Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS&THPT
MỤC LỤC THỐNG NHẤT
Trang
A.MỞ ĐẦU...................................................................................02
1- Lý do chọn đề tài......................................................................02
2- Mục đích của đề tài ..................................................................02
3- Phạm vi và đối tượng của đề tài ...............................................02

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

4- Phương pháp nghiên cứu .........................................................02
5- Đóng góp của đề tài…………………………………………..03
B. NỘI DUNG..............................................................................03
1- Cơ sở lý thuyết .........................................................................03
2- Nội dung đề tài .........................................................................04

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG

C. KẾT
LUẬNPHÂN
VÀ KIẾN
NGHỊ:...............................................33
CỦA
TÍCH
ĐỂ
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
D. TÀI LIỆU
KHẢO......................................................34
VÀ THAM

GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Nguyễn Văn Phúc
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2019


MỤC LỤC
Nội dung
1. PHẦN MỞ ĐẦU

Trang
1

1.1 Lý do chọn đề tài

1

1.2 Mục đích nghiên cứu

1

1.3 Đối tượng nghiên cứu

2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2

2. PHẦN NỘI DUNG

2

2.1 Cơ sở lý luận

2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3

2.3 Giải quyết vấn đề

3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

23

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

24

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

25

DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI

26


1. PHẦN MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức
quan trọng. Nó giúp học sinh tiếp thu những tri thức và rèn luyện những kĩ năng
toán học cần thiết, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân
tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; rèn luyện những đức tính cẩn thận,
chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo. Học Toán còn giúp học sinh có tư duy
logic, rành mạch, điều này sẽ tạo tiền đề cho việc tiếp cận với các lĩnh vực, các
tình huống trong thực tế trở nên dễ dàng hơn.
Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán do được viết đã lâu và chưa
được chỉnh lý lại nên phần khai thác ứng dụng thực tiễn ở các bài học còn hạn
chế, bên cạnh đó đa số giáo viên khi dạy còn nặng về lý thuyết và tính toán, chỉ
truyền thụ kiến thức một chiều,chưa chú trọng đến khai thác ứng dụng thực tiễn.
Do đó, nhiều học sinh khi học đã đặt câu hỏi: “ Học nội dung này để làm gì ?”
bởi các em chưa thấy hoặc không thấy hết được những ứng dụng thực tế của
Toán học đẫn đến việc học Toán đối với các em trở nên gượng ép, nhàm chán.
Vì vậy trong quá trình lên lớp, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tích cực,
chủ động và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán thì
giáo viên phải là người khơi gợi học sinh vận dụng được các bài toán đó để giải
quyêt những vấn đề thực tế. Điều đó cũng phù hợp với mục đích đổi mới
phương pháp dạy học trong nhà trường giúp học sinh hứng thú hơn từ đó việc
học sẽ nhẹ nhàng và đạt hiệu quả tốt hơn.
Tích phân là một trong những phần quan trọng của bộ môn Giải tích lớp 12.
Các bài toán tích phân nói chung và bài toán ứng dụng tích phân nói riêng rất đa

dạng và phong phú, thường có mặt trong kỳ thi THPT Quốc gia. Những năm gần
đây Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với bộ môn Toán, vì
vậy những bài toán về tích phân và ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tế là
các bài toán hay song cũng gây không ít khó khăn cho học sinh kể cả với học
sinh khá- giỏi. Từ những thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 12 và ôn
thi THPT Quốc gia tôi đã xây dựng thành hệ thống các bài toán được áp dụng
trong khi dạy chủ đề: Tích phân và ứng dụng của tích phân. Trong phạm vi sáng
kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày một phần trong chuyên đề với đề tài: “Hướng
dẫn học sinh khai thác ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và
giải một số bài toán thực tế”. Đề tai nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức
lôgic, đầy đủ về ứng dụng tích phân, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,
biết vận dụng vào các bài toán thực tế, đáp ứng yêu cầu đổi mới dạy và học môn
Toán cũng như những đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải toán, bồi
dưỡng năng lực tư duy sáng tạo. Từ đó nâng cao khả năng giải toán phần “Tích
phân và ứng dụng của tích phân” của môn Toán Giải tích lớp 12.
Giúp học sinh nâng cao hứng thú học tập môn Toán, vận dụng kiến thức
đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
1


1.3 Đối tượng nghiên cứu:
- Các dạng toán về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
- Các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của tích phân.
- Học sinh lớp 12A1 năm học 2017-2018 và học sinh lớp 12A1 năm học
2018-2019 của trường THCS&THPT Thống Nhất – Yên Định-Thanh Hóa trước
và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm để phân tích, đánh giá.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Những tài liệu có liên quan đến đề tài:

Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ bản và Nâng cao, các tài liệu tham khảo.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp các bài tập nhằm xây dựng một hệ
thống bài tập đi từ dễ đến khó.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thường xuyên dự giờ, kiểm tra đánh
giá để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán ứng dụng tích phân của
học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác
kết quả phương pháp của mình.

2. PHẦN NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận.
Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 học sinh được học chuyên đề Tích
phân và Ứng dụng của tích phân trong hình học đây là chuyên đề hay và khó
đồng thời có nhiều bài toán thực tế có thể vận dụng kiến thức phần này để giải
quyết. Vì vậy để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh cũng
như rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, nhất là trong
quá trình ôn luyện chuẩn bị kiến thức, kỹ năng cho học sinh tham gia kỳ thi
THPT Quốc gia yêu cầu giáo viên phải hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống
bài tập để giảng dạy chuyên đề này cẩn thận chu đáo.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán và theo dõi quá trình học tập của học
sinh, tôi nhận thấy nếu trong quá trình giảng dạy giáo viên không hệ thống kiến
thức, không xây dựng hệ thống bài tập rõ ràng, không khai ứng dụng Toán học
trong thực tế thì khó tạo hứng thú học tập cho học sinh đẫn đến các em thấy
“ngại” học Toán, thường chỉ biết áp dụng công thức một cách máy móc và các
em không hiểu học chương này, chương kia ví dụ như chương 3- Giải tích lớp
12: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng để làm gì? Thậm chí, có em đã học
xong chương trình THPT nhưng vẫn không thể tính được diện tích ngôi nhà hay
diện tích mảnh đất của gia đình mình, bởi vì trong quá trình học tập học sinh chỉ
biết giải các bài toán trong sách vở mà chưa thấy mối liên hệ giữa kiến thức
được học với thực tế đời sống. Đặc biệt là ở phần Tích phân và Ứng dụng của

tích phân đây là phần có nhiều ứng dụng thực tiễn. Dẫn đến hiệu quả học tập, kết
quả các bài kiểm tra, bài thi không cao.
Với thực trạng ấy để giúp học sinh học và làm bài thi tốt hơn ở phần Tích
phân và ứng dụng của tích phân, theo tôi giáo viên cần hệ thống kiến thức, xây
dựng hệ thống bài tập hợp lý từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo
2


các dạng toán. Việc rèn luyện tư duy qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh
hoàn thiện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán. Trong sáng kiến kinh
nghiệm này tôi sẽ nêu ra một số dạng toán của: “ Ứng dụng tích phân để tính
diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế”.
2.3 Giải quyết vấn đề.
Để thuận lợi cho quá trình học tập cũng như hệ thống hoá kiến thức của học sinh
tôi chia các bài toán liên quan đến: “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình
phẳng và giải một số bài toán thực tế” thành hai phần như sau:
Phần 1: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.
Cho y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm x[a, b]. Diện
tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục
hoành và hai đường thẳng x = a và đường thẳng x = b là
b

S=

f ( x) dx .
�
a

Tổng quát: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y

y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x =
b
b

là

y=f(x)
x

a
b

S = | f (x) | dx
a

2
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x   x  4 x  3 và
trục Ox .

Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm

x 1
�
.
x3
�

x2  4 x  3  0 � �

3

3

x  4 x  3 dx  �
  x2  4 x  3 dx 
Do đó, diện tích cần tìm là: S  �
2

1

1

4
3

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x, trục hoành và
đường thẳng x  e .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: x ln x  0 � x  1 .
e

e

1

1

x ln x dx  �
x ln xdx .
Khi đó S  �

3


1
�
e
du  dx
�
u  ln x
�
�x 2
� ex
e2 x2
�
x
dx 

Đặt �dv  xdx � � 2 Ta có S  �2 ln x �  �
2
2
4
x
�
�
�
1

�
1
v
� 2

e


1

e2  1
.
4

2x
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị hàm số y   x  1 e , trục
hoành và các đường thẳng x  0; x  2 .

Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là

 x  1 e2 x  0 � x  1  0 � x  1� 0; 2

Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là
1

2

0

2

0

1

1

1

S�
 x  1 e2 x dx  �
 x  1 e2 x dx  �
 x  1 e2 x dx  �
 x  1 e2 xdx  S1  S 2
0

S1  �
 x  1 e2 x dx .
1

du  dx
�
u  x 1
�
�
� � 1 2x
Đặt �
v e
d v  e 2 x dx �

�
� 2
0

0

0

0

1
1 2x
1
1
1
3
S1   x  1 e 2 x  �
e dx   x  1 e 2 x  e 2 x  e 2 
2
21
2
4
4
4
1
1
1
2

1 4 1 2

e4 e2 3
2x
S

x

1
e
d
x

e

e


S

  .
Tương tự, ta có 2 �
Suy ra
4
4
4 2 4
1

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x sin 2 x , trục
hoành và các đường thẳng x  0 , x   .
Lời giải
du  dx

�
ux
�
�
��
Đặt �
1
dv  sin 2 xdx �
v   cos 2 x
�
�
2

1

1

1

1

 x sin 2 x  dx   x.cos 2 x  �
 cos 2 x  dx   x.cos 2 x  sin 2 x  C
�
2
2
2
4
x0
�

� 
Xét trên  0;   ta có x sin 2 x  0 � �x 
� 2
�
x 
�

Diện tích hình phẳng là



2

0

0




2



 x sin 2 x  dx  �
 x sin 2 x  dx
S�
x sin 2 x dx  �
x sin 2 x dx  �
x sin 2 x dx  �


2

0


2

4



2



1
1
�1
� �1
�
 � x.cos 2 x  sin 2 x �  �
 x.cos 2 x  sin 2 x �  
�2
4
�0 � 2
4
�
2

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong.
Cho hai hàm số y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là hình
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b. Khi đó
b

diện tích hình phẳng là:

S = | f (x)  g(x) | dx
a

y

y

f(x)

y= f(x)

s
g(x)

a

x

b

a

O

c

x
b

O

3
2
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  C  : y  3x  x  4 x  1 ,

 C�
 : y  2 x 3  x 2  3x  1 ,

x  1 và x  2.

Lời giải

 ta có
Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C  và  C �
x  1
�
�
x2 .
3x  x  4 x  1  2 x  x  3x  1 � x  2 x  x  2  0 � �
�
x 1
�
3

2

3

2

3

2

Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là:
2

2

1

1

S�
3 x3  x 2  4 x  1   2 x3  x 2  3 x  1 dx  �
x 3  2 x 2  x  2 dx
2

2

3
2
�4

�
 �
 x  2 x  x  2  dx  �x4  23x  x2  2 x �  125 .
�
�
1
1
3

2

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  4 và
đường thẳng x  y  1  0 .
Lời giải

5


Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y  x 3  3x 2  4 và y  x  1 là
x3
�
�
x 1
x3  3x 2  4  x  1 � x3  3x 2  x  3  0 � �
�
x  1
�
S

Diện tích

S

1

3

1

1

x 3  3 x 2  x  3 dx  �
x 3  3x 2  x  3 dx
�

1

3

1

1

 x3  3x 2  x  3 dx  �
 x 3  3x 2  x  3 dx  8 .
�

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ( x  1)e x , y  x 2  1 .
Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y  ( x  1)e x , y  x 2  1 là
x 1
x 1
�
�
( x  1)e x  x 2  1 � �x
��
x0
e  x 1
�
�

Ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
1

1

1

�x 3
�
S�
x

1

x

1
e

d
x

x

1

e

xe
d
x

  

�
 �3  x  2e x  xe x �  e  83 .
�
�0
0
0
2

x

2

x

x

x
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   e  1 x , y   1  e  x .

Lời giải
x0
�
x 1
�

x
Phương trình hoành độ giao điểm: (e  1) x  (1  e ) x � �

1

1

(e  1) x  (1  e ) x dx  �
(e  e x ) xdx
Diện tích S  �
x

0

0

ux
�

du  dx

�
�
�
dv  (e  e x ) dx
v  ex  e x
�
�

Đặt �

6


1

1

1

� x2
� e
(
e

e
)
x
d
x


x
(
ex

e
)

(
ex

e
)d
x


e  ex �  1
�
�
�
1 4 2 430 0
�2
�0 2
0
x

x

1

x

0

Vậy

S

e
1.
2

2
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x  4 x  3 , y  x  3 .

Lời giải

.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có.

�x  3 �0
x0
� 2
�
x  4x  3  x  3
x 2  4 x  3  x  3 � ��
��
.
x5
�
��

2
x  4 x  3    x  3
��

Quan sát hình vẽ ta thấy x  4 x  3 �x  3, x � 0;5 .
Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là.
2

5





S�
x  3  x 2  4 x  3 dx .
0
1

3

5

�
 x  3  x 2  4 x  3 dx  �
 x  3  x 2  4 x  3  dx  �
 x  3  x 2  4 x  3  dx .
0
1

1

3

3

5

�
  x 2  5 x  dx  �
 x 2  3 x  6  dx  �
  x 2  5 x  dx .
0

1

3

1

3

5

� x 5 x � �x 3x
� � x 3 5 x 2 � 109
�
 
 6x � �
 

.
� � 
�
2 �0 �3
2
2 �3
6
� 3
�
� 3
1
3

2

3

2

Bài 6: (trích đề tham khảo kỳ thi THPT quốc gia năm 2018)
Cho hình ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3x 2 , cung tròn có phương
trình y  4  x 2 (với 0 �x �2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

(H )

Tính diện tích của hình

.
7

Lời giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm
x 1
(nhan)
�
3 x 2  4  x 2 � 3x 4  x 2  4  0 � x 2  1 x 2  4  0 � �
x  1 (loai )
�







Do đó:
1

2

2

2

3 3 1
3
S  �3x dx  �4  x dx 
x |0  �4  x 2 dx 

 �4  x 2 dx
3
3 1
0
1
1
2

2

2

Tính I  �4  x 2 dx .
1

Đặt x  2sin t � dx  2 cos tdt .
1

�
x  1 � sin t  � t 
�
�
2
6
Đổi cận �
�x  2 � sin t  1 � t  
�
2
2

I  �4  x dx 
2

1

 /2

�4  4sin

2

t .2cos tdt 

 /6

 /2

�4 cos

 /6

2

tdt 

 /2

�2  cos 2t 1 dt

 /6

2
3

3
2
3 2
3 4  3



Suy ra S 
.
3
3
2
6
 sin 2t | //62 2t | /6/ 2 

3
Bài 7: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2 và nửa đường elip
2
1
có phương trình y  4  x 2 ( với 2 �x �2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong
2
a  b 3
hình vẽ). Gọi S là diện tích của, biết S 
( với a , b , c �� ). Tính
c
P abc .

8


Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là:
4
2
3x 2  4  x 2 � 3x  x  4  0 � x  �1

1
2
2
� �3
�1 3 2
� � 3x3
�
1
1
2
2
�
� 2 �  S1 �
S

2
x
d
x


4

x
d
x

2

4

x
d
x
�
�
Vậy
�
�
�
� 2
� �6
�
� �
2
21
6
1
�0
� �
�

0
� �

12
2
Trong đó S1  �4  x dx . Đặt x  2sin t � dx  2cos tdt .
21


x  2�t  .
Đổi cận x  1 � t  .
6
2

2


2



6

6

6

1
�2 
3

cos 2 tdt  �
t

sin
2
t
 1  cos2t  dt  �
Vậy S1  2 �
.
�
�  
2
�
� 3
4



�4  3 � 4  3
Suy ra S  2 �
. Vậy
� 12 �
�
6
�
�

�a  4
�
b  1 � P  a  b  c  9 .

�
�
c6
�

3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong tự cắt khép kín.
y
f(x)

g(x)
s

O

a

h(x)

c
b
 (C1 ) : y  f ( x)

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi :  (C 2 ) : y  g ( x)
 (C ) : y  h ( x )
 3

x

Bước 1: Giải phương trình tìm hoành độ giao điểm
 h( x )  g ( x ) � x  a

 f ( x)  h( x) � x  b
 f ( x)  g ( x) � x  c

Bước 2: Sử dụng
c

b

a

c

f ( x )  h( x) dx  �
g ( x )  h ( x ) dx
S= �
9


Bài 1: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: y  2 x , y   x  3 và
đường thẳng y=1.
Lời giải
Xét phương trình hoành độ
giao điểm của các đường. Ta
có:
2x   x  3 � x  1

2x  1 � x  0

x  3  1 � x  2

Diện tích cần tìm là:
1

1

2

2

�2 x
� � x 2
� 1 1
S�
  x  3  1 dx  �  x �  �  2 x �  
 2x  1 dx  �
�ln 2
�0 � 2
�1 ln 2 2
0
1
2
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  P  : y  x  4 x  5 và các tiếp

tuyến của  P  tại A  1; 2  và B  4;5 .
Lời giải
 2x  4 .
Ta có y�
Tiếp tuyến của  P  tại A và B lần lượt là y  2 x  4 ; y  4 x  11 .
5

�
�
Giao điểm của hai tiếp tuyến là M � ; 1�.
2
�

�

Khi đó, dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:

10


5
2

4

S�
 x  4 x  5  2 x  4  dx  �
 x 2  4 x  5  4 x  11 dx 
2

5
2

1

Bài 3: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

9
4

x 1
và hai đường
x2

thẳng y  2 , y   x  1 (phần tô đậm trong hình vẽ. Tính diện tích của hình phẳng

 H .

Lời giải
Dựa vào hình vẽ, diện tích hình phẳng  H  là:
3

1

�x  1
�
S�
 2�
dx  �
  x  1  2  dx
�
x

2
�
�

5
3
3

1

3 �
�
�
1 
dx    x  1 dx    x  3ln x  2 
�
�
x  2 � �
5 �
3

1

�x 2
�
 �  x �  3ln 3 .
5
�2
�3
3

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y  x 2 , y 
y

1 2
x ,
27

27
.
x

Lời giải

11


.
Ta có x 2 

27
x
x 2 27
2
� x  3,
� x 0, x 

�x9.
x
27
27 x
2

3

3

9

� 2 x 2 � 9 �27 x 2 �
�x 3 x 3 � �
x3 �
x

d
x


d
x



27
ln
x

Khi đó S  �
�
�
�
�
�
� �

�  27 ln 3 .
27 � �
x 27 �
81 �3
0�
3�
�2 81 �0 �

Bài 5: Cho  H  là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi
các đường có phương trình y 

 x khi x �1
�
10
x  x2 , y  �
. Tính diện tích của
3
�x  2 khi x  1

hình  H  .

Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x và y  x  2 là:  x  x  2 � x  1
.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
1

3

10

10
�
�
�
�
2
2
S �
dx  �
dx .
� x  x  x�
� x  x  x  2�
3
3
� 1�
�
0�
1

3

1

3

13
�
�7
�
2�

2
S�
dx  �
dx
� x x �
� x  x  2�
3
3
�
�
�
�
0
1
13
�
�7
�
2�
2
S�
dx  �
dx
� x x �
� x  x  2�
3
3
�
�
�

�
0
1
1

3

�
� 13
13 2 x 3 � �7 2 x 3
S  � x  �  � x   2x �  .
3 �0 �6
3
�6
�1 2

4 Bài toán tỷ số diện tích
x2
Bài 1: Parabol y 
chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng
2

2 2

S

1
thành hai phần có diện tích là S1 và S2 , trong đó S1  S2 . Tìm tỉ số S .
2

Lời giải
Diện tích hình tròn là

S   r 2  8

.
12


2

Ta có

S1 

2
�8  x 

2

Suy ra
S

x2
4
dx  2 
2
3

S 2  S  S1  6 

4
3

3  2

1
Vậy S  9  2 .
2

Bài 2: (trích đề thi minh họa kỳ thi
THPT Quốc gia năm 2017)

y

Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các
đường y  e x , y=0, x  0 , x  ln 4 . Đường
thẳng x=k (0phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ
bên. Tìm k để S1  2S 2 .

S2
S1
x
O

k

ln 4

Lời giải
k

k

e x dx  e x 0  e k  1 và S2 
Ta có S1  �

ln 4

0

e dx  e
�
x

x ln 4
k

 4  ek .

k

Ta có S1  2S2 � e  1  2  4  e  � k  ln 3 .
k

k

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật  H  có một cạnh nằm trên trục
hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A  1;0  và



C a; a

 , với

a 0.

Tìm a biết rằng đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích
bằng nhau .
Lời giải

Gọi ABCD là hình chữ nhật với AB nằm trên trục Ox , A  1;0  và C  a; a 
Nhận thấy đồ thị hàm số y  x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi
qua C  a; a  . Do đó nó chia hình chữ nhật ABCD ra làm 2 phần là có diện tích
13


lần lượt là S1 , S2 . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x
và trục Ox , x  0, x  a và S2 là diện tích phần còn lại. Ta lần lượt tính S1 , S2 .
a

Tính diện tích S1  �xdx .
0

Đặt t  x � t 2  x � 2tdt  dx ; Khi x  0 � t  0; x  a � t  a .
a

a

�2t 3 � 2a a
S

2
t
d
t

Do đó 1 �
.
� � 
3
�3 �0
0
2

Hình chữ nhật ABCD có AB  a  1; AD  a nên
2a a 1
 a a a
3
3
Do đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau
S2  S ABCD  S1  a  a  1 

nên S1  S2 � 2a a  1 a a  a � a a  3 a � a  3 (Do a  0 ).
3

3

Phần 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ
1 Bài toán liên quan họa tiết, hoa văn của các vật trang trí.
Bài 1: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông
cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol
như hình bên. Biết AB  5 cm, OH  4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.

A

O

H
B

Lời giải
Giả sử đường cong phía dưới là một Parabol có dạng y  ax 2  bx  c , với
a; b; c ��. Do Parabol đi qua các điểm O  0;0  , E  2,5; 4  , F  0;5  nên ta có hệ
phương trình.

14


16
�
a
�
�
25
a  5  b  5  c  0
�
�

2
�
� 16
a  2,5   b  2,5   c  4 � �
b
�
.
5
�
�
c0
c0
�
�
�
�
�
2

Vậy phương trình Parabol là y  

16 2 16
x  x.
25
5

16 2 16
x  x , trục hoành và các đường
25
5

5
� 16 2 16 � 40
 x  x�
dx 
thẳng x  0 , x  5 là: S  �
.
�
25
5 �
3
0�

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  : y  

Vì tính chất đối xứng nên tổng diện tích phần bị khoét đi: S1  4S 

160
cm 2 .
3

Diện tích của hình vuông là: Shv  100 cm 2 .
Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: S2  Shv  S1  100 

160 140

cm 2 .
3
3

Bài 2: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình

vuông cạnh 40  cm  như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường
3
2
cong có phương trình 4x 2  y 2 và 4( x  1)  y để tạo hoa văn cho viên gạch.
Tính diện tích phần được tô đậm.

Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

15


Gọi S là diện tích phần tô đậm, vì tính chất đối xứng nên ta có
2

2

2

�8 2 3 � 16
S  4 �2 x dx  4�
2 ( x  1) dx  �
x �
�3
� 5
0
1
�
�0
3

 x  1

5

2


1

32 16 112
 
3 5 15

 dm 
2

Bài 3. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác
nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong
những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên
Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa
2
2
2
độ Oxy là 16 y  x  25  x  như hình vẽ bên.Tính diện tích S của mảnh đất
Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1
mét.

Lời giải
Vì tính đối xứng trục nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích

của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy .
1
4
5
1
125
125 2
 �
x 25  x 2 dx 
S
(m )
Suy
ra
40
12
3

Từ giả thuyết bài toán, ta có y  � x 5  x 2 .Góc phần tư thứ nhất
y

1
x 25  x 2 ; x � 0;5 Nên S( I )
4

Bài 4 : Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều
rộng 8 m , chiều cao 12,5 m . Tính diện tích của cổng.

16

Lời giải
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung,
trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng.Khi đó Parabol có phương trình
dạng y  ax 2  c .Vì  P  đi qua đỉnh I  0;12,5  nên ta có c  12,5 .

 P  cắt trục hoành tại hai điểm A  4;0  và B  4;0  nên ta có

0  16a  c

c
25
25
  . Do đó  P  : y   x 2  12,5 .
16
32
32
4
200 2
� 25 2
�
 x  12,5 �
dx 
m  .
Diện tích của cổng là: S  �
�
32
3
�
4 �
�a 

2 Bài toán liên quan đến tính toán kinh tế.
Bài 1: (trích đề tham khảo năm 2017 của Bộ
GD-ĐT) Ông An có một mảnh vườn hình Elip
có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé
bằng10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất
rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối
xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa
là 100.000 đồng/ 1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu
tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được
làm tròn đến hàng nghìn.)

8m

Lời giải
2

2

x
y
 2  1 , với a  b  0 .
2
a
b
Từ giả thiết ta có 2a  16 � a  8 và 2b  10 � b  5

Giả sử elip có phương trình

17

� 5
y
64  y 2  E1 
�
x
y
8
Vậy phương trình của elip là   1 � �
5
64 25
�
y
64  y 2  E2 
�
8
�
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường  E1  ;  E2  ; x  4; x  4 và
2

2

4

4

5
5
64  x 2 dx  �64  x 2 dx

diện tích của dải vườn là S  2 �
8
20
4

�
�6

Tính tích phân này bằng phép đổi biến x  8sin t , ta được S  80 � 
�
�6

Khi đó số tiền là T  80 � 

3�
�
4 �

3�
.100.000  7652891,82 �7.653.000 đồng.
�
4 �

Bài 2:(Trích đề khảo sát chất lượng lớp 12 năm 2019 của Sở GD Thanh
Hóa) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó
người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có
đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa
đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của
khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản.

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng hoa và trồng cỏ Nhật
Bản tương ứng là 150.000 đồng/ m2 và 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền
để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trên trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm
tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải

.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là.
y  R2  x2 

 2 5

2

 x 2  20  x 2 .

Phương trình parabol  P  có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y  ax 2 . Mặt khác  P  qua
2
điểm M  2;4  do đó: 4  a  2  � a  1 .

18


Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  P  và nửa đường tròn.( phần tô
2





2
2
2
màu).Ta có công thức S1  � 20  x  x dx  11,94m .
2

1
2
Vậy số tiền cần có là 150.000.S1  100.000.S2 �3.738.574 (đồng).

Suy ra phần diện tích trồng cỏ là S2  Shinhtron  S1 �19,47592654 .
Bài 3: Ông An muốn làm một cái cổng sắt có hình dạng và kích thước như hình
2
vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá 1 m  của cổng sắt là
700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cổng sắt như vậy
(làm tròn đến hàng nghìn).

.
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó A  2,5;1,5 , B  2,5;1,5 , C  0; 2  .
Giả sử đường cong phía trên là một Parabol có dạng y  ax 2  bx  c , với a; b; c ��
.
Do Parabol đi qua các điểm A  2,5;1,5 , B  2,5;1,5  , C  0; 2  nên ta có hệ phương
trình.
2
�
2
�

a
a  2,5   b  2,5   c  1,5
�
25
�
�
2
�
a  2,5   b  2,5   c  1,5 � �
b0
.
�
�
�
c2
c2
�
�
�
�
2
Khi đó phương trình Parabol là y   x 2  2 .
25
Diện tích S của chiếc cổng sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm
2
số y   x 2  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  2,5 , x  2,5 .
25
19

2,5

2,5

3
�
55
� 2 2
� � 2 x
S


x

2
d
x


 2x � 
Ta có
.
�
� �
�
25
� � 25 3
�2,5 6
2,5 �

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là. T=
S .  700.000  

55
.700000 �6.417.000 (đồng).
6

Bài 4: (trích đề tham khảo năm 2019 của Bộ GD-ĐT) Một biển quảng cáo
có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn
phần tô đậm là 200.000 đồng/ m 2 và phần còn lại là 100.000 đồng/ m 2 . Tính số
tiền để sơn biển trên, biết A1 A2  8 m , B1 B2  6 m và tứ giác MNPQ là hình chữ
nhật có MQ  3 m .
B2
M

N

A1

A2

Q

P
B1

Lời giải
y
B2 3

M
A1

N
A2
4

O

Q

x

P
B1

x2 y 2

 1.
a2 b2
2a  8 �a  4
�A1 A2  8
�
��
��
Theo giả thiết ta có: �
2b  6
a3
�
�

�B1 B2  6
x2 y 2
3
�  E : 
 1 � y  � 16  x 2 .
16 9
4
2
Diện tích của elip  E  là S E    ab  12  m  .

Giả sử phương trình elip  E  :

�M  d � E 

�
Ta có: MQ  3 � �

�N  d � E 

với d : y 

3�
3�
3
�
�
�M�
2 3; �và N �
2 3; �.
2�

2�
2
�
�
4

Khi đó, diện tích phần không tô màu là S  4

�3

��
�4

2 3

�
16  x 2 �
dx  4  6 3  m 2  .
�

Diện tích phần tô màu là S � S E   S  8  6 3 .
Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là









T  100.000 � 4  6 3  200.000 �8  6 3 �7.322.000 đồng.
20


Bài 5: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF
ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  6 m ,
chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN  4 m ;
cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của
cạnh AB và đi qua hai điểm C , D . Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m2 .
Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó.

Lời giải
Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với
đường thẳng MN thì parabol có phương trình là

1
y   x2  6 .
6

2

208 2
�1 2
�
 x  6�
dx 
m
Khi đó diện tích của khung tranh là S  �
�

6
9
�
2 �

Suy ra số tiền cần để làm bức tranh là:

208
�900.000  20.800.000 đồng
9

Bài 6 : Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O . Một nhóm học sinh lớp 12
được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai
đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O . Hai đường parabol này
cắt đường tròn tại bốn điểm A , B , C , D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng
4 m (như hình vẽ). Phần diện tích Sl , S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 ,

S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh
phí trồng hoa là 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/1m2.
Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó.

21


Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Parabol có hàm số dạng y  ax 2  bx  c có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm
B  2; 2  nên có phương trình y 

1 2

x
2

Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính OB  2 2 nên có phương
trình là x 2  y 2  8 . Do ta chỉ xét nhánh trên của đường tròn nên ta chọn hàm số
2

1 2�
�
2
dx
nhánh trên là y  8  x . Diện tích phần S1  �
�8 x  x �
2 �
2 �
2

2

1
2

�
2
2�
dx �15, 233
Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là S1  S2  2 �
�8 x  x �
2

�

�

Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:





15, 233 �150.000   2 2



2



 15, 233 �100.000 �3.274.924 đồng.

Bài 7. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều
rộng là 30m người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng
viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt
đường là 2m. Kinh phí để làm mỗi m 2 làm đường 500.000 đồng. Tính tổng số
tiền làm con đường đó.

Lời giải
Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục hoành và trục tung lần lượt là các trục đối
xứng của hình chữ nhật trong đó trục hoành dọc theo chiều dài của hình chữ
nhật.

a
� x2
x2 �
x2 y2
S

b
1


1

�
�  ab
Gọi S là diện tích của elip  E  : 2  2  1 ta có
2
2 �
�
�
a
a
a b
a �
�

Gọi  E1  là elip lớn,  E2  là elip nhỏ ta có:

 E1  :

x2 y 2


 1 � Diện tích của nó là S1   .25.15  375 .
252 152
22


x2 y2
 E2  : 2  2  1 � Diện tích của nó là S2   .23.13  299 .
23 13
Diện tích con đường là 375  299  76 .
Do đó số tiền đầu tư là 76 .500.000 �119.320.000

Bài 8: Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần
lượt là 100m và 80m . Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ một đỉnh
của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (Bề rộng không đáng kể). Phần rộng hơn
anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống. Biết lãi nuôi cá lấy thịt và lãi
nuôi cá giống trong 1 năm lần lượt là 20.000 đồng/m2 và 40.000 đồng/m2. Hỏi
trong 1 năm anh Toàn có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên.
Lời giải
π m
Diện tích toàn bộ ao là Sπ .40.50  2000

Diện tích phần nuôi cá giống là

S1 

2



S
 Sπ
m  1000 
OAB  500
4

 1000 
Diện tích phần nuôi cá thịt là S2  S  Sπ1  1500 m

2

2





Tiền lãi từ nuôi cá là 40000.S1  20000.S2 �137.080.000

2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Qua quá trình vận dụng chuyên đề vào giảng dạy, tôi nhận thấy khi hướng dẫn
học sinh khai thác ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải
một số bài toán thực tế bằng cách phân loại dạng toán cụ thể như trên thì học
sinh học sinh nắm được bài, hiểu được sâu kiến thức, nâng cao được khả năng tư
duy, tính sáng tạo trong giải toán và rất hào hứng với các bài toán thực tế, các
em cũng hiểu được tầm quan trọng của Toán học trong thực tế cuộc sống. Từ đó
kĩ năng giải toán được nâng lên, nhiều học sinh học tốt và thích học chương IIIToán Giải tích 12“ Nguyên hàm- Tích phân và ứng dụng ” hơn. Trong bài kiểm
tra kết thúc chuyên đề các em trình bày chặt chẽ, lôgic hơn và đạt kết quả cao
hơn cụ thể: Với đề kiểm tra gồm các câu hỏi:
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P): y  f ( x)  2 x 2  4 x  6 ,

các đường thẳng x  2, x  4 , và trục Ox .
Câu 2:Tính diện tích của hình phẳng  H  được giới hạn bởi các đồ thị

 d1  : y  2 x  2 ,  d 2  : y 

x
 1 ,  P  : y  x2  4 x  3 .
2

23