp số nhân:

Bài 1: Cho dãy

(u )
n

được xác định như sau:

u1 = 2005; u2 = 2006

un ( un −1 + un +1 ) = 2un−1.un +1 , n = 2,3,...

lim un

Tìm

n →+∞

2 1
1
=
+
, ∀n = 2,3,...
un un −1 un +1

Giải : Từ điều kiện đề bài suy ra
1
1
 ÷
d
=
−
 un 
2005.2006
là cấp số cộng với công sai
Do đó dãy
⇒

1 2007 − n
2005.2006
=
⇒ un =
.
un 2005.2006

2007 − n

lim un = 0

Vậy

n →+∞

Bài 2: Cho dãy

(u )
n

được xác định như sau:

Hãy tìm số hạng tổng quát

un

u1 = 2; u2 = 3

un +1 = 3un − 2un−1 , n = 2,3,...

lim
và tính giới hạn

un
2n
un

Giải : Mấu chốt của bài toán ở đây chính là tìm số hạng tổng quát
un+1 = 3un − 2un−1 ⇔ un +1 − un = 2(un − un−1 )
n≥2
Ta có
(2) với mọi
vn = un +1 − un
vn = 2vn−1
n≥2
Đặt
. Khi đó từ (2) ta có
với mọi
.
(vn )
v1 = u2 − u1 =1
Như vậy
lập thành cấp số nhân với q=2 và
.
un = (un − un−1 ) + (un −1 − un−2 ) + ... + (u2 − u1 ) + u1 = vn−1 + vn− 2 + ... + v1 + 2
Ta có:
v1 ( q n −1 − 1)
+ 2 = 2n−1 + 1
q −1
=
.

6


Hay

un = 2

n −1

+1

lim
. Vậy

Bài 3: Cho dãy số

(u )
n

un 1
=
2n 2

được xác định như sau:
lim

un

u1 = 1; u2 = 2

un +1 − 2un + un−1 = 1, n = 2,3,...

2un
n2

Hãy tìm số hạng tổng quát
và tính giới hạn
Giải:
(un +1 − un ) − (un − un −1 ) = 1
n≥2
Từ giả thiết ta có:
(3) với mọi
vn = un − un −1
vn+1 = 1 + vn
n≥2
Đặt
. Khi đó từ (3) ta có
với mọi
.
v2 = u2 − u1 = 1
⇒ ( vn )
lập thành cấp số cộng với công sai d=1 và
.
Ta có:
un = (un − un −1 ) + (un −1 − un −2 ) + ... + (u2 − u1 ) + u1 = vn + vn −1 + ... + v2 + 1

( n − 1) ( v
=

2

+ vn )

2

Hay

n2 − n + 2
un =
2

n2 − n + 2
+1=
2

lim
. vậy

2un
=1
n2

Bài 4: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2016 ) Cho dãy số
u1 = 1

3
n+4 

u
=
u
−
n
+
1


n
÷ , n = 1,2,...

2
n 2 + 3n + 2 


(u )
n

được xác định bởi:

Tìm công thức số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số
Giải:
Từ giả thiết ta có:


n+4
2
3 

2un +1 = 3  un −
−
÷⇔ 2un +1 = 3  un +
÷
n + 2 n +1
( n + 1) ( n + 2 ) 



7

(u )
n

với mọi

n ≥1


3  
3 

⇔ 2  un +1 −
÷ = 3  un −
÷
n+2 
n +1

(4)
vn = un −

Đặt

3
n +1

. Khi đó từ (4) ta có

3
vn+1 = vn
2

với mọi
3
1
q=
v1 = −
(
v
)
⇒ n
2
2
lập thành cấp số nhân với
và
.
n −1

Ta có:

n ≥1

.

n −1

3
1 3

3  1
vn =  ÷ . − ÷⇒ un =
− . ÷
n +1 2  2 
2  2

. Vậy

Bài 5: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2017 ) Cho dãy số
u1 = 1

2(n + 1)un+1
2−n

u
=
+
, ∀n ≥ 1
n
2
2

n
(
n
+
n
+
1)
+

1

un

lim un = − ∞

(u )
n

được xác định bởi:

(u )
n

Tìm công thức số hạng tổng quát
và tính giới hạn của dãy số
Giải: Ta có
2(n + 1)un+1
2−n
2n − n 2
un =
+ 2
⇔
nu
=
2(
n
+
1)
u

+
n
n+
n
(n + n + 1)2 + 1
( n 2 + n + 1) 2 + 1

(n + 1) 2 + 1 − 2( n2 + 1)
⇔ nun = 2(n + 1)un+1 + 2
(n + 1) ( n + 1) 2 + 1
⇔ ( n + 1)un +1 −
vn = nun −
Đặt
Vậy

1
1
1 
=  nun − 2
÷
2
( n + 1) + 1 2 
n +1
1
1 
1
1
1 1
1
⇒ vn +1 = vn  v1 = ÷⇒ vn = n ⇒ un =  2

+ n÷
n +1
2 
2
2
n  n +1 2 
2

lim un = 0

Bài 6: Cho dãy số
u1 = 8

8

(u )
n

xác định bởi:
un +1 = 2un + 3n
n ≥1
và
với mọi
.


 un 
 n +1 ÷.
3 

Hãy tính giới hạn của dãy số
Giải:
Ta có
un+1 = 2un + 3n ⇔ un +1 − 3n +1 = 2 ( u n − 3n )

vn = un − 3n

Đặt
, ta được
1
vn+1 = 2vn , ∀ n = 1,2,...
v1 = 8 − 3 = 5
và
⇒ ( vn )
v1 = 5
lập thành cấp số nhân với
và công bội q=2
u 1
lim n n+1 =
n −1
n −1
n
⇒ vn = 5.2 ⇒ un = 5.2 + 3
3
3
. Vậy
+ Dùng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2
Bài 7: Cho dãy số

(u )

n

được xác định bởi:

u1 = 2, un+1 = un + 2n , n ≥ 1(7)

Hãy tìm số hạng tổng quát
Giải:

un

lim

và tính giới hạn

λ −1 = 0

4n 2 − n + 1
un

λ =1

un = uˆn + un* ,

Phương trình đặc trưng
có nghiệm
. Ta có
*
n
*

uˆn = q.1 = q un = n.(an + b)
un
trong đó
,
. Thay
vào phương trình ( 7 ) ta được:
(n + 1) [ a( n + 1) + b] = n(an + b) + 2n
Với n=1 ta được 3a+b=2
Với n=2 ta được 5a+b=4
⇒ a = 1, b = −1 ⇒ un* = n( n − 1)
Ta có

un = uˆn + un* = q + n(n − 1)

Suy ra
9

un = 2 + n(n − 1)

hay

. Vì

u1 = 2

un = n 2 − n + 2

nên

q=2

. Vậy

4n 2 − n +1
lim
=4
un


(u )
n

Bài 8: Cho dãy số
được xác định bởi:
u1 = 1, un +1 = 3un + 2n , n ≥ 1
(8)

Hãy tìm số hạng tổng quát
Giải:

un

và tính giới hạn

λ −3= 0

n − 3n +1 + 4
lim
un

Phương trình đặc trưng
có nghiệm
*
n
un = uˆn + un ,
uˆn = q.3 un* = a.2n
Ta có
trong đó
,
.
*
Thay u n vào phương trình (8) ta được:

λ =3

.

a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ 2 a = 3a + 1 ⇔ a = −1

⇒ un* = −2n

. Do đó
u1 = 1
q =1
Vì
nên
.

Hay

un = 3n − 2n

un = uˆn + un* = q.3n − 2 n

. Vậy

.

n − 3n +1 + 4
lim
= −3
un

(u )
n

Bài 9: Cho dãy số
được xác định bởi:
u1 = 8, u2 = 34 và un+1 = 8un − 15un −1 , n ≥ 2

Hãy tìm số hạng tổng quát
Giải:

un

lim
và tính giới hạn

λ 2 − 8λ + 15 = 0

Phương trình đặc trưng
un = A.5n + B.3n
Khi đó
.
u1 = 8, u2 = 34
Từ
ta có hệ phương trình:
5 A + 3B = 8
A =1
⇔

25 A + 9 B = 34  B = 1

10

un
5n

có nghiệm

λ =5

hoặc

λ =3

.


un = 5 + 3

n

Vậy

lim

n

. Do đó

Bài 10: Cho dãy số

(u )
n

un
=1
5n

xác định bởi:

Hãy tìm số hạng tổng quát
Giải:

un

u1 = 1; u2 = 0

n
un +1 − 2un + un −1 = 2.2 (10), n ≥ 1

lim
và tính giới hạn

un
2n

λ 2 − 2λ + 1 = 0

λ =1
Phương trình đặc trưng
có nghiệm kép
.
*
n
*
n
un = uˆn + un
uˆn = ( A + Bn).1 = A + Bn
un = k .2
Khi đó
với
và
*
Thay u n vào (10) ta được:
k .2n +1 − 2k .2 n + k .2 n −1 = 2.2 n ⇔ k = 4

*
n
n+2

⇒ un = 4.2 = 2
*
n+2
⇒ un = uˆn + un = A + Bn + 2

Từ

u1 = 1, u2 = 0

 A + B = −7
A = 2
⇔


 A + 2 B = −16  B = −9

ta có hệ phương trình
un
lim
=4
n+ 2
un = 2 − 9 n + 2
2n
Suy ra
. Vậy
3.2. Giải pháp 2: Tính giới hạn của dãy số bằng các công thức cơ bản.
Ta chú ý một số công thức cơ bản sau đây:
n( n +1)( 2n +1)
n( n +1)
12 + 22 + ... + n 2 =

1+ 2 + ... + n =
6
2
1)
2)
n 2 ( n +1) 2
3
3
3
1 + 2 + ... + n =
1+ 3 + ... + ( 2n −1) = n 2
4
3)
4)
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán vận dụng các công thức nêu trên
1+ 3 + ... + ( 2n −1)
M = lim
5( n 2 − n + 3)
Bài 1: Tính

11


Ta có

1+ 3 + ... + ( 2n −1)
n2
1
M = lim
= lim

=
2
2
5( n − n + 3)
5(n − n + 3) 5

P = lim

13 + 23 + ... + n3
n7 + 3n 4 + 1

Bài 2: Tính
Giải:

P = lim

13 + 23 + ... + n 3

Ta có

= lim

n7 + 3n 4 + 1

n 2 (n + 1) 2
4. n 7 + 3n 4 + 1

= +∞

(s )

n

Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số
biết:
3
5
2n + 1
sn =
2 +
2 + ... +
2
( 1.2 ) ( 2.3)
( n ( n + 1) )
sn =

Ta có

3
5
2n + 1
2 +
2 + ... +
2
( 1.2 ) ( 2.3)
( n ( n + 1) )

1−

1 1 1
1

1
+
−
+
...
+
−
2
22 22 32
n 2 ( n + 1)

1−

1
2
( n + 1)

=

=

lim sn = 1

. Vậy
1

1
1
N = lim  +
+ ... +

( 2n −1)( 2n +1) 
1.3 3.5

Bài 4: Tính
Giải:
Ta có:
1

1
1
N = lim  +
+ ... +
( 2n −1)( 2n +1) 
1.3 3.5

1 1 1 1
1
1 
1
1  1
= lim 1− + − + ... +
−
= lim 1 −
=

2 3 3 5
2 n −1 2 n + 1 
2  2n + 1  2
Nhận xét : Để tính tổng hữu hạn
12

Sn

ta thường biểu diễn nó dưới dạng


S n = u1 − u2 + u 2 − u3 + ... + un−1 − un = u1 − un
3

13 + 53 + 93 + ... + ( 4n − 3)
lim
2
[ 1+ 5 + 9 + ... + (4n − 3)]

Bài 5: Tính
Giải:

n

n

1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = ∑ (4i − 3) = ∑ (64i 3 − 144i 2 + 108i − 27)
3

3

3

3

3

i =1

Ta có

i =1

.

n

n

n

i =1

i =1

i =1

= 64∑ i 3 − 144∑ i 2 + 108∑ i − 27 n
1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) =

n(n + 1)
i=
∑
2
i =1

n

n(n + 1)(2n + 1)
i =
∑
6
i =1
n

;

3

3

;

.

 n(n + 1) 
i =
∑
 2 
i =1
n

2

P( x) = 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3)
3

Do đó:

n(4n − 2)
= 2n 2 − n
2

.

2

3

.

3

là một đa thức bậc

4

có hệ số bậc

4

64
= 16
4

Và

.
2
Q( x ) = [ 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) ]

lim

n →+ ∞

Do đó:

là một đa thức bậc

13 + 53 + 93 + ... + (4n − 3)3

[ 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3)]
(u )
n

2

=

16
=4
4
.

Bài 6: Cho dãy số
được xác định như sau:


u1 =1


un+1 = un ( un + 2)( un + 4)(un + 6) +16
1
i =1 ui + 5
n

vn = ∑
Đặt
Giải:
Dễ thấy:
13

, hãy tính

un > 0, ∀ n = 1,2,...

lim vn

.

4

có hệ số bậc

4

4

là .

là


Theo bài ra ta có :

un+1 =

(u

2
n

+ 6un ) ( un2 + 6un + 8 ) + 16 =

un +1 + 1 = ( un + 1) ( un + 5 ) ⇔
Suy ra

(u

2
n

+ 6un + 4 ) = un2 + 6un + 4
2

1
1

1
=
−
un+1 + 1 un + 1 un + 5

.

.

n 
1
1
1 
1
1
1
1
= ∑
−
−
= −
÷=
i =1 u + 5
i =1 u + 1
ui +1 + 1  u1 + 1 un+1 + 1 2 un+1 + 1
i
 i
n

vn = ∑

Do đó

Mặt khác, từ

un +1 = u + 6un + 4
2
n

.

un +1 > 6un

ta suy ra
.
n −1
un > 6 ⇒ lim un = + ∞
Bằng quy nạp ta chứng minh được :
1
1  1
lim vn = lim  −
÷=
 2 un+1 + 1  2
Từ đó ta có

Bài 7: Cho dãy số
Hãy tìm

(x )
n

thỏa mãn:

4

 x1 =
3

( n + 2) 2 xn = n 2 xn +1 − ( n +1) xn xn +1 , n =1,2,...


lim xn

Giải:

( n + 2)

Dễ thấy

xn ≠ 0, ∀ n =1,2,...

xn +1

2

n2
= − ( n + 1)
xn

. Từ giả thiết ta có

.
n2
1
1
2 1
1 1
2 1
yn+1 =
⇔ ( n + 2) 
+ ÷= n  + ÷
yn = +
2 yn
( n + 2)
xn 4
 xn+1 4 
 xn 4 
. Đặt
ta được
2
2
2
2
4n 2 ( n + 1)
4
 n −1  n − 2   1 
yn = 
⇒ xn =
2
2
÷

÷ ... ÷ y1 =
16 − n 2 ( n + 1)
 n +1  n −1   3 
( n + 1) n2
Do đó
.
Vậy

lim xn = − 4

.

Bài 8: ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2010 ) Cho dãy số

14

(x )
n

thỏa mãn


 x1 = 2

x1 + 2 x2 + 3x3 + ... + (n − 1) xn−1

x
=
, n > 1, n ∈ ¥ .
n

2

n
(
n
−
1)


Tìm
Giải:
Ta có

lim un

với

un = (n + 1)3 xn .

1
x2 = .
3

3
≥ 3 x1 + 2 x2 + 3x3 + ... + nxn = n xn
Với n :
(1).
3
x1 + 2 x2 + 3x3 + ... + ( n − 1) xn −1 = ( n − 1) xn −1
(2).

3
3
nxn = n xn − (n − 1) xn −1
Từ (1) và (2) ta có
.
2
3
( n − 1) xn −1  n − 1  n
xn =
=
. xn−1
÷.
n3 − n
 n  n +1
Suy ra
.
2
2
2
 n −1  n − 2   2  n n −1 3
⇒ xn = 
.
... x2
÷ .
÷ ... ÷ .
4
 n   n −1   3  n +1 n

4
⇒ xn = 2

n ( n + 1)

lim

lim un
suy ra

4( n + 1) 2
=4
n2

=

Nhận xét : Để tính tích hữu hạn
u u u
u
Pn = 1 . 2 ... n−1 = 1
u2 u3 un un

Pn

ta thường biểu diễn nó dưới dạng

Bài 9: ( HSG Tỉnh Lạng Sơn năm 2012 ) Cho dãy số
u1 = 2012

2
un+1 = 2012un + un , n ≥ 1

Hãy tìm

15

u u
u 
lim  1 + 2 + ... + n ÷
un +1 
 u 2 u3

(u )
n

xác định bởi:


Giải:
Vì

(u )

un+1 − un = 2012un2 > 0 ∀n ⇒ un+1 > un , ∀n

(u )
n

n

nên
là dãy số tăng
2
a = 2012a + a ⇒ a = 0

có giới hạn là a thì
( vô lý )

Giả sử dãy số
lim un = +∞
Do đó
Ta có:
un
un2
u −u
1 1
1 
=
= n+1 n =
 −
÷
un +1 un +1.un 2012un+1.un 2012  un un +1 
u u
u
1 1
1 
⇒ 1 + 2 + ... + n =
 −
÷
u2 u3
un+1 2012  u1 un+1 

u u
u 
1

⇒ lim  1 + 2 + ... + n ÷=
un +1  2012 2
 u 2 u3
3.3. Giải pháp 3: Tính giới hạn của dãy số bằng nguyên lý kẹp.
Phương pháp giải:
( u n ) ( vn ) ( w n )
vn ≤ un ≤ w n , ∀ n
Định lý: Cho ba dãy số
;
và
thỏa mãn
lim un = L
lim vn = lim w n = L
Nếu
thì
.
( un )
Bài 1: Cho dãy số
xác định bởi:
1

u
=
1

4

u = u 2 + un , n ≥ 1, n ∈ ¥ .
 n +1 n 2
Chứng minh rằng:

a)

3
0 < un ≤ , ∀ n = 1,2,...
4

Từ đó suy ra

lim un = 0

0<
b)

u n +1 3
≤ , ∀ n = 1,2,...
un 4

Giải:
a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

16


un +1
b)

1 1 1 3
= un + ≤ + = , ∀ n = 1, 2,...
un

2 4 2 4

Chứng minh bằng quy nạp ta có:
Từ đó suy ra

1 3
0 ≤ un ≤ ( )n −1 , ∀n = 1,2,...
4 4

lim un = 0
( un )

Bài 2: Cho dãy số
xác định bởi:

u1 =10


un +1 = un , n ≥ 1, n ∈ ¥ .
Chứng minh rằng:
un >1, ∀ n = 1,2,...
a)

u n + 1 −1<
b)

u n −1
, ∀ n = 1,2,...
2

. Từ đó suy ra

lim u n =1

Giải:
a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
b) Ta có:

u n + 1 −1= u n −1 =

Đặt

vn = un −1

, ta có

u n −1 u n − 1
≤
, ∀ n vì un >1
2
u n +1

1
0 < vn +1 ≤ vn , ∀ n = 1,2,...
2
1
1
0 < vn ≤ ( ) n −1 v1 = 9( ) n −1 , ∀ n = 1, 2,...
2
2

Bằng quy nạp ta chứng minh được:
lim vn = 0
lim un = 1
Suy ra
. Vậy
( un )
Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số
với
1
1
1
un = 3 + 3
+ ... + 3
n +1
n +2
n +n
Giải:

17


1
n +k
3

Ta có

0 < un ≤
Nên

≤

1
n 3 +1

n
n +1
3

Bài 4: Cho dãy số

<

, ∀ k =1,2,..., n

1
,∀n
n

( x ) ,n ≥1
n

1. Chứng minh dãy

(x )

lim
. Vì

1
=0
n

lim un = 0

nên
.
2
x1 = 3, xn +1 = xn − 3 xn + 4

thỏa mãn

.

n

không bị chặn trên.
1
1
1
yn =
+
+ ... +
.
x1 −1 x2 −1
xn −1
( yn ) , n ≥ 1
2. Xét dãy
xác định bởi

lim yn
Tìm
Giải:
xn ≥ n + 2
1. Ta chứng minh bằng quy nạp rằng
.
Thật vậy:
x1 ≥ 3
Với n = 1, ta có
nên khẳng định đúng.
( k ≥ 1)
Giả sử khẳng định đúng với n = k
.
xk +1 = xk ( xk − 3) + 4 ≥ ( k + 2)( k −1) + 4 ≥ k + 3
Ta có
.
xn ≥ n + 2, ∀ n = 1,2,...
Vậy
. Do đó dãy số đã cho không bị chặn trên.
1
1
1
1
=
=
−
,
xk +1 − 2 ( xk −1)( xk − 2) xk − 2 xk −1
2. Ta có
1

1
1
⇒
=
−
.
xk −1 xk − 2 xk +1 − 2
Bằng cách cộng các đẳng thức trên ( với k = 1, 2, …, n ) ta được:
1
1
1
yn =
−
=1 −
.
x1 − 2 xn +1 − 2
xn +1 − 2
0≤
Vì
18

1
1
1
≤ ⇒ lim
=0
xn+1 − 2 n
xn+1 − 2

. Vậy

lim yn =1


xk =

(x )
k

1 2
k
+ + ... +
2! 3!
( k + 1)!

Bài 5: Cho dãy số
được xác định bởi
n
lim n x1n + x2n + ... + x1999
.
n →+∞
Tìm
Giải:
k +1
xk +1 − xk =
> 0 ⇒ xk +1 > xk , ∀k
( xk )
(k + 2)!
Vì
. Do đó

là dãy tăng, suy ra
n
n
n
0 < x1 < x2 < ... < x1999 ⇒ x1999
< x1n + x2n + ... + x1999
< 1999 x1999
, hay

1

n
x1999 < n x1n + x2n + ... + x1999
< 1999 n x1999 (*)

Mặt khác, ta có

x1999 = 1 −
Do đó

k
1
1
1
= −
, suy ra : xk = 1 −
(k + 1)! k ! (k + 1)!
(k + 1)!

1

2000!

.

.

1
1
1 

n
< n x1n + x2n + ... + x1999
< 1999 n  1 −
÷
2000!
 2000! 
Thay vào (*) ta được
.
1
1 
1 
1

n 
lim
1
−
=
lim1999
1

−
=
1
−

÷

÷
n →+∞
2000!
 2000!  n→+∞
 2000! 
Vì:
nên:

1−

n
lim n x1n + x2n + ... + x1999
=1−
n →+∞

(u )
n

1
.
2000!

u1 > 0, un3+1 = u1 + u2 + ... + un , ∀n ≥ 1

Bài 6: Cho dãy số
thỏa mãn
 un 
 ÷
n
n → +∞
minh rằng dãy số
có giới hạn bằng 0 khi
.
Giải:
un3+1 = un + un3 , ∀n ≥ 2
( un )
Từ giả thiết ta có
, do đó dãy số
là dãy tăng.
Vì vậy
19

un3+1 = un + un3 = un (un2 + 1) < un +1 (un2 + 1)

.

. Chứng


⇒ un2+1 < un2 + 1 ∀n ≥ 2 ⇒ un2+1 < un2 + 1 < ... < u22 + n − 1
,
2

2
 u  u + n −1
⇒  n +1 ÷ < 2
(n + 1)2
 n +1

lim
. Mà

u22 + n − 1
=0
(n + 1) 2

nên:

2

u
u
u 
lim  n+1 ÷ = 0 ⇒ lim n+1 = 0 ⇒ lim n = 0
n +1
n
 n +1

.

Bài tập tham khảo
Bài 1. ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2019 ) Cho dãy số

(u )
n

được xác định bởi:

2un
un + n 2 − n − 2
u1 = 12, 2
=
,n ≥1
n + 5n + 6
n2 + n

Hãy tìm số hạng tổng quát

un

lim
và tính giới hạn

un
2n 2 +1

Bài 2. ( HSG Tỉnh Hà Tĩnh, năm 2019 ) Cho dãy số
u1 =1

2un
u =
, n ≥ 1, n ∈ ¥ .
n +1


5
u
+
1
+
1
n

Sn = u12 + u22 + ... + un2 .

Đặt
hạn đó.

Chứng minh dãy

(S )
n

n

(u )
n

được xác định bởi:

lim un

Bài 4. ( HSG Tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2019 ) Cho dãy số
20

thỏa mãn

có giới hạn hữu hạn và tính giới

Bài 3. ( HSG Tỉnh Bắc Ninh năm 2019 ) Cho dãy số
2u + u
u1 = 2019, u2 = 2020, un+1 = n n −1 , n ≥ 2.
3
Tính giới hạn

(u )

(u )
n

thỏa mãn


u1 = 2019

un3 + 20182

u
=
 n +1 u 2 − u + 4036 , n ≥ 1, n ∈ ¥ .

n
n

1
, ∀ n ≥ 1.
k =1 u k + 2018
n

vn = ∑
Đặt

Tính

lim vn

Bài 5. ( HSG Tỉnh Hà Nam, năm 2019 ) Cho dãy số
u1 = 2019

un +1 = 2un − n +1, n ≥ 1.

công thức tổng quát của dãy số

(un )

lim
n→ + ∞
. Tính

(u )
n

thỏa mãn

un
3n

Tìm
Bài 6. ( Đề thi olimpic 30 – 4 năm 2000 ) Cho dãy số
1

u
=
0


2

u = u + 1 u 2 ( k =1, 2,..., n)
k
k −1
k −1

n

Tính

thỏa mãn

lim un

Bài 7. ( Đề thi olimpic 30 – 4 năm 2006 ) Cho dãy số
u1 = 5



1
un+1 = (un2 − un + 9) ( n =1,2,...)

5

1
, ∀ n ≥ 1.
k =1 u + 2
k
n

vn = ∑
Đặt

(u )
n

Tính

lim vn

Bài 8. Cho dãy số
thỏa mãn
u1 = 2, u2 = 5

2
2un + 2 = 5un+1 − 2un − n − 2n + 3, n ≥ 1.
21

u0 , u1 ,..., un

( un )

thỏa mãn


Tìm

2n
lim
un

Bài 9. ( HSG Tỉnh Thanh Hóa năm 2018 ) Cho dãy số
u1 = 2, u2 = 5

un + 2 = 5un +1 − 6un , ∀n ≥ 1
lim

Tính giới hạn

(u )
n

thỏa mãn

un
3n

Bài 10. ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2018 ) Cho dãy số

(u )
n

được xác định bởi:

un2 − n(un − 1) + n 2
u1 = 6, un+1 =
, ∀n ≥ 1
n
1 1
1
lim  + + ... + ÷
un 
 u1 u2

Tính giới hạn
4. Hiệu quả của SKKN
+ Trước khi áp dụng sáng kiến, tôi thấy rằng phần lớn các em học sinh giỏi
môn toán lớp 11 đều ngại học hoặc gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán
thuộc chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’. Tuy nhiên sau khi áp dụng các giải pháp
nêu trên, hầu hết các em trong đội tuyển học sinh môn toán lớp 11 đã hăng say
và làm rất thành thạo các bài toán tìm giới hạn dãy số.
+ Giúp bản thân dạy học có hiệu quả, có nhiều động lực để tiếp tục cố gắng
tìm tòi sáng tạo trong quá trình thực hiện nhiệm vụ chuyên môn.
+ Chia sẻ kinh nghiệm của bản thân với đồng nghiệp cũng như học hỏi từ
đồng nghiệp để tìm ra cách dạy học phù hợp đối với học sinh giỏi môn toán 11.
+ Giúp các em học sinh có hứng thú, có động lực và có niềm tin để học tập
chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’.
+ Giúp học sinh tiến bộ nhanh trong việc làm các bài tập tìm giới hạn dãy số

từ đó đạt kết quả cao hơn trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
+ Đề tài này đã nêu được một số phương pháp tìm giới hạn dãy số có dạng
đặc biệt hoặc dãy số cho bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp
22


hai. Từ các phương pháp đó đã giúp các em trong đội tuyển học sinh giỏi Toán
lớp 11 giải quyết thành thạo các bài toán tìm giới hạn của dãy số trong các kì thi
học sinh giỏi các cấp.
+ Phương pháp sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm công thức số hạng
tổng quát dãy số thực sự dễ hiểu đối với học sinh, còn phương pháp sử dụng
phương trình sai phân tuyến tính còn xa lạ đối với học sinh, cần có nhiều thời
gian để các em học sinh có thể tiếp thu được nội dung này.
+ Với thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn, tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp
ích phần nào cho các thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 trường THPT trong
việc học và ôn thi học sinh giỏi.
+ Kết quả thực nghiệm của đề tài là cơ sở đề khẳng định đề tài là thiết thực,
mang lại hiệu quả cho cả người dạy và người học, có thể là tư liệu hữu ích cho
các bạn đồng nghiệp tham khảo, vận dụng. Khả năng ứng dụng của đề tài vào
thực tiễn dạy học của nhà trường là khả thi và đề tài còn có thể phát triển mở
rộng, phạm vi nghiên cứu hơn nữa để phù hợp hơn với nhiều đối tượng học sinh.
Tài liệu tham khảo

[ 1]

Nguyễn Huy Đoan: Đại số & giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo

dục

[ 2]

Nguyễn Huy Đoan: Bài tập Đại số & giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản
Giáo dục.
[ 3]
Nguyễn Qúy Dy: Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán –Tập 3, Nhà xuất
bản Giáo dục.

[ 4]

Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – 4 Môn Toán lần thứ VI - 2000, Nhà xuất
bản Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.

[ 5]

Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – 4 Môn Toán lần thứ VIII - 2002, Nhà
xuất bản Giáo dục.

[ 6]

Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – 4 Môn Toán lần thứ XII - 2006, Nhà
xuất bản Giáo dục.
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

23

Thanh hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người

khác.


Trịnh Hữu Thực

24