Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ điểm đến mặt bên hình chóp cho học sinh khối 11 trường THPT hậu lộc 4

MỤC LỤC

Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU

2

1.1. Lí do chon đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề

3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

13

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

13

3.1. Kết luận

13

3.2. Kiến nghị

14

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1


Hình học không gian là một phần quan trong trong chương trình Toán THPT.
Đặc biệt trong đề thi ĐH, CĐ, thi tốt nghiệp THPT (nay là kì thi THPTQG) luôn
xuất hiện nhiều các bài toán về hình học không gian như: bài toán tính khoảng cách
từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song, ... Việc giải các bài toán này phần lớn chúng ta phải
làm tốt bài toán về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vì vậy việc trang bị tốt
kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến mặt phẳng cho học sinh là hết sức cần thiết và có vai trò quan trọng.
Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy môn toán, với bộ môn hình học không
gian tôi thấy một số thực trang như sau:
Thứ nhất: Phân phối chương trình hình học lớp 11 chỉ dành 2 tiết lí thuyết và
1 tiết bài tập cho bài “khoảng cách” mà lượng kiến thức liên quan đến các bài toán
về khoảng cách tương đối nhiều, thời gian để giải quyết một bài toán về khoảng
cách là dài. Nên nếu học sinh không được bổ sung kiến thức phần này thì đa số các
em sẽ không tự giải quyết được các bài tập liên quan đến khoảng cách nói chung và
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nói riêng.
Thứ hai: Các bài toán tính khoảng cách thường đòi hỏi học sinh vận dụng
nhiều kiến thức, huy động nhiều kỹ năng, đòi hỏi tính cẩn thận và độ chính xác cao.
Vì thế đối tượng học sinh có lực học trung bình khá trở xuống thường lúng túng
trong việc xác định và gặp nhiều khó khăn trong việc tính toán.
Hơn thế nữa từ năm 2017 đến nay, môn toán đã được đổi sang hình thức thi
trắc nghiệm, việc hiểu và thành thạo các kỹ năng giải bài tập càng cần thiết hơn. Vì
vậy, tôi đã chọn đề tài “rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ điểm đến mặt
bên hình chóp cho học sinh khối 11 trường THPT Hậu Lộc 4”.

1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh lớp 11 có lực học ở mức độ trung bình khá làm tốt bài toán tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm
các bài toán về tính khoảng cách nói chung.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kỹ năng tính khoảng cách từ đến mặt bên
của hình chóp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Phương pháp thực hành qua các tiết tự chọn và bồi dưỡng.
- Phương pháp tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiêm qua việc giảng dạy ở
các năm.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho điểm S và mặt phẳng (P), gọi H là
hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (P). Độ dài đoạn thẳng SH gọi là
khảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (P).
d ( S;( P ) )
Kí hiệu
.
d ( S ; ( P ) ) = SH

2.1.2. Các tính chất
AB / / ( P )

Tính chất 1: Nếu
thì
d ( A; ( P ) ) = d ( B; ( P ) )  

Tính chất 2: Nếu

AB ∩ ( P ) = I

d ( A; ( P ) )
d ( B; ( P ) )

=

thì

IA
 
IB

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát
chất lượng học tập của học sinh hai lớp 11A6 và 11A7 trường THPT Hậu Lộc 4 với
đề thi tự luận như sau:
KIỂM TRA 45 PHÚT
S . ABC
ABC
AB = a
B
Cho hình chóp
có đáy

là tam giác vuông tại , cạnh
,
BC = 2a
SA
SA = a
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
.
mp ( SBC )
A
a) Tính khoảng cách từ điểm đến
.
mp ( SCM )
AC
M
A
b) Gọi
là trung điểm của
. Tính khoảng cách từ đến
.
KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ
Lớp
Số
SL

%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A6 39
1
2.6
7
17.9 17 43.6 11
28.2
3
7.7
11A7 40
3
7.5
13 32.5 14 35.0
9
22.5
1
2.5

3


Tôi nhận thấy đa phần học sinh làm được câu a, một số học sinh làm được

câu b. Tuy nhiên việc trình bày bài còn chưa khoa học và chặt chẽ, kỹ năng vẽ hình
còn kém, tính toán còn nhiều chỗ sai.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề
2.3.1. Giải pháp 1: Tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên chứa
đường cao của hình chóp.
* Mục đích: - Giúp học sinh biết cách xác định khoảng cách từ một điểm bất kỳ
đến mặt bên của hình chóp
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác
khi làm bài cho học sinh.
* Yêu cầu: - Học sinh thành thạo cách xác định và tính khoảng cách từ một điểm
bất kỳ đến mặt bên của hình chóp
Ví dụ 1. Cho hình chóp

S . ABC

có

SA

vuông góc với đáy. Xác định khoảng cách
( SAC )
B
a) Từ điểm đến mặt phẳng
.
( SAB )
C
b) Từ điểm đến mặt phẳng
.

Bài giải
BH ⊥ AC ⇒ BH = d ( B, ( SAC ) )

a) Vẻ
Chứng minh. Ta có
SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BH , BH ⊥ AC

⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH = d ( B, ( SAC ) )
CK ⊥ AB ⇒ CK = d ( C , ( SAB ) )

b) Vẻ
Chứng minh. Ta có
SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ CK , CK ⊥ AB

⇒ CK ⊥ ( SAB ) ⇒ CK = d ( C , ( SAB ) )

Kết luận: Qua ví dụ 1 cần nhấn mạnh cho học sinh cách xác định khoảng cách từ
điểm trên mặt đáy đến mặt bên chứa chân đường cao của hình chóp. Bằng cách vẽ
đường vuông góc từ điểm đó đến giao tuyến của mặt bên với mặt đáy.

S . ABCD
ABCD
O
Ví dụ 2. Cho hình chóp
, có đáy
là hình chữ nhật tâm , cạnh
AB = 4a BC = 3a SA
G
ABC
,

,
vuông góc với đáy,
là trọng tâm tam giác
.
4


a) Tính khoảng cách từ điểm
b) Tính khoảng cách từ điểm
c) Tính khoảng cách từ điểm

C
O
O

đến mặt phẳng
đến mặt phẳng
đến mặt phẳng

( SAB )

( SAB )
( SAD )

Bài giải
a) ta có
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB

⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC = d ( C , ( SAB ) ) = a
OH ⊥ AB ⇒ OH = d ( O; ( SAB ) )

b) Vẽ
Chứng minh. Ta có
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ OH , OH ⊥ AB

⇒ OH ⊥ ( SAB ) ⇒ OH = d ( O, ( SAB ) ) =

3a
2

OK ⊥ AD ⇒ OK = d ( O; ( SAD ) )

c) Vẽ
.
Chúng minh. Ta có
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ OK , OK ⊥ AD ⇒ OK ⊥ ( SAD ) ⇒ OK = d ( O, ( SAD ) ) = 2a
Kết luận: Ví dụ 2 rèn luyện kỹ năng xác định và tính khoảng cách từ điểm trên mặt
đáy đến mặt phẳng chứa đường cao của hình chóp.

S . ABCD

Ví dụ 3. Cho hình chóp
BC = a 3, SA
vuông góc với đáy.
a) Tính khoảng cách từ điểm

B

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật,

AB = a,

( SAC )

đến mặt phẳng
( SAM )
CD
M
D
b) Gọi
là trung điểm của
. Tính khoảng cách từ
đến mp
.
Bài giải

5


BH ⊥ AC ⇒ BH = d ( B; ( SAC ) )

a) Vẽ
Chứng minh. Ta có
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BH , BH ⊥ AC

⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH = d ( B, ( SAC ) )

∆ABC

có
1
1
1
4
=
+
=
BH 2 BA2 BC 2 3a 2

⇒ BH = d ( B; ( SAC ) ) =

3
a
2

DK ⊥ AM ⇒ DK = d ( D; ( SAM ) )

b) Vẽ
.
Chứng minh. Ta có
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ DK , DK ⊥ AM ⇒ DK ⊥ ( SAM ) ⇒ DK = d ( D, ( SAM ) )
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ DK , DK ⊥ AM ⇒ DK ⊥ ( SAM ) ⇒ DK = d ( D, ( SAM ) )

∆ABC

có

1
1
1
13
39
=
+
= 2 ⇒ DK = d ( D; ( SAM ) ) =
a
2
2
2
BK
DA DM
3a
13

Kết luận: Ví dụ 3 rèn luyện kỹ năng xác định và tính khoảng cách từ điểm trên mặt
phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
2.3.2. Giải pháp 2: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình
chóp.
* Mục đích: - Giúp học sinh biết cách xác khoảng cách từ chân đường cao đến mặt
bên của hình chóp.
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác
khi làm bài cho học sinh.
* Yêu cầu: - Học sinh thành thạo cách xác định và tính khoảng cách từ chân đường
cao đến mặt bên của hình chóp.
S . ABC
SA
Ví dụ 1. Cho hình chóp

, có
vuông góc với đáy. Xác định khoảng cách
( SBC )
A
từ điểm đến mặt phẳng
. Biết rằng
ABC
B
a) Tam giác
vuông tại
ABC
C
b) Tam giác
vuông tại
6


c) Tam giác

ABC

không vuông tại

B

và

C

Bài giải

AH ⊥ SB ⇒ AH = d ( A; ( SBC ) )

a) Vẽ
Chứng minh:
SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB

⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH , AH ⊥ SB
⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) )

AK ⊥ SC ⇒ AK = d ( A; ( SBC ) )

b) Vẽ
Chứng minh:
SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB

⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AK , AK ⊥ SC
⇒ AK ⊥ ( SBC ) ⇒ AK = d ( A, ( SBC ) )
 AI ⊥ BC
⇒ AJ = d ( A, ( SBC ) )

AJ
⊥
SI


c) Vẻ
Chứng minh:
SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AI

⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ AJ , AJ ⊥ SI

⇒ AJ ⊥ ( SBC ) ⇒ AJ = d ( A, ( SBC ) )
Kết luận: Có thể nói ví dụ 1 là chìa khóa cho việc tính khoảng cách từ chân đường
cao đến mặt bên của hình chóp. Vì vậy cần giúp học sinh nắm chắc ví dụ này.

S . ABCD
Ví dụ 2 (Đề THPTQG năm 2018). Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
a 3 SA
SA = a
A
cạnh
,
vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Khoảng cách từ điểm
( SBC )
đến mặt phẳng
bằng
7


A.

a 5
3

B.

a 3
2

Bài giải

∆ABC

C.

a 6
6

D.

a 3
3

AH ⊥ SB ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) )

B

Vì
vuông tại , nên vẽ
Chứng minh
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB

⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH , AH ⊥ SB
⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) )

∆SAB

A

vuông tại , đường cao AH nên
1
1
1
4
=
+
=
AH 2 AS 2 AB 2 3a 2

⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) =

a 3
2

. Chọn B

S . ABCD

ABCD

AB = a

Ví dụ 3. Cho hình chóp
, có đáy
là hình chữ nhật, cạnh
,
0
BC = a 3 SA
45

SC
,
vuông góc với đáy và
tạo với đáy một góc bằng
. Tính theo
( SBD )
a
A
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
.
Bài giải
a. Vì

∆ABD

B
D
không vuông tại và
 AK ⊥ BD
⇒ AI = d ( A, ( SBD ) )

 AI ⊥ SK

nên kẻ
Chứng
minh
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AK
⇒ BD ⊥ ( SAK ) ⇒ BD ⊥ AI , AI ⊥ SK
⇒ AI ⊥ ( SBD ) ⇒ AI = d ( A, ( SBD ) )

AC = BD =

AB 2 + AD 2 = 2a

ta có
8


·
SCA
= (·SC , ( ABCD ) ) = 450 ⇒ ∆SAC

∆SAK

vuông cân tại

A ⇒ SA = AC = 2a

A
AI
vuông tại , có đường cao
nên
1
1
1
19
2a 57
=
+
=

⇒
AI
=
d
A
,
SBD
=
(
)
(
)
AI 2 AS 2 AK 2 12a 2
19

Kết luận: Ví dụ 2, 3 rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ chân đường cao đến
mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.

S . ABCD
ABCD
A B
Ví dụ 4. Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và ,
AB = BC = 2a AD = 4a, SA = 2a
S
,
. Hình chiếu vuông góc của
trên mặt

( ABCD )
AC
H
phẳng
là điểm
trùng với trung điểm của
.
( SCD )
H
a) Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
( SAB )
H
b) Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
Bài giải

M
a) Gọi
⇒ ∆ACD

là trung điểm của

AD ⇒ ABCM

CM =
là hình vuông, suy ra

1
AD

2

C

vuông tại .
HK ⊥ SC ⇒ HK = d ( H ; ( SCD ) )

Vẽ
Chứng minh
SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD, CD ⊥ AC

⇒ CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ HK , HK ⊥ SC
⇒ HK ⊥ ( SCD ) ⇒ HK = d ( H , ( SCD ) )

AH = HC =

1
AC = a 2;
2

Ta có
SH 2 = SA2 − AH 2 = 2a 2 ;

1
1
1
1
1
1
=

+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HK = d ( H ; ( SCD ) ) = a
2
2
2
HK
SH
HC 2a 2a a
9


Kết luận: Ví dụ này yêu cầu cao hơn ví dụ 2,3 đó là trước khi vẽ các đường vuông
HCD
HAB
góc học sinh cần nhận dạng được các tam giác
và tam giác
có vuông
hay không và vuông tại đâu, từ đó mới đưa ra cách xác định khoảng cách cho phù
hợp.
2.3.3. Giải pháp 3: Tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên không
của chứa đường cao của hình chóp.
* Mục đích:- Giúp học sinh biết cách tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt
bên không của chứa đường cao của hình chóp thông qua việc tính khoảng cách từ
chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác
khi làm bài cho học sinh.
* Yêu cầu: - Học sinh chuyển được bài toán tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ
đến mặt bên không của chứa đường cao của hình chóp về bài toán tính khoảng cách
từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.

S . ABCD
ABCD
O
a
Ví dụ 1. Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm , cạnh bằng ,
ABC = 600 SA
SA = a
,
vuông góc với đáy và
.
( SCD )
A
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
( SCD )
B
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
( SCD )
O
c) Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
Bài giải
 AI ⊥ CD
⇒ AH = d ( A, ( SCD ) )

 AH ⊥ SI
a) Kẻ
Chứng minh
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AI

⇒ CD ⊥ ( SAI ) ⇒ CD ⊥ AH , AH ⊥ SI

⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ AH = d ( A, ( SCD ) )

∆ACD

cân có

µ = 600
D

giác đều, do đó

I

nên

ACD

là tam

là trung điểm CD
10


3
⇒ AI = a
2

Trong tam giác

SAI

ta có

1
1
1
7
21
=
+ 2 = 2 ⇒ AH = d ( a; ( SCD ) ) =
a
2
2
AH
AS
AI
3a
7

AB / / CD ⇒ AB / / ( SCD ) ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) =
b) Ta có
AO ∩ ( SCD ) = C ⇒
c) Ta có

d ( O; ( SCD ) )
d ( A; ( SCD ) )

=

21
a
7

OC 1
21
= ⇒ d ( O; ( SCD ) ) =
a
AC 2
14

Kết luận: Ví dụ trên hình thành cho học sinh cách chuyển được bài toán tính
khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên không của chứa đường cao của hình
chóp về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.

S . ABCD
Ví dụ 2 (Đề thi TSĐH năm 2013 - khối D). Cho hình chóp
có đáy
0
BAD = 120 M
ABCD
a
SA
là hình thoi cạnh , cạnh bên
vuông góc với đáy,
,
là
0

BC
SMA = 45
a
D
trung điểm của cạnh
và
. Tính theo khoảng cách từ điểm
đến
( SBC )
mặt phẳng
.
Bài giải
Theo bài ra ta có

∆ABC

là tam giác đều
a 3
a ⇒ AM ⊥ BC , AM =
2

cạnh
AH ⊥ SM ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) )

Vẽ
Chứng minh
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AM

⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH , AH ⊥ SM

⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) ∆SAM
,
vuông cân tại A nên có
1
a 6
AH = d ( A; ( SBC ) ) = SM =
2
4
11


S . ABCD

Ví dụ 3 (Trích đề thi TSĐH năm 2014 - khối A, A1). Cho hình chóp
SD =

3a
2

a
S
là hình vuông cạnh ,
, hình chiếu vuông góc của trên mặt
( ABCD )
a
AB
A
phẳng
là trung điểm của cạnh
. Tính theo khoảng cách từ

đến
( SBD )
mặt phẳng
.
đáy

ABCD

có

Bài giải
AB.
H
là
trung
điểm
của
Gọi
 HI ⊥ BD
⇒ HK = d ( H , ( SBD ) )

HK
⊥
SI

Vẽ
Chứng minh
SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ BD, BD ⊥ HI

⇒ BD ⊥ ( SHI ) ⇒ BD ⊥ HK , HK ⊥ SI

HK ⊥ ( SBD ) ⇒ HK = d ( H ; ( SBD ) ) ;
HI =

AB 2
1
a 2
2
2
2
2
2
= a2;
AC =
; SH = SD − DH = SD − DH −
4
2
2

1
1
1
3
a 3
=
+
=
⇒
HK
=

d
H
;
SBD
=
;
(
)
(
)
HK 2 SH 2 HI 2 a 2
3
AH ∩ ( SBD ) = B ⇒

d ( A; ( SBD ) )

d ( H ; ( SBD ) )

Ví dụ 4. Cho hình chóp

( SAC )

và

( SBD )

S . ABCD

b) Gọi

HB
2a 3
= 2 ⇒ d ( A; ( SBD ) ) =
AB
3

có đáy

ABCD

cùng vuông góc với đáy,

a) Tính khoảng cách từ điểm

M

=

là trung điểm của

A
SB

là hình chữ nhật cạnh, mặt phẳng

AD = 2 AB = 2a

đến mặt phẳng

( SCD )

. Tính khoảng cách từ

M

SA =

,

3a
2

đến mp

( SCD )

Bài giải
12


H = AC ∩ BD
Gọi
⇒ SH = ( SAC ) ∩ ( SBD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
 HI ⊥ CD
⇒ HK = d ( H , ( SCD ) )

HK
⊥
SI


Vẽ
Chứng minh
SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD, CD ⊥ HI

⇒ CD ⊥ ( SHI ) ⇒ CD ⊥ HK , HK ⊥ SI

HK ⊥ ( SCD ) ⇒ HK = d ( H ; ( SCD ) ) ;
1
1
1
5a
AB = a; AH 2 = SC 2 = ( AB 2 + AD 2 ) = ;SH 2 = SA2 − AH 2 = a 2
2
4
4
4
1
1
1
2
a 2
=
+
=
⇒
HK
=
d
H

;
SBD
=
;
(
)
(
)
HK 2 SH 2 HI 2 a 2
2

HI =

AH ∩ ( SCD ) = C ⇒
b) ta có
SM ∩ ( SCD ) = S ⇒

d ( A; ( SCD ) )

d ( H ; ( SCD ) )
d ( M ; ( SCD ) )
d ( B; ( SCD ) )

=

AC
= 2 ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = a 2
HC

=

SM 1
1
= ⇒ d ( M ; ( SCD ) ) = d ( B; ( SCD ) ) ;
SB 2
2

AB / / CD ⇒ AB / / ( SCD ) ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) )
1
a 2
⇒ d ( M ; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) =
2
2
Kết luận: Ví dụ 2, 3, 4 nhằm mục đích rèn luyện kỹ năng chuyển bài toán khoảng
cách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp về bài toán khoảng cách từ chân
đường vuông góc đến mặt bên của hình chóp.
2.3.4. Giải pháp 4: Tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên của
hình chóp.
* Mục đích: - Giúp học sinh biết cách phân tích và xác định được khoảng cách từ
một điểm bất kỳ đến mặt bên của hình chóp.
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác
khi làm bài cho học sinh.
* Yêu cầu: - Học sinh thành thạo cách phân tích, xác định và tính được khoảng
cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên của hình chóp.
Ví dụ 1 (Đề thi TSĐH năm 2012 - khối D). Cho hình hộp đứng

ABCD

, có đáy là
13

A’ AC
A’C = a
A
hình vuông, tam giác
vuông cân,
. Tính khoảng cách từ điểm
( BCD’)
a
đến mặt phẳng
theo .
Bài giải
Phân tích: Chuyển việc tính khoảng cách
( D’BC )
A
từ điểm
đến mặt phẳng
thông
D
qua khoảng cách từ
đến mặt phẳng
( D’BC )
D’.BCD
trong hình chóp
.
BCD
C
Tam giác
vuông tại nên vẽ

DH ⊥ D 'C ⇒ DH = d ( D; ( D ' BC ) )
Chứng minh. Ta có
D ' D ⊥ ( ABCD ) ⇒ D ' D ⊥ BC , BC ⊥ CD
⇒ BC ⊥ ( D ' DC ) ⇒ BC ⊥ DH ,
DH ⊥ D ' B ⇒ DH ⊥ ( D ' BC )

⇒ DH = d ( D; ( D ' BC ) ) =

a 3
3

AD / / BC ⇒ AD / / ( D ' BC ) ⇒ d ( A; ( D ' BC ) ) = d ( D; ( D ' BC ) ) =
Vì

ABCD. A1B1C1D1

ABCD

a 3
3

AB = a

Ví dụ 2. Cho lăng trụ
có đáy
là hình chữ nhật,
;
( ABCD )
A1
AD = a 3

. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
trùng với
( ADD1 A1 ) ( ABCD )
AC
BD
giao điểm của
và
, góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
( A1BD )
B1
a
0
60 . Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
theo .
Bài giải

14


O = AC ∩ BD ⇒ AO
⊥ ( ABCD )
1

Gọi
,
E

AD
là trung điểm của
suy ra
·
OE ⊥ AD ⇒ A1EO
là góc giữa hai mp
( ADD1 A1 ) ( ABCD )
và
, ruy ra
·A EO = 600 ⇒ AO = OE.tan 600 = a 3
1
1
2

B1C / / A1D ⇒ B1C / / ( A1BD )

Ta có
⇒ d ( B1 ; ( A1 BD ) ) = d ( C; ( A1 BD ) )
Gọi

H

C

là hình chiếu của trên
( A1BD ) ⊥ ( ABCD )
Do
nên

BD

.

CH = d ( C ; ( A1 BD ) ) ⇒ d ( B1; ( A1BD ) ) = CH =

CB.CD
CB 2 + CD 2

=

a 3
2

2.3.5. Giải pháp 5: Bài tập tự luyện.
* Mục đích: - Cũng cố, khắc sâu kiến thức về tính khoảng cách từ một điểm bất kì
đến mặt bên của hình chóp.
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và độ chính xác
khi làm bài cho học sinh.
* Yêu cầu: - Học sinh hoàn thành bài tập được giao trong một tuần.
S . ABC
Bài 1 (Đề thi ĐH khối A, A1 2013). Cho hình chóp
có đáy là tam giác
0
a
SBC
A ·ABC = 30 SBC
vuông tại ,
,
là tam giác đều cạnh và mặt bên
vuông góc

( SAB )
C
với mặt đáy. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
.
ABC. A ' B ' C '
Bài 2 (Đề thi DH khối B 2014). Cho lăng trụ
có đáy là tam giác dều
( ABC )
a
A'
cạnh . Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là trung điểm của
A 'C
AB
cạnh
, góc giữa đường thẳng
và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách từ B
( ACC ' A ')
đến mặt phẳng
0

15


Bài 3. Cho hình chóp
DA = a; CD = 2a;

( ABCD )

AB = BC =
là hình thang cân với
( ABCD ) SC
SA
cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng
;
tạo với
S . ABCD

có đáy

ABCD

mặt phẳng
một góc bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
(SBC).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt
bên (SBC) tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600. Tính khoảng cách từ A tới mặt
phẳng (SBC).
ABC. A ' B ' C '
Bài 5. Cho lăng trụ
, có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa mặt bên
( ABB ' A ')
A '. ABC
và mặt đáy bằng 600. Biết
là khối chóp đều. Tính khoảng cách
( ACC ' A ')
B'

từ điểm
đến mặt phẳng
.
ABC. A ' B ' C '
Bài 6. Cho khối lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a; AA ' = 2a; A ' C = 3a
C'A
với
. gọi M là trung điểm của
, I là giao điểm của
A 'C
các đường thẳng AM và
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào việc dạy một số tiết tự chọn
trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu
kiến thức của học sinh trên các lớp tôi dạy bằng một đề kiểm tra 45 phút
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
S . ABC
ABC
O
a
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông tâm , cạnh bằng , hai mặt
( SAB ) ( SAC )
SC = 3a
phẳng

và
cùng vuông góc với đáy,
.
( SAB )
O
a) Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
( SCD )
O
b) Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
( DCD )
B
c) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ
Lớp
Số
SL
%
SL
%
SL
%
SL

%
SL
%
11A6 39
13 33.3 14 35.9
9
23.1
3
7.7
0
0
11A7 40
16 40.0 18 45.0
5
12.5
1
2.5
0
0
16


Thông qua bảng số liệu có thể khẳng định một điều: Việc triển khai SKKN
này thông qua các buổi học tự chọn, bồi dưỡng mang lại kết quả rất tốt cho học
sinh
Thực tế cho thấy, học sinh rất hào hứng và thích thú khi thực hiện đề tài này;
Đa số các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập; Biết trình bày lời giải một cách
khoa học, chặt chẽ, đầy đủ; Thành thạo kỹ năng vẽ hình; Nhận biết giả thiết nhanh
chóng; Tư duy vấn đề linh hoạt; . . .
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận
Kiến thức được trình bày trong đề tài đã được giảng dạy cho các em học sinh
trung bình khá ở lớp 11. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách
say mê, hứng thú.
Qua trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp; Việc tổng kết rút kinh nghiệm từ
thực tế giảng dạy tôi nhận thấy SKKN này có thể áp dụng vào cho đối tượng học
sinh khối 11 và học sinh ôn thi THPT quốc gia của trường THPT Hậu Lộc 4.
Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề tài
không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý
của quý thầy cô giáo và các em học sinh để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng
dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
3.2. Kiến nghị
Tổ chuyên môn cho phép được sử dụng SKKN ở một số lớp mà tác giả
không giảng dạy để tăng thêm tính khách quan trong việc kiểm nghiệm kết quả.
Nhà trường cần có hổ trợ hơn nữa cho những SKKN có chất lượng để khích
lệ tinh thần nghiên cứu khoa học của giáo viên và nhân viên.
Sở Giáo dục và Đào tạo cần phổ biến những SKKN hay đến các nhà trường
để các giáo viên học hỏi.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Văn Tuấn

17

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. SGK hình học 11 của nhà xuất bản giáo dục năm 2010.
[2]. Sách bài tập hình học 11 của nhà xuất bản giáo dục năm 2010.
[3]. SGK hình học nâng cao 11 của nhà xuất bản giáo dục năm 2010.
[4]. Sách bài tập hình học nâng cao 11 của nhà xuất bản giáo dục năm 2010.
[5]. Tài liệu sưu tầm trên mạng.

18