chuyên đề môn toán lớp 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NBK
TỔ TOÁN
Ngày

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ HỌC KÌ 2 (2018-2019)
MÔN TOÁN KHỐI 10. THỜI GIAN: 120 phút

Học sinh làm 4 bài toán sau đây
Bài 1. ( 3 điểm)
Bài 2. ( 2 điểm)
Bài 3. ( 3 điểm)

a)

Giải phương trình

8cos 4 x cos 2 2 x + 1 − cos 3x + 1 = 0

.
x + y − x y − xy 2 = 5
3

b)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

3

2

.

Bài 4. ( 2 điểm)
a)

Tìm số dư trong phép chia

20182019

cho

13

.

p
b)
Cho
là số nguyên tố bất kỳ khác 2 và khác 5. Chứng minh rằng trong dãy
9, 99,999,9999,...
p
có vô số số hạng chia hết cho .

HẾT
•
•

Học sinh không được phép sử dụng tài liệu;
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 10 – HỌC KÌ 1 - NĂM 2017 – 2018
Bài
Nội dung
Bài 1

Điểm

Bài 2
a)
Bài 2
b)
Bài 3a)
1đ

8cos 4 x cos 2 2 x + 1 − cos 3x + 1 = 0

Giải phương trình
8cos 4 x cos 2 2 x + 1 − cos 3 x + 1 = 0 ⇔ 4 cos 4 x(1 + cos 4 x) + 1 − cos 3 x + 1 = 0
⇔ (4 cos 2 4 x + 4 cos 4 x + 1) + 1 − cos 3 x = 0 ⇔ (2 cos 4 x + 1) 2 + 1 − cos 3 x = 0
2 cos 4 x + 1 = 0
⇔
 1 − cos 3 x = 0
1
π kπ

cos 4 x = − 2 ⇔ x = ± 6 + 2
⇔
cos 3 x = 1 ⇔ x = k 2π


3

Bài 3b
(2đ)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x 3 + y 3 − x 2 y − xy 2 = 5

0,25
0,25
0,25x2

x3 + y 3 − x 2 y − xy 2 = 5

.

⇔ ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) − xy(x + y) = 5
⇔ (x + y)(x 2 − 2 xy + y 2 ) = 5
⇔ (x + y)(x − y) 2 = 5

≥
Do (x-y)2 0 và x, y thuộc Z nên xảy ra hai trường hợp:
 x + y = 5
x = 3
<=> 

x + y = 5
x − y = 1
y = 2
=> 


2
x = 2
( x − y ) = 1   x + y = 5
<=> 

y = 3
  x − y = −1
Th1:
 x + y = 1
x + y = 1
=> 
(L)

2
( x − y ) = 5  x − y = ± 5
Th2:

0,5

0,5

0,5
0,5


Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên
Bài 4a
(1đ)

Tìm số dư trong phép chia
2018 ≡ 3(mod13)

Ta có:
33 ≡ 1 (mod 13)

⇒ 20182019 ≡ 32019 =
Vậy
Bài 4b
(1đ)

(3 )

3 673

20182019 ≡ 1(mod13)

( x; y ) ∈ {(3; 2);(2;3)}

20182019

cho

13

.
0,25
0,25
0,25
0,25

≡ 1672 ≡ 1(mod13)

hay

20182109

chia 13 dư 1

9, 99,999,9999,...
là số nguyên tố bất kỳ khác 2 và khác 5. Chứng minh rằng trong dãy
có
p
vô số số hạng chia hết cho .
gcd ( p,10 ) = 1
p
Do
là số nguyên tố khác 2 và khác 5 nên
0.25
10 p −1 ≡ 1( mod p )
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có:
.
n( p −1)
n p −1
10
≡ 1( mod p ) ⇒ 10 ( ) − 1Mp
n
n
0,25
Do đó, với mọi nguyên dương thì

với nguyên
dương.
10 n( p −1) − 1 = 99...9
0.25
{

Cho

p

Mặt khác,

n( p −1)

.

Từ đó suy ra tồn tại vô số số hạng của dãy

9, 99,999,9999,...

chia hết cho

p

.

0,25