(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp lặp Ishikawa cho một họ vô hạn các ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN VĂN NGA

PHƯƠNG PHÁP LẶP ISHIKAWA
CHO MỘT HỌ VÔ HẠN CÁC ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN VĂN NGA

PHƯƠNG PHÁP LẶP ISHIKAWA
CHO MỘT HỌ VÔ HẠN CÁC ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. Nguyễn Bường

THÁI NGUYÊN - 2019


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
▼ð ✤➛✉
✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
✶✳✶

✶✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t

✶
✷
✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

✶✳✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐✱ trì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

✶✳✶✳✷

⑩♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼

✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✷✳✶

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽

✶✳✷✳✷

▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛
→♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾

✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛
❤å →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
✶✺
✷✳✶

✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✷✳✶✳✶

✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤å →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✶✺

✷✳✶✳✷

▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣
❝õ❛ ❤å →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✷✳✷

❈↔✐ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵

✷✳✷✳✶

▼æ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵

✷✳✷✳✷

❙ü ❤ë✐ tö

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✸✵
✸✶




ỵ
H

ổ rt tỹ

E

ổ

E

ổ ố ừ E

R

t số tỹ



t rộ

x

ợ ồ x

I

t tỷ ỗ t

lp , 1 p <

ổ số tờ p

l

ổ số

Lp [a, b], 1 p <

ổ t p
tr [a, b]

lim supn xn

ợ tr ừ số {xn }

lim inf n xn

ợ ữợ ừ số {xn }

xn x0

{xn } ở tử x0

xn

{xn } ở tử x0

x0

J

ố t

(T )

t t ở ừ T

t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tr ổ rt ổ ởt
trữớ ủ r ừ t ỗ ởt tỷ tở
rộ ừ ởt ồ ỳ ổ t ỗ õ

{Ci }iI ừ ổ rt H ổ E t
õ ự ử tr ỹ ữ ỷ
ổ ử t t ỵ ồ
C = (T ) t t ở ừ ổ T t
õ ữỡ ữủ t ỹ tr ữỡ ờ
ờ t õ ữỡ s r
ữỡ ữỡ
õ sỹ ở tử ử r r ổ

E ỗ õ rt {n } tọ

n=0 n (1

n ) = t {xn } ữủ t r tứ ữỡ

ở tử ởt tỷ ừ (T ) rt t
t ữỡ s õ ữủ sỹ ở tử
ổ õ ữỡ ữủ ữ r
ỹ tr sỹ ừ ữỡ ợ t
q
ử t ừ t t tr ởt t
ừ ữỡ s t t ở ừ ởt ồ ổ
ữủ ổ tr ổ ỗ t
trỡ tr ổ ố

ở ừ t ữủ tr tr ữỡ




ữỡ ổ t ở
ữỡ tr ởt số tự ỡ ổ
ỗ t trỡ ởt số t t P tự ừ ữỡ ợ
t t t ở tr ởt số ữỡ t
t ở ừ ổ ữ ữỡ ữỡ
s ũ ởt số ừ ữỡ

ữỡ Pữỡ s t t ở
ừ ồ ổ
r ữỡ t tr tr tt t q ừ
ởt ừ ữỡ s t t
ở ừ ởt ồ ổ ữủ ổ
ữủ t t rữớ ồ ồ ồ
r q tr ồ t tỹ rữớ
ồ ồ t ồ tốt t t ồ t
ự ữủ tọ ỏ t ỡ t
t ổ tr tr rữớ ồ ồ
ồ t t tọ ỏ t ỡ s s
tợ ữớ ữớ t t ữợ t
t
ụ ữủ ỷ ớ ỡ tợ trữớ P
t t t ổ tr tờ
ừ rữớ t ú ù t tr tớ t
t ồ ồ

t





✹

❈❤÷ì♥❣ ✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❧ç✐ ❝❤➦t✱ trì♥ ✤➲✉ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✳ P❤➛♥ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ❣✐î✐
t❤✐➺✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ▼❛♥♥✱ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ❝ò♥❣ ♠ët sè ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛
❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ tê♥❣ ❤ñ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✲❬✽❪✳

✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
✶✳✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐✱ trì♥
❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛

E ✳ ✣➸ ❝❤♦ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥✱ t❛ sû ❞ö♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ . ✤➸ ❝❤➾ ❝❤✉➞♥
tr➯♥ E ✈➔ E ∗ ✳
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t❛ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❞÷î✐ ✤➙② ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✷❪✱ tr❛♥❣ ✹✶✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿

✭❛✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳
✭❜✮ ▼å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✤➲✉ ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ♠ët sè ❝➜✉ tró❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ ♥❤÷✿ t➼♥❤ ❧ç✐✱ t➼♥❤ trì♥✱ ♠æ✤✉♥ ❧ç✐✱ ♠æ✤✉♥ trì♥✳


✺

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥➳✉ ✈î✐
♠å✐ x, y ∈ E, x = y ♠➔ x = 1, y = 1 t❛ ❝â

x+y
< 1.
2

❈❤ó þ ✶✳✶✳✸ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭✶✳✶✳✷✮ ❝á♥ ❝â t❤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❞÷î✐ ❝→❝ ❞↕♥❣

t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ s❛✉✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥➳✉ ♠å✐

x, y ∈ SE t❤ä❛ ♠➣♥

x+y
2

= 1✱ s✉② r❛ x = y ❤♦➦❝ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SE ✈➔

x = y t❛ ❝â tx + (1 − t)y < 1 ✈î✐ ♠å✐ t ∈ (0, 1)✱ tr♦♥❣ ✤â
SE = {x ∈ E : x = 1}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ♥➳✉ ♠å✐

ε > 0✱ tç♥ t↕✐ δ(ε) > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E ♠➔ x = 1, y =
1, x − y ≥ ε t❛ ❧✉æ♥ ❝â
x+y
≤ 1 − δ(ε).
2
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ t❤➻ ♥â ❧➔ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳
✣➸ ✤♦ t➼♥❤ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✿

δE (ε) = inf 1 −

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✺ ▼æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝
✤à♥❤✱ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ✤♦↕♥ [0; 2]✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧ç✐ ❝❤➦t
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ δE (2) = 1✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ❦❤✐
✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ δE (ε) > 0, ∀ε > 0✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✻ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ❜➜t ❦➻ ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳

❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ SE ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐

y ∈ SE ✱ tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥
x + ty − x
d
( x + ty )t=0 = lim
.
t→0
dt
t

✭✶✳✶✮


✻

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳
❑❤✐ ✤â✿

✭❛✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉ ♥â ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉①
t↕✐ ♠♦✐ x ∈ SE ✳
✭❜✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠♦✐ y ∈ SE
❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ SE ✳
✭❝✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ♥➳✉ ✈î✐ ♠♦✐ x ∈ SE ❣✐î✐
❤↕♥ ✭✶✳✶✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ SE ✳
✭❞✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✤➲✉ ♥➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮ tç♥
t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SE ✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✾ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛
❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿

✭❛✮ ◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳

✭❜✮ ◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✵ ▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

ρE (τ ) = sup{2−1 ( x + y + x − y ) − 1 : x = 1, y = τ }.

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✶ ▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè
①→❝ ✤à♥❤✱ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ [0; +∞)✳

✣à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ❜✐➳t ✈➲ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠æ ✤✉♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✈î✐ ♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ E ∗ ✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✷ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠æt ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â t❛
❝â

τε
− δX (ε) : ε ∈ [0, 2] , τ > 0✳
2
τε
∗
− δX
(ε) : ε ∈ [0, 2] , τ > 0✳
✭❜✮ ρE (τ ) = sup
2

✭❛✮ ρE ∗ (τ ) = sup

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✸ ❚ø ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✷✱ s✉② r❛
ρ0 (E) =

ε0 (E ∗ )
ε0 (E)
✈➔ ρ0 (E ∗ ) =
,
2
2

tr♦♥❣ ✤â ε0 (E) = sup ε : δE (ε) = 0 , ρ0 (E) = limτ →0 ρEτ(τ ) .




ổ E ữủ ồ trỡ
E ( )
= 0.
0

lim

ứ t t õ ỵ ữợ

ỵ E ởt ổ õ t
õ s

E ổ trỡ t E ổ ỗ
E ổ ỗ t E ổ trỡ

ỡ tr ổ
J : E 2E õ tr

Jx = {u E : x, u = x

u , u = x },

ữủ ồ ố t ừ ổ E

ử r ổ rt H ố t
ỡ I

ố t J : E 2E



ừ ổ

E ữủ ồ

tử t J ỡ tr ợ ồ {xn } ở tử
x t Jxn ở tử Jx t tổổ tr E
tử t J ỡ tr ợ ồ {xn } ở
tử x t Jxn ở tử Jx t tổổ tr E

t ổ lp, 1 < p < õ ố

t tử t ố t tr ổ

Lp [a, b], 1 < p < ổ tọ t t
ỡ tr ừ ố t õ ố ợ t
ừ ừ ổ ữ tr
ỵ s

ỵ E ổ ợ ố


t J : E 2E õ s tữỡ ữỡ


✽

✭✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥❀
✭✐✐✮ J ❧➔ ✤ì♥ trà❀
✭✐✐✐✮ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ∇ x = x

−1

Jx✳

❈❤ó þ ✶✳✶✳✷✶ ❚❛ ❞ò♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ j ✤➸ ❝❤➾ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥

trà✳

✶✳✷ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
✶✳✷✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤ E ✳

✭✐✮ ⑩♥❤ ①↕ T : C → E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ L✲❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥➳✉ tç♥
t↕✐ ❤➡♥❣ sè L ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦

Tx − Ty ≤ L x − y ,

✭✶✳✷✮

∀x, y ∈ C.

✭✐✐✮ ❚r♦♥❣ ✭✶✳✷✮✱ ♥➳✉ L ∈ [0, 1) t❤➻ T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦❀ ♥➳✉ L = 1
t❤➻ T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳
❑þ ❤✐➺✉ ❋✐①(T ) := {x ∈ C : T x = x} ❧➔ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤
①↕ T ✳ ❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❋✐①(T )✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✷ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ ❈❤♦ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t E ✈➔ T : C → E ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❑❤✐
✤â t➟♣ ❋✐①(T ) ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸ ⑩♥❤ ①↕ A : C

→ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ λ✲❣✐↔ ❝♦

❝❤➦t ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ x, y ∈ D(A)✱ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A✱ tç♥ t↕✐

j(x − y) ∈ J(x − y) s❛♦ ❝❤♦
Ax − Ay, j(x − y) ≤ x − y

2

− λ x − y − (Ax − Ay)

✭✶✳✸✮

2

✈î✐ ♠é✐ λ ∈ (0, 1)✳ ❚r♦♥❣ ✭✶✳✸✮✱ ♥➳✉ λ = 0 t❤➻ T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❣✐↔
❝♦✳
❚❛ t❤➜② ✭✶✳✸✮ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉

(I − A)x − (I − A)y, j(x − y) ≥ λ (I − A)x − (I − A)y
− λ x − y − (Ax − Ay) 2 .

2

✭✶✳✹✮




ỵ C t ủ tt tr C tự

C = {f |f : C C }.
ởt tr ự ổ sỷ ử
ổ ử t t t (0, 1)
Tt : C C

Tt x = tf (x) + (1 t)T x,

x C

tr õ f C ừ r Tt õ
t ởt t ở xt tr C

t T : C C ổ tứ t ỗ õ
rộ C ừ ổ E õ ợ (T ) =
tỷ x (T )

ú ỵ T

tr C t Pr

x0 C, xn+1 = T (xn ) ở tử t ở t ừ

T ổ ỏ ú ố ợ ợ ổ

ởt số ữỡ t ở ừ
ổ
Pữỡ
ự t ữỡ

xn+1 = n xn + (1 n )T (xn ), x1 C,

n 1.



ự ữủ r {n } ữủ ồ tọ

n (1 n ) =



n=1

t {xn } s ở tử ởt t ở ừ
T T : C C ởt ổ tứ t C
ỗ õ rộ ừ ổ rt H õ ú ỵ
r tr trữớ ủ H ởt ổ rt ổ t
ở tử ổ ở tử r trữớ ủ

n = (0, 1) ợ ồ n t ữỡ tr t
ữỡ rss




rở t q ừ trữớ ủ

T : C C ởt tứ ởt t C rộ ỗ õ ừ
ởt ổ ỗ ợ rt C ổ
ụ ự ữủ r {n } ữủ ồ tọ
limn n = 0 t {xn } s ở tử ởt t ở
ừ T
s t ởt t ừ
ữỡ trữớ ủ T ởt ổ tr
ổ rt s

x0 C,







y = n xn + (1 n )T (xn ),

n
Cn = {z C : yn z xn z },





Qn = {z C : xn z, x0 xn 0},




x
n+1 = PCn Qn (x0 ),



tr õ PK tr tứ H ởt t ỗ õ K

ừ H ồ ự ữủ r {n } tọ
{n } [0, 1) t {xn } ở tử

P(T ) (x0 )
rở ữỡ tr
ổ



x C,

0
yn = n xn + (1 n )T (xn ),



x
= u + (1 )T (y ).n 0.
n+1

n

n



n

ỵ C ởt t ỗ õ ừ ổ
E T : C C ởt ổ ợ (T ) = ợ u C

số {n }, {n } (0, 1) tọ
n 0, n 0



n=0 n




n=0 |n

= ,


n=0 n

n+1 | < ,

=

n=0 |n

n+1 | <

õ {xn } ở tử ởt t
ở ừ T

Pữỡ r
Pữỡ ừ r ữủ t

xn+1 = n u + (1 n )T (xn ),

n 0,



tr õ u, x0 C, {xn } (0, 1) T ởt ổ tứ t
ỗ õ C ừ ổ rt H C ự
n = n , (0, 1) t {xn } s ở tử
ởt t ở ừ T
P s ự sỹ ở tử ừ {xn }
ởt t ở ừ T tr ổ rt số {n }
tọ s

(C1)

lim n = 0,

n


(C2)

n = +,
n=1

(C3)

|n+1 n |
= 0.
2
n
n+1
lim

ợ t q ừ r s t t
1
n =
trứ tt rở t q
n+1
ừ r qt ữủ tr r r
số {n } tọ (C1), (C2)


|n+1 n | < ,

(C4)
n=1

t {xn } ở tử ởt t ở
ừ T ỹ ở tử ừ t ở ừ
ổ tr ổ ụ ữủ ự ự
r sỹ ở tử ừ số

{n } tọ (C1), (C2)

(C5) {n } ởt
t ữủ ỵ sỹ ở tử ừ
{n } tọ (C1), (C2)

(C6)

lim

n

n n+1
= 0.
n+1




r số {n } tọ (C1), (C2) õ
ừ sỹ ở tử ừ
t ở ừ ổ T ổ ỏ ởt
ọ
ởt ọ ữủ qt ởt ở
t ồ
{xn }

xn+1 = n u + (1 n )((1 )xn + T (xn )),



tr õ (0, 1) t ữủ sỹ ở tử ừ

số {n } tọ (C1), (C2)
rở t q ừ r ừ


xn+1 = n u + n xn + n T (xn ),

n 0,



tr õ {n }, {n } {n } số tr (0, 1)
t r n = 0 ợ ồ n t tr t
n = 0 ợ ồ n t tr t
t q ừ ữủ ỵ s

ỵ C t rộ ỗ õ ừ ổ
E ợ t T : C C ởt

ổ ợ (T ) = sỷ {zt } ở tử ởt
t ở z ừ T tr õ {zt } tỷ t ừ C tọ

zt = tu + (1 t)T (zt ), t (0, 1) sỷ {n }, {n } {n }
số tr (0, 1) tọ (C1) (C2)
õ ợ x0 C {xn } ở tử ởt
t ở ừ T

Pữỡ
t ữỡ t
t ở ừ ổ tr ổ rt
ự ữủ t q s

{xn } C

x0 C, xn =

1
n
T xn +
f (xn ),
1 + n
1 + n

n 0,


✶✸

❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✿

x ∈ ❋✐①(T ) s❛♦ ❝❤♦ (I − f )(x), x − x ≤ 0,

∀x ∈ ❋✐①(T ),

tr♦♥❣ ✤â {εn } ❧➔ ♠ët ❞➣② sè ❞÷ì♥❣ ❤ë✐ tö ✈➲ 0✳
✭✷✮ ❱î✐ ♠é✐ ♣❤➙♥ tû ❜❛♥ ✤➛✉ z0 ∈ C ✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➣② {zn } ⊂ C ❜ð✐✿
1
εn
zn+1 =
T zn +
f (zn ), ∀n ≥ 0,
1 + εn

1 + εn
∞
n=1 εn

◆➳✉ limn→∞ εn = 0,

= +∞ ✈➔ limn→∞

1
εn+1

−

1
εn

= 0 t❤➻

{zn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✿
x ∈ ❋✐①(T ) s❛♦ ❝❤♦ (I − f )(x), x − x ≤ 0,

∀x ∈ ❋✐①(T ),

ð ✤➙② f : C → C ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝♦ ❝❤♦ tr÷î❝ ✈î✐ ❤➺ sè ❝♦ c ∈ [0, 1)✳
❚ù❝ ❧➔

f (x) − f (y) ≤ c x − y ,

∀x, y ∈ C.

❈❤ó þ ✶✳✷✳✼ ❑❤✐ f (x) = u ✈î✐ ♠å✐ x ∈ C ✱ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ♠➲♠
❝õ❛ ▼♦✉❞❛❢✐ trð ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❝õ❛ ❍❛❧♣❡r♥✳

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ✤÷ñ❝ ✤➲ ①✉➜t ❜ð✐ ❙✳ ■s❤✐❦❛✇❛ ❬✺❪ ✈➔♦ ♥➠♠
✶✾✼✹✳ ❱î✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ♥➔② t❤➻ ❞➣② ❧➦♣ {xn } ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐



x ∈ C,

 0
✭✶✳✶✷✮
yn = βn xn + (1 − βn )T (xn ),



x
= α u + (1 − α )T (y ), n ≥ 1
n+1

n

n

n

tr♦♥❣ ✤â {αn } ✈➔ {βn } ❧➔ ❝→❝ ❞➣② sè t❤ü❝ tr♦♥❣ ✤♦↕♥ [0, 1]✳

❈❤ó þ ✶✳✷✳✽ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ βn = 1 ✈î✐ ♠å✐ n t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣

■s❤✐❦❛✇❛ ✭✶✳✶✷✮ trð t❤➔♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ▼❛♥♥ ✭✶✳✻✮✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❙✳❆✳
▼✉t❛♥❣❛❞✉r❛ ✈➔ ❈✳❊✳ ❈❤✐❞✉♠❡ ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ✈➼ ❞ö ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣

T ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❣✐↔ ❝♦ t❤➻ ❞➣② ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ❤ë✐ tö ✈➲ ♠ët
✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ♥❤÷♥❣ ❞➣② ❧➦♣ ▼❛♥♥ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ❤ë✐ tö✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✾ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉

❦✐➺♥ ❝õ❛ ❖♣✐❛❧ ♥➳✉ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ ❞➣② {xn } tr♦♥❣ E ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ x ∈ E t❤➻

lim inf xn − x < lim inf xn − y ,
n→∞

n→∞

∀y ∈ E, y = x.




ỹ ở tử ừ s ởt t ở ừ
ổ T tr ổ ữủ ự ự


ỵ E

ởt ổ ỗ tọ

ừ õ rt C ởt t

rộ ỗ õ ừ E T : C C ởt ổ

{n } {n } số tr [0, 1] s
,


n=1 n (1


n=1 n (1 n )

=

n ) < lim supn n < 1 õ {xn }

ở tử ởt t ở ừ T
t ữỡ s trữớ
ủ C ởt t ỗ õ rút ổ ừ ổ

E
xn+1 = P ((1 n )xn + n T P ((1 n )xn + n T (xn ))),

n 1,

tr õ x1 C {n }, {n } số tỹ tr [, 1 ]

(0, 1) r r ổ ố E ừ
ổ E õ t t t {xn }
ở tử ởt tỷ x (T ) ỡ ỳ
ổ T tọ

x T x f (d(x, (T ))),

x C,



tr õ f : [0, ) [0, ) tọ f (0) = 0 f (r) > 0 ợ ồ

r > 0 t ở tử ởt tỷ x (T )


✶✺

❈❤÷ì♥❣ ✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ t➻♠
✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤å →♥❤
①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å
→♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
♥➔②✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ◆ë✐
❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ ✈✐➳t tr➯♥ ❝ì sð ❜➔✐ ❜→♦ ❬✽❪ ✈➔ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉
✤÷ñ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ✤â✳

✷✳✶ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥
✷✳✶✳✶ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤å →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ T tr➯♥ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t E ♥➳✉ ❦❤→❝ ré♥❣ t❤➻ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ✈➔ ✤â♥❣✳ ❉♦
✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ❧ç✐ ♥ê✐ t✐➳♥❣ s❛✉✿
❳→❝ ✤à♥❤ ♣❤➛♥ tû x∗ ∈ C = ∩N
i=1 Ci = ∅✱
tr♦♥❣ ✤â Ci , i = 1, 2, . . . , N ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

E✳




r trữớ ủ E ởt ổ rt H t t
ỗ tr tữỡ ữỡ ợ t t ởt t ở
ừ ởt ồ ỳ ổ Ti , i = 1, 2, . . . , N, ợ Ti
tr tứ H Ci õ ự ữỡ
t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tr ổ rt H tờ qt ỡ tr
ổ ởt s tt

Pt t
ởt tỷ x S = N
i=1 (Ti ) = ,



tr õ Ti : E E, i = 1, 2, . . . , N ổ tứ ổ
E õ

ú ỵ t õ t

ữ Ti : C C, Ti : Ci Ci T : Ci E tr õ C, Ci , i =

1, 2, . . . , N t ỗ õ ừ E
ỵ ữợ sỹ tỗ t t ở ừ
ồ ổ

ỵ E

ởt ổ K ởt t

rộ t ỗ ừ E F ởt ồ ỳ
ổ tứ K K t ồ F õ t t ởt t

ở tr K

ỵ E ởt ổ ỗ K ởt t
rộ ỗ õ ừ E {T } ởt ồ
ỳ ổ tứ K K õ ồ {T } õ t
t ởt t ở tr K

ởt số ữỡ t t ở ừ
ồ ổ
Pữỡ r t t ở ừ ởt
ồ ổ

s rở t q ừ tt

t ởt t ở ừ ởt ồ ỳ

ổ tr ổ rt




ỵ H ởt ổ rt C
t rộ ỗ õ ừ H {T1 , . . . , Tr } ởt ồ ỳ
ổ tứ C C ợ F = ri=1 (Ti ) =

F = (Tr Tr1 . . . T1 ) = (T1 Tr . . . T2 ) = ã ã ã = (Tr1 . . . T1 Tr ).
{n } ởt số tỹ tr [0, 1) tọ


n = ,

lim n = 0,

n



n=0

|n+1 n | < .
n=0

y, x0 C {xn }

xn+1 = n y + (1 n )Tn+1 xn ,
tr õ Tn = Tn(

mod r)

n 0,



t {xn } ở tử PF u

r P P t
n

|


|
<




lim
= 1 ụ t ữủ
n+1
n
n
n=0
n+r
sỹ ở tử ừ ởt t ở ừ T1 , . . . , Tr

ỵ H ởt ổ rt C t

rộ ỗ õ ừ H {T1 , . . . , Tr } ởt ồ ỳ
ổ tứ C C ợ F = ri=1 (Ti ) =

F = (Tr Tr1 . . . T1 ) = (T1 Tr . . . T2 ) = ã ã ã = (Tr1 . . . T1 Tr ).
{n } ởt số tỹ tr [0, 1) tọ


n = ,

lim n = 0,

n

n=0

n
= 1.
n n+r
lim

y, x0 C {xn } t {xn } ở tử

PF u
rở t q ừ r tr
ổ ự ỵ s

ỵ E ởt ổ trỡ ợ
ố j : E E tử t C ởt t

rộ ỗ õ ừ E T1 , . . . , TN tứ C õ ợ

F = N
i=1 (Ti ) =
F = (Tr Tr1 . . . T1 ) = (T1 Tr . . . T2 ) = ã ã ã = (Tr1 . . . T1 Tr ).




{n } ởt số tỹ tr [0, 1) tọ

n

n
= 1.
n n+r

n = ,

lim n = 0,

lim

n=0

y, x0 C {xn }

xn+1 = n y + (1 n )Tn+1 xn ,
tr õ Tn = Tn(

mod r)

n 0,



t {xn } ở tử QF u QF ởt

rút ổ t t tứ C F
t
rở t q ừ s r qt
t ồ t ữỡ

xn+1 = P (n+1 f (xn ) + (1 n+1 )Tn+1 xn ),

n 0,

tr õ x0 E, f : C C ởt trữợ Tn = Tn(


mod N )

P ởt rút ổ t t tứ E C

ỵ E ởt ổ ợ
ố t j tử t tứ E E K ởt

t ỗ õ rút ổ t t ừ E ợ P
rút ổ t t tứ E K f : K K

ợ số (0, 1) Ti : E E, i = 1, 2, . . . , N
ổ tọ s
N
i=1 ((Ti ) K) =
N
i=1 (Ti ) = (TN TN 1 . . . T1 ) = ã ã ã = (TN 1 . . . T1 TN ) =
(S) ợ S = TN TN 1 . . . T1

S : K E tọ r
ợ x0 K t ý {xn } ữủ
s ữủ tọ
limn n = 0,



n=0 |n+1


n=0 n

=

n | < limn

n
= 1
n+r

t {xn } ở tử tợ ởt p N
i=1 ((Ti ) K) õ ụ

t ừ t tự

p f (p), j(p u) 0, u N
i=1 ((Ti ) K).




ú ỵ r trữớ ủ E ởt ổ rt T1, . . . , TN
ổ tứ t ỗ õ C ừ E õ

f : C C tọ f (x) = u, x C t t
q ừ s r

ú ỵ K ởt t ỗ õ rộ ừ ổ

E ợ ộ x K t t

IK (x) = {x + (z x), z K,

0}

ồ t inward ừ x ố ợ K ởt S : K E ữủ ồ
tọ inward S(x) IK (x) ợ ộ x K

Pữỡ s t t ở ừ ởt
ồ ổ
Pt ttr rở ữỡ

ởt ồ ỳ ổ K

ởt t ỗ õ rộ rút ổ ừ ổ
ỗ E T1 , T2 , . . . , TN : K E ổ
{xn } x1 K



x1n = P (n1 T1 xn + n1 xn + n1 u1n ),




x2 = P (2 T2 x1 + 2 xn + 2 u2 ),
n
n
n
n
n n








x
N
N
N
N

N N
n+1 = xn = P (n TN xn + n xn + n un ),



ợ n 1 tr õ P ởt rút ổ tứ E K

{n1 }, {n2 }, . . . , {nN }, {n1 }, {n2 }, . . . , {nN }, {n1 }, {n2 }, . . . , {nN }
số tr [0, 1] tọ ni +ni +ni = 1 ợ ồ i = 1, 2, . . . , N
ồ n 1 {u1n }, {u2n }, . . . , {uN
n } tr K
ởt ồ ỳ ổ T1 , T2 , . . . , TN : K E ợ

F = N
i=1 (Ti ) ữủ ồ tọ

tỗ t ởt

ổ f : [0, ) [0, ) tọ f (0) = 0 f (r) > 0 ợ ồ

r > 0 s
max { x Ti x } f (d(x, F )),

1iN

x K.

ỵ E ởt ổ ỗ K

ởt t ỗ õ rộ rút ừ E T1 , T2 , . . . , TN :

✷✵

K → E ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❞➣② ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✺✮ ✈î✐

∞
i
n=1 γn

✭❇✮✳ ◆➳✉ {xn} ❧➔

< ∞ ✈➔ {αni } ⊂ [ε, 1 − ε] ✈î✐ ♠å✐

i = 1, 2, . . . , N ✈➔ ε ∈ (0, 1) t❤➻ {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝❤✉♥❣ ❝õ❛ T1 , T2 , . . . , TN ✳

✷✳✷ ❈↔✐ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛
✷✳✷✳✶ ▼æ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❧➔ ❝→❝❤ ♣❤ê ❜✐➳♥ ✤➸ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤
①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣ ▼❛♥♥ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐
t❤✐➺✉ ❜ð✐ ▼❛♥♥ ♥➠♠ ✶✾✺✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉
❜ð✐ ■s❤✐❦❛✇❛ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✼✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ▼❛♥♥✳ ◆❤÷♥❣ ❝→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧↕✐ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❧➦♣ ▼❛♥♥ ❝â t❤➸ ❧➔ ❞♦ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥
❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ✈➲ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❧➦♣ ▼❛♥♥ ❝â t❤➸ ❞➝♥ ✤➳♥ ✤à♥❤ ❧þ ✈➲ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ❝ô♥❣ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t
r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â✳ ❱➜♥ ✤➲ t❤ü❝ t➳ ❧➔ ❝â ♥❤✐➲✉ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣

▼❛♥♥ ❝â t❤➸ ❦❤æ♥❣ ❤ë✐ tö ♥❤÷♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛ ❧↕✐ ❤ë✐ tö✱
❝❤➥♥❣ ❤↕♥ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ →♥❤ ①↕ ❣✐↔ ❝♦ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
◆❤➻♥ ❝❤✉♥❣✱ ❝↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ▼❛♥♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ■s❤✐❦❛✇❛
❝❤➾ ❝❤♦ sü ❤ë✐ tö ②➳✉✳ ❱➻ ✈➟②✱ r➜t ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❝↔✐ t✐➳♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❧➦♣ ▼❛♥♥ ✈➔ ■s❤✐❦❛✇❛ ✤➸ ❝â ✤÷ñ❝ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥✳
❱➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ r➜t ♥❤✐➲✉ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔✳ ◆➠♠ ✷✵✵✶✱ ❙❤✐♠♦❥✐ ✈➔




s t Wn ữ s


Un,n+1 = I






Un,n = rn Tn Un,n+1 + (1 rn )I,






Un,n1 = rn1 Tn1 Un,n + (1 rn1 )I,

ããã


Un,k = rk Tk Un,k+1 + (1 rk )I,





Un,k1 = rk1 Tk1 Un,k + (1 rk1 )I,






ããã

Un,2 = r2 T2 Un,3 + (1 r2 )I,





Wn = Un,1 = r1 T1 Un,2 + (1 r1 )I,



tr õ r1 , r2 , ã ã ã số tỹ s 0 rn 1, T1 , T2 , . . . , Tn ồ
ổ ổ tứ C õ

ờ C t ỗ õ rộ ừ ổ ỗ
T1 , T2 , . . . ổ ừ C õ
tọ


n=1 (T )

ổ rộ r1 , r2 , . . . số tỹ s

0 < rn < 1 ợ n 0 t õ ợ x C k N t t
ợ limn Un,k x tỗ t
ỷ ử ờ t õ t W tứ C
õ ữ s

W x = lim Wn x = lim Un,1 x,
n

n

x C



ữ W ữủ ồ W T1 , T2 , . . . r1 , r2 , . . .

ờ {xn} {yn} tr ổ

ỗ t T1 , T2 , . . . ổ tứ C
õ s


n=1 (Tn )

ổ rộ r1 , r2 , . . . số tỹ s

0 < rn < 1 ợ n 1 t õ (W ) =


n=1 (Tn )

ỹ tr W t ỹ ữỡ s t
t ở ừ ởt ồ ổ ổ tr ổ
C t ỗ õ rộ ừ ổ

E Ti : C C ổ ợ i N+ f : C C

{n } {n } {n } số tỹ tr (0, 1) ợ x0 C
tũ ỵ {xn } ữủ ỹ ữ s



z = n Wn xn + (1 n )xn ,

n
yn = n Wn zn + (1 n )xn ,



x
n+1 = n f (xn ) + (1 n )yn ,



n 0,

tr õ Wn ữủ ổ tự

ờ E ổ trỡ C t ỗ
õ ừ E T : C C ổ ợ (T ) =

f C õ {xt }
xt = tf (xt ) + (1 t)T xt
ở tử ởt tr (T ) t

Q : c (T )
Q(f ) := lim xt ,
t0

f C

t Q(f ) tọ t tự s

(I f )Q(f ), J(Q(f ) p) 0,

f C ,

p (T ).

ờ {xn} {yn} tr ổ

E {n } ởt tr [0, 1] ợ 0 < lim inf n n

lim supn n < 1 sỷ xn+1 = (1 n )yn + n xn ợ ồ n 0
lim sup( yn+1 yn xn+1 xn ) 0.
n

õ limn yn xn = 0

ờ r ổ E t õ t tự s
x+y

2

x

2

+ 2 y, j(x + y) ,

x, y E,

tr õ j(x + y) J(x + y)

ờ sỷ r {n} số tỹ ổ s
n+1 (1 n )n + n ,

n 0,

tr õ {n } ởt tr (0, 1) {n } tọ