Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 10 thông qua một lớp bài toán áp dụng các tính chất của hàm

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực của học sinh trong
nhà trường THPT là mục tiêu đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay. Luật giáo dục
điều 28 đã ghi rõ: “Phương pháp dạy học phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với từng đặc điểm của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh”.
Trong dạy học môn Toán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được
hình thành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này
học sinh hoạt động tích cực để tìm tòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới. Trong
tác phẩm nổi tiếng “ Giải toán như thế nào”, G.Polya cho rằng: “Ví như dòng sông
nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có
nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta”. Là
giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ
bài toán mới về những bài toán quen thuộc, bài toán “khó” trở về bài toán “dễ” là
điều rất cần thiết và thiết thực.
Hơn nữa, kiến thức hàm số giữ một vị trí trung tâm trong chương trình toán ở
trường phổ thông, việc dạy và học toán đều xoay quanh nội dung kiến thức này.
Do vậy việc phát triển tư duy hàm cho học sinh ở trường phổ thông là rất cần thiết
đặc biệt ngay từ lớp 10, nó sẽ là tiền đề cho các em học sinh phát triển tư duy tốt
hơn khi giải toán hàm số ở chương trình lớp 11, lớp 12.
Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn
đề tài: “Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 10
thông qua một lớp bài toán áp dụng các tính chất của hàm số bậc hai’’ làm đề
tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2018– 2019. Rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài
được hoàn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về

quen thông qua một lớp các bài toán sử dụng các tính chất của hàm số bậc hai
nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những
năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
- Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Kỹ năng vận dụng kiến thức về hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài toán ở chương trình học lớp 10
sử dụng tính chất của hàm số bậc hai để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các
năng lực Toán học của học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1


Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa
Đại số 10 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Đại số 10- Nâng cao và Cơ bản, tài
liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng
lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò

quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả
năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết
Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bài toán sử dụng tính chất của
hàm số, học sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn.
Khi vận dụng phương pháp phù hợp, học sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bất
ngờ, đầy hứng thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học toán.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều
xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con
em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm, điều kiện
kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến
kết quả học tập của các em.
Trong chương trình toán lớp 10, Sử dụng tính chất hàm số bậc hai để giải
quyết các bài toán cực trị - bài toán chứa tham số…là một công cụ rất hiệu quả.
Tuy nhiên nhiều giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm
vụ cho học sinh một vài bài bài tập cụ thể mà chưa khai thác kiến thức ở nhiều
dạng toán khác nhau, chưa thể hiện rõ được vai trò quan trọng của hàm số trong
chương trình. Ngoài ra số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần này ở
lớp 10 rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học.
Kỹ năng giải toán còn chậm; Khả năng phát hiện vấn đề nảy sinh trên cơ sở
đã có, khả năng quy lạ về quen còn nhiều hạn chế. Do đó học sinh gặp nhiều lúng
túng, sai lầm khi gặp các bài toán có sự thay đổi dạng.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức cần dùng cho học sinh.
f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
D
*) GTLN, GTNN của hàm số
trên tập
f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
*) Cho hàm số

f ( x) = m
+) Số nghiệm của phương trình
phụ thuộc vào số giao điểm của đồ
y = f ( x)
y=m
thị hàm số
với đường thẳng
max f ( x) ≥ m
f ( x) ≥ m
x∈D
D
+) Bất phương trình
có nghiệm
khi
min f ( x) ≤ m
f ( x) ≤ m
x∈D
D
+) Bất phương trình
có nghiệm
khi
min f ( x) ≥ m
f ( x) ≥ m
∀x ∈ D
D
+) Bất phương trình
nhận
là nghiệm khi
3

f ( x) ≤ m

∀x ∈ D

max f ( x) ≤ m
D

+) Bất phương trình
nhận
là nghiệm khi
2.3.2. Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh phương pháp tư duy quy lạ
về quen thông qua một số dạng bài tập:
2.3.2.1. Dạng 1: Giải biện luận phương trình chứa tham số bằng phương
pháp cô lập tham số và lập BBT của hàm số bậc 2
 Tư tưởng:
f ( t ) = g ( m) ,
- Cô lập tham số để biến đ ổi phương trình về dạng
với
t = t ( x) ∈ D ⊂ ¡ , f ( t )
là hàm số bậc 2. Đưa bài toán về tìm GTLN, GTNN của
hàm số bậc hai
 Các ví dụ minh họa:

x2 − 2 x + m − 3 = 0

m

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình

x ∈ [ 0;5]
có nghiệm
.
m≤4
-4 ≤ m ≤ 12
-12 ≤ m ≤ 4
-12A.
B.
C.
D.
GV định hướng: Cô lập tham số m, chuyển bài toán về sự tương giao của 2 đồ thị
hàm số
PT ⇔ x 2 − 2 x − 3 = −m ( 1)

( 1)

y = x2 − 2 x − 3

Số nghiệm của phương trình
là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = −m
với đường thẳng
x ∈ [ 0;5]
( 1)
y = −m
Phương trình
có nghiệm
thì đường thẳng
cắt đồ thị hàm số

2
y = x − 2x − 3
[ 0;5]
trên
y = x2 − 2x − 3
[ 0;5]
Lập BBT của hàm số
trên
ta được kết quả: Đáp án C
m
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình:
2 x 2 − 7 x + m − x + 2 = 0 ( 1)

m≤
A.

25
4

B.

có nghiệm.

m ≥ −6

C.

m≤6

D.

m < −6

4


f ( x) = g ( x)
Đây là phương trình vô tỷ dạng cơ bản
trình để đưa về dạng quen thuộc.

, học sinh biến đổi phương

x≥2

PT (1) ⇔ 2 x 2 − 7 x + m = x − 2 ⇔  2
 x − 3 x − 4 = −m (2)

Phương trình

( 1)

có nghiệm khi phương trình

( 2)

có nghiệm

x≥2

.

( 2)

m

Bài toán trở thành: Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình
có
x≥2
nghiệm
.
y = x 2 − 3x − 4
[ 2;+∞ )
Từ BBT của hàm số
trên
, ta có để phương trình có nghiệm
−m ≥ −6 ⇔ m ≤ 6
thì
Các sai lầm của học sinh khi chọn đáp án sai
- Học sinh chọn đáp án A vì không chú ý đến điều kiện tương đương, biến đổi hệ
quả mà vẫn cho là tương đương.
PT ⇔ 2 x 2 − 7 x + m = x 2 − 4 x + 4 ⇔ x 2 − 3x − 4 = −m ( 2 )
Lập luận: PT

( 1)

có nghiệm khi PT

( 2)

có nghiệm.

m

- Học sinh chọn đáp án B vì không chú ý đến dấu của tham số .
- Học sinh chọn đáp án D vì không cẩn thận.
m
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình:
x 2 − 4 x − 2 x 2 − 4 x + 5 − m + 1 = 0 ( 1)

-5 ≤ m ≤ 6 − 2 10

A.
Hướng dẫn:
Đặt

t = x2 − 4x + 5

B.

m ≥ -5

điều kiện

x ∈ [ 0;5]

có nghiệm
-5 ≤ m ≤ 76

C.

D.

-5 ≤ m ≤ 11

1 ≤ t ≤ 10

t
(GV lưu ý cho học sinh cách tìm điều kiện của biến mới : Lập BBT của hàm số
y = x2 − 4 x + 5
[ 0;5]
trên
)

5


Bài toán trở về dạng quen thuộc: Tìm tất cả các giá trị của tham số
t ∈ 1; 10 
t 2 − 2t − 4 = m
trình
có nghiệm
.
Xét hàm số

f (t ) = t 2 − 2t − 4

trên

Dựa vào BBT của hàm số
-5 ≤ m ≤ 6 − 2 10

1; 10 



m

để phương

.

f (t ) = t 2 − 2t − 4

trên

1; 10 



, ta có kết quả:

Lời bình: Để bài toán trở về với dạng quen thuộc thì học sinh chỉ cần đặt ẩn phụ
t = x2 − 4 x + 5
Vấn đề đặt ra ở đây là nhiều học sinh vẫn còn lựa chọn sai đáp án, GV cần phân
tích chỉ ra những lỗi sai cho học sinh , từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh.
t
x
- Học sinh không tìm điều kiện cho ẩn mà sử dụng điều kiện của ẩn , sẽ

chọn đáp án D
t≥0
- Học sinh lấy điều kiện
, chọn đáp án B
y = x2 − 4 x + 5
[ 0;5]
- Học sinh biết cách xét hàm số
trên
để lấy điều kiện
t
1 ≤ t ≤ 10
của nhưng quên lấy căn mà điều kiện
, chọn đáp án C.
m
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên không dương của tham số
để phương
1  
1

2  x 2 + 2 ÷+ 3  x + ÷ − 2m + 1 = 0
x  
x

trình
có nghiệm.
0
3
1
2
A.

D.
B.
C.
Hướng dẫn:
1
t = x+
x
t ≤ −2
t ≥ 2.
Đặt
. Điều kiện
hoặc
m
2t 2 + 3t − 3 = 2m
Bài toán trở thành: Tìm
để phương trình
có nghiệm
t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ )
.

6


Dựa vào BBT của hàm số
1
m≥−
2

f ( t ) = 2t 2 + 3t − 3

(x

2

trên

( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ )

, ta có kết quả:

+ 4 x + 2 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) = m ( 1)

Ví dụ 5: Cho phương trình:
.
( 1)
m
Tìm
để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt.
9
9
9
9
m≥−
− < m ≤ −2
− < m < −2
m>−
4
4
4

4
A.
B.
C.
D.
Lời bình: Ở bài toán này nếu không khéo léo thì học sinh sẽ nhân tung ra thành
phương trình bậc 4 đầy đủ, khi đó bài toán trở nên phức tạp. Giáo viên cần định
hướng giúp học sinh phát hiện vấn đề và đưa bài toán trở về dạng quen thuộc.
t 2 + 3t = m ( 2 )
t = x2 + 4 x + 2
Đặt
. Phương trình trở thành
.
?1. Điều kiện của t ?
t = x2 + 4 x + 2
t ≥ −2
R
Lập BBT của hàm số
trên , từ đó suy ra điều kiện
( 2)
t ≥ −2
?2. Xác định điều kiện để phương trình
có nghiệm
.
t
GV hướng dẫn, gợi ý: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì cần tìm ĐK của
t
x
để mỗi cho 2 giá trị phân biệt
Lời giải:

t 2 + 3t = m ( 2 )
t = x 2 + 4 x + 2 (t ≥ −2)
Đặt
. Phương trình trở thành
.
t = −2
x = −2
Nhận thấy: +) Với
thì cho ta một giá trị của
.
t > −2
t
+) Với
thì mỗi giá trị của cho ta 2 giá trị của x.
( 1)
( 2)
Để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình
có 2 nghiệm
t > −2
phân biệt
9
− < m ≤ −2
2
f (t ) = t + 3t
4
Dựa vào BBT của hàm số
, ta có kết quả:
7

m ∈ [ −10;10]

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên
3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1
có nghiệm.
10
1
11
A.
B.
C.
Hướng dẫn:
∀x ≥ 1.
ĐKXĐ:

Chia 2 vế của phương trình cho
0 ≤ t <1
phụ là
.
Tìm m để PT

x +1

để phương trình :

D.

t=

và đặt

m = −3t 2 + 2t

4

x −1
x +1

2

, với điều kiện của ẩn

t ∈ [ 0;1)

có nghiệm

.Lập BBT của

Bài toán trở thành:
f ( t ) = −3t + 2t
2

hàm số

trên

[ 0;1)

sẽ được điều kiện của

m

−1 < m ≤
là:

1
3

Nhận xét:
Qua các ví dụ trên học sinh chỉ cần khéo léo, linh hoạt một chút thì bài toán
trở nên quen thuộc và các em không còn bị lúng túng khi giải quyết vấn đề.
Đối với những bài toán mà ta có thể tách tham số độc lập với biến số thì ta
nên sử dụng tính chất liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(phương pháp hàm số)
Tổng quát:
min f ( x) ≤ g (m) ≤ max f ( x)
f ( x ) = g (m )
x∈D
D
D
Phương trình
có nghiệm
khi
.
Bài tập rèn luyện:
x 2 + 4 x − 2m − 3 = 0.
Bài 1: Cho phương trình
m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc
[ −3;1)
.
9
0
4
1
A.
C.
B.
D.
Bài 2: Cho phương trình

x2 + 2 x − 4 x2 + 2 x + 3 + m − 5 = 0

.
8


x ∈ ( −1;5 )

m

Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình có nghiệm
.
m ≤ 12
m ≥ −12
−12 ≤ m < 30 − 4 38
4 38 − 30 < m ≤ 12

B.
C.
A.
D.

(x

2

+ 4 x + 2 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) = m ( 1)

Bài 3: Cho phương trình:
( 1)
m
Tìm
để phương trình
có 2 nghiệm phân biệt.
m > −2
9
 m > −2
m≥−
C.

4
9
m = −
A.

4
B.

Bài 4: Cho phương trình:

(x

2

.

− 2 x + 5 ) ( x 2 − 2 x − 5 ) = m − 1 ( 1)

( 1)

m

Tìm
để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt.
m > −24
m > −23
−24 < m < −23
A.
B.
C.
Bài 5: Tìm
nghiệm.
49
m≤
3
A.

m

để phương trình
B.

D.

m ≥ −2

.

D.

−24 < m ≤ −23

2 x 2 − 2 x + 5 − 3 ( x 2 − 2 x ) − 3m + 1 = 0

m≤8

m≤
C.

49
9

Bài 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số

m≤
D.
m

có

8
3

để phương trình

2

 x2 
2 x2
+m=0

÷ +
 x −1  x −1

có đúng bốn nghiệm?
1
2
D. Vô số
B.
C.
A.
m ∈ [ −2019;2019]
Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên
để phương trình
2 x2 − 8x + 2 − x 2 + 4 x + 5 − m = 0
có đúng 4 nghiệm phân biệt.
0

 2010
2009
1
B.
A.
C.
D.
m
Bài 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình sau có nghiệm:

0

9


x 2 − 3 x + 2m = x + m

( Đề thi thử THPTQG lần 2 của trường chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai)
A. 10
B. 9
C. vô số
D. 8
x∈D
2.3.2.2. Dạng 2: Bất phương trình chứa tham số có nghiệm
 Tư tưởng:
- Cô lập tham số để biến đổi bất phương trình về dạng
f ( t ) ≥ g ( m) , f ( t ) ≤ g ( m)
t = t ( x) ∈ D ⊂ ¡ , f ( t )
với
là hàm số bậc 2. Đưa bài

toán về tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai.
- Ở dạng này, học sinh tiếp cận và khắc sâu nội dung kiến thức:
max f ( x) ≥ m
f ( x) ≥ m
x∈D
D
+) Bất phương trình
có nghiệm
khi
min f ( x) ≤ m
f ( x) ≤ m
x∈D
D
+) Bất phương trình
có nghiệm
khi
 Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của

m

để bất phương trình
x − 5x ≤ 0

x 2 − 2 x − 2m + 1 ≥ 0

có

2

nghiệm thỏa mãn bất phương trình
m≤8
0≤ m≤8
m ≤ 16
A.
B.
.
C.
.
2
2
x − 2 x − 2m + 1 ≥ 0 ⇔ x − 2 x + 1 ≥ 2m ( 1)
Hướng dẫn:
max f ( x ) ≥ 2m
1
x ∈ 0;5

( )

Bất phương trình
f ( x) = x 2 − 2 x + 1

có nghiệm

[

]

thì

f ( x) = x 2 − 2 x + 1

[ 0;5]

D.

0 ≤ m ≤ 16

.

với

[ 0;5]

2m ≤ 16 ⇔ m ≤ 8

Dựa vào BBT của hàm số
trên
, ta có:
.
Lỗi sai của học sinh khi chọn các đáp án:
- Học sinh chọn đáp án B vì nhầm với điều kiện có nghiệm của phươngtrình
2m
- Học sinh chọn đáp án C vì không chú ý đến VP là
.
- Học sinh chọn đáp án D vì nhầm với điều kiện có nghiệm của phươngtrình và
2m
không chú ý đến VP là
.

10


Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của
x ∈ ( 0;3)
x 2 − 4 x 2 + 1 − 2m − 3 ≤ 0
có nghiệm
A.

m ≥ −8.

B.

m ≥ −4

m

để bất phương trình

−8 ≤ m < 1.

C.

D.

Hướng dẫn:
Đặt ẩn phụ

(

t ∈ 1; 10

t = x2 + 1

1
−4 ≤ m < .
2

)

và xác định điều kiện của ẩn mới
.
2
t − 4t − 2m − 4 ≤ 0 ( 2 )
m
Bài toán trở thành: Tìm
để bất phương trình
có

(

t ∈ 1; 10
nghiệm

)

Bpt (2) có nghiệm

.

Bpt ( 2 ) ⇔ t 2 − 4t − 4 ≤ 2m

(

)

t ∈ 1; 10 ⇔ min f ( x) ≤ 2m
( 1; 10 )

Dựa vào BBT của hàm số
2m ≥ −8 ⇔ m ≥ −4
.

f (t ) = t 2 − 4t − 4

Ví dụ 3: Cho bất phương trình

ĐK

x ≥1
t=

Đặt

4

.
x −1
x +1

trên

.

( 1; 10 )

, ta có:

x − 1 + m x + 1 ≥ 2 4 x2 −1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của
nghiệm.
2020
2018
A.
B.
Hướng dẫn:
BPT ⇔

.

m ∈ [ −2019;2019]

C.

2019

để bất phương trình có
D.

2021

x −1
x −1
+ m ≥ 24
(1)
x +1
x +1

(0 ≤ t < 1)

. Bất phương trình trở thành

Bài toán trở thành: Tìm tất cả các giá trị của

m

t 2 − 2t ≥ − m (2)

để bpt (2) có nghiệm

t ∈ [ 0;1)

.
11


BBT của hàm số

f (t ) = t 2 − 2t

[ 0;1)

trên

Dựa vào BBT, để bpt (2) có nghiệm
max f (t ) ≥ − m ⇒ − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 0
[ 0;1)

(x

t ∈ [ 0;1)

. Vậy có
2

thì

2020

giá trị của

m ∈ [ −2019;2019]

− 1) ( x 2 + 4 x + 3) ≤ m ( 1)

Ví dụ 4: Cho bất phương trình:
.
m
Tìm tất cả các giá trị của

để bất phương trình có nghiệm.
m ≥ −16
m < −16
A.
.
B.
∀m ∈ R
C. Không có giá trị của m.
D.
Ở ví dụ này nhiều học sinh không nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đưa về dạng quen
thuộc vì cho rằng hai biểu thức ở hai nhân tử không có gì liên quan và ràng buộc.
Giáo viên hướng dẫn gợi mở cho học sinh thấy được điểm mấu chốt của bài toán,
từ đó để các em thấy được sự xuất hiện của bài toán quen thuộc trong bài toán
“khó” này.
Hướng dẫn:
Phân tích:
( x 2 − 1) ( x2 + 4 x + 3) = ( x − 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = ( x 2 + 4 x − 5 ) ( x 2 + 4 x + 3)
Đặt

t = x2 + 4 x − 5

. Với

Bài toán trở thành: Tìm

x∈R
m

thì

t ∈ [ −9; +∞ )
f (t ) = t 2 + 8t ≤ m

để bpt
f (t ) = t 2 + 8t

Dựa vào BBT của hàm số
trên
min f (t ) ≤ m ⇒ m ≥ −16
có nghiệm thì

[ −9; +∞ )

có nghiệm

t ∈ [ −9; +∞ )

, ta có để bất phương trình

[ −9;+∞ )

m ∈ ( −2019;2019 )

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

x − 6 ≥ x2 − 5x + 9

 2
2
( x − 3 x + 2 ) ( x − 7 x + 12 ) ≤ 2m + 1

trình:
có nghiệm.
A. 2010
B. 2018
C. 2019
Hướng dẫn:

để hệ bất phương

D. 2020
12


(1) ⇔ 1 ≤ x ≤ 3
(2) ⇔ ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) ≤ 2m + 1⇔ ( x 2 − 5 x + 4)( x 2 − 5 x + 6) ≤ 2m + 1) (*)

Đặt

 9 
t
∈
 − 4 ;0 
2
t = x − 5 x + 4.

Bất phương trình (*) trở thành

Bài toán trở thành : Có bao nhiêu giá trị nguyên của

f (t ) = t + 2t ≤ 2m + 1

2

phương trình

có nghiệm

t.(t + 2) ≤ 2m + 1

m ∈ ( −2019;2019 )

để bất

 9 
t ∈  − ;0 
 4 

min f (t ) ≤ 2m + 1 ⇔ f ( −1) ≤ 2m + 1 ⇔ −1 ≤ 2m + 1 ⇔ m ≥ −1.

 9 
 − 4 ;0 

Vì

m ∈ ( −2019;2019 )

nên có 2019 giá trị nguyên của

m

.

Bài tập rèn luyện:

x2 − 2x − m − 5 > 0

Bài 1: Cho bất phương trình:
. Có bao nhiêu giá trị nguyên
x ∈ [ 0;5]
m
dương của
để bất phương trình có nghiệm
A. 11
B. 16
C. 9
D. 10

(x

2

+ 4 x + 2 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) < m ( 1)

Bài 2: Cho bất phương trình:
.
m
Tìm tất cả các giá trị của
để bất phương trình có nghiệm.
−9
m>
∀m ∈ R

m < −2.
4
A.
B.
C.
D. Không có giá trị của m.
m
Bài 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên không dương của
để bất phương trình
2
2
x ∈ [ 2;7 )
x − 4x − 2 x − 4x + 4 + m − 2 ≥ 0
có nghiệm
.
8
m ≥ 10
9
11
D.
A.
B.
C.
13


2

 x2 
4 x2

+ m + 1 ≤ 0 (1)

÷ −
 x −1 x −1

Bài 4: Cho bất phương trình:
.
m
Tìm tất cả các giá trị của
để bất phương trình có nghiệm.
∀m
m ≤ −1
m≤3
m
A.
B.
C.
D. Không có giá trị của .

(x

2

+ 4 x + 2 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) ≥ m ( 1)

Bài 5: Cho bất phương trình:
.
m
Tìm tất cả các giá trị của
để bất phương trình có nghiệm.

9
m≥−
m ≤ −2
m
4
.
B.
C.
Không
có
giá
trị
của
.
A.
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của
x ∈ ( 0;3)
có nghiệm
.
A.

m ≤1

.

B.

m

để bất phương trình

m < 1.

m≤
C.

D.

∀m ∈ R

x 2 − 4 x 2 + 1 − 2m − 3 ≥ 0

1
2

1
m< .
2

D.
∀x ∈ D
2.3.2.3. Dạng 3: Bất phương trình chứa tham số nhận
là nghiệm.
 Tư tưởng:
- Cô lập tham số để biến đổi bất phương trình về dạng
f ( t ) ≥ g ( m) , f ( t ) ≤ g ( m)
t = t ( x) ∈ D ⊂ ¡ , f ( t )
với
là hàm số bậc 2. Đưa bài
toán về tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai.

- Ở dạng này, học sinh tiếp cận và khắc sâu nội dung kiến thức:
min f ( x) ≥ m
f ( x) ≥ m
∀x ∈ D
D
+) Bất phương trình
nhận
là nghiệm khi
max f ( x) ≤ m
f ( x) ≤ m
∀x ∈ D
D
+) Bất phương trình
nhận
là nghiệm khi
 Các ví dụ minh họa:

m

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của
để bất phương trình
∀x ∈ [ 0;5]
là nghiệm.
m < 4.
4 ≤ m ≤ 20.
m ≤ 20.
A.
B.
C.

x2 − 2x − m + 5 > 0

D.

nhận

m > 4.
14


Lỗi sai của học sinh khi chọn đáp án sai:
- Học sinh chọn đáp án B vì nhầm với điều kiện có nghiệm của phươngtrình
- Học sinh chọn đáp án C vì nhầm với điều kiện để bất phương trình có nghiệm
- Học sinh chọn đáp án D vì nhớ nhầm điều kiện
Hướng dẫn:
Bpt ⇔ x 2 − 2 x + 5 > m

Bpt nhận

min f ( x) > m

∀x ∈ [ 0;5]

[ 0;5]

f ( x) = x 2 − 2 x + 5

là nghiệm khi và chỉ khi
với
f ( x) = x 2 − 2 x + 5

[ 0;5]
m<4
Dựa vào BBT của hàm số
trên
, ta có kết quả
m ∈ [ −2019;2019]
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để bất phương trình
∀x ∈ [ 0;5]
x 2 + 2 x − 4 x 2 + 2 x + 1 − 2m ≤ 0
nhận
là nghiệm.
2015
2024
2021
2014
A.
.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:
x ∈ [ 0;5]
t ∈ [ 1;6]
t = x2 − 2 x + 1
Đặt
. Với
thì
.
∀t ∈ [ 1;6]

m
t 2 − 4t − 1 ≤ 2m
Bài toán trở thành: Tìm
để bpt
nhận
là nghiệm.
y = t 2 − 4t − 1
[ 1;6]
Dựa vào BBT của hàm số
trên
11
max
y
≤
2
m
⇔
m
≥
∀t ∈ [ 1;6]
[ 1;6]
2
t 2 − 4t − 1 ≤ 2 m
Để bpt
nhận
là nghiệm thì
.
2014
Có
giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 3: Cho bất phương trình
Tìm tất cả các giá trị của
A.

m≥4

m

1 − x + 8 + x − 4 ( 1 − x) ( 8 + x) − m + 1 ≥ 0

để bất phương trình nhận
151
m≥
m ≥ 3 2 − 17
8
B.
C.

∀x ∈ [ −8;1]

là nghiệm.

D.

m ≤ 3 2 − 17

Hướng dẫn:
15

t = 1− x + x + 8

(3 ≤ t ≤ 3 2)

Đặt
Bất phương trình trở thành:

.
t − 2(t 2 − 9) + 1 ≥ m

m
Bài toán trở thành: Tìm tất cả các giá trị của
để bất phương trình
∀t ∈ 3;3 2 
t − 2(t 2 − 9) + 1 ≥ m
nhận
là nghiệm
3;3 2 
f (t ) = −2t 2 + t + 19


Dựa vào BBT của hàm số
trên
, ta có để bất phương
∀t ∈ 3;3 2 
t − 2(t 2 − 9) + 1 ≥ m
trình
nhận
là nghiệm thì :
min f (t ) ≥ m ⇒ m ≤ 3 2 − 17

3;3 2 



Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của

m

để bất phương trình:

2

4x
4x
+
+2−m>0
2
4
1 + 2x + x 1 + x2

nhận

∀x ∈ [ −1;1]

là nghiệm.

A. 2
B. 1
C. 5
D. 6

Hướng dẫn:
2x
t= 2
x + 1 t ∈ [ −1;1]
t 2 + 2t + 2 > m
Đặt
. Bất phương trình trở thành:
m
Bài toán trở thành: Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của để bất phương
∀t ∈ [ −1;1]
t 2 + 2t + 2 > m
trình
nhận
là nghiệm.
∀t ∈ [ −1;1]
f (t ) = t 2 + 2t + 2 > m
Để bất phương trình
nhận
là nghiệm thì
min f (t ) > m
[ −1;1]

Dựa vào BBT của hàm số

f (t ) = t 2 + 2t + 2

[ −1;1]

m <1

trên
, ta có:
.
m ∈ [ −2019;2019]
Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên
để bất phương trình
2 x 2 − 5 x + 4 ≤ ( x 2 − 5 x ) + 8 ( x 2 − 5 x ) + 12 + m
2

nhận

∀x ∈ [ 1;4 ]

là nghiệm.
16


A. 2015
Hướng dẫn:
Ta có:

(x

2

B. 2016

C. 2017

D. 4039

− 5x ) + 8( x2 − 5x ) = ( x2 − 5x + 4 ) − 4
2

2

9

0 ≤ t ≤ ÷
4

−t 2 + 2t ≤ m − 4
Đặt
. Bất phương trình trở thành:
m ∈ [ −2019;2019]
Bài toán trở thành: Có bao nhiêu giá trị nguyên
để bất phương
 9
∀
t
∈
0; 4 
−t 2 + 2t ≤ m − 4
trình
nhận
là nghiệm.
 9
∀t ∈ 0; 
2
 4

−t + 2t ≤ m − 4
Để bất phương trình
nhận
là nghiệm thì :
max f (t ) ≤ m − 4
t = x2 − 5x + 4

 9
0; 4 

.
f ( t ) = −t + 2t
2

Dựa vào BBT của hàm số
Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số
1  
1

2  x 2 + 2 ÷ − 3  x + ÷ − 2m + 1 ≥ 0
x  
x


m≤−
A.

1

2

m≥−
B.

1
2

nhận

trên

m

 9
0; 4 

, ta có

m − 4 ≥1⇔ m ≥ 5

để bất phương trình

∀x ≠ 0

C.

là nghiệm.

m ≤ −1

m
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của
để bất phương trình
2
∀x
x − 5x ≤ 0
thỏa mãn bất phương trình
là nghiệm.
m≤0
m≤8
0≤ m≤8
A.
B.
C.
m
Bài 3: Tìm
để bất phương trình

m≤

11
2

D.
x 2 − 2 x − 2m + 1 ≥ 0

D.

nhận

m≥8

17


−3

( 2 − x) ( 4 + x) + (

A.

m≤6− 3

)

2 − x + 4 + x + 2m − 3 ≥ 0

B.

m≥6− 3

m
Bài 4: Tìm
để bất phương trình
∀x ∈ R
là nghiệm.
m>
A.

8
3

m≥
B.

nhận

8
3

m≤

∀x ∈ [ −4;2]

3− 6
2

là nghiệm.

m≥

3− 6
2

C.
D.
2 x 2 − 2 x + 5 − 3 ( x 2 − 2 x ) − 3m + 1 < 0

m<

C.

8
3

m≤
D.

nhận

8
3

2

 x2 
6 x2
− 2m + 3 > 0 (1)

÷ −
x
−
1
x
−
1



Bài 5: Cho bất phương trình

m
∀x ≠ 1
Tìm tất cả các giá trị của để bất phương trình nhận
là nghiệm.
5
5
m≥−
m<−
∀m
m ≤ −3
2
2
C.
D.
A.
B.
x + 3 ≤ x2 + 6x + m
m
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của
để bất phương trình:
nhận
∀x ∈ R
là nghiệm.
37
37
37
m≥9
m≥
m>
m≤

4
4
4
C.
A.
B.
D.
Lời bình:
Ba dạng toán trên, ở ví dụ 1 là bài toán cơ bản, thông qua ví dụ 1 để học
sinh tạo nên những thao tác cần thiết cho giải các bài toán khác. Khi học sinh đã
hình thành các thao tác giải toán cơ bản thì GV cần nâng dần mức độ yêu cầu của
dạng toán. Đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ, tìm tòi vận dụng kiến thức, kỹ năng
thao tác giải bài tập cơ bản để giải các bài tập ở mức độ cao hơn, đó là các bài
phân hoá với sự đa dạng phức tạp.
Quá trình làm bài tập để lựa chọn đáp án của bài toán còn nhiều học sinh
mắc sai lầm trong lời giải, do đó GV cần phân tích chỉ ra những lỗi sai cơ bản
cho học sinh, từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh.
2.3.2.4. Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
 Tư tưởng:
18


- Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách “dồn biến” đưa về tìm
GTLN, GTNN của hàm số bậc hai trên một đoạn hoặc một khoảng
 Các ví dụ minh họa:
a, b
ab ≠ 0
Ví dụ 1: Cho các số thực
thoả mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2
2
a
b a b
P = 2 + 2 − − +1
b
a b a
thức:
.
5
3
min P = 3
min P = −
min P =
min P = 1
4
4
B.
C.
A.
D.
Hướng dẫn:
a b a b
a b
a b
t = + = + ≥2
. =2
t= +
b
a

b
a
b
a
b a
Đặt
. Ta có
,
2
2
2
2
a
b
a
b
t2 = 2 + 2 + 2 ⇒ 2 + 2 = t2 − 2
b
a
b
a
Ta có

P = t2 − 2 − t + 1 = t2 − t −1

.

Bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ )
Từ bảng biến thiên của hàm số

min P =
ta có

min

( −∞ ;−2] ∪[ 2;+∞ )

f (t ) = t 2 − t − 1

f (t ) = 1
khi

t=2

hay

f (t ) = t 2 − t − 1

trên

( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ )

trên
a b
2= + ⇔a=b
b a

.
a+b+c =3

a , b, c
Ví dụ 2: Cho các số thực không âm
thỏa mãn điều kiện
M ,m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 4(ab + ac + bc) + 3

:

. Gọi

2

−16
A.
Hướng dẫn:
Ta có

B.

32

. Tính giá trị
68
C.

M +m
D.

84

1
0 ≤ ab + ac + bc ≤ (a + b + c ) 2 = 3
3

19


t ∈ [ 0;3]

t = ab + ac + bc

Đặt
thì
và
2
2
2
2
a + b + c = (a + b + c) − 2(ab + ac + bc) = 9 − 2t
Khi đó

P = f (t ) = (9 − 2t ) 2 − 4t + 3 = 4t 2 − 40t + 84, t ∈ [ 0;3]

Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
[ 0;3]
Dựa vào BBT của hàm số
min P = min f ( t ) = 0
[ 0;3]

, khi

f (t ) = 4t 2 − 40t + 84

M + m = 84

[ 0;3]

trên

, ta có:

t = 3⇒ a = b = c =1

max P = max f ( t ) = 84
[ 0;3]

trên

f (t ) = 4t 2 − 40t + 84

, khi

a = 3

t = 0 ⇒ b = 0
c = 0


hoặc

a = 0

b = 3
c = 0


hoặc

a = 0

b = 0
c = 3


Ta có:
Nhận xét: Khi thực hành “ dồn biến” ta phải chú ý đến điều kiện ràng buộc
( điều kiện của bài toán) và khéo léo đánh giá điều kiện của biến mới.
x2 + y 2
xy
≤
x, y ∈ R
x 2 + y 2 ≥ 2 xy
2
Một số đánh giá cơ bản: Với
ta có:
;
2
x+ y

xy ≤ 
÷
x, y
 2 
Với
không âm, ta có:
x, y
x 2 + y 2 = 1 + xy
Ví dụ 3: Cho các số
thoả mãn:
. Gọi GTLN, GTNN của biểu
4
4
2 2
P=x +y −x y
M ,m
2 M + 9m
thức:
lần lượt là
. Tính giá trị
.
3
8
4
12
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:

2
P = ( x 2 + y 2 ) 2 − 3x 2 y 2 = ( 1 + xy ) − 3x 2 y 2 = −2 x 2 y 2 + 2 xy + 1
Ta có
t = xy
P = −2t 2 + 2t + 1
Đặt
, khi đó

20


Vì

 x 2 + y 2 ≥ 2 xy
 2
2
 x + y ≥ −2 xy

1
− ≤ t ≤1
3

. Do đó
.
2
f (t ) = −2t + 2t + 1
m
M
Bài toán trở thành: Tìm GTLN là
, GTNN là của

trên
 1 
 − 3 ;1
2 M + 9m
. Tính giá trị
 1 
2
 − 3 ;1
f (t ) = −2t + 2t + 1
Dựa vào BBT của hàm số
trên
, ta có:
1
3
min f (t ) = ≤ P ≤ max f (t ) =
 1 
 1 
9
2
 − 3 ;12
 − 3;1
2 M + 9m = 4
. Ta có:
x, y
2( x 2 + y 2 ) = xy + 1
Ví dụ 4: Cho
là các số thực thoả mãn:
.
4
4

2 2
P = 7( x + y ) + 4 x y
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức :
.
( Đề thi HSG lớp 10 năm học 2018- 2019 .Tỉnh Hà Nam)
189
70
70



 max P = 2
max
P
=
max
P
=
max
P
=




66
33
33

69




min P =

50

 min P = 7
 min P = 18
 min P = 69
D.



50
25
4


A.
B.
C.
Hướng dẫn:
2
7( x 4 + y 4 ) + 4 x 2 y 2 = 7 ( x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y 2  + 4 x 2 y 2


Ta có:
 xy + 1  2


1
1
2
2 2
2 2
2
= 7 
−
2
x
y
 + 4 x y =  −33 ( xy ) + 14 xy + 7  = ( −33t + 14t + 7 ) ,
÷
4
4
 2 

i

t = xy

nên

 1 + xy ≥ 2 xy
1
⇒ − ≤ xy ≤ 1

3
1 + xy ≥ −2 xy

vớ

.

xy + 1 = 2( x 2 + y 2 ) ≥ 4 xy ⇒ xy ≤
Ta có

1
3

2( x 2 + y 2 ) = xy + 1 ⇔ 2 ( x + y ) = 5 xy + 1 ⇒ xy ≥ −
2

Mặt khác

1
5

21


f ( t) =
Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
 1 1
 − 5 ; 3 
trên
1
f ( t ) = ( −33t 2 + 14t + 7 )
4
Dựa vào BBT của hàm số

trên
70
7
18
1
max f ( t ) =
khi t =
min f ( t ) =
khi t = −
 1 1
33
33 − 1; 1 
25
5
− ; 
 5 3

,

 5 3

.

1
−33t 2 + 14t + 7 )
(
4

 1 1
 − 5 ; 3 

, ta có:

x + y =1

Ví dụ 5: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn
. Gọi giá
2
2
S = ( 4 x + 3 y ) ( 4 y + 3x ) + 25 xy
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
lần
M ,m
4 M + 16m
lượt là
. Tính giá trị
.
A. 251
B. 239
C. 295
D. 241
Hướng dẫn:
S = 16 x 2 y 2 + 12 ( x 3 + y 3 ) + 9 xy + 25 xy
x + y =1
Do
nên
3
2 2
= 16 x y + 12 ( x + y ) − 3 xy ( x + y )  + 34 xy = 26 x 2 y 2 − 2 xy + 12



.
2
t = xy
S = 16t − 2t + 12
Đặt
, ta được:
2
 1
x + y)
(
1
0 ≤ xy ≤
= ⇒ t ∈  0;  .
 4
4
4
Vì
f ( t ) = 16t 2 − 2t + 12
Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên
 1
0; 4 
.
 1
2
0; 4 
f ( t ) = 16t − 2t + 12
Dựa vào BBT của hàm số
trên đoạn

, ta có:
25
1
1 1
max S =
khi t= ⇒ ( x; y ) =  ; ÷ ⇒ M = 25
2
4
2 2
2
22



2+ 3 2− 3
;
( x; y ) = 
÷
4 
191
1

 4
min S =
khi t= ⇒ 
16
16
 ( x; y ) =  2 − 3 ; 2 + 3 

÷ ⇒ m = 191


4
4



16

4M + 16m = 241
Vậy:
Nhận xét:
Trong thực tế có một số bài toán nếu ta biết cách thay đổi hình thức của bài
toán thì sẽ dễ hơn hoặc có lời giải dễ hơn, từ đó tìm được phương án lựa chọn
nhanh hơn.
Việc rèn luyện giải toán có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn luyện khả
năng tìm lời giải của bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công
việc rèn luyện giải toán. Do vậy, khi dạy học sinh giải toán, giáo viên ngoài việc
cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư duy tìm
ra con đường hợp lý để giải toán.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó,
học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần xem xét đến mối
liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài toán.
Bài tập rèn luyện:
x, y
x2 + y 2 = x + y
Bài 1: Cho
là các số thực thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất, giá
3
3
2

2
P = x + y + x y + xy + x + y
trị nhỏ nhất của biểu thức
.
max P = 6
x
+
y
=
2
xy
=1⇒ x = y =1
t=2
Đáp số:
đạt được khi
hay
và
.
min P = 0
x= y=0
t =0
khi
hay
.
2
2
x, y
x + y = 1 + xy
Bài 2: Cho các số
thoả mãn:

.
1
3
≤ x4 + y 4 − x2 y 2 ≤
9
2
Chứng minh rằng
.
2 ( x 2 + y 2 ) = xy + 1
x, y
M
Bài 3: Cho
là các số thực thỏa mãn:
. Gọi
là GTLN và
4
4
2 2
P = 7( x + y ) + 4x y
m
33M + 25m
là GTNN của biểu thức:
. Tính
.
Đáp số: 88
2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2)
a, b
Bài 4: Cho các số thực dương
thỏa mãn
.

23


 a2 b2   a b 
P =  2 + 2 ÷− 3  + ÷− 2
a  b a
b

Tìm GTNN của biểu thức
a b
+ =3
Pmin = −4
b a
Đáp số:
khi
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm nghiệm theo các bước sau:
Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực
nghiệm trước khi tác động.
Bước 2: Thực hiện việc tác động đối với lớp đối chứng và lớp thực nghiệm.
Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm
sau khi tác động.
Cụ thể:
a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra học kì I môn Toán (90 phút) do
tổ chuyên môn ra đề, được tổ chức kiểm tra tập trung cho toàn khối, tổ chuyên
môn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:
Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động

Điểm
Lớp
Số bài
0–2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lớp đối
sl
0
2
3
7
9
16
7
1
0
chứng
45
35. 15.
%
0
4.4 6.6 15.6 20
2.2

0
-10B35
6
6
Lớp thực
sl
0
2
2
8
8
17
6
1
0
nghiệm – 44
18. 38. 13.
%
0
4.5
4.5
18.2
2.3
0
10D35
2
7
6
Bảng 2: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra trước khi tác động
Nội dung so sánh

Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm
10B35
10D35
Điểm trung bình
6.38
6.32
Chênh lệch điểm trung bình
0.06
Như thông tin trong các Bảng 1 và Bảng 2 đã chứng minh rằng, sự chênh lệch
điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước tác động là không
đáng kể, hai lớp được coi là tương đương .
b) Sau tác động: Tôi ra đề kiểm tra theo chuyên đề ôn tập (Phụ lục 2): Các bài
tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề thi khảo sát kiến thức thi
THPT Quốc Gia lớp 10 của một số trường THPT. Kết quả bài khảo sát kiến thức
về chuyên đề “ Phương trình – Bất phương trình chứa tham số” được thống kế như
sau:
24


Bảng 3: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra sau khi tác động
Lớp
Lớp đối
chứng 10B35

Số bài
sl
45 %

0-2

0

3
6

4
7

0

13.
3
0
0

15.
6
2
4.5

Điểm
5
6
14
10
31.
2
4
9.1

7
6

8
2

22. 13. 4.4
2
3
Lớp thực 44 sl
0
12
11
9
nghiệm
%
0
27. 24. 20.
3
9
5
Bảng 4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra sau khi tác động

9
0

10
0

0

0

5
11.4

1
2.3

Nội dung so sánh
Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm
Điểm trung bình
5.2
6.9
Độ lệch chuẩn
1.97
2.68
Chênh lệch giá trị trung
0.86
bình chuẩn (SMD)
Từ Bảng 3 và Bảng 4 cho thấy, sau tác động sự chêch lệch giữa điểm trung
bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết
quả điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn điểm trung bình của lớp đối
chứng là không phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. Kết quả của bài kiểm
tra sau tác động của lớp thực nghiệm 10D35 là điểm trung bình bằng 6.9 và kết
quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 10B35 là điểm trung bình bằng 5.2. Độ chênh
lệch điểm số giữa hai lớp là 1.7. Điều đó cho thấy điểm trung bình của lớp đối
chứng và lớp thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm
trung bình cao hơn lớp đối chứng.

2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chất
lượng giảng dạy môn Toán nói chung cũng như phân môn Đại số 10 của bản thân,
góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà
trường, đặc biệt là đã rèn luyện cho học sinh lớp 10 phương pháp tư duy quy lạ về
quen, tư duy logic, kỹ năng tính toán .

25