Ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC
NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH

Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2018


MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

1. Mở đầu

2

1.1.Lý do chọn đề tài

2

1.2.Mục đích nghiên cứu

2

1.3.Đối tượng nghiên cứu

3

1.4. Phương pháp nghiên cứu

3

2. Nội dung nghiên cứu

3

2.1.Cơ sở lý luận
2.1.1. Kiến thức cơ bản về số phức
2.1.2. Tập hợp các điêm biểu diễn số phức thường gặp
2.2. Thực trạng của đề tài
2.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề

3
4
6
6
7

2.3.1. Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

7

2.3.2. Bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa mãn

8

điều kiện cho trước
2.3.2.1. Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

8

2.3.2.2. Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn
2.3.2.3. Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường E líp
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị

11
16
17
18

3.1. Kết luận

18

3.2. Kiến nghị

18

Tài liệu tham khảo

19

1. MỞ ĐẦU.
2


1.1.Lý do chọn đề tài
Khi học về Số phức ta biết rằng mỗi số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ , i 2 = −1)
được biểu diễn bởi một điểm M ( x; y ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Như vậy
chúng ta có thể dùng hình học, cụ thể ở đây là Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng Oxy để giải các bài toán về số phức. Ta sẽ “nhìn’’ một số bài toán về số
phức với quan điểm tọa độ. Từ đó ta sẽ thấy giữa Đại số và Hình học có mỗi
quan hệ mật thiết với nhau, hòa quyện nhau.
Khi chuyển bài toán về Số phức từ ngôn ngữ Đại số sang Hình học thì những
con số dường như khô khan ấy lại trở nên trực quan sinh động và mang một vẻ
đẹp riêng, làm học sinh dễ hiểu, dễ học. Từ đó làm người học hứng thú, đam mê
khám phá tìm tòi và sáng tạo. Đặc biệt trong các kì thi Đại học, Cao đẳng và
THPT quốc gia gần đây có rất nhiều các bài toán về số phức làm học sinh lúng
túng. Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, ngoài kiến thức nắm vững học
sinh còn phải giải quyết nhanh bài toán. Để làm nhanh thì người học phải hiểu
cặn kẽ từng dạng toán. Đối với dạng toán tìm số phức thỏa mãn một điều kiện
nào đó, hay các bài toán về Cực trị trong số phức nếu học sinh vẽ được hình
minh họa, sau đó dùng phương pháp tọa độ sẽ giải quyết nhanh chóng và dễ
hiểu, dễ nhớ . Đi từ “trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng” [1], đó chính là
con đường của nhận thức, khám phá cái mới .
Ngoài phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy thì một số bài toán về số
phức có thể giải bằng nhiều phương pháp như dùng Bất đẳng thức, Dùng lượng
giác, dùng Khảo sát hàm số...Nhưng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy
vẫn có vẻ đẹp riêng và có sức hấp dẫn riêng đối với người học toán.
Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung

và Số phức nói riêng sang bài toán Hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy ở
nhiều học sinh nói chung còn khá lúng túng, bỡ ngỡ. Để giúp học sinh giải một
số bài toán về Số phức đặc biệt là bài toán Cực trị Số phức tôi xin trao đổi với
quí đồng nghiệp đề tài: “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải
một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh”. Với mục
đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về Phương pháp
tọa độ đã học ở lớp 10 để giải một số bài toán về số phức. Từ đó học sinh sẽ linh
hoạt hơn trong tư duy và hiểu rõ hơn các kiến thức về cả Số phức cũng như kiến
thức về Hình học. Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt
kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia .
1.2.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng
cường vận dụng kiến thức về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải toán
về Số phức.
-Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể
3


hiện về mối liên hệ giữa Số phức với Hình học. Qua đó thấy được sự giao thoa
giưa Đại số nói chung và số phức nói riêng với Hình học.
- Góp phần nâng cao tư duy sáng tạo, chất lượng dạy học môn toán ở
trường THPT.
- Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ
thông quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài
là:
- Nghiên cứu về tính ứng dụng của Hình học đặc biệt là ứng dụng của
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Hình học liên hệ với Đại số nói chung và số phức nói riêng thể hiện

như thế nào trong một số bài toán về số phức đặc biệt bài toán Cực trị số
phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp
giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn,thu thập thông tin.
- Thực nghiệm sư phạm.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1.Cơ sở lý luận
Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết hội
nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo
nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn
mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán
về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển
nguồn nhân lực [2].
Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo
dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới.
Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học
rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một
môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại
học môn này.
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy
logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên
cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận

4


dụng lý thuyết vào làm bài tập, vận dụng kiến thức Hình học để giải quyết các
bài toán về Đại số và ngược lại, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh THPT vận dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy để giải
một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh. Giúp học
sinh chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia .
Để vận dụng tốt Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng vào giải một số bài toán
về số phức ta cần nắm vững kiến thức như sau:
2.1.1.Kiến thức cơ bản về số phức .
Định nghĩa: Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các
số thực và số i thoả mãn i2 = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .
i được gọi là đơn vị ảo
a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a
b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b
Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
*) Một số lưu ý:
- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.
- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức bằng nhau.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.
a = a '
b = b '

z = z’ ⇔ 

Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ
Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .
Phép cộng và phép trừ các số phức.
5


Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

 z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i

 z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i
Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i

Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số
phức trên.
Vậy z = a + bi = a - bi
Chú ý: 10) z = z ⇒ z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau.
20) z. z = a2 + b2
*) Tính chất của số phức liên hợp:
(1): z = z
(2): z + z ' = z + z '
(3): z.z ' = z.z '
(4): z. z = a 2 + b 2 (z = a + bi )
Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số
thực không âm được xác định như sau:

uuuuu
v

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM = a 2 + b 2
- Nếu z = a + bi, thì z =

z.z = a 2 + b 2

6


Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
1

1

z-1= a 2 + b 2 z = z 2 z
Thương

z'
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
z

z'
z '.z
= z.z −1 = 2
z
z

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính
chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực
thông thường [3].
2.1.2. Tập hợp các điêm biểu diễn số phức thường gặp.
+ Phương trình đường thẳng: ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0)
+ Phương trình đường tròn tâm I( a; b) bán kính R > 0 là:
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2
x2 y2
+ Phương trình chính tắc E líp : 2 + 2 = 1 (a> b >0)
a
b

2.2.Thực trạng của đề tài
- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức về
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh
đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này.
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về
Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” cho ta phương pháp giải các
bài toán liên quan đến số phức một cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học
sinh có học lực trung bình trở lên.
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số
phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” kích thích sự sáng tạo tính ham
học hỏi, ham khám phá của học sinh.
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số
phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” giúp học sinh yêu thích học tập
môn toán hơn, thấy được sự “ gần gũi ’’ giữa Hình học và Đại số.
7

- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số
phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” có thể giúp học sinh phát huy
tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường tiết kiệm , kinh tế nhất để
học tập tốt.
2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề.
2.3.1.Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức .
Bài toán cơ bản: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm M biểu
diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện K cho trước.
Phương pháp chung:
+ Bước 1: Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y∈ ¡ ).
+ Bước 2: Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x, y và kết luận.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức
z thỏa mãn điều kiện: z = z − 2 + 3i ?
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ∈ ¡ ).
Ta có:
z = z − 2 + 3i ⇔ x + yi = x − yi − 2 + 3i
⇔ x 2 + y 2 = ( x − 2)2 + (− y + 3)2
⇔ x2 + y 2 = x2 − 4x + 4 + y 2 − 6 y + 9
⇔ 4 x + 6 y − 13 = 0.

Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng (d): 4 x + 6 y − 13 = 0 .
Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn
các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: u = ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là số thực.
Học sinh giải tương tự . Đáp số:Tập hợp điểm M là đường thẳng (d ) : x − y + 4 = 0.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số
phức z thỏa mãn điều kiện: z − (1 − 2i) = 3
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ∈ ¡ ).
Ta có:

z − (1 − 2i ) = 3 ⇔ x − 1 + ( y + 2)i = 3
⇔ ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 3 ⇔ ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9

Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường tròn (C) tâm I (1; −2) ,bán kính R = 3 có
phương trình: ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9 .
Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn
các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z − 2 − 4i = 5 .
Học sinh giải tương tự. Đáp số: Tập hợp điểm M là đường tròn
(C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 5 .

8


Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số
phức z thỏa mãn điều kiện: z + 3 + z − 3 = 4 .
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ∈ ¡ ), số z1 = − 3 có điểm
biểu diễn là F1 (− 3;0) , số z2 = − 3 có điểm biểu diễn là F2 ( 3;0) . Số phức z
thỏa mãn: z + 3 + z − 3 = 4 ⇔ MF1 + MF2 = 4 , suy ra M thuộc đường elip có
a = 2, b = 1, c = 3 ,tiêu điểm F1 , F2 , do đó Elip ( E ) có phương tình trình chính tắc:
x2 x2
+
= 1.
4 1

Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn
các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z + 1 + z − 1 = 4 .
x2 y2
Học sinh giải tương tự . Đáp số: Tập hợp điểm M là đường Elip ( E ) : + = 1 .
4

3

2.3.2.Bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện cho trước.
Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước. Tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của z .
Phương pháp chung:
+ Bước 1: Tìm tập hợp (H) các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*).
+ Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈ ( H ) sao cho khoảng
cách OM lớn nhất, nhỏ nhất.
2.3.2.1.Dạng 1 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường
thẳng .
Ví dụ 1.1 . Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i , tìm số
phức z có mô đun nhỏ nhất.
Giải
Gọi z = x + yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M ( x; y ) , số phức
z1 = 2 + 4i có điểm biểu diễn hình học là A(2 ; 4), số phức z1 = 2i có điểm biểu
diễn hình học là B(0 ; 2). Khi đó ta có:
z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ MA = MB. Suy ra điểm M thuộc đường trung trực ∆ của đoạn
thẳng AB nên đường thẳng ∆ có phương trình:
x = 1+ t

y = 3−t

Ta có : z min ⇔ OM min ⇔ OM ⊥ ∆ .

uuuu
r

Điểm M thuộc ∆ nên M (1 + t;3 − t ) ⇒ OM = (1 + t ;3 − t ). Véc tơ chỉ phương của ∆

9


uu
r

uuuu
r uur

là: u∆ = (1; −1) .Do đó OM ⊥ ∆ ⇔ OM .u∆ = 0 ⇔ 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M (2; 2) .Số phức cần
tìm là : z = 2 + 2i .
Bài tập tương tự: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 6 − 13i = z + 4 − 5i ,
tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.
Học sinh giải tương tự . Đáp số : z = 5 + 4i .
Ví dụ 1.2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 9 − 10i = z + 1 − 4i ,
tìm giá trị nhỏ nhất của z − 2 + i .
Giải.
Gọi z = x + yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M ( x; y ) , số phức
z1 = 9 + 10i có điểm biểu diễn hình học là A(9 ; 10), số phức z2 = −1 + 4i có điểm
biểu diễn hình học là B(-1 ; 4). Khi đó ta có:
z − 9 − 10i = z + 1 − 4i ⇔ MA = MB. Suy ra điểm M thuộc đường trung trực ∆ của
 x = 4 + 3t
đoạn thẳng AB nên đường thẳng ∆ có phương trình: 
 y = 7 − 5t

Gọi C(2 ; -1) là điểm biểu diễn hình học của số phức z3 = 2 − i , khi đó ta có
z − 2 + i = MC . Số z − 2 + i có mô đun nhỏ nhất khi MC ngắn nhất, tức là điểm M
là hình chiếu vuông góc của điểm Cuutrên
đường thẳng ∆ . Điểm M thuộc ∆ nên

uu
r
tọa độ điểm M (4 + 3t;7 − 5t ) , véc tơ CM = (2 + 3t;8 − 5t ) , Véc tơ chỉ phương của ∆
uu
r
uuuu
r uur
là: u∆ = (3;5) .Giải điều kiện: CM ⊥ ∆ ⇔ CM .u∆ = 0 ⇔ 34T − 34 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M (7; 2).
Suy ra min z − 2 + i = 34
Cách tính khác: Ta có min z − 2 + i = d (C ; ∆) . Phương trình tổng quát của ∆ là:
5 x + 3 y − 41 = 0 ,

khoảng

cách: d (C; ∆) =

5.2 + 3( −1) − 41
52 + 32

= 34 ⇒ min z − 2 + i = 34

[4].
Bài tập tương tự: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện
z − 1 + 3i = z − 3 − 5i , tìm giá trị nhỏ nhất của z + 2 + i .
Học sinh giải tương tự . Đáp số : min z + 2 + i =

12 17
.
17

Ví dụ 1.3. Cho số phức z thỏa mãn z − 5 + 6i = z − 15 . Tìm số phức z để
P = z − 2 + i + z + 6 − i nhỏ nhất .
Giải

10


Gọi z = x + yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M ( x; y ) , số phức z1 = 5 − 6i
có điểm biểu diễn là A(5 ; -6), số phức z2 = 15 có điểm biểu diễn là B(15;0). Khi
đó ta có:
z − 5 + 6i = z − 15 ⇔ MA = MB. Suy ra điểm M thuộc đường trung trực ∆ của đoạn
thẳng AB nên đường thẳng ∆ có phương trình: 5 x + 3 y − 41 = 0 .

số phức z3 = 2 − i có điểm biểu diễn là C(2;-1), số phức z4 = −6 + i có điểm biểu
diễn là D(-6;1).
Biểu thức P nhỏ nhất khi MC + MD nhỏ nhất
Đặt f ( M ) = 5 x + 3 y − 41 , ta có các giá trị f (C ) = −34 , f ( D) = −68 . Suy ra C, D
thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng ∆ . Do đó MC + MD nhỏ nhất
khi M = C ' D ∩ ∆ , với C’ là điểm đối xứng của điểm C qua đường thẳng ∆ .
 x = 2 + 5t
thay
 y = −1 + 3t
vào phương trình của ∆ ta có : t = 1 ⇒ H (7; 2) (Với H = ∆ ∩ ∆ ' ) ⇒ C '(12;5) .

Đường thẳng ∆ ' qua C và vuông góc với ∆ có phương trình: 
Phương trình của đường thẳng DC’:
 x = −6 + 9t

, thay vào phương trình
 y = 1+ t

4
của ∆ ta được t = . Tọa độ điểm
3
11
M (6; ).
3
⇒ Số phức cần tìm là z = 6 +

11
i.
3

[4]
Nhận xét : Ở ví dụ1.3 ta thấy bài toán quy về việc tìm M nằm trên đường thẳng
∆ cho trước sao cho tổng khoảng cách MC + MD nhỏ nhất với 2 điểm C, D cố
định cho trước.
Bài toán này là bài toán cơ bản, ta có cách giả như sau:
+ Nếu C, D nằm về hai phía đối với ∆
thì với mọi điểm M ∈∆, MC + MD ≥ CD.
Vậy MC + MD nhỏ nhất là
MC + MD = CD
⇔ M , C , D thẳng hàng hay M = ∆ ∩ CD .

+ Nếu C, D nằm về cùng một phía đối với ∆ thì
gọi C’ là điểm đối xứng với C qua ∆ . Khi đó,
với mọi điểm M ∈∆, MC + MD = MC '+ MD ≥ C ' D.
11


Vậy MC + MD nhỏ nhất bằng C’D khi và chỉ khi

C ', M , D thẳng hàng hay

M = ∆ ∩C 'D .

Bài tập tương tự:
Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + i = z − 2 − 3i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z + 2 − i + z − 3 + 2i .
Học sinh giải tương tự . Đáp số : min P =

5 493
.
17

2.3.2.2.Dạng 2 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn .
Bài toán công cụ 1. Cho đường tròn (T ) cố định có tâm I bán kính
R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn (T ) . Hãy xác định
vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
TH1: A thuộc đường tròn (T)
Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A
AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,
I và đường tròn (T);
Giả sử AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T)
thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
AM ≥ AI − IM = AI − IB = AB .
Đẳng thức xảy ra khi M ≡ B
AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC .

Đẳng thức xảy ra khi M ≡ C
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm
M bất kì trên (T), ta có:
AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB .
Đẳng thức xảy ra khi M ≡ B
AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC .
Đẳng thức xảy ra khi M ≡ C . Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất.
12


Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất.
Bài toán công cụ 2.
Cho hai đường tròn (T1) có tâm I, bán kính R1; đường tròn (T2) có tâm J, bán
kính R2. Tìm vị trí của điểm M trên (T1) , điểm N trên (T2) sao cho MN đạt giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn (T1) tại hai điểm phân biệt A,
B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2) tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC).
Với điểm M bất khì trên (T1) và điểm N bất kì trên (T2) .Ta có:

MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + J N = R1 + R2 + IJ = AD .
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
MN ≥ IM − IN ≥ IJ − IM − J N = IJ − R1 + R2 = BC .
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C.

Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất.
khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán công cụ 3. Cho hai đường tròn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng
∆ không có điểm chung với (T ) . Tìm vị trí của điểm M trên (T ) , điểm N trên
∆ sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d
Đoạn IH cắt đường tròn (T ) tại J
Với M thuộc đường tròn (T ) thẳng ,
MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = J H = const .
N thuộc đường thẳng ∆ , ta có:
Đẳng thức xảy ra khi M ≡ J ; N ≡ H
13


Vậy khi M trùng với J; N trùng với H thì MN đạt giá trị nhỏ nhất [5].
Ví dụ 2.1: Trong các số phức z thoả mãn z − 3 + 4i = 4. Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của z .
Giải:
Cách 1
Gọi z = x + yi

( x;y∈ R ) ⇒ M(x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy

z − 3+ 4i = 4 ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = 4 ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = 16

Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I (3;−4) , bán
kính R = 4.
z = x2 + y2 = OM ; OI = 5 > R nên O nằm ngoài đường tròn (T)
z lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.

(Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt
 3 4   27 36 
A ;− ÷; B ;− ÷⇒ OA = 1;OB = 9

5
 5 5  5
Với M di động trên (T), ta có: OA ≤ OM ≤ OB ⇔ 1≤ OM ≤ 9 ⇒ 1≤ z ≤ 9
⇒ OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B
3 4
27 36
− i
Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z = − i ; z lớn nhất bằng 9 khi z =
5 5
5 5
Cách 2
Gọi z = x + yi ( x; y∈ R )
⇒ M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy

ω = 3− 4i ⇒ A(3; −4) biểu diễn cho số phức ω
z = OM; ω = OA = 5 ⇒ z − ω = AM ;
Theo giả thiết z − 3+ 4i = 4 ⇔ z − ω = 4 ⇔ AM = 4.
Ta có:
OM − OA ≤ AM ⇔ −4 ≤ OM − OA ≤ 4 ⇔ −4 + OA ≤ OM ≤ 4 + OA ⇔ 1≤ OM ≤ 9
⇒ 1≤ z ≤ 9 ; z = 1 khi z =

3 4
27 36
− i ; z = 9 khi z =
− i
5 5
5 5

14

3 4
27 36
− i ; z lớn nhất bằng 9 khi z =
− i
5 5
5 5

Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng
bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.

Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z =

Ví dụ 2.2. Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: z1 − 1− i =1; z2 − 6 − 6i = 6, tìm
số phức z1, z2 sao cho z1 − z2 đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Gọi z1 = a + bi. ; z2 = c + d.i ; (a,b,c,d là những số thực); z1 được biểu diễn bởi
điểm M(a; b); z2 được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
2

z1 − 1− i = 1⇔ z1 − 1− i = 1⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 = 1 suy ra M thuộc đường
tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1.
2

z2 − 6 − 6i = 6 ⇔ z2 − 6 − 6i = 36 ⇔ (c − 6)2 + (d − 6)2 = 36 suy ra M thuộc
đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6.
z1 − z2 = (c − a)2 + (d − b)2 = MN .

(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 2)
Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại

 2− 2 2− 2 
 2+ 2 2+ 2 
M
;
;
M
;
÷ 2
÷
hai điểm 1 
÷
 2
÷
2
2
2




Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm

(

) (

)

N1 6 − 3 2;6 − 3 2 ; N2 6 + 3 2;6 + 3 2 .
M2N1 ≤ MN ≤ M1N2 ⇔ 5 2 − 7 ≤ z1 − z2 ≤ 5 2 + 7

max z1 − z2 = 5 2 + 7 khi M ≡ M1, N ≡ N2

(

)

Vậy z = 2 − 2 + 2 − 2 i ; z = 6 + 3 2 + 6 + 3 2 i thì
1
2
2
2

z1 − z2 đạt giá trị

lớn nhất.
Ví dụ 2.3 Cho các số phức z1; z2 thoả mãn: z1 =1; z2  z2 − (1− i ) − 6 + 2i là một
số thực. Tìm số phức z1; z2 sao cho P = z2 − ( z1z2 + zz
đạt giá trị nhỏ nhất.
1 2)
2

Giải:
Gọi z1 = a + bi ; z2 = c + di ; ( a,b,c,d ∈ R )
15


⇒ M (a; b), N(c;d) lần lượt biểu diễn cho z1; z2 trong hệ toạ độ Oxy

z1 = 1⇔ a2 + b2 = 1⇔ a2 + b2 = 1

⇒ M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = 1
z2 = c − di;

ω = z2  z2 − ( 1− i )  − 6 + 2i = ( c − di ) (c − 1) + (d + 1)i  + 2 − 6i
= c(c − 1) + d(d + 1) + 2 + c(d + 1) − d(c − 1) − 6 i
ω là số thực ⇔ c(d + 1) − d(c − 1) − 6 = 0 ⇔ c + d − 6 = 0
⇒ N thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 6 = 0
Ta có d(O;∆) > 1 nên ∆ và (T ) không có điểm chung
z1z2 = ac + bd + (bc − ad)i;
zz
= ac + bd + (−bc + ad)i ⇒ z1z2 + zz
= 2(ac + bd)
1 2
1 2
P = c2 + d2 − 2(ac + bd) = (c − a)2 + (b − d)2 − 1= MN 2 − 1 (vì a2 + b2 = 1)
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ : x + y − 6 = 0 ⇒ H (3;3)
 2 2
(
T
)
I
;
÷
Đoạn OH cắt đường tròn
tại 
÷
2
2



Với N thuộc đường thẳng ∆ , M thuộc đường tròn (T ) , ta có:
MN ≥ ON − OM ≥ OH − OI = IH = 3 2 − 1.
Đẳng thức xảy ra khi M ≡ I ; N ≡ H

(

)

2

⇒ P ≥ 3 2 − 1 − 1= 18− 6 2 .
Đẳng thức xảy ra khi z1 = 2 + 2 i; z2 = 3+ 3i
2
2
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18 − 3 2 khi z1 = 2 + 2 i; z2 = 3+ 3i .[5]
2
2
Bài tập
1. Nếu các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 thì z có giá trị lớn nhất bằng:
A. 3 5 .

B. 5 .

C. 5 .

D. 13 .

Học sinh tự giải. Đáp số: max z = 3 5 ⇒ Chọn đáp án A.
2. “Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z − 10 − 8i = 41 , tìm số phức z có mô

đun nhỏ nhất” [4] .
Học sinh tự giải. Đáp số: z = 5 + 4i
2.3.2.3.Dạng 3 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường E líp .
16


Ví dụ : Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z − 3 + z + 3 = 10. Tìm số phức
z có môđun lớn nhất .
Giải:
Gọi z = x + yi ( x; y∈ R )
⇒ M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
z − 3 + z + 3 = 10 ⇔ (x − 3)2 + y2 + (x + 3)2 + y2 = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 ;

(với F1(−3;0); F2(3;0) ) ⇔ M ∈(E ) có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6
x2 y2
⇔ M ∈ (E ): + = 1
25 9
z = OM;OM lớn nhất , ⇔ OM = a = 5 ⇔ M (5;0) , M (−5;0)
Vậy z lớn nhất bằng 5 khi z = 5∨ z = −5
Bài tập tương tự:

[6].

Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z − 3 + z + 3 = 10. Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
Học sinh giải tương tự. Đáp số: z min = 3 ⇔ z = ± 3i; z max = 2 ⇔ z = ±2
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2015-2016 và tiếp tục hoàn thiện
vào năm học 2017-2018. Kết quả thu được là rất khả quan. Sau đây là kết quả
kiểm nghiệm:

Năm học 2015-2016 (Kiểm nghiệm ở lớp 12A3):
Kết quả
Tổng số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
học sinh
SL % SL %
SL
%
Trước khi áp
dụng SK

48

01

Sau khi áp
dụng SK

48

09

2.1 07
18.7
5
24

14.6

17

35.4

23

47.9

50.0

9

18.75

6

12.5

Năm học 2017-2018(Kiểm nghiệm ở lớp 12C2):
Kết quả
Tổng số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
học sinh
SL % SL %
SL

%
Trước khi áp
dụng SK

43

2

4.6

9

Yếu, kém
SL
%

20.9

21

49

Yếu, kém
SL
%
11

25.5
17

Sau khi áp
dụng SK

43

13

30.2

24

55,9

4

9.3

2

4.6

Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy rằng đa số học sinh rất hào hứng
với các bài toán số phức mà tôi đã trình bày ở trên. Các em cảm thấy tự tin hơn
khi giải các bài toán về số phức ở trong các đề thi khảo sát của trường và của Sở
giáo dục và Đào tạo.Ngoài ra các em không ngừng sưu tầm các bài toán về số
phức khác trên Internet để làm phong phú thêm kiếm thức của mình để tự tin khi
dự thi THPT quốc gia và tự tin bước vào thị trường lao động sản xuất sau khi
các em tốt nghiệp THPT.
Sáng kiến kinh nghiệm này của tôi đã được giáo viên trong tổ đánh giá cao

và các đồng nghiệp hưởng ứng cùng áp dụng trong phạm vi tổ. Qua đó đã đóng
góp một phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu quả giáo dục của trường
THPT Tĩnh Gia 3.
3.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Việc vận dụng kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải
một số bài toán về số phức đã thể hiện được cho học sinh thấy khả năng vận
dụng công cụ hình học để giải các bài toán đại số. Ở sáng kiến kinh nghiệm này
tôi đã sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy để giải quyết hai bài
toán đó là Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức và Bài toán tìm số
phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước. Qua thực tế áp
dụng đề tài này tôi thấy rằng: Khi giải các bài toán về số phức bằng công cụ
hình học ta thấy các bài toán này trở nên dễ hiểu hơn, trực quan hơn, từ đó học
sinh sẽ hứng thú hơn với môn toán. Dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông
rất cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp ở môn Hình học
học vào môn Đại số và ngược lại. Cũng như vận dụng toán học vào các môn học
khác trong nhà trường. Qua đó học sinh thêm yêu toán học hơn, kích thích tư
duy sáng tạo trong học tập và trong cuộc sống của học sinh.
3.2. Kiến nghị
Qua nghiên cứu và áp “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải
một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” tôi thu
được hiệu quả nhất định, để học tập môn toán của các em có kết quả cao hơn và
kiến thức vững hơn. Đề tài của tôi trên đây còn mang tính chủ quan, chưa hoàn
thiện. Tôi kính mong đồng nghiệp và hội đồng khoa học của trường THPT Tĩnh
Gia 3 cũng như hội đồng khoa học của Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Thanh Hóa
góp ý kiến thêm để đề tài của tôi hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá
trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.

18

Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các cấp
tôi xin chân thành cảm ơn nhiều. Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe,
hạnh phúc, thành đạt.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Bút ký triết học của Lê- nin, Nguyễn Bằng Tường, Nhà xuất bản Chính trị
quốc gia 2009.
[2]. Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ XII, Nhà xuất bản Chính trị
quốc gia 2016.
[3]. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
2012.
[4]. Tạp chí toán học và tuổi trẻ số: 488, tháng 02 năm 2018.
[5]. Ebooktoan: />[6].Chuyên đề ứng dụng số phức trong giải toán trung học phổ thông, Võ Thành
Văn –Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009.

19


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 04 năm
2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Vi Thanh Hoàng

20