Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị hàm số

MỤC LỤC

I. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu..........................................................................2
II. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ...............................................................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..............2
2.3. Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị của hàm số.........3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường..........................................................17
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ....................................................................17
3.1. Kết luận....................................................................................................17
3.2. Kiến nghị..................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................18

0


HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ
ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình môn Toán THPT, chủ đề Hàm số và đồ thị hàm số
chiếm một khối lượng lớn kiến thức và được giảng dạy ở cả lớp 10, lớp 11 và
lớp 12. Học xong chương trình THPT học sinh phải nắm vững khái niệm hàm
số; khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số; đọc được đồ thị hàm số. Các bài toán dạng
nhận diện đồ thị của hàm số và giải quyết các bài toán liên quan giúp các em

củng cố và nắm vững các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số rất tốt.
Từ khi Bộ Giáo dục và Đào tạo thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình
thức thi trắc nghiệm khách quan trong kì thi THPT Quốc Gia đòi hỏi cần có các
câu hỏi kiểm tra ở các mức độ vận dụng, vận dụng cao của người học mà hạn
chế sử dụng máy tính cầm tay; hoặc quá khó học sinh chỉ biết “lụi” phương án
ngẫu nhiên. Với thế mạnh riêng của chủ đề hàm số và đồ thị, người ra đề có
nhiều đất để sáng tạo các câu hỏi kiểm tra các mức độ tư duy cao mà không sa
đà vào đánh đố; không phải trắc nghiệm hóa các bài toán tự luận khó (như các
bài thi chọn học sinh giỏi quốc gia; thi Olympic quốc tế,…) không phù hợp với
tiêu chí của kì thi. Các câu hỏi về đồ thị hàm số kiểm tra được năng lực tư duy
cao rất tốt. Có lẽ cũng vì lí do này, trong các đề thi THPT Quốc Gia hàng năm
cũng như các đề thi Khảo sát chất lượng ôn thi THPT Quốc gia của các Sở Giáo
dục và Đào tạo, của các trường THPT trên cả nước xuất hiện ngày cảng nhiều
các dạng toán về đồ thị hàm số.
Khi tổ chức, hướng dẫn các em học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia,
tôi nhận thấy sự lúng túng, khó khăn của các em khi giải các bài tập mức vận
dụng và vận dụng cao liên quan đến đồ thị hàm số. Bởi vậy, tôi lựa chọn đề tài
SKKN: “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị hàm số”. Đề tài
này tôi đúc rút những kinh nghiệm bản thân về những dạng toán thường gặp
giúp các em học sinh lớp 12 giải được các dạng toán về đồ thị hàm số. Đề tài
SKKN này là một góp ý, trao đổi của tác giả với các đồng nghiệp để nâng cao
chất lượng dạy học chủ đề hàm số và đồ thị.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra những phương pháp giải các
dạng toán thường gặp về đồ thị hàm số giúp các em học sinh lớp 12, các em học
sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp dụng vào các bài tập về đồ thị
hàm số ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đồng thời thông qua đó nâng cao
khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các nội dung kiến thức và kĩ năng chủ

đề hàm số và đồ thị; các phép biến đổi đồ thị; tương giao giữa các đồ thị hàm số.
1


1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về chủ đề hàm số và đồ thị.
Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh khi học và giải các
bài toán thuộc chủ đề hàm số và đồ thị đặc biệt là các bài toán liên quan đến đồ
thị của hàm số; những khó khăn mà học sinh thường mắc phải khi giải các dạng
toán về đồ thị.
Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học
sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
II. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Chủ đề hàm số và đồ thị học ở cả chương trình môn Toán lớp 10, lớp 11
và lớp 12. Cụ thể như sau:
Trong chương trình môn Toán 10: Chủ đề hàm số được học ở chương 2
(Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai); học sinh được học các khái niệm cơ
bản nhất về hàm số (tập xác định; sự đồng biến và nghịch biến của hàm số; đồ
thị hàm số; hàm số chẵn và hàm số lẻ; …). Các bài toán sử dụng đồ thị để biện
luận phương trình, bất phương trình cũng được học lồng ghép ở các bài học liên
quan đến phương trình và bất phương trình.
Trong chương trình môn Toán 11: Chủ đề hàm số được học ở ba chương
(Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; Chương 4: Giới
hạn; Chương 5: Đạo hàm).
Trong chương trình môn Toán 12: Chủ đề hàm số được tiếp nối chương
trình môn Toán 10 và 11 và được học ở chương 1 (Chương 1: Ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số).
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy đa phần học sinh làm được các bài toán
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, nhưng sử dụng đồ thị một hàm số để giải các bài
toán liên quan thì các em lại gặp khó khăn. Chẳng hạn bài toán: “Cho đồ thị hàm
số  C  : y  f  x  , tìm m để phương trình f  u  x    m có nghiệm” nhiều em
không giải được.
Sự xuất hiện ngày càng nhiều dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số trong
các đề thi THPT Quốc Gia chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng như các
đề thi Khảo sát lớp 12 môn Toán (Các đề thi thử) của các Sở Giáo dục và Đào
tạo; của các trường THPT trên toàn quốc đòi hỏi nhu cầu tổng kết các dạng toán
2


đó. Trên cơ sở các dạng toán cơ bản, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận và giải được
các bài toán khó hơn về đồ thị.
Qua tham khảo các Đề thi thử và Đề thi chính thức của kì thi THPT Quốc
Gia, tác giả chia thành năm dạng toán sau đây
 Dạng 1: Đồ thị hàm số và bài toán xét biện luận số nghiệm của một
phương trình.
 Dạng 2: Đồ thị hàm số và chiều biến thiên của hàm số.
 Dạng 3: Đồ thị hàm số và bài toán cực trị.
 Dạng 4: Đồ thị hàm số và bài toán so sánh các giá trị của hàm số.
 Dạng 5: Đồ thị hàm số và bài toán tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
SKKN này tác giả đưa ra một số ví dụ cho mỗi dạng, qua đó giúp học sinh
làm tốt các bài toán tương tự của mỗi dạng. Các ví dụ này được trích từ các Đề
thi thử của một số trường và Sở Giáo dục và Đào tạo trên toàn quốc.
2.3. Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị của hàm số
2.3.1. Dạng 1: Đồ thị hàm số và bài toán xét biện luận số nghiệm của một
phương trình
Ví dụ 1. ( Trích Đề thi thử trường THPT
Yên Khánh A - lần 4 -2019) Cho hàm số

f  x  liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ
bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m để phương trình f



 2 ; 3  là
thuộc nửa khoảng �
�

A.  1;3 .
C.  1;3 .



4  x 2  m có nghiệm



 2 �
�.
1; f  2  �.
D. �
�
�
B. 1; f

Phân tích và cách giải bài toán:
 Một dạng toán quen thuộc học sinh thường gặp là “Dựa vào đồ thị  C 
của hàm số y  f  x  , tìm tham số m để phương trình f  x   m có

nghiệm ”
Cách giải bài toán: Số nghiệm của phương trình f  x   m là số giao
điểm của đồ thị  C  hàm số y  f  x  và đường thẳng d : y  m. Do đó,
để phương trình f  x   m có nghiệm ta tìm m để  C  và đường thẳng d
cắt nhau.
3


 Khi ta thay biến x bởi hàm số u  u  x  , ta chuyển bài toán về dạng “Dựa
vào đồ thị  C  của hàm số y  f  x  , tìm tham số m để phương trình
f  u  x    m có nghiệm ”.
Cách giải bài toán: Trước hết ta tìm tập giá trị của hàm số u  u  x  , giả
sử tập giá trị đó là tập X . Khi đó, phương trình f  u  x    m có nghiệm
khi và chỉ khi đường thẳng d : y  m cắt đồ thị  C  : y  f  x  tại điểm có
hoành độ x �X .
Lời giải
Chọn A
 2 ; 3�
Trước hết, xét hàm số t  x   4  x 2 , x ��
�
�.

Ta có

t�
 x 

x
4  x2

.

t�
 2 ; 3�
 x   0 � x  0 ��
�
�.
Bảng biến của t  x  như sau:



� 1  t  x  �2 ,x ��
 2; 3 .
�
Bây giờ, đặt t  4  x 2 . Lúc này, phương trình f







4  x 2  m có nghiệm

x ��
 2 ; 3 � Phương trình f  t   m có nghiệm t � 1;2
�
� Đường thẳng y  m và đồ thị hàm số f  t  có điểm chung trong nửa
khoảng  1;2

� 1  m �3 .
Vậy m � 1;3 .
4


Ví dụ 2. (Trích Đề thi thử trường THPT
Thăng Long Hà Nội - 2019) Cho hàm số
y  f  x  liên tục trên � và có đồ thị như
hình vẽ bên. Tập tất cả các giá trị của m để
�1 �
phương trình f �
� m nghiệm thuộc
�cos x �
� 3 �
khoảng � ; �là
�2 2 �
� 13 �
�19
�
2; �.
 ; ��
A. �
B. �
.
� 4�
�4
�
� 19 13 �
 ;
C. �

.
�4 4�
�

D.  2;� .

Phân tích và cách giải bài toán:
1
� 3 �
, với x �� ; �thì t � �; 1 . Bài toán trở thành: Tìm
cos x
�2 2 �
m để phương trình f  t   m có nghiệm t � �; 1 .
Lời giải

 Đặt t 

Chọn D

1
� 3 �
� �; 1 .
Ta có x �� ; �nên cos x � 1;0  �
cos x
�2 2 �
Đặt t 

1
, t �1 . Phương trình trở thành f  t   m với t �1 .
cos x

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f  t   m có nghiệm
t �1 . Từ đồ thị hàm số suy ra các giá trị cần tìm để phương trình f  t   m có
nghiệm t �1 là m �2 .

5


Ví dụ 3. (Trích Đề thi thử trường
THPT Hoàng Hoa Thám – Hưng
Yên - Lần 1- 2019) Cho hàm số
y  f ( x) xác định và liên tục trên �và
có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của m để phương trình





2. f 3  3 9 x 2  30 x  21  m  2019

có nghiệm.
A. 15 .
C. 10 .

B. 14 .
D. 13 .

Lời giải
Chọn D

Đặt 3  3 9 x 2  30 x  21  t .
�7�
1; .
Ta có 0 �9 x 2  30 x  21 �4 với mọi x ��
�3�
�
Suy ra t � 3;3 .
Với t � 3;3 , quan sát đồ thị, ta thấy 5 �f  t  �1 , suy ra 10 �2 f  t  �2 .





2
Do đó để phương trình 2. f 3  3 9 x  30 x  21  m  2019 có nghiệm, với

m nguyên, thì ta phải có �
�
10 m 2019
�
2� 2009 m 2021 .

Vậy có 13 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Ví
dụ
4.
Cho
hàm
số
4

3
2
f  x   ax  2bx  3cx  4dx  5h ( a, b,
c, d , h ��) . Hàm số y  f '  x  có đồ thị
như hình vẽ bên. Tập nghiệm thực của
phương trình f  x   5h có số phần tử bằng
A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .
Lời giải
6


Chọn B
x  3
�
�
 x  ta có f '  x   0 � �x  1 .
Dựa vào đồ thị hàm số y  f �
�
x 1
�
Ta có BBT của hàm số y  f  x  như sau:

Ta có: f  0   5h .
Số nghiệm của phương trình f  x   5h là số giao điểm của đồ thị hàm số

y  f  x  và đường thẳng y  5h song song với trục hoành.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f  x   5h có 4 nghiệm phân biệt
2.3.2. Dạng 2: Đồ thị hàm số và chiều biến thiên của hàm số
Ví dụ 5. (Trích Đề thi thử Sở GD-ĐT
Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x 
 x  như hình bên
có đồ thị hàm số y  f �
dưới. Hỏi hàm số y  f  3  2 x   2019
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.  1;2  .
B.  2;� .
C.  �;1 .
D.  1;1 .
Phân tích và cách giải bài toán:
 Tính đạo hàm của hàm số y  f  3  2 x   2019 .

�
 x  ta tìm khoảng để �
 Dựa vào đồ thị hàm số y  f �
�f  3  2 x  �
� 0 .
Lời giải
Chọn A
7


 2 f �
 3  2x  .
Ta có y  f  3  2 x   2019 � y�
 0 � 2 f �

 3  2x  0 � f �
 3  2x  0 .
Do đó, hàm số nghịch biến khi y�
1  x  1
�
 x  0 � �
 x  ta thấy: f �
Dựa vào đồ thị hàm số f �
.
x4
�

1 x  2
�
1  3  2 x  1 �
4   2 x   2
�
��
��
 3  2x  0 � �
Do đó, f �
1 .
�
3

2
x

4


2
x

1
x
�
�
�
2
Vậy hàm số y  f  3  2 x   2019 nghịch biến trên các khoảng
1�
�
.
��;  �
2�
�

 1;2 

và

Ví dụ 6. (Trích Đề thi thử trường THPT
Bình Giang - Hải Dương - Lần 2 - 2109)
Cho hàm số y  f  x  có liên tục trên
 3;6  và đạo hàm y  f �
 x  có đồ thị
như
hình
vẽ
bên.

Hàm
số
2
g  x   2 f  2  x   x nghịch biến trên
khoảng nào sau đây?
A.  3; 2  .
B.  1;0  .
C.  2; 1 .
D.  0;2  .
Phân tích và cách giải

 x  2 f �
 2  x  2x  2 �
 2  x  x�
 Ta có g �
�f �
�. Ta tìm một khoảng
 2  x  x .
trong các khoảng đã cho thỏa mãn f �
 2  x    x trở thành f �
 t   t  2 . Từ tương giao
 Đặt t  2  x thì f �
 x  và y  x  2 ta tìm được nghiệm của bất
giữa đồ thị hai hàm số y  f �
 2  x    x.
phương trình f �
Lời giải
Chọn B

8

 x  2 f �
 2  x  2x .
Ta có g �
 x   0 ta được f �
 2  x  x .
Cho g �
Đặt t  2  x thì x  t  2 và ta có bất
 t  t  2.
phương trình f �
Dựa vào hình vẽ bên trên ta thấy bất
 t   t  2 có tập
phương trình f �
nghiệm là t � a;3 với 1  a  2 . Suy
ra x � 1; 2  a  với 0  2  a  1 .
Do đó, hàm số y  g  x  nghịch biến trên  1;2  a  với 0  2  a  1 .
Dễ thấy, chỉ có đáp án B thỏa mãn vì  1;0  � 1;2  a  với 0  2  a  1 .
Ví dụ 7. (Trích Đề thi thử trường
ĐH Vinh lần 2 - 2019) Cho hàm số
y  f  x  liên tục trên R có f  0   0
 x  như hình
và đồ thị hàm số y  f �

3
vẽ. Hàm số y  3 f  x   x đồng biến
trên khoảng

A.  2;� .
C.  0;2  .

B.  �: 2  .
D.  1;3 .

Phân tích và cách giải:
3
 Trước hết ta lập bảng biến thiên của hàm số y  3 f  x   x , dựa vào đồ

.
 x   x2 �
 x  chúng ta xét dấu được đạo hàm y� 3 �
thị hàm số y  f �
�f �
�

3
 Căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số y  3 f  x   x ta suy ra bảng
3
biến thiên của hàm số y  3 f  x   x , từ đó ta tìm được khoảng đồng
biến của nó.
Lời giải

Chọn C
x0
�
�
 x  3 f �
 x   3x  0 � �x  1 .
Xét hàm số g  x   3 f  x   x . Ta có g �
�

x2
�
3

2

9


3
Từ giả thiết f  0   0 nên g  0   3 f  0   0  0

 x  và y  x 2 ta có bảng biến thiên của hàm
Dựa vào đồ thị của hàm số y  f �
g  x   3 f  x   x 3 như sau:

3
Từ bảng biến thiên của hàm số g  x   3 f  x   x suy ra tồn tại duy nhất giá trị
 � 2; � thỏa mãn g     0 .
3
Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y  g  x   3 f  x   x như sau:

3
Vậy hàm số y  3 f  x   x đồng biến trên khoảng  0;2  .

2.3.3. Dạng 3: Đồ thị hàm số và bài toán cực trị
10


Ví dụ 8. (Trích Đề thi thử trường THPT

Văn Giang Hưng Yên - 2019) Cho hàm số
y  f  x  có đạo hàm liên tục trên �. Đồ
 x  như hình vẽ bên. Số
thị hàm số y  f �
điểm
cực
trị
của
hàm
số
y  f  x  2018   2019 x  1 là
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .

y
4
2
x
1 O

1

D. 4 .

Phân tích và cách giải: Để giải dạng toán này, ta chú ý tới các điểm sau
 Hàm số y  f  x  đạt cực trị tại điểm x0 thì y  f  x  liên tục trên
 x  đổi dấu khi x qua x0 .
khoảng  a; b  nào đó với x0 � a; b  và f �
 x  cắt đường thẳng (không tiếp xúc) y  m tại

 Nếu đồ thị hàm số y  f �
 x   m đổi dấu khi x qua x0 .
điểm x0 thì f �
Lời giải
Chọn B
 f�
 x  2018  2019 .
Ta có y�

 x  2018  2019  0
Dựa vào đồ thị suy ra f �
y�
 f�
 x  2018  2019 đổi dấu khi x qua nghiệm đó.

có 1 nghiệm và

Do đó hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.

Ví dụ 9. Cho hàm số y  f  x  có đồ
 x  như hình vẽ bên. Hàm số
thị y  f �
y  f  1  x 2  có bao nhiêu điểm cực
trị?
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Phân tích và cách giải:
2
 2 x. f �
 Hàm số y  f  1  x  có đạo hàm y�
 1  x 2  . Căn cứ vào đồ thị

 x  , ta lập bảng xét dấu của y� 2 x. f �
hàm số y  f �
 1  x2  .
Lời giải

Chọn C
11


�
2
Ta có �f  1  x 2  �
�


2
x
.
f
1

x


.
�
�
x0
�
x0
�
� 2
�
2
�
f
1

x

0
�
1

x


1
�
Suy ra �
.


�

�
�
�
x

�
2
�
�
1  x2  2
�

 x  ta có
Từ đồ thị hàm số y  f �
�
1  1  x 2  1
 f�
 1  x   0 � �1  1  x2  2 � x �  2;0 � 0; 2 .
�
�
1  x 2  1
2
 f�
 1  x   0 � �1  x 2  2 � x � �;  2 � 2; � .
�
Ta có bảng xét dấu của 2 x. f �
 1  x 2  sau



2

 





 



2
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y  f  1  x  có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 10. (Trích Đề thi thử trường
THPT Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
lần 1- 2019) Hàm số f  x  có đạo hàm
f�
 x  . Đồ thị hàm số y  f �
 x  như hình
vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số
y  f  x2  .
A. 2 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 3 .

y
O

y  f � x 

2

x

5

Lời giải
Chọn D
Ta có

12


x0
x0
�
�
y�
 2 x. f �
 x 2  ; y� 0 � �x 2  2 � �x  � 2 .
�
�
�
 2  x0
2
2
f�

x

0
�
0

x

2
�
�
;
 
0 x 2
�
�
 5x 2
f�
.
 x 2   0 � 2  x2  5 � �
�2  x  5

Bảng xét dấu

 2 x. f �
Ta thấy y�
 x 2  đổi dấu khi đi qua các điểm x  0, x   2 và x  2 .
2
Vậy hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị.

2.3.4. Dạng 4: Đồ thị hàm số và bài toán so sánh các giá trị của hàm số
Ví dụ 11. Cho hàm số y  f  x  có
 x  như hình vẽ bên.
đồ thị y  f �
Biết
rằng
f  0   f  6   f  5   f  10  . Giá trị
lớn nhất của y  f  x  trên  2;10 
bằng
A. f  2  .
B. f  0  .
C. f  5  .
D. f  10  .

 x  ta lập được bảng biến
Phân tích và cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f �
thiên của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;10 . Trên cơ sở bảng biến thiên của
hàm số y  f  x  trên đoạn  2;10 và giả thiết f  0   f  6   f  5   f  10  ,
chúng ta xác định được giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên  2;10 .
Lời giải
13


Chọn D
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x  trên  2;10 

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của y  f  x  trên  2;10 chỉ có
thể tại x  0 hoặc tại x  10 .
Ta có f  0   f  6   f  5   f  10  � f  0   f  10   f  5   f  6  .
Mà f  5   f  6   0 � f  0   f  10   0 � f  0   f  10  .

Vậy giá trị lớn nhất của y  f  x  trên  2;10 bằng f  10  .
Ví dụ 11. (Trích Đề thi THPT Quốc Gia
năm 2018) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị
y f�
 x  như hình vẽ bên. Đặt
g  x   2 f  x    x  1 .
Biết
rằng
g  0   g  3  g  1  g  3 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. g  3  g  3  g  1 .
B. g  1  g  3  g  3 .
C. g  3  g  3  g  1 .
D. g  1  g  3  g  3 .
2

Lời giải
Chọn B

14


 x  2 f �
 x   2  x  1
Ta có g �
 x  và đường thẳng y  x  1 ta có
Từ đồ thị hàm số y  f �
x  3
�
�

g�
 x  0 � f �
 x   x  1 � �x  1
�
x  3.
�
Bảng biến thiên của hàm số g  x  là

Từ bảng biến thiên suy ra g  1  g  3 , g  1  g  3 .
Ta so sánh g  3 và g  3 : Hàm số đồng biến trên khoảng  3;1 , suy ra
g  1  g  0  � g  1  g  3  g  0   g  3  g  1  g  3 � g  3  g  3 .
Vậy g  1  g  3  g  3 .
2.3.5. Dạng 5: Đồ thị hàm số và bài toán tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

15


Ví dụ 12. Cho hàm số bậc ba y  f  x 
có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số
x x 1
g  x 
có bao nhiêu
2
�
f  x �
f
x

16



�
�
tiệm cận đứng?
A. 4 .
C. 6 .

B. 5 .
D. 7 .

Phân tích và cách giải:
2
 Gọi x0 là nghiệm của phương trình f  x  �
�f  x   16�
� 0 với x0 �1 .
g  x   � (hoặc
Do y  f  x  là hàm số bậc ba nên ta có xlim
�x
0

lim g  x   �). Suy ra đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị

x �x0

hàm số y  g  x  .
 Do đó, số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  g  x  là số nghiệm của
2
phương trình f  x  �
�f  x   16 �
� 0 thỏa mãn điều kiện x �1 .

Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định của hàm số g  x  

x x 1
là x �1.
2
�
f  x �
f
x

16


�
�

�f  x   0
�
2
�
f
x

16

0
�



Xét f  x  �
�f  x   4
�
�
�f x  4.
� 

f  x   0 đồ thị hàm số y  f  x  cắt Ox tại 3 điểm x  2; x  1;
x  3 � f  x   0 có 3 nghiệm x  2; x  1; x  3 � đồ thị hàm số
y  g  x  có 2 tiệm cận đứng x  1; x  3 .
 f  x   4 , do đồ thị hàm số y  f  x  cắt đường thẳng y  4 tại điểm có
hoành độ x  2 nên phương trình f  x   4 không có nghiệm x �1 .
 f  x   4 , đồ thị hàm số y  f  x  cắt đường thẳng y  4 tại ba điểm,
một điểm có hoành độ x  1, hai điểm còn lại có hoành độ x  1 là


16


x  a; x  b � f  x   4 có ba nghiệm phân biệt x  1; x  a; x  b �
đồ thị hàm số y  g  x  có 3 tiệm cận đứng x  1; x  a; x  b .
Vậy đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận đứng .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
SKKN đã được tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học 2018
– 2019 của trường THPT Tống Duy Tân ở các tiết tự chọn. Sau khi học nội dung
này, tác giả nhận thấy các em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức được đề
cập. Thông qua các ví dụ được trình bày, các em có thể giải các bài toán tương
tự và tìm ra cách giải các bài toán cụ thể cùng chủ đề.

SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tân
giảng dạy các tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi và
nhận được phản hồi tốt. SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy
hữu ích.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Những dạng toán về đồ thị được trình bày trong SKKN này là những dạng
toán cơ bản và thường gặp, các ví dụ được tác giả chọn lựa phù hợp và tiêu biểu,
giúp học sinh nắm vững cách giải lớp các bài toán liên quan. Nội dung SKKN
là tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, là tài liệu tham
khảo phục vụ cho công tác giảng dạy đối với giáo viên.
3.2. Kiến nghị
Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho
học sinh, tôi mong muốn nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổ
biến một cách rộng rãi để tài liệu đến tay những giáo viên và học sinh yêu thích
môn toán.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm
2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU
17

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục
Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
3. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11 11 nâng cao, Nhà
xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
4. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
5. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
6. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
7. Các Đề thi THPT Quốc gia năm 2017. Năm 2018. Các Đề thi thử THPT
Quốc gia năm 2019 của các trường THPT, các Sở Giáo dục và Đào tạo
trên cả nước.

18


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:

Đỗ Đường Hiếu

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân

Cấp đánh giá
xếp loại
TT

1.

Tên đề tài SKKN

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Hướng dẫn học sinh giải bài
toán hình học giải tích
không gian bằng kĩ thuật

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2014

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2016

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2017

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2018

tham số hóa
2.

Hướng dẫn học sinh giải
phương trình, bất phương

trình bậc hai chứa tham số
và thỏa mãn điều kiện phụ

3.

Xây dựng hệ thống bài tập
dạy học chủ đề ứng dụng
hình học của tích phân theo
định hướng phát triển năng
lực

4.

Một số phương pháp giải
các bài toán vận dụng của
chủ đề hình học không gian
19


----------------------------------------------------

20