Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 lựa chọn cách giải phù hợp năng lực tư duy đối với các bài toán tí

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nhiệm vụ quan trọng của nguời thầy nói chung và nguời thầy giảng dạy bộ
môn Toán nói riêng đó là: Phải tìm được phương pháp truyền đạt phù hợp với
năng lực của từng đối tượng học sinh, để các em biết vận dụng, biết khai thác các
kiến thức mới đã được lĩnh hội vào giải Toán; Giúp các em rèn luyện và dần thông
thạo kĩ năng giải Toán.
Để làm được điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Toán phải tìm hiểu thật
kĩ về tính cách, tâm lí, năng lực tiếp nhận… của từng đối tượng học sinh. Đặc biệt,
trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải một bài toán thì người giáo viên
phải tự mình nghiên cứu, phân tích kĩ bài toán đó rồi mới hướng dẫn cho các em.
Hoạt động này rất quan trọng, nó vừa giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ
chặt chẽ giữa các kiến thức khác nhau, thấy được nhiều phương pháp để giải quyết
một bài toán, vừa gợi được động cơ cho các em học tập kiến thức mới. Bởi tôi
nhận thấy không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng học
sinh, thậm chí có những quá trình phân tích -Tổng hợp rất hiệu quả đối với học
sinh này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác.
Thực tế, kì thi THPT Quốc Gia như hiện nay, môn Toán được thi dưới hình
thức trắc nghiệm: chọn phương án đúng. Vì vậy, việc tìm ra kết quả đúng và nhanh
nhất là nhiệm vụ ưu tiên hàng đầu. Đứng trước một bài toán có rất nhiều phương
pháp giải, việc lựa chọn cách giải phù hợp năng lực sẽ có hiệu quả nhanh nhất.
Dạng Toán tính khoảng cách và góc giữa các yếu tố hình học trong không
gian là một trong những dạng Toán hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và
thường có từ 3 đến 5 câu trong đề thi THPT Quốc Gia. Khi gặp dạng Toán này học
sinh thường lúng túng, không biết hướng giải quyết như thế nào.
Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng
tạo, gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp dạng Toán này và những dạng
Toán liên quan. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:”Một số giải
pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 lựa chọn cách giải phù hợp năng lực tư duy
đối với các bài toán tính góc, tính khoảng cách trong không gian nhằm nâng
cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT Quốc

gia” để giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Người giáo viên dạy Toán cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu,
phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh; giúp các em tính nhanh, chính
xác một số dạng toán tính khoảng cách và góc trong không gian . Đồng thời, rèn
luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển một số năng lực cho các em
như:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính khoảng cách và góc
trong không gian.
1.3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
1


Một số bài toán hình học không gian dạng tính khoảng cách và góc ở các đề
thi trắc nghiệm của các năm học trước và các đề thi tham khảo.
1.4. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Để có cơ sở tiến hành nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôi
đã:
- Tìm hiểu việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phương
pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian.
-Tìm hiểu về thực trạng giải bài tập môn hình học không gian ở học sinh
trường THPT Triệu Sơn 3.
- Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập hình học
không gian.
- Tổ chức thực hiện đề tài áp dụng đề tài vào thực tế dạy ơ một số lớp 12
trường THPT Triệu Sơn 3.
- Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng.

2


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1.2.1. Giả thuyết của đề tài
Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, tôi đã đặt ra các giả thuyết sau:
- Đề tài có tìm ra phương pháp phù hợp với học sinh 12 khi giải các bài tập
hình học không gian không?
- Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh khi áp dụng vào việc giải các đề
thi minh hoạ và các đề thi Toán THPTQG qua các năm hay không?
- Đề tài có rèn luyện, phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duy
logic – khoa học và có nâng cao được kết quả học tập bộ môn Hình học không
gian cho học sinh hay không?
1.2.2. Mục tiêu của đề tài
Từ các giả thuyết đã nêu trên, mục tiêu của đề tài cần phải đạt được đó là:
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh khi giải
các bài tập hình học không gian.
- Tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập Hình học không gian. Đồng
thờigiúp các em góp nâng cao kết quả học tập bộ môn này.
- Rèn luyện, nâng cao, phát triển được trí tưởng tượng không gian, phát triển
tư duy logic – khoa học cho học sinh.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
* Đối với học sinh:
- Hình học không gian vốn là một môn học có tính trừu tượng, đòi hỏi người
học phải có trí tưởng tượng không gian và cần có tính sáng tạo cao nhưng phần
lớn học sinh có trí tượng tượng và tính sáng tạo còn hạn chế.
- Rất nhiều học sinh chỉ quen với Hình học phẳng nên khi học Hình không
gian thường hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của Hình học phẳng được sử

dụng trong Hình không gian nên chưa biết vận dụng các tính chất của Hình học
phẳng cho Hình không gian.
- Ngoài ra, có không ít học sinh chưa xác định đúng đắn động cơ học tập,
không có phương pháp học tập cụ thể cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng
chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho các em.
* Đối với giáo viên:
- Trong quá trình dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức
trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà
chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau; chưa tìm được phương pháp dạy
học phù hợp với từng nội dung và năng lực của học sinh.
- Vẫn có không ít giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng
phương tiện, công cụ, thiết bị và đồ dùng dạy học bộ môn…
- Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học
sinh tìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát
hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát hiện và giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câu
hỏi. Kết quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ năng
vận dụng vào thực tế chưa cao. Đặc biệt, sau một thời gian không thường xuyên
3


ôn tập hoặc khi tiếp tục học thêm các nội dung tiếp theo thì học sinh không còn
nắm vững được các kiến thức đã học trước đó.
Từ các nguyên nhân trên dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình
học không gian, còn lúng túng khi tìm cách giải các bài toán hình học không gian.
Dẫn đến kết quả học tập chưa cao.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Một số giải pháp
* Đưa ra các quy tắc, các bước cũng như yêu cầu khi vẽ hình không gian để có
được hình vẽ đẹp, dễ quan sát các mối quan hệ có trong hình dễ dàng giải quyết
các bài tập.

* Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững các mối quan hệ giữa các
đối tượng hình học không gian như quan hệ song song của hai đường thẳng, của
hai mặt phẳng, của đường thẳng và mặt phẳng; quan hệ vuông góc của hai đường
thẳng, của hai mặt phẳng, của đường thẳng với mặt phẳng … hiểu được các khái
niệm khoảng cách trong không gian.
* Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không
gian, các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS, Geogebra….
* Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ
khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các
kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
* Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh.
2.3.2. Biện pháp thực hiện:
2.3.2.1. Hệ thống các kiến thức cơ bản cần vận dụng:
a. Khoảng cách:
a.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng:
 d ( M , a )  MH : trong đó H là hình chiếu của M trên a.
 d ( M ,( P ))  MH : trong đó H là hình chiếu của M trên (P).
a.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song:
d a,  P    d  M ,  P  
 
: trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d  P  , Q    d  M , Q  
 
: trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
a.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng

còn lại.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
b. Góc:
4


'
'
 Góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 là góc giữa hai đường thẳng 1 và  2
cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với 1 và  2

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình
chiếu của nó trên mặt phẳng.
 Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng.
c. Liên hệ giữa định tính và định lượng:
uuuur
MH  MH  ( xH  xM )2  ( yH  yM ) 2  ( z H  z M ) 2
 Độ dài đoạn thẳng:
AxM  ByM  CzM  D
d  M ,( P )  
A2  B 2  C 2

3V
h
S (trong đó V là thể tích khối chóp, S là diện tích đáy khối chóp)

ur uu
r uuuuuur

�
�
u
,
u
.M 1M 2
�1 2 �
d  1 , 2  
ur uu
r
�
u1 , u2 �
�
�

uu
r uu
r
ua .ub
uu
r uu
r
cos a�, b  cos ua , ub  uu
r uu
r
ua . ub

uu
r uur
ua .n

uu
r uu
r
sin a�,( )  cos ua , n  uu
r uur
ua . n

uu
r uur
n .n
uu
r uur
cos (�
 ),(  )  cos n , n  uur uur
n . n

2.3.2.2. Xây dựng thuật giải từ một bài toán:
Xây dựng các thuật giải : Thực chất là các quy trình, các bước thực hiện cố
định để tìm ra đáp số của một lớp các bài toán có yêu cầu tương tự nhau. Thông
qua việc hình thành và xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duy
thuật giải – một loại hình tư duy rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà cả
trong nhiều lĩnh vực khoa học khác; Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi
giải các bài tập về góc và khoảng cách trong không gian.
Bài toán 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 29)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a, BC  2a , SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:
2a
a
a
6a

C. 2
B. 3
D. 3
A. 2
Cách 1: Sử dụng kiến thức Hình học không gian tổng hợp(Kiến thức lớp 11).

 





















5

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
a.1. Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Trong không gian cho ( P) và một điểm M không nằm trên ( P ) , để xác định
khoảng cách từ điểm M đến ( P) ta làm như sau:
Bước 1: Dựng (Q ) đi qua M và vuông góc với ( P)
Bước 2: Xác định giao tuyến d của ( P) và (Q )
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H � MH  ( P ) � d  M ,( P )   MH
a.2. Cách xác định khoảng giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau:
TH1: a  b
Chọn điểm M �a (thuận lợi nhất), kẻ MH  b,( H �b) � (a, H )  b .
Kẻ HK  a,( K �a ) � d  a, b   HK
TH2: a, b bất kỳ:

Dựng mặt phẳng    chứa b và song song với a , d  a, b   d  a,( )   d  M ,( ) 
, với M là điểm bất kỳ trên a .
b) Lời giải: Chọn B
Dựng hình bình hành ACBE � AC P( SBE ) � d ( AC , SB )  d ( A,( SBE ))  h
Ta có: AS , AB, AE đôi một vuông góc với nhau
1
1
1
1
2a
� 2


�
h


h
AS 2 AB 2 AE 2
3
Cách 2: Sử dụng thể tích các khối đa diện và diện tích các hình đa diện (Kiến
thức Chương I - Hình học 12).
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Bước 1: Xác định yếu tố khoảng cách là đường cao của một khối chóp
Bước 2: Tính thể tích khối chóp, diện tích mặt đáy
Bước 3: Áp dụng công thức thể tích để suy ra khoảng cách
b) Lời giải: Chọn B
Dựng
hình
bình
hành

ACBE � AC P( SBE ) � d ( AC , SB)  d ( A,( SBE ))  h
6


1
1 1
a3
 VS . ABCD  . .a.a.2a 
2
2 3
3

VS . ABE
Ta có:

SB 2  SA2  AB 2  2a 2 � SB  a 2

SE 2  SA2  AE 2  5a 2 � SE  a 5
EB 2  AE 2  AB 2  5a 2 � EB  a 5
3a 2
3V
2a
� SSEB 
� h  S . ABE 
2
SSEB
3
Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian (Kiến thức chương III Hình học 12)
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán
Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ
Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông
thường
b) Lời giải: Chọn B
Dựng hệ tọa độ Oxyz sao cho O �A, B �Ox, D �Oy, S �Oz
Ta có: A(0;0;0), B( a;0;0), C ( a;2a;0), S (0;0; a)
uuur uur uuu
r
�
�
AC
,
SB
.

AB
2a3
2a
�
�
d  AC , SB  


uuur uur
2
2
2
�
AC , SB �
 2 a 2    a 2     2 a 2  3
�
�
Bài toán 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 37)
Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông
A ' B ' C ' D ' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  2MI . Khi đó côsin
của góc tạo bởi hai mặt phẳng  MC ' D ' và  MAB  bằng:
6 85
7 85
17 13
6 13
A. 85
B. 85
C. 65
D. 65
Cách 1: Sử dụng kiến thức Hình học không gian tổng hợp(Kiến thức lớp 11).

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Tính góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và (Q)
Bước 1: Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng ( P ) và (Q)
Bước 2: Dựng hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( P),(Q) và cùng
vuông góc với d (thường chọn đường thẳng thỏa mãn định lý 3 đường vuông góc)
Bước 3: Sử dụng giả thuyết tính góc phẳng tạo bởi hai đường thẳng từ đó suy ra
góc giữa hai mặt phẳng (góc nhọn).
b) Lời giải: Chọn B
7


Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của C ' D ' và AB .
Giao tuyến của hai mặt phẳng ( MAB ) và ( MC ' D ')
là đường thẳng () qua M và song song với
AB, C ' D ' .
MP, MQ
()
cùng
vuông
góc
với
� �
( MAB ),( MC ' D ')   (�
MP, MQ)
Giả sử cạnh hình lập phương bằng a , ta có:
a 10
a 34
MP 
; MQ 
; PQ  a 2

6
6
MP 2  MQ 2  PQ 2
14
�
cos PQM 

2 MP.MQ
340
cos   

14
7 85

85
340

Gọi  là góc giữa ( MAB ) và ( MC ' D ') ta được
Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian (Kiến thức chương III Hình học 12)
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán
Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ
Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông
thường
b) Lời giải: Chọn B
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
O �I , C ' �Ox, D ' �Oy, M �Oz
Giả sử cạnh hình lập phương bằng a . Ta có:
a

a 2
a 2
M (0;0; ), C '(
;0;0), D '(0;
;0),
6
2
2
a 2
a 2
A(
;0; a), B(0; 
; a)
2
2
r
uuuur uuuur �a 2 2 a 2 2 a 2 �
n( MC ' D ')  �
MC ', MD '�
�
� � 12 ; 12 ; 2 �
�
�
r
uuur uuur �5a 2 2 5a 2 2 a 2 �
n( MAB )  �
MA, MB �
�
� � 12 ; 12 ; 2 �
�

�
r
r
7 85
�
� cos  ( MC ' D '),( MAB )   cos(n ( MC ' D ') , n ( MAB ) ) 
85
Nhận xét: Với các cách giải cho một bài toán tính khoảng cách, tính góc trong
không gian ta có thể khẳng định không có cách giải nào là tối ưu nhất, tuy nhiên
8


khi đứng trước nhiệm vụ giải một bài toán, nguời giáo viên cần định hướng cho
học sinh tư duy lựa chọn cách giải sao cho phù hợp nhất.
Với cách giải 1: Thường áp dụng cho các hình đa diện tương đối đặc biệt và việc
xác định các yếu tố liên quan một cách dễ dàng.
Với cách giải 2:Thường được áp dụng trong trường hợp dựng hình tương đối
phức tạp nhưng quá trình tính thể tích các khối đa diện và diện tích các hình đa
diện đơn giản (học sinh không cần dựng hình) .
Với cách giải 3: Thường áp dụng khi việc dựng hình khó khăn phức tạp nhưng lại
dễ thấy yếu tố trực giao của ba đường thẳng dựng được hệ trục tọa độ hợp lý; áp
dụng công thức dễ dàng, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
2.3.2.3. Lớp các bài toán tính góc, khoảng cách sử dụng kiến thức hình
học không gian tổng hợp.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng
a . Tính khoảng cách từ A đến  SCD  .
a 6
a 6
a 6
a 6

C. 2
A. 7
B. 5
D. 3
Nhận xét: Với giả thuyết đã cho thì việc dựng các
yếu tố vuông góc trong hình chóp đều là dễ dàng từ
đó ta định hướng cho học sinh lựa chọn cách giải
1.
Lời giải: Chọn D.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD .
Ta có SO   ABCD  . Gọi I là trung điểm CD suy
ra  SOI    SCD  .

Kẻ OH  SI , H �SI � OH  (SCD ) � d  O,( SCD )   OH .
a 2
a
SO 
, OI 
2
2 .
Ta có:
1
1
1
a 6

 2 � OH 
2
2
OH

OS
OI
6 .
a 6
3 .
Ví dụ 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA
vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD .
Tính theo a khoảng cách từ điểm  S đến đường thẳng BE .
2a 5
a 5
a 5
3a 5
A. 5
B. 3
C. 5
D. 5
Nhận xét: Bài toán trong không gian nhưng thực tế được qui về bài tập hình học
phẳng đơn thuần với các hệ thức lượng trong tam giác vuông nên giáo viên cần
d  A,( SCD)   d  AB,( SCD)   d  J ,( SCD )   2d  O,( SCD )  

9


định hướng cho tất cả các học sinh thực hiện bằng cách 1.
Lời giải: Chọn D.
Vì SA   ABCD  , trong mặt phẳng  ABCD  nếu
dựng AH  BE tại H thì SH  BE (định lí 3 đường
vuông góc). Tức là khoảng cách từ điểm S đến
đường thẳng BE bằng đoạn SH .
Ta có:

1
1
a2 1
S  ABE  AB.EF  a.a 
 AH .BE
2
2
2 2
a2 a 5
BE  BC 2  CE 2  a 2 

4
2
Mà
Nên

AH 

a2
2a

BE
5 , mà SAH vuông tại A, nên:

4a 2 3a 3a 5
3a 5
SH  SA  AH  a 


d  S , BE  

5
5 . Vậy
5
5 .
Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam
giác vuông tại A , AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên
2

2

2

mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng AA’, B’C’ .
3
1
1
3
A. 4
B. 4
C. 2
D. 2
Nhận xét: Đối với hình lăng trụ xiên, các yếu tố
trực giao là tương đối phức tạp, nếu học sinh tìm
hướng giải bằng cách tọa độ hóa sẽ khó khăn trong
việc xác định tọa độ các điểm, mặt khác với các
quan hệ song song trong hình lăng trụ thì quá trình
xác định góc giữa hai đường thẳng lại dễ đưa về góc
phẳng(hình học phẳng) nên ta dùng cách 1.
Lời giải: Chọn B.

Gọi H là trung điểm của BC � A ' H   ABC  và

1
1 2
BC 
a  3a 2  a
2
2
Do đó:
A ' H 2  A ' A2  AH 2  3a 2 � A ' H  a 3
1
a3
VA '. ABC  A ' H .S  ABC 
3
3 (đvtt)
Vậy
AH 

10


2
2
Trong tam giác vuông A’B’H có HB '  A ' B '  A ' H  2a nên tam giác B’BH
�
là cân tại B’. Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ thì   B ' BH .

Vậy

cos  

a
1

2.2a 4 .
AB  2a, AC  a, AA ' 

a 10
2 ,

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có
�  1200
BAC
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm
của cạnh BC . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ACC’ A’ .
0
0
0
0
A. 75
B. 30
C. 45
D. 15
Nhận xét: Cũng với giả thiết là hình lăng trụ xiên, yêu cầu tính góc giữa hai mặt
phẳng và việc xác định hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng lại dễ dàng thì giáo
viên có thể định hướng để học sinh liên hệ công thức hình chiếu để hướng giải
quyết đơn giản hơn.
Lời giải: Chọn C.
Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C ' H   ABC  . Trong  ABC ta có:

BC 2  AC 2  AB 2  2 AC. AB.cos1200  7 a 2
� BC  a 7 � CH 

a 7
a 3
� C ' H  C ' C 2  CH 2 
2
2
C ' H   ABC  �
Vì
đường

HK  AC .
� �
 ABC  ,  ACC ' A '   C�' KH

Hạ

xiên

C ' K  AC

(1)
0
�
( C ' HK vuông tại H nên C ' KH  90 )
Trong  HAC ta có
2S
S
a 3

HK  HAC  ABC 
AC
AC
2
�' KH  C ' H  1 � C
�' KH  450
� tan C
HK
(2)
�
ABC  ,  ACC ' A '    450


Từ (1) và (2) suy ra
.

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh
bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I
2
tan  
5 . Tính
của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy một góc  với
theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’AC)
11


a
2a
3a
5a

A. 2
C. 4
D. 2
B. 3
Nhận xét: Với hình này, yếu tố trực giao khó xác định, yếu tố thể tích và diện tích
tính phức tạp, ta sử dụng việc dựng hình để tìm ra khoang cách. (cách1)
Lời giải : Chọn B
Theo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C
trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra
A ' C ,  ABCD    �
A ' C , CI   �
A ' CI  
�
Xét ta giác vuông A’IC:

a 5 2
A ' I  IC.tan �
A ' CI  IC.tan  
.
a
2
5
Ta có BI � A ' AC   A và I là trung điểm AB nên
d  B;  A ' AC    2d  I ;  A ' AC  
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ IK / / BD � IK  AC ,
mà A ' I  AC (do A ' I   ABCD  ) nên AC   A ' IK  .

� d  I ;  A ' AC    IH
Kẻ IH  A ' K � IH   A ' AC 
BD a 2

A ' I  a, IK 

4
4
Xét tam giác vuông A’IK có
1
1
1
8
1
9
a
2a
 2  2  2  2  2 � IH 
d  B;  A ' AC   
2
IH
IK
IA '
a
a
a
3 . Suy ra
3
Bài tập rèn luyện: (Phu lục 1)
2.3.2.4. Lớp các bài toán tính góc, khoảng cách sử dụng diện tích và thể
tích
Ví dụ 6: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi B’, C’ lần lượt là
trung điểm của SB, SC . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ABC’ biết rằng
 SBC    AB ' C '

a 53
a 3
a 5
a 35
A. 4
B. 14
C. 14
D. 14
Nhận xét: Trong bài toán này, với giả thiết; nếu ta dựng hình chiếu hoặc dùng tọa
độ trong không gian sẻ gây ra tính phức tạp cho lời giải, nên chọn cách 2.

12


Lời giải: Chọn D
Gọi M, N là trung điểm của BC, BA. H, K là hình
a 3
SA 
2 ,
chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC).
a 15
6
và thể tích khối chóp S.ABC là

a 5
V
24
Tam giác C’AB cân tại C’ và
7
C ' N  C ' K 2  KN 2 

a
4 nên ta có
SH 

S ABC ' 

7 2
a
8

3VC .C ' AB
3V

SC ' AB
2SC ' AB hay khoảng cách cần tìm là:
Vậy
a 35
d  C ,  C ' AB   
14 .
Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA  a, BC  2a ,
d  C ,  C ' AB   

SA  2a , SA   ABC  . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính
khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB)
8a
a
2a
5a
A. 9
B. 9

C. 9
D. 9
Nhận xét: Do các điểm trong giả thiết chưa được xác định tỷ lệ trên các đoạn
thẳng nên nếu ta thực hiện việc tọa độ hóa sẽ phải thực hiện nhiều công đoạn tính
toán, bài toán trở nên phức tạp; hơn nữa việc dựng hình chiếu của K trên mặt
phẳng ( SAB ) không dễ dàng thực hiện nên ta thực hiện thông qua việc tính thể
tích (cách 2)
Lời giải: Chọn A.
Vì BC   SAB  nên:
AH  BC , AH   SBC  � AH  HK , AH  SC
mà AK  SC � SC   AHK 
Ta có:

AH 

AB.SA 2a
AC.SA 2 5a

AK 

SB
5,
SC
3

13


8a
3 5

1 4 a 2 a 8a
32 3
4a � V
. . .

a
SK 
S . AHK 
6 3 5 3 5 135
3
4
4
SH  SA2  AH 2 
a
S AHS  a 2
5 nên
5
Mặt khác
Vậy khoảng cách cần tìm là:
3V
8a
d  K ,  SAB    KSAH 
S AHS
9 .
HK  AK 2  AH 2 

Ví dụ 8: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi K là trung điểm của
DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.
a
a

a
a
C. 4
D. 2
A. 3
B. 5
Lời giải: Chọn A.
Gọi M là trung điểm của BB’ thì A ' M / / CK
d  CK , A ' D   d  CK ,  A ' DM  
 d  K ,  A ' DM   

3VK . A ' DM
S A ' DM

Ta có:

1
1
1
VK . A ' DM  VM . KA ' D  VB '. KA ' D  B ' A '. A ' D '.KD  a 3
3
2
12
Hạ DH  A ' M . Do AD   ABB ' A ' nên AH  A ' M
AH 

a2
2a

MA '

5

2
Vì AH .MA '  2S AMA '  2 ABB ' A '  a nên
3a
1
3
DH  AD 2  AH 2 
� S A ' MD  DH . A ' M  a 2
2
4
5
Do đó

d  CK , A ' D  
Vậy

3VK . A ' DM
S A ' DM

a3
3.
a
 12 
3 2 3
a
4
.

Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC  a 3, BC  3a ,

�
ACB  300 . Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng  A ' BC 
vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Điểm H trên cạnh BC sao cho HC  3BH và
14


mặt phẳng  A ' AH  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Tính khoảng cách từ B đến
mặt phẳng  A ' AC 
3 3a
3a 5
2a 5
B. 4
C. 2
A. 3
Lời giải: Chọn B.
�
 A ' BC    ABC 
�
� A ' H   ABC 
 A ' AH    ABC 
�
�
�A ' H   A ' BC  � A ' AH 
0
�
Suy ra A ' AH  60

3a 5
D. 7

AH 2  AC 2  HC 2  2 AC.HC.cos300  a 2 � AH  a
� A ' H  AH .tan 600  a 3
3a 2 3
9a 3
VABC . A ' B ' C '  S ABC . A ' H 
.a 3 
4
4
2
2
2
Vì AH  AC  HC � HA  AC � AA '  AC

S A ' AC 

1
1
3V
AC . A ' A  a 3.2a  a 2 3 � d  B;  A ' AC    A ' ABC
2
2
S A ' AC

9 3
a
3 3a
4
 2

4

a 3

Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a .
Tam giác SAD cân tại S và mặt bên  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
4 3
a
3
S
.
ABCD
thể tích khối chóp
bằng
. Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng
 SCD 
2
4
8
3
h a
h a
h a
h a
3
3
3
4
A.
B.
C.
D.

Nhận xét: Từ giả thiết ta nhận thấy yếu tố thể tích và diện tích các tam giác được
thực hiện đơn giản, từ đó ta có thể lựa chọn cách giải 2.

15


Lời giải: Chọn B.
SAD cân tại S
Gọi I là trung điểm của AD . Tam giác

� SI  AD � SI   ABCD 

� SI là đường cao của hình chóp.
Theo giả thiết
1
4
1
VS . ABCD  .SI .S ABCD � a 3  SI .2a 2 � SI  2a
3
3
3
1
2a 3
V .SBCD  VS . ABCD 
2
3 ;
3 2a
26a
SD  SI 2  ID 2 
; SC  SI 2  IC 2 

2
2

S SCD

3a 2
3V
4a

� d  B,( SCD )   S . BCD 
2
SSCD
3

Bài tập rèn luyện: (Phụ lục 2)
2.3.2.5. Lớp các bài toán tính góc, khoảng cách sử dụng phương pháp tọa
độ trong không gian
Ví dụ 11: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 5a , cạnh bên
SA  10a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SD ,  là góc tạo bởi
mặt phẳng ( ACM ) và ( SBC ) . Tính tan  bằng:
2 3
5
2 5
3
A. 2
B. 3
C. 5
D. 5
Nhận xét: Trong bài toán này, với giả thiết ; nếu ta tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm hai đường thẳng

trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến
thì phức tạp rất nhiều, mặt khác dễ thấy được bộ ba
đường thẳng đôi một vuông góc và các điểm đã cho dễ
dàng xác đinh nên việc dựng hệ trúc tọa độ là hợp lý,
ta chọn cách 2.
Lời giải: Chọn D
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
O �A, B �Ox, D �Oy , S �Oz
Từ giả thuyết . Ta có:
A(0;0;0), B(5a;0;0), C (5a;5a;0), D(0;5a;0), S (0;0;10a)
uuuu
r 5a
uuur
5a
� M (0; ;5a) � AM (0; ;5a); AC (5a;5a;0)
2
2
16


r
uuuu
r uuur �
25a 2 �
2
2
� n( ACM )  �
AM , AC �
25a ;25a ; 
�

�
� �
2 �
�
uur
uuu
r
r
uur uuu
r
� 50a 2 ;0;25a 2
SB(5a;0; 10a); SC (5a;5a; 10a) � n ( SBC )  �
SB
,
SC
�
�
r
r
n( ACM ) .n( SBC )
5
1
2 5
cos   r

� tan  
1 
r
2
3

cos 
5
n( ACM ) . n ( SBC )
.
Ví dụ 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh
0
bên SA   ABCD  . Để góc giữa ( SBC ) và ( SCD ) bằng 60 thì độ dài của SA
bằng:
A. a
B. a 2
C. a 3
D. 2a
Lời giải: Chọn D
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz sao cho





O �A, B �Ox, D �Oy, S �Oz . Đặt SA  x
Từ giả thuyết . Ta có:
S (0;0; x), B( a;0;0), C ( a; a;0), D(0; a;0)
uuu
r
uuu
r
� CS   a; a; x  ; CB   0; a;0  ;
uuur
CD   a;0;0 
r

uuu
r uuu
r
2
�
� n ( SCB )  �
CS , CB �
�  ax;0; a  ;
r
uuu
r uuur
�  0;  ax;  a 2 
n ( SCD )  �
CS
,
CD
�
�
(
SBC
) và ( SCD) bằng 600 thì
Để góc giữa
r
r
� cos n( SCB ) , n( SCD )  cos600 �





a4
1
 � xa
4
2 2
(a  a x ) 2
Nhận xét: Với khả

năng tư duy của nhiều học sinh thì việc dựng hình và xét các khả năng để tính góc
giữa hai mặt phẳng không dễ, đặc biệt là những học sinh học kiến thức lớp 11
chưa vững; với nhóm học sinh này giáo viên cần định hướng cho các em sử dụng
công thức như cách giải 2 thì việc thực hiện trở nên dễ dàng và các em sẽ cảm
thấy hứng thú hơn khi giải các bài toán hình không gian.
Với những ví dụ trên ta nhận thấy: nếu giả thiết của bài toán dễ dàng xác
định yếu tố trực giao (3 đường thẳng đôi một vuông góc với nhau tại 1 điểm)và
các điểm đã cho được xác định tỷ lệ trên các đoạn thẳng thì việc thực hiện yêu
cầu bằng phương pháp tọa độ hóa được thực hiện đơn giản và giảm nhẹ tư duy
hình học.
Ví dụ 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng   ABCD  , SA  AB  a, AD  3a . Gọi M là trung điểm

BC . Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABCD  và  SDM  .

17


5
6
A. 7
B. 7

Lời giải: Chọn B.
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz
O �A, B �Ox, D �Oy , S �Oz .
Từ giả thuyết . Ta có:

A(0;0;0), S (0;0; a), D(0;3a;0), M (a;

3
C. 7
sao

1
D. 7

cho

3a
;0)
2

uuur � 3a
r
�uuu
� SM  �
a; ; a �
; SD   0;3a; a 
� 2
�
r
uuur uuu

r �3a 2 2 2 �
� � ; a ;3a �
� n( SDM )  �
SM
,
SD
;
�
� 2
�
�
r
uuu
r
n( ABCD )  AS   0;0; a 
r
r
n( SDM ) .n ( ABCD )
r
r
6
� cos n( SDM ) , n( ABCD )  r

r
n( SDM ) . n( ABCD ) 7





Ví dụ 14: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB  AC  a ,
0
�  1200
BAC
. Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy góc 60 . Tính khoảng cách
giữa đường thẳng BC và mặt phẳng  AB ' C ' theo a .
a 3
A. 4
Lời giải: Chọn A.

a 5
B. 14

a 7
C. 4

a 35
D. 21

Gọi  K là trung điểm của B ' C ' . Xác định góc giữa
 AB 'C ' và mặt đáy là �
AKA ' � �
AKA '  600
Tính BC  a 3 ,
1
a
a 3
A ' K  A ' C '  � AA '  A ' K .tan 600 
2
2

2
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
O �K , A ' �Ox, C ' �Oy , Oz P AA ' .
Từ giả thuyết . Ta có:
a a 3
a 3
a 3
a 3
A( ;0;
), C (0;
; a 3), B '(0; 
;0), C '(0;
;0)
2
2
2
2
2
uuur � a a 3 a 3 �uuuu
r �a a 3 a 3�
� AB '  �
 ;
;
;
AC
 ;
;
� '�
�
2

2
2
2
2
2 �
�
�
�
18


r
�3a 2
a2 3 �
� n( AB ' C ')  � ;0; 
�
2 �
�2
.
3
a
3
a 3
(
x

)

(
z


)0
2
2
2
Phương trình mặt phẳng ( AB ' C ') là: 2
a 3
d  BC ,( AB ' C ')   d  C ,( AB ' C ')  
4
Nhận xét: Rõ ràng việc dựng hình và chuyển đổi khoảng cách như trên rất khó
khăn và chỉ những học sinh có năng lực tư duy hình học tốt thì mới dựng hình và
thực hiện được công việc một cách nhanh chóng. Nếu giáo viên định hướng cho
học sinh nhận thấy yêu tố trực giao của ba đường thẳng thì nhiều học sinh sẽ thực
hiện dễ dàng bằng phương pháp tọa độ hóa.
Ví dụ 15: Cho lăng trụ đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a
0
�
và góc BAD  60 . Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy, OO '  2a . Gọi S là
trung điểm của OO’ . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SAB  .
a
3a
a 3
a 3
C. 19
D. 19
A. 11
B. 19
Nhận xét: Để dựng được hình chiếu của O trên mặt
phẳng ( SAB ) là không dễ với những học sinh tư duy

hình học không gian còn yếu, nếu ta thực hiện dựng
hệ tọa độ với các yếu tố vuông góc của hai đường
chéo của hình thoi và hình lăng trụ đứng thì tọa độ
các điểm được xác định đơn giản, cách giải sẽ thực
hiện trên cơ sở các phép toán đại số.
Lời giải: Chọn B.
Từ giả thiết suy ra:
AA '  BB '  2a, AC  a 3, BD  a
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với O là tâm hình thoi A �Ox, B �Oy , O ' �Oz .
a 3
a
O(0;0;0), S (0;0; a), A(
;0;0), B(0; ;0)
2
2
Ta có:
uur �a 3
uur uur �
�uur � a
3�
� r
� �
� SA  � ;0;  a �
; SB  �
0; ; a �� n( SAB )  �
SA
,
SB
1;
3;

�
�
�
2 �
�2
�
�2
�
�
.Phương
a 3
3
� d  O,( SAB)  
x

3
y

(
z

a
)

0
19
2
trình mặt phẳng ( SAB ) là:
B C có
Ví dụ 16: (Tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���

AB  2 3 và AA�
 2. Gọi M , N , P lần lượt là trung
19


B , A��
C và BC (tham khảo hình vẽ
điểm các cạnh A��
��
bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AB C  và

 MNP 

bằng:
6 13
A. 65

13
B. 65
17 13
18 13
C. 65
D. 65
Nhận xét: Từ việc xác định giao tuyến của hai mặt
phẳng đã gây khó khăn cho học sinh khi sử dụng
phương pháp hình học tổng hợp, nhưng với hình lăng trụ tam giác đều lại dễ thấy
yếu tố trực giao. Rõ ràng việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa là sự lựa chọn tối
ưu và sáng tạo nhất.
Lời giải: Chọn B.
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz với O �P, A �Ox, B �Oy , Oz P AA ' .

� P  0;0;0  , A  3;0;0  , B 0; 3;0 , C 0;  3;0 , A�
 3;0;2  , B�0; 3;2 , C�0;  3; 2



 





 

�3 3 � �3
3 �
M � ; ;2 �
, N � ;
;2 �
2
2
2
2
� �
�
nên �
r
ur
uuur uuuu
r
1 �

uu
r
�  2;0;3  r
�
�
n( A ' B ' C ')  n1 
AB
,
AC
�
�
n

n
(
MNP
)
2 3
2   4;0; 3
Ta có
;

Gọi

C  và mp  MNP 
 là góc giữa hai mặt phẳng  AB��

ur uu
r
� cos  cos n1 , n2 





89



13
65

13 25
Bài tập luyện tập: (Phụ lục 3)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua quá trình định hướng một bài toán với nhiều hướng giải quyết khác
nhau; đồng thời nêu cho học sinh nhìn nhận được lớp các bài toán nên lựa chọn
cách giải nào là phù hợp với năng lực của từng học sinh tôi thấy học sinh thoải
mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính nhanh và độ chính xác cao hơn.Từ đó kết quả
kiểm tra tốt hơn rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12D2 và
12D3 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn nhưng thời gian làm bài ngắn
hơn và kết quả tốt hơn rõ rệt. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như sau:
Kết quả kiểm tra lần 1
Lớp
Số HS Điểm dưới 5
Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10

20




thực
nghiệ
m

SL

%

SL

12D2

42

6

14,28
%

19

12D3

42

3

7,15%

17

Kết quả kiểm tra lần 2
Số HS Điểm dưới 5
thực
Lớp
nghiệ
SL
%
m

%
45,24
%
40,48
%

SL
15
18

%
35,72
%
42,85
%

SL
2
4

%
4,76
%
9,32
%

Điểm 5-6

Điểm 7-8

Điểm 9-10

SL

SL

SL

%

%

%

23,82

57,14
19,04
24
8
%
%
%
14,28
52,38
33,34
12D3
42
0
0
6
22
14
%
%
%
So sánh kết quả thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018 và kết quả khảo sát chất
lượng các môn thi THPT Quốc Gia năm học 2018-2019 do Sở tổ chức của hai
12D2

42

0

0

10

lớp học tương ứng:
Lớp
12C5
12C3

Năm học 2017-2018
Điểm trung bình
6,31
6,94

Kết quả khảo sát Năm học 2018-2019
Lớp
Điểm trung bình
12D2
6,98
12D3
7,75

21


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Trên đây là một vài điều tôi đã làm và nhận thấy có kết quả rõ rệt. Không
những giúp cho các em nắm vững kiến thức cơ bản mà còn giúp các em có thói
quen tư duy vận dụng kiến thức một cách linh hoạt đặc biệt giúp học sinh giải
nhanh bài toán trắc nghiệm phù hợp với cách thi trắc nghiệm THPT quốc gia hiện
nay.Tuy nhiên không có công thức nào vạn năng theo nghĩa có thể áp dụng cho
mọi bài toán. Song cách làm trên đã mang lại cho tôi cũng như học sinh những kết

quả nhất định, giúp học sinh cảm thấy Toán học rất sinh động đồng thời tôi cũng
thu được nhiều điều bổ ích phục vụ tốt hơn cho quá trình dạy Toán trắc nghiệm.
Vì thời gian có hạn, với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm đề tài mà tôi
nghiên cứu vẫn còn những hạn chế, chắc chắn không tránh khỏi những sai sót, rất
mong được độc giả góp ý kiến để đề tài hoàn thiện hơn.
Qua đây tôi xin có một số đề xuất như sau:
Đối với giáo viên cần tự giác chủ động tự bồi dưỡng, tích cực tìm tòi các
phương pháp, công thức, thủ thuật giải nhanh những bài Toán trắc nghiệm nhằm
đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Tôi hy vọng rằng những vấn đề đã được trình bày trong sáng kiến này có thể
dùng làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp đang giảng dạy ở lớp 12 ở các
trường phổ thông và dạy bồi dưỡng ôn thi Toán trắc nghiệm.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 11 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Hà Văn Quyền

22