Phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 trường THCS luận thành

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜNG XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỶ LỆ THỨC,
ÁP DỤNG TRONG VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP
7 TRƯỜNG THCS LUẬN THÀNH

Người thực hiện: Trương Minh Niên
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Luận Thành
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2018


Mục lục
TT

Nội dung

Trang

1

Mở đầu

1

1.1

Lí do chọn đề tài.

1

1.2

Mục đích nghiên cứu.

1

1.3

Đối tượng nghiên cứu.

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu.

2

2

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2

2.1

Cơ sở lý luận.

2.2

Cơ sở thực tiễn.

3

2.3

Nội dung vấn đề.

3

2.3.1

Lý thuyết.

2.3.2

Các giải pháp thực hiện.

4

2.3.3

Các dạng toán.

5

2.3.3.1

Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ
thức cho trước
Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho
trước.
Dạng 3: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng

2.3.3.2
2.3.3.3

2-3

3-4

5-6
6-11
11-13

2.4

. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, bản thân đồng nghiệp và nhà trường.

13-14

3.

Kết luận và kiến nghị

14

3.1

Kết luận.

14

3.2

. Kiến nghị.

15


1. Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài.
Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa
học kỹ thuật. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc
học toán ở trường phổ thơng và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa
tuổi.
Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng
cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý
chí vươn lên”.
Với mục tiêu giáo dục phổ thơng là “ giúp học sinh phát triển toàn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã

hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ
Tổ quốc”. Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số
16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo
cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện
của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp
tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh”.
Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích
cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành,
lịng say mê học tập và ý chí vươn lên thì địi hỏi người giáo viên phải có một
phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.
Tôi là một giáo viên được phân cơng giảng dạy mơn tốn 7 nhiều năm
liền và khi dạy đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, và lo sợ khi giải loại tốn này. Tơi
muốn đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trị khơng cịn sai sót đó nữa nên tơi
đã nghiên cứu đề tài: “Phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, áp dụng
trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 ở trường THCS Luận Thành”
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán lớp7 nhiều năm
liền và khi dạy đến phần giải tốn về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, khi gặp các dạng toán hơi phức tạp
một chút là các em lại sợ làm không được. Để các em khơng sợ các dạng tốn
như chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước, chia một số thành các
phần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng...Tơi
muốn đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trị khơng cịn sai sót và sợ dạng tốn
đó nữa nên tôi đã nghiên cứu đề tài: “Phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ
thức, áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 ở trường THCS Luận
Thành”

1.3 Đối tượng nghiên cứu.
3


- Nhằm nắm lại chất lượng mơn Tốn lớp mình dạy trong năm học trước,
theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả
học kì I .
- Thơng qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp
- Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
- Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học
sinh từ đầu năm học đến kết quả học kì một.
- Học sinh có học lực khá, giỏi.
- Các phương pháp dạy học theo hướng đổi mới
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan.
- Thơng qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp.
- Thông qua dự giờ rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỷ lệ thức và tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được
chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
- Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học
sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I.
Học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp.
Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như (thay tỉ số
giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số hạng chưa biết của một
tỷ lệ thức , tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau và tổng
hoặc hiệu của các số hạng đó, chứng minh đẳng thức,…). Thơng qua việc giải
bài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán

đốn, rèn tính cẩn thận, linh hoạt
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Cơ sở lý luận.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị
quyết Trung ương 4 khoá VII (01-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII
(12-1996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong
các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999). Luật giáo
dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhó,
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Vì vậy, ngồi việc nắm vững lý
thuyết trên lớp học sinh cịn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa
học để giải bài tập.Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy
vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao
động. Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn
luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo. Bài
4


tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập
và trình độ phát triển của học sinh.
Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu .
tìm tịi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Tốn và học Tốn là khơng thể thiếu
được. Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của
nhiều giáo viên. Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu
giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách
hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết.
Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê
học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình.

Chính suy nghĩ trên, bản thân tơi đã tìm tịi, sưu tập và hệ thống kiến thức,
giúp học sinh có những kinh nhgiệm giải tốn về tỷ lệ thức và tính chất của dãy
tỉ số bằng nhau một cách nhẹ nhàng, đơn giản.
Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo
viên phải ln tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc. Từ đó
rút ra những kiến thức cần nhớ.
2.2. Cơ sở thực tiễn.
Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của
học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.
Đứng trước một bài tốn, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức
cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng
tốn đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài tốn nhanh nhất.
Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy,
người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ
bản, sâu rộng, giúp học sinh :
Nhìn nhận từ một bài tốn cụ thể thấy được bài toán khái quát
Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể
Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài tốn với nhau
Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải tốn.
Với một sự lao động nghiêm túc tơi xin trình bày một phần nhỏ kinh
nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng tốn vận
dụng tính chất của tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7.
2.3. Nội dung vấn đề.
2.3.1. Lý thuyết.
a. Định nghĩa: Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số

a c
= .
b d

Ta còn viết:
a : b = c : d.
trong đó a và d là các ngoại tỉ(số hạng ngoài); b và c là các trung tỉ(số hạng
trong).
b. Tính chất của tỷ lệ thức :
Tính chất 1: Nếu

a c
=
b d

a c
= thì a.d = b.c
b d

5


Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỷ lệ thức :
a c a b d c d b
= ; = ; = ; = .
b d c d b a c a
a c
a b d c
=
Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức
suy ra các tỷ lệ thức : = , = ,
b d
c d b a
d b

=
c a

c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c
a c a+c a−c
= suy ra
= =
=
, (b ≠ ± d)
b d
b d b+d b−d
a c i
Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau b = d = j ta suy ra:
a c i a +c+i
a−c+i
= = =
=
, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b d j b+d + j b−d + j

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức

a

a

a

a

3
n
1
2
Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n ≥ 2): b = b = b = ... = b thì
1
2
3
n

a
a + a + a + ... + an a1 − a2 + a3 + ... − an
a1 a2 a3
=
= = ... = n = 1 2 3
=
b1 b2 b3
bn b1 + b2 + b3 + ... + bn
b1 − b2 + b3 + ... − bn

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu
“- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta
một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được
những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới
của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
* chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có:

x y z
= = . Ta
a b c

cũng viết:
x:y:z=a:b:c
2.3.2. Các giải pháp thực hiện.
Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót
trong q trình giải tốn . Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày lời
giải , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”
x y
x
y
= (⇒ )
=
thì các em lại dùng dấu “=” là sai.
d
9 5
9.3 5.3
x y z
Hãy tìm x, y, z biết = = và x +y + z = 12
5 3 4
x y z
x + y + z 12
x
)
= = 1 vậy = 1 ⇒ x = 5.1 = 5
Giải: = = (⇒
5 3 4 S 5 + 3 + 4 12
5

Ví dụ:

Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai.
Vì vậy tơi đưa ra một số dạng tốn nhỏ giúp các em khơng cịn sai sót trong lời
giải của mình:
1. Chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước
2. Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
3. Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.
6


2.3.3. Các dạng toán.
2.3.3.1. Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước.
Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở về đẳng thức cần chứng minh
hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó.
a c
a
c
= chứng minh rằng
=
.
b d
a−b c−d
a c
GV: đối với bài toán này ta có thể đặt = = k hoặc biến đổi tỷ lệ thức
b d

Bài 1.1: cho

cho trứơc để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.
Giải:

a c
b d
b
d
a −b c−d
a
c
⇒
=
⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒
=
=
(đpcm)
b d
a c
a
c
a
c
a −b c −d
a c
a b a −b
a
c
⇒
=
Cách 2: = ⇒ = =

(đpcm)
b d
c d c−d
a −b c − d

Cách 1:

Cách 3: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này)
đặt

a c
= = k suy ra a = bk ; c = dk
b d

Ta có:
a
bk
bk
k
=
=
=
(1)
a − b bk − b b( k − 1) k − 1
c
dk
dk
k
=
=

=
(2)
c − d dk − d d (k − 1) k − 1
a
c
=
Từ (1) và (2) suy ra
a −b c −d

Bài 1.2. Chứng minh rằng : Nếu

a c
a+b c+d
= ≠ 1 thì
=
với a, b, c, d ≠ 0.
b d
a −b c−d

Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo bài 1
Giải:
Cách 1 :
Với a, b, c, d ≠ 0 ta có:

a c
a
c
a +b c+d
= ⇒ +1 = +1⇒
=

b d
b
d
b
d

a+b b
= (1)
c+d d
a c
a −b c −d
a −b
= ⇒
=
⇒
=
b d
b
d
c−d
a +b a−b
=
Từ (1) và (2) =>
c+d c−d
a c
Cách 2: Đặt = = k suy ra
b d
⇒

b

(2)
d
a+b c+d
⇒
=
(đpcm)
a −b c −d

a = bk ; c = dk

7


a+b

bk + b

b.(k + 1)

k +1

Ta có a − b = bk − b = b.(k − 1) = k − 1 (1)
c + d dk + d d .(k + 1) k + 1
=
=
=
(2)
c − d dk − d d .(k − 1) k − 1
a+b c+d
=

Từ (1) và (2) suy ra
.
a −b c−d
a c
Bài 1.3: Nếu = thì:
b d
5a + 3b 5c + 3d
=
a,
5a − 3b 5c − 3d
a 2 + b 2 ab
b, 2 2 =
c +d
cd

Và

GV: Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm
được không? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà
giải theo cách 3
Giải:
a c
a b
5a 3b
5a 5c
5a + 3b 5c + 3d
= ⇒ = ⇒
=
⇒

=
⇒
=
(áp dụng kết
b d
c d
5c 3d
3b 3d
5a − 3b 5c − 3d

a. Từ

quả của bài 2 )

a c
a b
a 2 b2 a 2 + b2
= ⇒ = ⇒ 2 = 2 = 2
(1)
b d
c d
c
d
c +d2

b. Từ

a c
a b
a a b a

a 2 ab
= ⇒ = ⇒ . = . ⇒ 2 =
(2)
b d
c d
c c d c
c
cd

và từ

a 2 + b 2 ab
từ (1) và (2) suy ra 2 2 =
(đpcm)
c +d
cd

Bài 1.4: Chứng minh rằng: Nếu a 2 = bc thì
khơng?
Giải:
a
c

b
a

a
c

a+b c+a

=
điều đảo lại có đúng hay
a−b c−a

b
a

+ Ta có: a 2 = bc ⇒ = ⇒ = =

a+b a−b
a +b c+a
=
⇒
=
c+a c−a
a −b c −a

+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
Ta có:

a+b c+a
=
a −b c −a
⇒ ( a + b) ( c − a) = ( a − b) ( c + a)
hay ac − a 2 + bc − ab = ac + a 2 − bc − ab
⇒ 2bc = 2a 2
⇒ a 2 = bc

8

Bài 1.5:Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b + d ) (2) đk: b;d≠0 thì

a c
=
b d

Giải:
Ta có: a + c = 2b ⇒ ( a + c ) d = 2bd ( 3)
Từ (3) và (2)
⇒ c ( b + d ) = ( a + c) d

⇒ cb + cd = ad + cd
⇒ cb = ad
a c
⇒ = (đpcm)
b d

2.3.3.2 Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
Phương pháp giải: giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với
các số a, b, c. Ta làm như sau:
x y z x+ y+ z
s
s
s
s
= = =
=
.a ; y =
.b ; z =

.c
do đó x =
a b c a+b+c a+b+c
a+b+c
a+b+c
a+b+c
x y y z
Bài 2.1: Tìm ba số x, y, z, biết rằng: = ; = và x + y – z = 10.
2 3 4 5

Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để
xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số

y
y
và có hai
3
4

số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng
dưới( ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta
sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4)=12
từ đó mẫu chung của 3 và 4 là 12
Giải:
BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau:
x y
x y
1
• = ⇒ =
( nhân cả hai vế với

) (1)
2 3
8 12
4
y z
y
z
1
• = ⇒ =
( nhân cả hai vế với ) (2)
4 5 12 15
3
x y
z
Từ (1) và (2) = = . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
8 12 15
x y
z
x + y − x 10
= = =
= =2
8 12 15 8 + 12 − 15 5

Vậy
x = 8.2 = 16
y = 12.2 = 24
z = 15.2 =30

x
y

z
=
=
và 2 x + 3 y − z = 186
15 20 28
GV : Bài cho 2 x + 3 y − z = 186

Bài 2.2. Tìm x, y, z biết:

Làm như thế nào để trong dãy tỉ số bằng nhau trên xuất hiện biểu thức
2 x + 3 y − z = 186 ?
Giải:
9


Từ

x
y
z
2x 3y z
=
=
=
=
hay
.
15 20 28
30 60 28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3 y z
2 x + 3 y − z 186
=
=
=
=
= 3.
30 60 28 30 + 60 − 28 62

Suy ra

2x = 3.30 = 90 ⇒ x=90:2=45
3y= 3.60 = 180 ⇒ y=180:3=60
z = 3.28 = 84

Bài 2.3. Tìm x, y, z cho:

x y
y z
= và = và 2 x + 3 y − z = 372
3 4
5 7

GV : Nhận xét bài này và bài 2.2 có gì giống nhau?
Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào?
Giải:
BCNN(4;5)=20 nên ta biến đổi như sau:
x y
x

y
= ⇒ =
(nhân cả hai vế cho
3 4 15 20
y z
y
z
= ⇒
=
(nhân cả hai vế cho
5 7
20 28
x
y
z
Từ (1) và (2) suy ra = =
15 20 28

Ta có:

1
) (1)
5
1
) (2)
4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau giống bài 2 ta giải ra được:
x = 90; y = 120; z = 168
Bài 2.4. Tìm x, y, z biết

x y
y z
= và = và x + y + z = 98
2 3
5 7

GV : tương tự bài tập 2.1. Tìm BCNN(3 ;5)=15.
ĐS: x = 20; y = 30; z = 42
Bài 2.5. Tìm x, y, z biết:
x −1 y − 2 z − 3
=
=
( 1) và 2x + 3y –z = 50
2
3
4
2x 3 y 4z
=
= ( 2 ) và x + y +z = 49
b.
3
4
5

a.

Giải:
a. Ta biến đổi (1) như sau :
hay

2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3
=
=
4
9
4

2.( x − 1) 3.( y − 2) z − 3
=
=
2.2
3.3
4

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3 2 x − 2 + 3 y − 6 − z + 3 ( 2 x + 3 y − z ) + −2 − 6 + 3 50 − 5
=
=
=
=
=
=5
4
9
4
4+9−4
9
9

x −1
= 5 ⇒ x = 11
2
y−2
= 5 ⇒ y = 17
3

10


z −3
= 5 ⇒ z = 23
4

b. Hướng dẫn: ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống
hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế nào để các số hạng
trên chỉ còn là x ; y ; z. ta sẽ tìm BCNN (2;3;4) = 12 và khử tử để các số hạng
trên chỉ còn là x ; y ; z
Giải:
Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12
2x 3 y 4z
2x
3y
4z
x
y
z
=
=
⇒

=
=
= =
hay
3
4
5
3.12 4.12 5.12
18 16 15

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
y
z
x+ y+z
49
= = =
=
=1
18 16 15 18 + 16 + 15 49

=> x = 18; y = 16; z = 15
Bài 2.6. tìm các số a, b, c biết rằng : 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 30.
Giải :
a b
=
3 2
b c
Từ 5b = 7c suy ra =
7 5

Từ 2a = 3b suy ra

Ta tìm BCNN(2,7)=14.
a b
a
b
a
b
= ⇒
=
⇒
=
(1)
3 2
3.7 2.7
21 14
b c
b
c
b
c
=
⇒ =
Từ = ⇒
(2)
7 5 7.2 5.2 14 10
a
b
c

Từ (1) và (2) ta có: = =
21 14 10
a
b
c
3a
7b
5c
3a 7b 5c
=
=
⇒
=
=
Từ = = ⇒
21 14 10
3.21 7.14 5.10
63 98 50

Từ

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số bằng nhau

3a 7b 5c
3a 7b 5c 3a + 5c − 7b 30
=
=
=
=
=

=
=2
ta có:
63 98 50
63 98 50 63 + 50 − 98 15

Từ đó ta tính được a=42; b= 28; c=20

Bài 2.7. Tìm các số a1, a2, …a9 biết:

a −9
a1 − 1 a 2 − 2
=
= ... = 9
và a1 + a 2 + ... + a 9 = 90
9
8
1

Giải :
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a − 9 ( a1 + a 2 + ... + a 9 ) − ( 1 + 2 + ... + 9 ) 90 − 45
a1 − 1 a 2 − 2
=
= ... = 9
=
=
=1
9

8
1
9 + 8 + ... + 1
45
Từ đó dễ dàng suy ra : a1 = a2 = a3 = ... = a9 = 10

11


Bài 2.8. ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng
học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng

8
số
9

17
số học sinh lớp 7B. Tính số học
16

sinh của mỗi lớp.
Giải:
Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. theo đề bài ta
có:
8
17
y.
9
16
z 17

17
z
y
Do z = y nên y = 16 hay = (1)
16
17 16
8
y 8
y x
y x
Do y = x nên = hay = hay =
(2)
9
x 9
8 9
16 18
x y z
Từ (1) và (2) ta có = =
.
18 16 17

x + y + z = 153, y = x , z =

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x y z
x+y+z
153
= =
=
=

=3
18 16 17 18+16+17 51

Từ đây tìm được x= 54; y=48; z= 51.
Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51.
Bài 2.9: ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235 m 3 .
biết rằng thời gian để bơm được 1 m 3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4 phút
và 5 phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?
Giải:
Gọi số mét khối nước bơm được của ba máy lần lượt là x (m 3), y (m3),
z(m3)
Theo bài ra ta có: x + y + z =235 (1) và 3x = 4y = 5z.

Từ 3x = 4y = 5z suy ra

3x 4 y 5 z
x
y
z
=
=
= =
hay
(2).
60 60 60
20 15 12

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , từ (2) và (1) ta có:
x
y

z
x+y+z
235
= = =
=
=5
20 15 12 20+15+12 47

Do đó: x = 5 . 20 = 100; y = 5 . 15 = 75; z = 5 . 12 = 60
Vậy số mét khối nước bơm được của ba máy theo thứ tự là 100 m 3 , 75m3
và 60m3
Bài 2.10: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của
số thứ nhất với số thứ 2 là

5
10
, của số thứ nhất với số thứ ba là .
9
7

12


Giải:
Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z
Theo bài ra ta có: BCNN (x , y , z) = 3150
x 5
= hay
y 9
x 10

=
hay
z 7

x y
x
y
= hay
=
(1)
5 9
10 18
x z
=
(2)
10 7
x
y z
Từ (1) và (2) ta có : = =
10 18 7
x
y z
Đặt = = =k
10 18 7
⇒ x = 10k = 2.5.k 
2

⇒ y = 18.k = 32.2.k  ⇒ BCNN (x, y, z)=2.5.k.3 .7

⇒ z = 7.k



Mà BCNN (x, y, z)=3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32 .7= 2.32.52.7
Từ đó suy ra : k = 5
Suy ra x=10 . 5 = 50; y =18 . 5 = 90; z =7 . 5 = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
2.3.3.3 Dạng 3: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng
x

a

Phương pháp giải: giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y=p và y = b .
x

a

p

Đặt y = b = k , ta có x=k.a, y=k.b. do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p ⇒ k 2 = .
ab
Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.
Chú ý: cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng
nhau:

x y xy
= =
(sai)
a b ab

Bài 3.1: tìm hai số x và y, biết rằng

x y
= và xy=10.
2 5

Giải:
x y
= = k , ta có x=2k, y=5k.
2 5
Vì xy=10 nên 2k.5k=10 ⇒ 10k 2 = 10 ⇒ k 2 = 1 ⇒ k = 1 hoặc k = −1

Đặt

+ với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5.
Vậy x = 2; y = 5; x = - 2; y = - 5
x
2

Bài 3.2: Tìm x, y biết rằng: =

y
và xy = 54 .
3

GV : bài này làm tương tự bài 3.1. tuy nhiên ta có thể làm theo cách khác
như sau :
Giải:
từ

x y
x x y x
x 2 xy 54
=
⇒ . = . ⇒
=
=
=9
2 3
2 2 3 2
4
6
6

13


suy ra x 2 = 4.9 = ( 2.3) = ( 6 ) = ( −6 ) ⇒ x = 6 hoặc x = −6
2

2

2

54
=9
6
54
với x = −6 ⇒ y = = −9
−6

với x = 6 ⇒ y =

Bài 3.3: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là 76,95 m 2 có chiều rộng
bằng

5
chiều dài. Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó.
19

Hướng dẫn: loại tốn này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm.
Giải:
Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật đó lần lượt là x
(m) ,y(m).
Theo bài cho ta có x . y = 76,95 và x =
Đặt

5
x y
. y hay =
19
5 19

x y
= = k , ta có x = 5.k ; y=19.k
5 19

Vì x . y = 76,95 nên (5.k).(19.k)=76.95

⇒ 95k 2 = 76,95 ⇒ k 2 = 76,95 : 95 = 0,81 ⇒ k = 0,9 hoặc k = −0,9 .

+ với k = 0,9 thì x = 5.0,9 = 4,5 ; y = 19.0,9 = 17,1.
+ Với k = -0,9 thì x = 5.(- 0,9) = -4.5 ; y =19.(- 0,9) = - 17,1.
Do x, y là chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật nên x=4,5
và y= 17,1
Vậy chiều rộng: 4,5(m); chiều dài: 17,1(m).
x

2

Bài 3.4: Tìm x và y, biết y = 5 và x.y=40.
x

2

x

y

Hướng dẫn: bài này tương tự bài 3.1. biến đổi y = 5 thành = và làm tương
2 5
tự bài 3.1
Đáp số: x = 4; y = 10; x = - 4; y = -10
Bài 3.5: Tìm x, y và z biết
x y z
= = và xyz = 20 .
12 9 5
x y z
= = và xyz = 810
b)

2 3 5

a)

Giải :
( Bài này tương tự với bài tìm x,y)
a) Đặt

x y z
= = = k , ta có x = 12k ; y=9k; z=5k .
12 9 5

Vì xyz = 20 nên ( 12k ) . ( 9k ) . ( 5k ) = 20 ⇒ 540k 3 = 20 ⇒ k 3 =
1
3

1
3

1
3

Suy ra x = 12. = 4 ; y = 9. = 3 ; z = 5. =

20
1
1
=
⇒k= .
540 27

3

5
3

14


5
3

Vậy x = 4; y=3; z= .
x y z
= = = k , ta có x=2k ; y=3k ; z=5k.
2 3 5
Vì xyz = 810 nên (2k).(3k).(5k)=810 ⇒ 30k 3 = 810 ⇒ k 3 = 810 : 30 = 27 ⇒ k = 3 .

b) Tương tự câu a: đặt

Vậy x=6; y=9; z=15.
Bài 3.6: Diện tích một tam giác bằng 27 cm3. biết rằng tỉ số giữa một cạnh và
đường cao tương ứng của tam giác bằng 1,5. tính độ dài cạnh và đường cao nói
trên.
Giải: (Phải nhớ lại cơng thức tính diện tích tam giác:

1
.a.h trong đó a là
2

độ dài cạnh ứng với đường cao h).

Gọi độ dài cạnh và đường cao nói trên lần lượt là a (cm) và h (cm).
Theo bài ra ta có:

1
a
.a.h = 27 và = 1,5
2
h

1
a
.a.h = 27 ⇒ a.h = 54 (1) và từ = 1,5 ⇒ a = 1,5h (2) .
2
h
a
=
1,5
h
Thay
vào (1) ta có (1,5h).h = 54 ⇒ 1,5h 2 = 54 ⇒ h 2 = 36 ⇒ h = 6 hoặc

Từ
h = −6 .

Do h là độ dài của đường cao tam giác nên h = 6 .
h = 6 nên a=9.
Vậy độ dài cạnh là 9(cm); độ dài đường cao là 6(cm).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản
thân đồng nghiệp và nhà trường.
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấy mình hiểu sâu sắc

hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho đối
tượng học sinh Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì
thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em
rất hứng thu khi tự mình có thể lập ra các bài tốn. Qua việc thực hiện sáng kiến
kinh nghiệm trên, tơi nhận thấy từ đầu năm học đến giờ tinh thần học tập của
các em được nâng cao, các em hứng thú học hơn, tiếp thu tốt, kết quả học tập
của học sinh được nâng lên. Không những các em lĩnh hội kiến thức về giải toán
về tỷ lệ thức và tính chất về dãy tỷ số bằng nhau mà các em còn vận dụng vào
việc giải quyết các vấn đề khác của Toán học cấp II như: Hai đại lượng tỉ lệ
thuận, Hai đại lượng tỉ lệ nghịch,…
Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh:
Khơng cịn sợ dạng tốn chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho
trước, dạng tốn có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt vào giải các
bài toán tương tự.
Khi đưa ra một bài toán các em nhận dạng nhanh được bài tốn đó ở dạng
nào.
15


Các em có kỹ năng tính tốn nhanh nhẹn, các em đã biết cách biến đổi từ
những dạng toán phức tạp về dạng đã biết cách giải.
Các em khơng cịn sợ dạng tốn này nữa.
Qua những bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những
bài tập phù hợp kiến thức trong chương trình.
Kết quả kiểm chừng sau đây cho thấy rõ sự tiến bộ của học sinh
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém

TSHS
SL
%
SL %
SL
%
SL % SL %
Đầu
16,6
13,
11,1
16,6%
36
6
6
15 41,6%
5
4
%
9%
%
năm
Cuối
36,1
2,8
36
10 27,8% 13
12 33,3%
1
0

%
%
HKI
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận.
Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa
vào giờ dạy tự chọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi nếu khơng sẽ khơng có thời
gian để luyện tập cho học sinh.
Toán về chứng minh các đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước, nếu ta
nghiên cứu sâu hơn đối với các đẳng thức phức tạp cịn rất nhiều dạng tốn phức
tạp mà chưa đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm này được. Do đó, giáo viên cịn
phải tiếp tục nghiên cứu, đó là một phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến.
3.2. Kiến nghị.
Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung giải pháp“Phương pháp giải
các bài toán về tỷ lệ thức, áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 ở
trường THCS Luận Thành” trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản và chuyên
sâu nhằm vận dụng nó để giải các bài tập toán nâng cao về tỷ lệ thức và các bài
toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả. Vì vậy, để thực hiện có hiệu
quả, tôi xin đưa ra một số đề xuất:
Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức cơ bản và phần mở rộng, những phần lưu ý
cần khắc sâu để học sinh khơng bị sai sót..
Trong q trình giảng dạy chú ý rèn kĩ năng phân tích đề bài xem cho
điều gì và yêu cầu chứng minh hoặc tìm gì. Bài tập sau có gì khác so với bài tập
trước, rèn cho các em cách nhìn và phân tích bài tốn thật nhanh.
Sau mỗi bài tập, giáo viên nên hệ thống lại để học sinh khắc sâu và ghi
nhớ.
Giáo viên phải luôn tự học hỏi, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên
môn.
Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn các bài tập có nội dung lồng
ghép những bài tốn thực tế để kích thích tính tị mị, muốn khám phá những

điều chưa biết trong chương trình Tốn 7.
Sau khi thực hiện đề tài “Phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, áp dụng
trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 ở trường THCS Luận Thành”
16


Tơi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết quả học tốt hơn. Tuy
nhiên còn rất nhiều dạng tốn nữa mà tơi chưa đưa ra trong đề tài này được. Bởi
vậy tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm vào năm học sau.
Với năng lực còn hạn chế trong việc nghiên cứu và đầu tư, tôi chỉ ghi lại
những kinh nghiệm của bản thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham khảo
sách và các tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm của
tơi khơng tránh khỏi những sai sót nhất định. Rất mong sự góp ý chân thành của
các đồng nghiệp, của Hội đồng khoa học các cấp.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 05 tháng 03 năm 2018
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện
Trương Minh Niên

17


Tài liệu tham khảo
- Sách giáo khoa Toán 7
- Sách giáo viên Toán 7

- Sách bài tập toán 7
- Sách thiết kế bài soạn toán 7
- Phát triển toán 7
- Toán nâng cao 7
- Phương pháp giải bài tập toán 7
- Tuyển chọn một số đề kiểm tra học kì I qua các năm
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS.
- Tài liệu đổi mới phương pháp dạy học toán THCS.


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trương Minh Niên
Chức vụ và đơn vị công tác: THCS Luận Thành

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Sử dụng bất đẳng thức
Cosi giải bài toán cực trị

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Cấp tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc
C)

C

Năm học
đánh giá xếp
loại
2004 - 2015