Sử dụng một số công thức giúp học sinh 12 trường THPT quan sơn làm được bài toán về thể tích khối chóp

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ năm 2017 môn toán thi THPT Quốc gia sẽ 100% trắc nghiệm (50 câu
hỏi và thời gian làm là 90 phút). Với sự thay đổi đó đòi hỏi mỗi giáo viên cần
xác định, lựa chọn nội dung và vận dụng phương pháp dạy học một cách phù
hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh, phát huy được tính chủ động, tích cực
của học sinh trong quá trình học, cũng như học sinh làm quen, làm được, làm
đúng, làm nhanh các bài tập trắc nghiệm.
Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong đó có
bài toán tính thể tích khối chóp là một phần rất quan trọng. Tuy nhiên thời lượng
học chương trình này lại rất ít. Bên cạnh đó nội dung trong sách giáo khoa chưa
phân được các dạng toán cụ thể và cũng đưa ra rất ít ví dụ cho học sinh. Điều
này đã gây khó khăn lớn với hầu hết học sinh khi làm bài tập tính thể tích các
khối chóp khác nhau, trong khi đó trường THPT Quan Sơn là trường miền núi
cao, chất lượng đầu vào thấp, học sinh không học được toán, đặc biệt là phần
hình học.
Từ những lý do trên cũng như kết quả đạt được khi thực dạy và kiểm tra
học sinh lớp 12A2, 12A5 trường THPT Quan Sơn năm học 2018-2019, tôi đưa
ra đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng một số công thức giúp học sinh lớp
12 trường THPT Quan Sơn làm được bài toán về thể tích khối chóp”.
Sáng kiến cụ thể đưa ra các dạng, các ví dụ và phương pháp giải các bài
toán tính thể tích khối chóp.
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế, xây dựng và sử dụng làm giáo án giảng dạy, ôn thi cho học sinh
khối 12 trường THPT Quan Sơn. Giúp học sinh hiểu và làm được các bài toán
về tính thể tích khối chóp.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng: Học sinh khối 12 trường THPT Quan Sơn, học sinh ôn thi
THPT Quốc gia.
1

3.2. Phạm vi: Trường THPT Quan Sơn.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
- Nghiên cứu về cấu trúc đề thi THPT Quốc gia năm 2017 và năm 2018.
- Nghiên cứu các đề thi thử THPT Quốc gia các trường THPT trên địa bàn
tỉnh Thanh Hóa.
- Nghiên cứu trình độ của học sinh trường THPT Quan Sơn.
4.2. Phương pháp chuyên gia
Gặp gỡ, trao đổi, thao giảng để tiếp thu ý kiến góp ý của các đồng nghiệp.
4.3. Phương pháp khảo sát thực tế
Thực dạy và kiểm tra các lớp 12A2, 12A5 năm học 2018-2019 trường
THPT Quan Sơn.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp này để thống kê, đánh giá kết quả thu được khi cho
học sinh các lớp khối 12 trường THPT Quan Sơn làm các bài toán về thể tích
của khối chóp.

2


PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
- Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không
gian, các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác:
- Một số dạng tính thể tích khối chóp:
V=

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công

1
B.h
3

(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với
các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:
VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC '
=
VSABC
SA.SB.SC

(A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công
thức thể tích khối chóp ABCD: V=

1
6

uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD



2. Thực trạng vấn đề
2.1. Thực trạng của giáo viên
Trường THPT Quan Sơn có 18 lớp và 4 giáo viên dạy toán. Mỗi giáo viên
có số tiết dạy nhiều, dạy nhiều lớp, nhiều khối gây khó khăn trong việc phân loại
và tiếp cận với từng đối tượng học sinh, ảnh hưởng đến quá trình soạn bài và
3

giảng bài. Bên cạnh đó do có sự điều động và luân chuyển giáo viên liên tục
cũng ảnh hưởng đến tâm lý giảng dạy của giáo viên.
2.2. Thực trạng của học sinh
Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Quan sơn, với phần đa
số là học sinh thuộc trung bình, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em đều không
hứng thú học hình không gian trong đó có phần tính thể tích khối chóp. Các em
gần như bỏ qua phần này hoặc chỉ học mang tính chất đối phó. Điều đó dẫn đến
các em không đạt yêu cầu khi giải các bài toán về thể tích khối chóp.
Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở lớp12A2 năm học 2018 - 2019 tại trường
THPT Quan Sơn về bài tính thể tích khối chóp ngay sau bài thể tích khối đa diện
với bài toán như sau:
Cho hình chóp đều S.ABCD có AB=a góc giữa mặt bên và đáy bằng 600.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Kết quả thu được như sau:

Lớp
12A

Sĩ số
41

Vẽ hình
đúng
12 (29,3%)

Xác định
được đường
cao

10 (24,4%)

Tính đúng

Trình bày

thể tích

đúng

7 (17,1%)

5 (12,2%)

2

Từ bảng trên ta thấy có đến hơn 70% học sinh không vẽ đúng hình, trên
75% học sinh không xác định được đường cao của hình chóp, trên 82% học sinh
không tính được thể tích và trên 87% học sinh không biết trình bày hoặc lập luận
chưa chính xác.
Từ thực trạng trên, để giúp các em có thể tiếp thu dễ dàng hơn các bài toán
tính thể tích khối chóp, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, sắp xếp, phân loại các dạng
toán về tính thể tích khối chóp.

4


3. Giải pháp giải quyết vấn đề
Bài giảng được thực hiện qua các tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn, ôn
tập hoặc phụ đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo phân phối chương

trình.
Cung cấp cho học sinh các dạng toán tính thể tích khối chóp (phương pháp,
ví dụ minh họa và bài tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ôn tập).
V=

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức

1
B.h
3

(1)

(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau
Trường hợp 1: Khối chóp đa giác đều.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy. Áp dụng công thức (1) để tính thể tích
khối chóp.
Một số ví dụ minh họa.
2

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a
,góc
0
tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 45 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
Lời giải:
⊥

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO (ABC)
nên SO là đường cao của hình chóp. Xét tam giác SOA vuông tại O có góc giữa
SA và mặt phẳng (ABC) là góc SAO =450.
Suy ra AO=SA.cosSAO=a, SO=SA.sin SAO=a. Gọi M là trung điểm của BC
Ta có :
AM=

S

3
3a
AM
AO = , AB =
=a 3
2
2
sin 600

SABC =

1
3 3a 2
AM .BC =
2
4

Thể tích khối chóp S.ABCD:

.
B

A
M

O
C

5


V=

1
a3 3
.SO.S ABC =
3
4

(đvtt)

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo
bởi mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, khi đó SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
hay SO là đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm của cạnh BC khi đó
⊥

⊥

OM BC và SM BC, góc giữa mặt phẳng

S

(SBC) và mặt phẳng (ABCD) là
góc SMO =600.
Xét tam giác SOM vuông tại O có

SO=OM.tan600=

D

C

a
a 3
. 3=
2
2

M
O
A

SABCD=AB2=a2.

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

B

1

a3 3
SO.S ABCD =
3
6

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh
bên và mặt đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Trường hợp 2: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính
thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
S
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC trong
đó SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC), SA=a, tam giác ABC có
S.ABC.

ˆ =α
A

Lời giải:
Ta có

SA ⊥ ( ABC )

và AB=b, AC=c. Tính thể tích khối chóp
C

a

nên SA

c

là đường cao của hình chóp S.ABC
A

α

b

B

6


S ABC =

1
bc sin α
AB. AC sin α =
2
2

.

Thể tích khối chóp S.ABC là:

V

=

=

1
SA.S ∆ABC
3

1 1
1
a. bc sin α = abc sin α
3 2
6

(đvtt)

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 600 .Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Lời giải:
S

Vì SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên SA là đường cao của hình

chóp S.ABCD.
Mặt khác AC=

AB 2 + AC 2 = a 2
A

D

AC là hình chiếu vuông góc của SC
trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC

Suy ra SCA =600 và SA=AC.tan SCA =

C

B

và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA
a 2

.tan600=

Diện tích đáy ABCD bằng SABCD=AB2=a2. V=

a 6

1
1
a3 6
SA.S ABCD = a 6.a 2 =

3
3
3

(đvtt)

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc,
SA=AB=AC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải:

Ta có

S

SA ⊥ AB
⇒ SA ⊥ ( ABC )

SA ⊥ AC
a

nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC

C
a
A
a
B

7

S ABC =

1
a2
AB. AC =
2
2

Thể tích khối chóp S.ABC là:

V=

1
SA.S ∆ABC
3

=

1 1 2 1 3
a. a = a
3 2
6

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
1) Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,AC đôi một vuông góc, SA=a,
AB=b, AC=c.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc

với mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết:
a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a.
b) Cạnh đáy AB=a

3

, AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 300.

Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với
mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vuông
góc với mặt đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính
thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc
với đáy. SA =a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=120 0. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD.
Lời giải: Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Ta có SABCD=2SACD mà

S

1
1 a2 3 a2 3
DA.DC.sin D =
=
2

2 2
4
2
a 3
⇒ S ABCD =
2
S ACD =

Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD
1
1 a 2 3 a3 3
V = SA.S ABCD = a.
=
3
3
4
12

A
B

D

C

(đvtt)
8


Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại

B, AB=BC=2a. Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể
tích khối chóp S.BCMN.
Lời giải:

S

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là
đường cao của hình chóp S.BCMN.

C
N

A

⊥

Vì AB BC (giả thiết) nên

M

⊥

B

SB BC (định lí ba đường vuông góc)
Và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA.

0

Suy ra SA=AB.tan SBA = 2a.tan60 = 2

3

a.

Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và
S BCMN =

3
3 1
3a 2
S ABC = . BA.BC =
4
4 2
2

Thể tích khối chóp S.BCMN: V=

1
.SA.S BCMN = a 3 3
3

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=a, hai
mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt đáy

bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Trường hợp 4: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa
mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông
góc với mặt đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính
thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .

9


Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Gọi
M là trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 450. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Lời giải:

S

Vì (SBM) và (SCM) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) nên SM vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SM là

B

A

đường cao của hình chóp S.ABCD.

600

M

Gọi N là trung điểm của BC ta có
D

MN là đường trung bình của hình vuông ABCD nên MN
và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

⊥

N

C

BC suy ra SN

⊥

BC

(ABCD) là góc SNM= 450. Ta có MN=a và SM=MN.tanSNM=a.tan450=a.
SABCD=AB.AD=a2

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

1
a3

SM .S ABCD =
3
3

(đvtt)

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
BAD=1200. Gọi O là giao điểm của AC và BD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng SA và (ABCD)
bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Lời giải:
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD.
AO là hình chiếu vuông góc của SA

S

xuống mặt phẳng (ABCD) nên
góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD)
là góc SAO = 600. Ta có OAB = 600
AB.cos600 =

nên AO =

SO=AO.tan SAO=

a
2

D

và

a
a 3
tan 600 =
2
2

C

O
B

A

.

SABCD=AB.AD.sinBAD =a2.sin1200 =

a2 3
2

.
10


Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

1

1 a 3 a 2 3 a3
SO.S ABCD = .
.
=
3
3 2
2
4

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH
a

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH= .Tính thể tích khối chóp S.CDMN
Trường hợp 5: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa mặt bên đó
với mặt đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính
thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy
lớn là AB = 2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với
nhau, tam giác SAB đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
⊥

⊥

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH AB suy ra SH (ABCD) hay SH là
2a.

đường cao của hình chóp. SH=SA.sin600=

3
=a 3
2

. Gọi K là hình chiếu

vuông góc của D trên AB khi đó
S

2

KD

a 3
a
= AD 2 − AK 2 = a 2 −  ÷ =
2
2

SABCD=

.

1
3 3a 2
KD.( AB + CD) =
2
4
A

K

B

H

Thể tích khối chóp S.ABCD:

V=

1
1
3 3a 2 3a 3
.SH .S ABCD = .a 3.
=
3
3
4
4

D

C

(đvtt)

11


Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.
a 3

SA=a,SB=
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN.
Lời giải:
⊥

Gọi H là hình chiếu của S trên AB ta có SH (ABCD) hay SH là đường cao
của hình chóp S.BMDN.
S
Mặt khác tam giác SAB có
SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2)
Nên vuông tại S suy ra
1
1
1
a 3
= 2 + 2 ⇒ SH =
2
SH
SA SB
2

SBMND=

A

.

H

M

B
N

1
MN .DB = 2a 2
2

D

C

Thể tích khối chóp S.BMDN:

V=

1
1 a 3
a3 3
2

SH .S BMND = .
.2a =
3
3 2
3

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAB)
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết
a) AB=2a, AD=2a, tam giác SAB đều.
b) AB=2a, AD=a và tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC và mặt đáy bằng 450.
Trường hợp 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh hạ từ đỉnh xuống tâm đường tròn
ngoại tiếp mặt đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính
thể tích khối chóp.
Ví dụ 12: (Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy 1 góc
bằng nhau)
Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 60 0,
đáy là tam giác cân AB=AC=a và góc BAC=1200 . Tính thể tích khối chóp đó.
Lời giải:

12


Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra
SO là đường cao của khối chóp

Ta có
S
0

SABC=1/2.AB.AC.sin120 =

a2 3
4

0

và BC=2BD=2.ABsin60 =a.
OA=R=
⇒

a.b.c
4s

3

O
C

=a

SO=OA.tan600=a.

D

B

3

A

a3
4

1
3

Do vậy VSABC= SO.SABC=

Trường hợp 7: Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc
bằng nhau
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh hạ từ đỉnh xuống tâm đường tròn nội
tiếp mặt đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính
thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 13: ( Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau)
Cho hình chóp S.ABC có AB=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên (SAB),
(SBC), (SCA) cùng tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải: Gọi D là hình chiếu của S lên (ABC) Suy ra D là tâm tròn tròn nội
tiếp tam giác ABC. Suy ra SD là đường cao của khối chóp
p( p − a )( p − b)( p − c)

Ta

có

=6a2.

6

p=

(

AB + AC + BC
2

mặt khác SABC = pr
Trong

∆

S

SABC=

⇒

r=

S
p

B

)

=

2
a 6
3

A

.

D
k

SDK ta có SD=KD.tan600
0

= r.tan60 = 2a.

2

C

13


1
3

3

3

Do đó VSABC= SD.SABC=8a .

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với
các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:
VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC '
=
VSABC
SA.SB.SC

(A’, B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)
Phương pháp:
- Tính thể tích khối chóp S.ABC
- Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’.
Một số ví dụ minh họa .
Bài toán: Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt
VS A1B1C1

ba điểm A1, B1, C1 khác với S chứng minh:
Hướng dẫn học sinh:

VSABC

=

SA1 SB1 SC1

SA SB SC

.
A

A1

B

B1

S

C1

Gọi H, E lần lượt là hình chiếu của A, A1 trên (SBC)
∆

SA1E đồng dạng

H

E

C

⇒

AH / / A1E nên

∆

SAH và

AH
SA
=
⇒ A1 E SA1

1
3

1
3

Khi đó VSABC= AH.SSBC= AH.SB.SC.sinBSC.
VSA

1

1

B C

1

=

1
3

A1E.SSB

1

1

C

1
3

= A1E.SB1.SC1.sinBSC.

14


1
. AH .SB.SC . sin BSC
VSABC
AH SB SC
= 3
=
.
.
VSA1B1C1 1
A1 E SB1 SC1
. A1 E.SB1 .SC1 . sin BSC
3

Do vậy
VS A1B1C1

Nên

VS ABC

=

SA1 SB1 SC1
SA SB SC

Ví dụ 14: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA
vuông góc với mặt đáy và SA =2a . Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên
SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ .
⊥

⊥

⊥

⊥

Lời giải: Ta có AB’ SB và AB’ CB CB (SAB) suy ra AB’ SC
⊥

⊥

Tương tự AD’ SC suy ra SC AC’

S

Do tính đối xứng nên ta có
VS.AB’C’D’=2VS.AB’C’. Mặt khác

C'

VS . AB ' C ' SB '.SC ' SB.SB ' SC.SC '
=
=
.
VSABC
SB.SC
SB 2
SC 2

D'

B'

=

D

SA2 SA2 4a 2 .4a 2 8
.
=
=
SB 2 SC 2 5a 2 .6a 2 15

A

O

Suy ra VS.AB’C’=

VS.ABC=

8
VS . ABC
15

C

B

mà

1
1
1
a3
.SA.S ABC = .2a. a 2 =
3
3
2
3
2.

nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V =

8 a 3 16a 3
. =
15 3
45

(đvtt)

Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh

5

,

2 2

đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO=
(O là tâm của hình thoi) vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công
thức thể tích khối chóp ABCD: V=

1 uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD

6

(2)
15

Phương pháp:
- Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz phù hợp
- Tọa độ hóa bài toán.
- Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp .
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2

AB=a, AD=a , SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tich
khối tứ diện ANIB.
E
Lời giải: Dựng hệ trục tọa độ Oxyz
Sao cho O trùng với A,Ox
Trùng với tia AD, Oy trùng

H

A

B

với tia AB, Oz trùng với tia AS.
F

Trong hệ trục này ta có
A(0;0;0), D(a

B(0;a;0), C(a

Ta có MI=

2

2

G

D

;0;0),

C

;a;0), S(0;0;a). Khi đó M(

a 2
2

;0;0), N(

a 2 a a
; ;
2 2 2

).

uuur

uuu
r −a 2 a −a uuur −a 2 a −a
1
1 uur
a 2 a
IB ⇒ IM = − IB ⇒ I (
; ;0) NA (
; − ; ), NB (
; ; )
2
2
3 3
2
2 2
2
2 2

uur −a 2 a − a
uuu
r uuur
 a2
−a 2 2 
, NI (
; − ; ) ⇒  NA , NB  =  ;0;
÷
6
6 2
2 ÷
 2


Thể tích khối tứ diện ANIB:
1
V=
6

uuu
r uuur uur 1 −a 3 2 a 3 2 a 3 2
 NA, NB  .NI =
+
=


6 12
4
36

(đvtt)
Bài tập áp dụng:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N, P lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, AD và A’D’ . Tính theo a thể tích khối chóp C’.MNP.
CÁC BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450. Tính
thể tích khối chóp.

16


Bài 2: Cho chóp đều S.ABCD có AB=a góc giữa mặt bên và đáy bằng 600. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB = a SC = 3a SA = BC

,

,

SA ⊥ ( ABCD)

,

. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Bài 4: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA ⊥ ( ABC ) AB = a

,

,

AC = 2a SA = 3a

,

Bài 5: Cho tam giác cân ABC, có

.
AB = AC = 2b

,

BC = 2a

vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho

. Trên đường thẳng

SA = a

.

a. Tính thể tích khối chóp SABC .
b. Tính diện tích

∆SBC

, suy ra khoảng cách từ A đến mp(SBC).

Bài 6: Cho chóp S.ABC có SB=SC=BC=CA=a hai mặt bên (ABC) và (ASC)
cùng vuông góc với mặt (SBC). Tính thể tích S.ABC.
Bài 7: Cho chóp S.ABCD có hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với
đáy, còn đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB=a; BC=2a và SA=3a. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD.
Bài 8: Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; (SAC) vuông góc với
đáy; góc ASC bằng 900 và SA tạo với đáy góc α. Tính thể tích khối chóp.
Bài 9: Cho chóp S.ABC có góc BAC bằng 900, góc ABC bằng α; tam giác SBC
đều cạnh a, (SBC) vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp.
Bài 10: (ĐH-A 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn
HA=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 600. Tính thể tích của S.ABC và khoảng

cách giữa SA và BC.
Bài 11: (ĐH-A 2010): Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi H là giao điểm của CN và
DM. Biết SH vuông góc với đáy ABCD và SH=

a 3

. Tính thể tích của S.CDNM.

Bài 12: (ĐH-A 2011) Cho chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B
AB=BC=2a. Hai (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm
AB mặt phẳng đi qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa
(SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Bài 13: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
cạnh bên tạo với đáy một góc 300

17


Bài 14: Cho hình lăng trụ đứng
góc giữa

BC '

với mp

a. Tính độ dài đoạn

( AA ' C ' C )

AC '

ABC. A ' B ' C ' ∆ABC

,

bằng

30

vuông tại A,

µ = 600
AC = 2, C

,

0

.

.

b. Tính thể tích khối lăng trụ.
4. Hiệu quả của sáng kiến
Sau khi áp dụng phương pháp trên vào dạy lớp 12A2, 12A5 đã nêu, tôi đã
cho học sinh kiểm tra qua hai bài toán sau:
Bài 1 (6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc tạo bởi
(SCD) và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp.

Bài 2 (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
mặt bên (SAB)vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB=2a,
tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC với mặt đáy bằng 600, khoảng cách giữa AB
và (SCD) bằng a

3

.

Kết quả thu được như sau
Lớp

Sĩ số

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

9-10

7-8,5

5-6,5

3-4,5

0-2,5

12A2

41

2 (4,9%)

8 (19,5%)

27 (65,9%)

4 (9.7%)

0 (0 %)

12A5

34

0 (0 %)

2 (6%)

10 (29,4%)

22 (64,6)

0 (0 %)

Kết quả cho thấy số lượng học sinh làm được bài toán về tính thể tích khối
chóp đạt từ trung bình trở lên, trong đó có học sinh đạt điểm khá giỏi. Như vậy
có thể thấy hiệu quả rõ rệt khi thực hiện phương pháp trên vào dạy học. Điều
đặc biệt quan trọng hơn nữa mà phương pháp đem lại đó là đã tạo được niềm tin
ở bản thân, sự say mê và hứng thú rất cao của các em khi giải các bài toán tính
thể tích khối chóp nói riêng và bài toán hình học không gian nói chung.

18


PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Với sự đổi mới từ Bộ GD&ĐT cùng với đặc thù về chất lượng học sinh
trường THPT Quan Sơn. Mỗi giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học, bài
tập phù hợp với từng đối tượng học sinh. Bản thân tôi không ngừng học hỏi, tìm
hiểu và lựa chọn phương pháp giảng dạy, kinh nghiệm làm bài tập để học sinh
dễ tiếp cận, dễ học, sau đó mới nâng cao dần và có sự phân loại bài tập cho từng
đối tượng học sinh. Trong đề tài: “Sử dụng một số công thức giúp học sinh
lớp 12 trường THPT Quan Sơn làm được bài toán về thể tích khối chóp” tôi
đã thiết kế, xây dựng các dạng toán theo từng công thức một cách có hệ thống,
phù hợp với mức độ nhận thức, tạo hứng thú học cho học sinh.
Đề tài cũng đưa ra các bài tập áp dụng, bài tập ôn tập theo từng dạng, từng
công thức để học sinh tự làm, giúp học sinh nắm được dạng, nhớ được công
thức và phương pháp.

19

Qua các tiết dạy, ôn thi THPT Quốc gia tôi đã hướng dẫn học sinh một cách
chi tiết, hình thành cho các em kỹ năng làm đúng, làm nhanh, đáp ứng được thời
gian khi thi trắc nghiệm toán. Chính vì vậy mà chất lượng học sinh được nâng
lên, điểm thi được cải thiện, học sinh yêu toán, làm được toán nhiều hơn. Đề tài
đã cung cấp cho giáo viên và học sinh trường THPT Quan Sơn có thêm một
nguồn tài liệu tham khảo, ôn tập.
2. Kiến nghị
2.1 Kiến nghị với nhà trường
Nhà trường cần hợp đồng đủ giáo viên dạy toán, quan tâm, tạo điều kiện để
giáo viên được tham gia các lớp tập huấn về phương pháp dạy học mới, sách
giáo khoa mới…
Có chính sách ưu tiên, tăng thu nhập cho giáo viên hợp đồng giúp các giáo
viên yên tâm công tác và cống hiến.
2.2 Kiến nghị với Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa
Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa cần thực hiện điều động, luân chuyển, tuyển
đủ giáo viên cho nhà trường, có cơ chế ưu tiên cho thầy, cô hợp đồng lâu năm tại
nhà trường.
Có những chính sách ưu tiên cho nhà trường, như xây nhà hiệu bộ, phòng
học bộ môn, hỗ trợ mua sắm thiết bị, đồ dùng dạy học…
XÁC NHẬN CỦA HIỆU
TRƯỞNG

Quan Sơn, ngày 3 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Hà Thị Nhung

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách hình học 12 ban cơ bản, sách hình học 12 NC-NXB giáo dục
2. Sách Bài tập hình học 12 ban cơ bản, sách Bài tập Hình học 12 NC-NXB giáo
dục
3. Đề Tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng
4. Một số phương pháp giải toán sơ cấp-NXB ĐHQG Hà Nội.
5. Phạm Đức Tài-Nguyễn Ngọc Hải-Lại Tiến Minh. Luyện thi THPT Quốc Gia
năm 2017. NXB giáo dục
6. Phạm Đức Tài-Nguyễn Ngọc Hải-Lại Tiến Minh. Luyện thi THPT Quốc Gia
năm 2018. NXB giáo dục
7. Phạm Đức Tài-Nguyễn Ngọc Hải-Lại Tiến Minh. Luyện thi THPT Quốc Gia
năm 2019. NXB giáo dục
8. Một số sáng kiến kinh nghiệm toán tỉnh Thanh Hóa.

21


22