Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 11 tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số

MỤC LỤC
I. LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài…………….………………..…………..…...
2. Mục đích nghiên cứu:…………..………………..……….….
3. Đối tượng nghiên cứu:………...……………………… ……
4. Phương pháp nghiên cứu:………………...…………………
II. NỘI DUNG
1 .Cơ sở lý luận của đề tài……...………………………………
2. Thực trạng của đề tài:……….……………………………...
3. Giải quyết vấn đề:…………………………………….………
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN…...…………………………….……
B. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN…………..……
III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:………
IV. KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ…………………………………

Trang 2
Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 4
Trang 5
Trang 6
Trang 25
Trang 26

MỘT VÀI KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH LỚP 11 TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng,
là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ
thông như: Lý, Hóa, Sinh, Văn… Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức
trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học
tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh
hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ
luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Qua những năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học chương
giới hạn, đặc biệt là phần bài tập về giới hạn của hàm số thì các em rất khó tiếp thu
và áp dụng mà bài tập về giới hạn hàm số lại luôn có mặt trong đề các đề thi học
kì, đề thi đại học và cao đẳng Vì vậy, để giúp học sinh khối 11 học tốt phần bài tập
giới hạn hàm số tôi đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự
tin giải bài tập giới hạn của hàm số ”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho
học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn
hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học. Làm tốt
các bài toán về tính giới hạn, bài toán có liên quan tới bảng biến thiên hàm số.
3. Đối tượng nghiên cứu:

2


Học sinh khối 11 trường THPT Thiệu Hóa
4. Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
-Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
-Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
-Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình,Phương pháp thực
nghiệm).
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận của đề tài.
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình
toán trung học phổ thông
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải
bài tập
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được
chứng minh, thừa nhận.
2. Thực trạng của đề tài
- Sau khi học lí thuyết học sinh còn lúng túng chưa biết tính giới hạn, còn
nhầm giữa dạng này với dạng kia dẫn tới kết quả sai nhiều.
-Thông qua bài kiểm tra trắc nghiệm tôi thu được kết quả như sau:
Khá, giỏi: 15%; Trên trung bình 18%; còn lại là yếu, kém.

3


-Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.
- Kiến thức cơ bản các em nắm chưa chắc, chưa biết áp dụng lí thuyết vào
từng loại bài toán cụ thể.
- Khả năng áp dụng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học phần này.

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó
không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tới
các em. Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học
tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Nhiều em hổng kiến
thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập,
chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn học.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện
pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ
học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp
rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ
từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết
học, học sinh khá không nhàm chán.
3. Giải quyết vấn đề:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
4


Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn
là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn �K và xn �a , n�� mà lim(xn)=a
*

lim�f  x � L
đều có lim[f(xn)]=L. Kí hiệu: x�a � � .
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
�
lim�
f  x �

g x �
� L , lim
� M thì:
x �a �
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: x �a �

�
�
lim�
f  x  �g  x  �
f  x �
g x �
� lim
��lim
� L �M
x �a �
x �a �
x �a �
�
lim�
f  x  .g  x  �
f  x �
.lim�
g x �
� lim
�
� L .M
x �a �
x �a �
x �a �

lim
x �a

f  x

g x



lim�
f  x �
� L , M �0
x �a �
M
lim�
g x �
�
x �a �

lim f  x   lim�
f  x �
� L ; f  x  �0,L �0
x �a
x �a �
c. Nguyên lý kẹp:
Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể
trừ điểm a), g(x) �f(x) �h(x) x K , x a và

�

�f  x �
lim�
g x �
h x �
� lim
� L � lim
� L .
x�a �
x�a �
x�a �
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a. Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x n), lim(xn) = a , đều
có lim[f(xn)]= � thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu:

lim�
f  x �
� �.
x�a �
5


b. Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = � đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x)
có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:

lim�
f  x �
� L .
x���
c.Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x n), mà xn > a
n��* , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :

lim �
�f  x �
�. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x ), x < a n��* thì ta nói hàm
n
n
lim �f  x �
số có giới hạn bên trái tại a, kí hiệu: x�a � �.
x�a

B. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp
tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là: Giới hạn của hàm số tại một điểm:
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số :

lim�
f  x �
�
x�a �

lim �
�f  x �
�

x���

Ba là: Giới hạn một bên của hàm số:

lim �
�f  x �

�, lim �
�f  x �
�

x�a

x�a

Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không
xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá
trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn
phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định. Ở
đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư duy
sau:

6


ĐỀ BÀI
Quan sát chia trường hợp

Giới hạn vô cực

Giới hạn tại một điểm:

Giới hạn một bên

lim�
f  x �

�
x�a �

 

f  x lim f x .g x � �
lim f  x  gx 
lim
x���
�
x�� g x x��
Dạng 1:Tính
trực tiếp
lim f  x  f (a)
x�a

f  x
f  x
lim , lim
x�a g x x�a g x

f  x
f  x
lim
lim
x�a g x x�a g x

Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu
trong sơ đồ tư duy:
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM SỐ:

Dạng 1:

lim f  x  f (a)

lim�
f  x �
�
x�a �

x�a

Phương pháp:
7


Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận:

lim f  x  f (a)
x�a

Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
1/.

2/.

x 1
Lim
3/. x�3 x  2

Lim ( x 2  5  1)

x�2

4/.

�2x 2 + 3x +1 �
Lim �
�
x�-1 -x 2 + 4x + 2
�
�

BÀI GIẢI
1/
2 / Lim (
x�2

3 / Lim
x �3

x 2  5  1) 

( 2) 2  5  1  2

x 1
3 1
2



x2 32 5

4/
Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
1.

3.

lim(x 2 + 2x+1)
x �-1

lim  3 - 4x 

2

x �3

2.

lim(x+ 2 x +1)
x �1

x +1
4. x �1 2x - 1 ;
lim

x 2 + x +1
lim
5

5. x �-1 2x + 3
Dạng 2:

8

.


f  x
x�a g x

lim

0
��
� ��
.
0
��
ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy

f  x
x�a g x

lim
f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên

0
��
.

��
0
��
lúc này có dạng

Phương pháp:
Phương pháp 1:
Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và mẫu số cho (x-a)
hoặc (x-a)2.
Chú ý 1:
2
 Nếu f (x)  ax  bx  c có 2 nghiệm x1, x2 thì ta phân tích
f (x)  ax2  bx  c  a(x  x1)(x  x2)

 Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
A2  B2   A  B  A  B



  A  B  A  AB  B 

A3  B3   A  B A2  AB  B2
A3  B3

2

2

Phương pháp
2:

Nếu f(x) , g(x)
là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2:
Các biểu thức liên hợp thường gặp

9


a1
a 1
a1
2/ a  1
a 1
a b
3/ a  b 
a b
a b
4/ a  b 
a b

1/ a  1

5/ 3 a  1

a 1
3

6/ 3 a  1

a2  3 a  1
a1

a2  3 a  1
a b
7/ 3 a  3 b 
3 2
a  3 ab  3 b2
a b
8/ 3 a  3 b 
3 2
a  3 ab  3 b2
3

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
� x3
�
1/Lim � 2
�
x �3 �
x  2x  3 �

�
x2  2 x  3 �
2 / Lim � 2
�
x�1
2x  x 1 �
�

�
x2  x  2 �
3 / Lim � 2
�
x �1
� x 1 �

 1 x
4 / Lim

7 / Lim
x �1

6 / Lim
x�2

2x  2
x2

x22
x7 3
Bài giải.

x3
1
1
� x3 �
1/ Lim � 2

Lim


Lim

�
x  2 x  3 � x�3  x  1  x  3 
4
x�3 �
x�3 x  1
�x 2  2 x  3 �
 x  1  x  3  Lim x  3  4
2 / Lim � 2
 Lim
�
x�1 2 x  x  1
�
� x�1 2( x  1)( x  1 ) x�1 2( x  1 ) 3
2
2
�x 2  x  2 �
 x  1  x  2   Lim x  2  3
3/ Lim � 2
 Lim
�
x�1
� x  1 � x�1  x  1  x  1 x�1 x  1 2

10

1

x

x �0

4x
�
�
5 / Lim �
x�0 � 9  x  3 �
�

3


 1 x
4 / Lim

3

 1  x  1 �
1 x
�

1

2

 Lim
x �0
x

x
x ( x 2  3 x  3)
 Lim
 Lim  x 2  3 x  3   3
x�0
x �0
x

  1  x   1�
�

x �0

� 4x
�
5 / Lim �
 Lim
x�0 � 9  x  3 �
� x�0
 Lim

4x

x�0



9 x 3
x

x�2

x�0



2 x  2

 x  2 



2x  2





9 x 3

9 x 3

  Lim 4

2x  2
6 / Lim
 Lim
x�2 x  2
x�2
 Lim

4x







9 x 3



 Lim
x�0

4x



9 x 3

9 x 9



9  x  3  24

2x  2

 x  2 
 Lim
x�2



2x  2
2x  2



  Lim
x�2

2x  4

 x  2 

2x  2

2
1

2x  2 2

 x  2  2 x  2  2 x  7  3
 x  7  3 x  7  3 x  2  2
 x  2   x  7  3
x7 3 6 3
 Lim

 Lim
 
x22 4 2
 x  2  x  2  2

x2 2
7 / Lim
 Lim
x�1 x  7  3 x�1

x�1



x�1

Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:

11




1/ Lim
x�3

x 2 +2x - 15
x-3

8/ Lim
x�0

2x 2 +3x+1
x2 - 1

x  2x 1
9/ Lim
x�1 x 2  12 x  11

2/ Lim
x�-1

8 x3  1
3/ Lim
2
x�1 6 x  5 x  1
2
3
x+3   27

4 / Lim
x
x�0

10/ Lim
x�1

6/

Lim
x�0

1+ 2x  1
2x

x-3
7/ Lim
x�3 x 2  2 x  15
15/ Lim
x�1

17/ Lim
x�1
18/ Lim
x�1
19/ Lim
x�7
20 / Lim
x�3
21/ Lim
x�1



1 x



13/ Lim

x�1

x32
x 1
x2 2
x6
x  2  2x
x 1  3  x

23/ Lim
x�3

x  1  3x  5
2x  3  x  6

24/ Lim
x�2

x2  5  3
x2

�1
3
25/ Lim �

�
1

x
x�1�

1  x3

2 x 3
x 2  49

26/ Lim
x�1

x 2  2 x  6  x2  2 x  6
x2  4 x  3

27/ Lim
x�2

 x2  2 x 1
x2  x

f  x
x�a g x

2 x  2  3x  1
x 1

22/ Lim
x�2

4  x2  2
9  x2  3
4 x  5  3x  5
x3 2

lim
Dạng 3:

1 x 

12/ Lim
x�1

14/ Lim
x�6

x3  1  1
x2  x

1
16 / Lim
x�0 x

2x 1  x
x 1

x  1 1
11/ Lim
x�0 3  2 x  9

x-5
Lim
x�5 x  5

5/

x4 2
x

28/ Lim
x�2

�
�
�
�

x 1
x3 2
2 x
x7 3

3  2x  5
x2 2

�L �
�� �
.
�0 �(với L �0 ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào
12


f  x
x�a g x

lim
f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên

lúc này có dạng

�L �
.
��
�0 �

Phương pháp:

lim f (x)  L
Bước 1: Tính x�a
(với L �0 )
limg(x)  0
Bước 2: : Tính x�a
và xét dấu biểu thức g(x) với x �a
f  x
x�a g x

lim
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận

f  x
g x

lim f (x)  L

limg(x)  0

L> 0

g(x) > 0

�

L> 0

g(x) < 0

�

L< 0

g(x) > 0

�

L< 0

g(x) < 0

�

x�a

lim

x�a

x�a

Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x�4

x 2

 x  4

2

2/ lim
x�3

x 5

 x  3

3x  1
x�2 x  2 x3  8




3/ lim

2

Bài giải
13


x 2

1/ lim
x�4

 x  4

2

Ta có:
�lim  x  2  6 0
�x�4
�
2
2
x  4  0 va  x  4  0 (x �4)
�lim

�x�4
x 2
� lim
 �
2
x�4
 x  4

2/ lim
x�3

x 5

 x  3

2

Ta có:
�lim  x  5  2 0
�x�3
�
2
2
x  3  0 va  x  3  0 (x �3)
�lim

�x�3
x 5
� lim
 �
2
x�4
 x  3

3x  1
3x  1
 lim
3

x�2 x  2 x  8


 x�2  x  2  x  2  x2  2x  4

3/ lim
 lim

x�2

3x  1

 x  2  x2  2x  4
2

Ta có:

14


�lim  3x  1  5 0
�x�2
�
2
2
x  2 x2  2x  4  0 va  x  2 x2  2x  4  0(x �2)
�lim

�x�2
3x  1

� lim
 �
3
x�2
x

2
x

8
 













Bài tập tương tự:
Bài tập 3:
Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x�2

x 2

 x  2

3/ lim

x�2

2/ lim

2

x�2

2x  1

 x  2

 x  2

4/ lim

2

x3  1

x�3



2

x 1
x  3  x2  4x  3

 KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM
SỐ:

�
lim �
�f  x �

x���

Dạng 1:
f  x

���
� � �
x��� g x
  ���
lim

Phương pháp:
Chia tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý
rằng nếu x � � thì coi như x>0, nếu x � � thì coi như x < 0 khi đưa x ra
hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:

15

1/ limxk  �

2/ limx2k  �

3/ limx2k1  �

4/ Lim

x��

x��

1
0
x��
� xk

x��

Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau:

2x  1
x�� x  2
1/.

x 1
2
2/. x�� x  1

Lim

Lim

x2  1
Lim
3/. x�� x  1

x2  1
Lim
4/. x�� x  1
BÀI GIẢI

1/.

� 1�
1
x �2  �
2
2x  1
2
x�
�
x
Lim
 Lim
 Lim
 2
x�� x  2

x�� � 2 � x��
2 1
1
x�
1 �
x
� x�

�1 1 �
1 1
x � 2�
 2
x 1
0
x x �
�
x
x
Lim
 Lim
= Lim
= =0
x��x 2  1 x�� 2 � 1 � x��
1 1
1 2
x �1  2 �
x
� x �
2/.
2

16


3/ Lim

x��

.

x2  1
 Lim
x��
x 1

� 1 �
x2 �
1 2 �
x
� x �
 Lim
x��
x 1

� 1 �
� 1 �
x �
1 2 �
1 2 �
�

� x �
� x � 1
 Lim
 Lim
 1
x��
� 1 � x�� 1  1
1
x�
1 �
x
� x�
x 1
 Lim
x��
x 1
2

4 / Lim

x��

� 1 �
x2 �
1 2 �
x
� x �
 Lim
x��
x 1

� 1 �
x �
1 2 �

� x �
 Lim
 Lim
x��
� 1 � x��
x�
1 �
� x�

� 1 �
1 2 �
�
� x �
� 1�
x�
1 �
� x�

� 1 �
1 2 �
�
� x � 1

 1
1

1
1
x
Bài tập tương tự:

Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:

17

� 1 �
1 2 �
�
� x �
� 1�
x�
1 �
� x�


2x  3
1/ Lim
x��1 3x
2x2  3x  1
3/ Lim 2
x�� 3x  x  5

2x3  x2  1
2/ Lim 6
x��3x  2x4  1
 x  2  2x  1  1 4x

4/ Lim
3
x��
 3x  4

5

x  2x2  1
5/ Lim
x��
x3  1
x2  2x  3

7/ Lim

x�� 3

9/ Lim
x��

x2  3x  8
6/ Lim 4
x�� x  6x  1
4x2  1
8/ Lim
x�� 3x  1

x3  x  1
14  x

x  x2  1

11/ Lim
x��

3x  1

10/ Lim

x2  1  2x

x��

2x  3

12/ Lim

2x  3
2

x��



x4  x2  1
x3  1  x  1



Dạng 2:

lim f  x .g x �  0.�

x���

Phương pháp:

lim f  x .g x �  0.�

Ta biến đổi x��

f  x
���
� � �
x�� g x
���

lim

Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
2
Chú ý: A B  A B với A,B �0

A B   A2B với A �0,B �0
18

về dạng 1:


Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:

x -1
x3 + x

1 ) lim  x+2 
x �+�

2) lim  x+1
x �- �

2x+1
x 3 + x+2

BÀI GIẢI
2

x -1
 lim
x 3 + x x�+�

1 ) lim  x+2 
x �+�

� 2� � 1�
x �1+ �.x �1- �
� x� � x�
� 1�
x 3 �1+ 2 �
� x �
2

 x+ 2   x - 1  lim
2

x3 + x

x �+�

2

2

� 2�� 1�
� 2�� 1�
x �1+ �. �1- �
�1+ �. �1- �
� x � � x � lim � x � � x � 1  1
x �+ �
1
� 1�
� 1�
x 3 �1+ 2 �
�1+ 2 �
� x �
� x �
3

 lim

x �+ �

�
2x+1
 lim �

x 3 + x + 2 x �- ��
�

2) lim  x +1
x �- �

 x+1  2x +1 �
�
2

x3 + x + 2

�
�

2

 x +1  2x +1
2

  lim

x �- �

x3 + x + 2

� 1� � 1�
x �
1+ �.x �
2+ �
� x� � x�
1
2
x 3 (1+ 2 + 3 )
x
x
2

  lim

x �- �

2

2

� 1�� 1�
� 1�� 1�
x �
1+ �. �
2+ �
1+ �. �
2+ �
�
� x � � x �  lim � x � � x �  2   2

x �- �
1
2
1
2
1
x 3 (1+ 2 + 3 )
1+ 2 + 3
x
x
x
x
3

  lim

x �- �

Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:
19


3x+1
x 3 +1

1 ) lim  1- 2x 
x �+�

2 ) lim x

x �- �

2x 3 + x
.
x5 - x 2 + 3

lim � f  x � g x ��
�
x����
Dạng 3:

3 ) lim x
x �- �

2x +1
.
3x 3  x 2  2

 ���

Phương pháp:

lim� f  x � g x �
x���
�
Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa
f  x  g x

lim

f  x  g x

x��

về dạng

lim
x��

hoặc

f  x  g x

f  x 

g x

Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp

�A neu A �0
A  A�
 A neu A  0
�
2

Chú ý:

Ví dụ 6: Tính các giới hạn sau:



3 / lim  x+
1/ lim

x �+�

x �+�

x2  x  x2  2
x2  x  1






4 / lim  x+

2 / lim

x ��

x ��

BÀI GIẢI
20

x2  x  x2  2
x2  x  1






1 ) lim



x2  x  x2  2

x �+ �

x2  x - x2  2

 lim

x2  x  x2  2

x �+ �




 lim

x2  x  x2  2

x �+�

x2  x  x2  2



x2  x  x2  2

x �+�

 lim



x2
x2  x  x2  2

� 2�
� 2�
x�
1 �
x�
1 �
x�
x�
�
�
 lim
 lim
x �+�
x �+�
1
2

1
2
x 1  x 1 2
x 1  x 1 2
x
x
x
x
� 2�
2
x�
1 �
1
1
� x�
x
 lim
 lim

x �+� �
2
1
2
1
2 � x �+�
1  1 2
x �1   1 2 �
x
x
x

x �
�

2 ) lim



x ��

 lim

x ��

x2  x  x2  2
x2  x - x2  2
x2  x  x2  2




 lim

x2  x  x2  2

x ��

x2  x  x 2  2

x2  x  x2  2

x ��

 lim



x2
x2  x  x2  2

� 2�
� 2�
x�
1 �
x�
1 �
x�
x�
�
�
 lim
 lim
x ��
x ��
1
2
1
2
x 1  x 1 2
-x 1  - x 1  2
x

x
x
x
� 2�
� 2�
x�
1 �
�
1 �
1
x�
x�
�
�
 lim
 lim

x �+�
2
� 1
1
2
2 � x �+�
1  1 2
-x � 1   1  2 �
x
x
x �
� x

21








3/ lim x+ x 2  x  1 
x �+�

x+

lim



x2  x  1 x - x2  x  1



x - x2  x  1

x �+�

� 1�
x
�1  �
x -  x  x  1

 x 1
� x�
 lim
 lim
 lim
x �+�
x - x 2  x  1 x�+� x - x 2  x  1 x�+� x - x 1  1  1
x x2
� 1�
� 1�
1
x �1  �
x �1  �
1 
� x �  lim
� x �  lim
x
 lim
x �+�
1 1 x�+� �
1 1
1 1 � x�+�
x - x 1  2
1- 1   2
x �1- 1   2 �
x x
x x
x x �
�
2

2

�
1 1
� 1�
(Vi lim �1  � 1, lim �
11

 2
x �+ �
x �+ ��
x
x
x
�
�
�
= �

�
1 1

0
va
11

 2  0)
�
�

x
x
�

Chú ý:Ta cũng có thể giải bài 3 của ví dụ 6 này theo cách sau tạm gọi là:
Cách 2





�
1 1
3/ lim x+ x 2  x  1  lim �
x+
x
1

 2
x �+�
x �+��
x
x
�
�
1 1 �
 lim x �
1+
1


 2�
� �
x �+� �
x
x
�
�
�
1 1
(Vi lim x = +�, lim �
1+
1

 2
x �+�
x �+��
x x
�

�
�
� 2 )
�

22

�
�
1 1


lim
x+
x
1

 2
�
�
� x�+��
x
x
�
�

�
�
�
�


x+

4 / lim  x+ x  x  1   lim
2

x � �

x ��



x2  x  1 x - x2  x  1



x - x2  x 1

� 1�
x
�1  �
x -  x  x  1
x 1
� x�
 lim
 lim
 lim
x ��
x - x 2  x  1 x �� x - x 2  x  1 x�� x - x 1  1  1
x x2
� 1�
� 1�
1
x �1  �
x �1  �
1 
� x �  lim
� x �  lim
x
 lim
x ��

1 1 x�+� �
1 1
1 1 � x�+�
x+ x 1   2
1+ 1   2
x �1+ 1   2 �
x x
x x
x x �
�
2



2

1
2
Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4 này

có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:





�
1 1
4 / lim x+ x 2  x  1  lim �

x+
x
1

 2
x � �
x ���
x
x
�
�
1 1 �
 lim x �
11

 2�
x �� �
x
x �
�
�
�
1 1
lim x �
11

 2
x �� �
x
x

�
Tới kết quả

�
�
1 1

lim
x
x
1

 2
�
�
� x���
x
x
�
�

�
�
�
�

�
�
�
�sẽ dẫn đến dạng vô định (0. � ) lại quay về

dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô định(0.

� ) lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình, yếu
Bài tập tương tự:
23


Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:



1) lim

x+1 - x

x �+�


5) lim 
7) lim 
x ��

9 ) lim x
11/ lim



2

x2 + x - x2 + 4

x �+�





4x 2 + 9 + 2x
3

x ��

x3  x2  x



2

x �+ �

3x 2 + x+1 + x 3

x ��

 x + x+1 - x 
4) lim  3x + x+1 - x 3 
6) lim  2x +1 + x 
8 ) lim  x + 2x+ 4 - x - 2x+4 
10) lim x  x +1 - x 

12 / lim  x + 3x  x 
2) lim

x 2 +1+ x - 1

3) lim

x ��







x �+�



2

x ��

2

2

x �+�

2

x�+�

3

2

3

x ��

* KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM

SỐ:

lim �
�f  x �
�

x�a

lim �
�f  x �
�

x�a

hoặc

.Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc

biệt của giới hạn tại một điểm, lúc này x không tiến đến a mà tiến đến bên trái




điểm a ( x � a ), hoặc tiến về bên phải bên phải điểm a ( x � a ).Bài tập Giới hạn

một bên:

lim �
�f  x �
�

x�a

hoặc

lim �
�f  x �
�

x�a

.chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường hợp

Giới hạn tại một điểm là
lim�

x�a

f  x
g x

�L �
�� �
.
�0 �(với L �0 ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và

g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên
Phương pháp:
lim f (x)  L
Bước 1: Tính x�a�
(với L �0 )
24

lim�

x�a

f  x
g x

�L �
.
��
0�
�
lúc này có dạng

lim g(x)  0
Bước 2: Tính x�a�
và xét dấu biểu thức g(x) với x  a hoặc x  a

f  x
x�a g x

lim
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận
nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)

Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:

1/ lim
x�1

2x  3
x1

2/ lim
x�1

2x  3
x 1

BÀI GIẢI
�lim  2x  3  2.1 3  1 0
�x�1
�

2x  3
1/ lim
�lim  x  1  0 va x  1 0
x  1
x�1 x  1
Ta có: �x�1

Vậy

lim
x�1

2x  3
 �
x1

�lim  2x  3  2.1 3  1 0
�x�1
�
2x  3
2/ lim
�lim  x  1  0 va x  1 0
x  1
x�1 x  1
Ta có: �x�1

Vậy

lim
x�1

2x  3
 �
x1
Bài tập tương tự:

Bài tập 7: Tính các giới hạn sau:

25

(bảng xét dấu đã