Hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông ở Việt Nam

Hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông ở Việt Nam
Hệ tiên đề hình học phẳng
Hai hình cơ bản: điểm, đường thẳng.
Hai quan hệ cơ bản: điểm thuộc đường thẳng, điểm nằm giữa hai điểm khác.
Hai số đo cơ bản: độ dài đoạn thẳng, số đo (độ) của góc.
I. Nhóm tiên đề về liên thuộc
I
1
: Mỗi đường thẳng có những điểm thuộc đường thẳng và có những điểm không thuộc đường thẳng đó.
I
2
: Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng.
II. Nhóm tiên đề liên quan đến khái niệm nằm giữa
II
1
: Trong ba điểm thẳng hàng có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
II
2
: Bất kì đường thẳng a nào trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau. Đường thẳng a cắt đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai nửa mặt phẳng
đối nhau (và không nằm trên a), đường thẳng a không cắt đoạn thẳng có hai đầu nằm trên cùng một nửa mặt phẳng và không nằm trên a.
II
3
: Bất kì điểm O nào nằm trên đường thẳng cũng là gốc chung của hai tia đối nhau. Điểm O nằm giữa hai điểm thuộc hai tia đối nhau (và phân biệt với điểm O).
III. Nhóm tiên đề có liên quan đến khái niệm độ dài đoạn thẳng
Định nghĩa. Với một đoạn thẳng AB cho trước tồn tại duy nhất một hàm số f(AB) thoả mãn các điều kiện sau đây:
i) Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f(AB) > 0.
ii) Nếu hai đoạn thẳng AB và A'B' bằng nhau thì f(AB) = f(A'B').
iii) Nếu có một điểm C ở giữa hai điểm A và B thì f(AC) + f(CB) = f(AB).
iv) Có một đoạn OE sao cho f(OE) = 1.
Hàm số f(AB) gọi là độ dài của đoạn thẳng AB. Đoạn OE gọi là đơn vị dài hay là đoạn thẳng đơn vị.
III

1
: Mỗi đoạn thẳng có độ dài xác định lớn hơn 0.
III
2
: Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì MA + MB = AB.
III
3
: Với bất kì số m lớn hơn 0 nào, trên tia Ox cũng xác định đợc một điểm và chỉ một điểm M sao cho OM = m.
Hệ tiên đề của hình học không gian
Khái niệm cơ bản giống như trong hình học phẳng, ngoài ra còn thêm khái niệm cơ bản "mặt phẳng". Hình học không gian được xây dựng trên 6 tiên đề sau đây:
1. Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
3. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
4. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
5. Trên mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
6. Mỗi đoạn thẳng trong không gian đều có một độ dài xác định.