TẠO HỨNG THÚ học tập CHO học SINH lớp 12 THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT một số bài TOÁN có LIÊN QUAN đến THỰC TIỄN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH LỚP 12
THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ
LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC BÀI TẬP
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN.

Người thực hiện: Lê Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các bài toán có nội dung thực tiễn liên quan đến ứng dụng tích
phân để tính diện tích hình phẳng.

2.3.2. Một số bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng tích phân để tính
thể tích vật thể..
2.3 3. Một số bài toán liên quan đến vật lý
2.3.4. Một số bài toán liên quan đến sự tăng trưởng
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
3. Kết luận, kiến nghị.

Trang
1
1
2
2
2
2
2
2
4
4
8
14
16
19
20


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Hứng thú là một thuộc tính tâm lí của con người. Hứng thú có vai trò rất
quan trọng trong học tập và làm việc. M.Gorki từng nói “Thiên tài nảy nở từ
tình yêu đối với công việc”. Hứng thú học tập chính là thái độ nhận thức đặc biệt

của chủ thể đối với hoạt động học tập, vì sự cuốn hút về mặt tình cảm và ý nghĩa
thiết thực của nó trong đời sống của cá nhân. Cùng với tự giác, hứng thú làm
nên tính tích cực nhận thức, khơi dậy sự sáng tạo. Nhờ hứng thú, người học có
thể giảm mệt mỏi, căng thẳng, tăng sự chú ý, thúc đẩy tính tích cực tìm tòi, sáng
tạo trong quá trình học tập và dễ dàng thành công hơn trong học tập [5].
Như vậy, hứng thú học tập có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc nâng
cao hiệu quả của quá trình học tập, tạo được hứng thú cho người học trong quá
trình dạy học sẽ góp phần không nhỏ đến việc nâng cao chất lượng giáo dục. Do
đó vấn đề làm thế nào để tạo hứng thú học tập cho học sinh luôn được nhiều
giáo viên quan tâm, trăn trở.
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống của mỗi cá nhân và trong
các lĩnh vực của đời sống xã hội và là công cụ thiết yếu của nhiều khoa học
khác. Sở dĩ Toán học có vai trò quan trọng như vậy là do nó có sự liên hệ mật
thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm
động lực phát triển. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn cuộc sống, lao động sản
xuất của con người, là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá
thế giới tự nhiên và xã hội.
Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế xã hội, của khoa học kỹ thuật và
sản xuất người lao động phải có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những
thành tựu của khoa học kĩ thuật nói chung và của toán học nói riêng trong những
điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả lao động thiết thực. Chính vì lẽ đó trong
quá trình dạy học cần bồi dưỡng cho học sinh tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo,
hứng thú học tập và làm việc, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải
quyết vấn đề, đáp ứng được với thực tế cuộc sống. Do vậy quá trình dạy học
toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống [6].
Nội dung chương III giải tích lớp 12 nguyên hàm tích phân có nhiều kiến
thức liên quan đến các môn học khác và có nhiều bài toán liên quan đến thực
tiễn. Trong chương này cũng có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy
học”. Tuy nhiên số lượng các bài toán thực tiễn trong sách giá khoa chưa nhiều,
các tài liệu tham khảo về vấn đề này vẫn chưa phong phú; trong quá trình dạy

học chương này học sinh vẫn có thói quen ghi nhớ một cách máy móc các công
thức các phương pháp biến đổi, tính tích phân và áp dụng trong những bài toán
tìm tích phân , tính diện hình phẳng, thể tích vật thể tthông thường, khi gặp các
bài toán có nội dung thực tiễn các em tỏ ra khá lúng túng và ngại tư duy nên
thường “bỏ qua’’. Vì đều này mà các em không thấy được ý nghĩa thực tế của
việc học Toán và chưa thực sự có hứng thú đối với môn toán. Chính vì vậy tôi
chọn đề tài: “Tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12B2 trường THPT
Triệu Sơn 4 thông qua việc giải quyết một số bài toán có nội dung liên quan

1


đến thực tiễn khi dạy học bài tập chương III giải tích 12 ” nhằm tạo hứng thú
cho học sinh trong quá trình học tập và rèn luyện ở các em kỹ năng vận dụng
các kiến thức đã học vào trong quá trình giải quyết các tình huống thực tiễn của
cuộc sống.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Thông qua đề tài phát huy khả năng tìm lời giải cho các bài tập có nội
dung thực tế liên quan đến các kiến thức ở chương III giải tích lớp 12 từ đó hình
thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo và
năng lực vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cho học sinh.
Giúp học sinh thấy được toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế, qua đó
kích thích niềm đam mê, hứng thú học toán ở các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
+ Phương pháp giải một số bài tập tích phân có nội dung thực tế .
+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
+ Phương pháp nghiên cứu điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong học tập môn Toán thì tư duy giải bài tập là hoạt động chủ đạo và
thường xuyên của học sinh, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời
rèn luyện phát triển trí tuệ và năng lực thực tiễn. Mục tiêu cụ thể của giáo dục
phổ thông hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất,
năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp
cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý
tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng
thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự
học, khuyến khích học tập suốt đời [7]. Vì vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn
tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học vào cuộc sống cho
học sinh nhất thiết phải chú ý lồng ghép các bài toán thực tế vào trong quá trình
dạy hoc qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn và làm cho học
sinh có hứng thú với môn toán, cảm thấy toán học không khô khan và nhàm
chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn
đề trong cuộc sống và ngược lại.
Các dạng bài tập trong chương III giải tích 12 rất phong phú, nhiều bài
toán hay, xâu chuỗi được các mảng kiến thức khác nhau và có thể lồng các hoạt
động thực tiễn như xây dựng, đo đạc...vào nội dung các bài toán. Do vậy khi dạy
học phần này giáo viên cần lưu ý tạo điều kiện để học sinh có thể tiếp cận với
một số bài toán có nội dung liên quan đến thực tiễn, từ đó tạo hứng thú học tập
và phát huy tính tích cực, chủ động của các em đồng thời rèn luyện cho các em
khả năng giải quyết các tình huống trong đời sống thực tế.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2


Trong chương III giải tích 12 nội dung sách giáo khoa cũng đã đề cập đến

một số bài toán có nội dung thực tế liên quan đến ứng dụng hình học và vật lý
của tích phân. Tuy nhiên trong quá trình dạy học ở trường THPT nhiều khi giáo
viên mới chỉ chú trọng rèn luyện cho học sinh vận dụng tri thức toán học để giải
quyết các vấn đề trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kỹ năng vận dụng tri
thức trong toán học vào các môn học khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú
ý đúng mức và thường xuyên. Dẫn đến học sinh không có nhiều kỹ năng giải bài
toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất và không thấy
được các ứng dụng của những tri thức mình đã được học vào cuộc sống. Chính
điều này đã làm cho học sinh ít thấy được ý nghĩa của việc học toán trong thực
tiễn và chưa có thói quen áp dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc
sống, các em không biết học toán để làm gì ngoài vấn đề “học để thi” dẫn đến
nhiều học sinh chỉ học theo cách đối phó mà chưa thực sự có hứng thú, có niềm
đam mê đối với môn toán nói chung và các môn học khác nói riêng.
Năm học 2017- 2018 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Sau khi
dạy xong chương III giải tích 12 và tổ chức ôn tập, rèn kỹ năng giải bài tập
trong các tiết dạy tự chọn và các buổi dạy thêm trong nhà trường. Tôi cho học
sinh lớp 12A2 làm bài kiểm tra các nội dung kiến thức, kỹ năng cơ bản mà học
sinh cần phải nắm được trong chương này. Kết quả như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
Số
Lớp
HS
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)
12A2
42
2
4,7

15 35,7
20 47,6
5
12
Sau khi thấy kết quả học tập của học sinh chưa được như mong muốn tôi
đã tiến hành tìm hiểu thái độ học tập của học sinh khi học chương III giải tích
12 và thu được số liệu sau.
Số lượng học sinh
Tỉ lệ %
Thái độ, hứng thú học tập
10
23,8
Không có hứng thú vì nội dung môn học khó
và không biết học để dùng vào việc gì trong
thực tế cuộc sống?
15
35,7
Cảm thấy bình thường vì có thể mục tiêu của
các em chỉ là thi đậu tốt nghiệp THPT Quốc
gia mà để đậu được các em không nhất thiết
phải tư duy giải quyết các bài tập vận dụng,
vận dụng cao.
17
40,5
Cảm thấy cần phải học để tích lũy tri thức để
có thể đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc
gia.
Từ kết quả đó, trong năm học 2018- 2019, khi dạy học bài tập chương III,
giải tích 12 tôi đã tiến hành đổi mới bằng cách lồng ghép một số ứng dụng thực
tiễn vào nội dung các bài tập trong quá trình dạy học tại lớp 12B2 (lớp 12A2 có

chất lượng tương đương với lớp 12B2) nhằm tạo hứng thú cho các em trong quá

3


trình học tập, nâng cao kết quả học tập của các em và rèn luyện năng lực vận
dụng kiến thức đã học vào thực tiễn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải quyết một số bài toán
có nội dung thực tiễn qua các tiết dạy học bài tập trong chương tình chính
khóa, các tiết học tự chọn có sự hướng dẫn của giáo viên và tổ chức một buổi
cho học sinh thực hành đo đạc dưới hình thức ngoại khóa. Khi dạy bài tập
chương III nguyên hàm, tích phân, tôi thường chọn lọc một số bài tập có nội
dung thực tế và liên quan đến các nội các môn học khác và liên quan đến
thực tế đời sống để tạo hứng thú học tập cho học sinh, phát triển năng lực tư
duy cũng như rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn. Cụ
thể là tổ chức cho học sinh giải quyết một số dạng bài tập sau:
2.3.1. Các bài toán có nội dung liên quan đến việc tính diện tích hình phẳng.
Phương pháp chung: Chọn hệ tọa độ Oxy phù hợp, từ điều kiện bài toán xác
định diện tích hình cần tính chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường cong, đường thẳng nào đó, tìm phương trình các đường sau đó sử
dụng các công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng.
Bài tập 1: Vòm cửa lớn của trường Đại Học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh có dạng
hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích
mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8 m và rộng 8 m.

 Phân tích bài toán
Hình phẳng cần tính diện tích được giới hạn bởi đường thẳng BC và một
đường Parabol, cho nên ta không thể dùng các công thức tính diện tích của
những hình đơn giản quen thuộc như: hình chữ nhật, hình tròn, tam giác,... Ta

cần dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng này.
Như vậy, việc đầu tiên ta cần đưa đường cong Parabol của vào hệ trục
Oxy mà mô hình nó thành đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c.
Dựa vào độ cao 8m và chiều rộng 8m của cánh cửa ta xác định các hệ số
a, b, c trong biểu thức hàm số.
Ứng dụng ý nghĩa hình học của tích phân ta có công thức tính diện tích
của cánh cửa là S =

4

∫ ( ax
−4

2

)

+ bx + c

Hướng dẫn giải

Không mất tổng quát, ta xét dạng hình parabol vòm cửa lớn như hình vẽ sau

4


2
Đồng thời xét ( P ) : y = ax + bx + c.

Ta có:


−1
 A 0;8 ∈ P
a =

c
=
8
2


1 2


B 4; 0 ∈ P ⇔ 16a + 4b + c = 0 ⇔ b = 0 ⇒ P : y = − x + 8
2

16a − 4b + c = 0
c = 8
C
−
4
;
0
∈
P







(
(
(

) ( )
) ( )
) ( )

( )

4

4

Do đó:


 1

x3 
128 2
SH = 2  − x2 + 8÷dx =  16x −
=
m
÷

÷

2
3
3



0
0

∫

( ).

Bài tập 2: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác
nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong
những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên
Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa
2
2
2
độ Oxy là 16 y = x ( 25 − x ) như hình vẽ bên.
Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ
Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét [4].
Lời giải
Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh
đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất
thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ
Oxy .
1
4

Từ giả thuyết bài toán, ta có y = ± x 5 − x 2 .
1
4
5
1
125
125 3
= ∫ x 25 − x 2 dx =
⇒S =
(m )
40
12
3

Góc phần tư thứ nhất y = x 25 − x 2 ; x ∈ [ 0;5]
Nên S( I )

B2

M
N
Bài tập 3: Một biển quảng cáo có dạng
hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như
hình vẽ bên. Biết chi phí phần tô đậm là
A
A
2
200 000 đồng/ m và phần còn lại là
Q

P
100 000 đồng/ m2. Hỏi số tiền để sơn theo
cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
B
A
A
=
8
m
B
B
=
6
m
MNPQ
biết 1 2
, 1 2
và tứ giác
là hình chữ nhật có MQ = 3m ?
A. 7 322 000 đồng. B. 7 213 000 đồng. C. 5 526 000 đồng. D. 5 782 000 đồng
Lời giải
Vì elip có độ dài trục lớn 2a = 8 ⇔ a = 4 , độ dài trục bé 2b = 6 ⇔ b = 3 nên
elip có diện tích là S = π ab = 12π .
1

2

1

5

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A1 A2 trùng Ox, B1 B2 trùng Oy khi đó elip
có phương trình chính tắc

x2 y2
+
= 1.
16 9



Vì MQ = 3 nên NP = 3 nên điểm N có tọa độ là N  x0 ; ÷ .
2
3





 3 
  ÷ ÷
 x2 
x2 y 2
2 ÷
2


+
= 1 ⇔ y = 9 1 − ÷ .Gọi

N thuộc elip nên x0 = 16 1 −
= 2 3 . Ta có

16 9
9 ÷
 16 

÷


S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2

y = 3. 1 −

x2
, y = 0, x = 0, x = 2 3.
16

Do tính đối xứng của hình elip nên diện tích phần được tô đậm là
2 3

x2
dx . Đặt x = 4sint .
∫0
16
π
π
3
3

S = 4 ∫ 3.4 1 − sin 2 t cos t.dt =48 ∫ cos 2 t.dt
0
0
π
Do đó
π
3
 1
 3
= 24 ∫ ( 1 + cos 2 t ) dt = 24  t + sin 2t ÷ = 8π + 6 3
 2

0
0
S = 4 S1 = 4

3 1−

Diện tích phần còn lại của elip là 12π − ( 8π + 6 3 ) = 4π − 6 3 . số tiền cần làm biển
quảng cáo là T = ( 8π + 6 3 ) .200000 + ( 4π − 6 3 ) .100000 ≈ 7 322 000 đồng.
Bài tập 4:
Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người
4m
thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa
hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối
4m
xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn,
hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn
(phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng 4 (m).
Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu)

dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho
như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản
tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2.
Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật
Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến
hàng đơn vị) [8].

4m

6


Hướng dẫn: Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Tính được bán kính của nửa hình tròn là R = 22 + 42 = 2 5.
Khi đó phương trình nửa đường tròn là y = R 2 − x 2 =

( 2 5)

2

− x 2 = 20 − x 2 .

Phương trình parabol ( P ) có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y = ax 2 . Mặt khác ( P )
2
qua điểm M ( 2;4 ) do đó: 4 = a ( −2 ) ⇒ a = 1 .
Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và nửa đường tròn.( phần tô
màu)
2

(

)

1
20 − x 2 − x 2 dx ≈ 11,94m 2 , S 2 = S − S1 = π R 2 − S1 ≈ 19, 48m 2
2
−2
Vậy số tiền cần có là 150.000.S1 + 100.000.S2 ≈ 3.738.574 đồng.

Ta có công thức S1 = ∫

Chú ý: Đối với các bài tập trắc nghiệm khách quan, sau khi học sinh chọn hệ
tọa độ và thiết lập được công thức, học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để
tính tích phân , so sánh kết quả để chọn đáp án đúng.
Bài tập tương tự
Bài tập 5: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có
dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường
lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần
lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình
vẽ)
Bài tập 6: Sân vận động quốc gia Mỹ Đình là sân vận
động đa chức năng: sân bóng đá kích thước 105mx68m , kết hợp thi đấu điền
kinh với 8 đường chạy vòng 400 mét và 10 đường chạy thẳng 110 m, 2 sân nhảy
cao, 2 sân ném tạ, ném lao, ném tạ xích, 2 khu nhảy sào kép, 2 khu nhảy xa kép.
Trong đó sân bóng đá nội tiếp hình elip có tâm trùng với tâm của sân bóng đá.
M là một điểm bất kỳ thuộc elip. Biết khoảng cách lớn nhất từ M đến chiều dài,
chiều rộng của sân lần lượt là 2m, 4m . Gọi S diện tích phần bên ngoài sân bóng
đá và bên trong hình elip (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Giá trị gần đúng
của S gần số nào nhất trong các số sau?

A. 3195 m2.
B. 750 m2.
C. 950 m2.
D. 3945 m2.
Bài tập 7: Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại trường THPT Triệu
Sơn 4, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng
parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và
dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD , phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho

7


phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho một mét vuông bảng
Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn
trên pano sẽ là bao nhiêu?
nhiêu

Bài tập 8: Anh Lâm muốn làm cửa rào
sắt có hình dạng và kích thước giống như
hình vẽ kế bên, biết đường cong phía trên
là một parabol. Giá 1 mét vuông cửa rào
sắt là 700.000 đồng. Vậy anh Lâm phải
trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa rào sắt
như vậy. (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 6.423.000.
B. 6.320.000.
C. 6.523.000.
D. 6.417.000.
2.3.2. Một số bài toán thực tế về tính thể tích vật thể .
Phương pháp chung: Chọn hệ tọa độ phù hợp, từ điều kiện bài toán xác định

thể tích khối cần tính là thể tích khối tròn xoay sinh ra hình phẳng giới hạn bởi
các đường nào đó quay quanh một trục nào đó, tìm phương trình các đường sau
đó sử dụng các công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích.
Bài tập 1: Một thùng nước có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc
với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng là 1m (hình
vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng nước là các
đường parabol, hỏi thể tích của thùng nước (đơn vị lít) là bao nhiêu [9]
 Phân tích bài toán
Thùng nước có dạng là một khối tròn xoay có đường
sinh là một đường cong có dạng Parabol
( P ) : y = ax2 + bx + c( a ≠ 0) . Vì vậy để tính thể tích
thùng nước ta cần áp dụng tích phân để tính thể tích
khối tròn xoay. Chú ý rằng khi mô hình đường cong
Parabol ta để chiều cao của thùng trải theo chiều của
trục hoành.
Bước đầu ta cần xây dựng hàm số ( P ) : y = ax + bx + c( a ≠ 0) với điều kiện đi qua
các đỉnh N(-50; 30), A(0;40), M(50;30) như hình vẽ.
Dựa vào chiều cao 1m của thùng nước ta tìm được các cận của tích phân. Khi đó
lập được công thức tính được thể tích thùng nước.
Hướng dẫn giải
2

8


Gọi ( P ) : y = ax + bx + c là parabol đi qua điểm A ( 0,5; 0, 3) và có đỉnh S ( 0; 0, 4 )
(hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng nước bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình
phẳng giới hạn bởi ( P ) , trục hoành và hai đường thẳng x = ±0,5 quay quanh trục
Ox .
2

2
5

Dễ dàng tìm được ( P ) : y = − x 2 + 0, 4
Thể tích thùng nước là:
0,5

2

 2

V = π ∫  − x 2 + 0, 4 ÷ dx = 2π
5

−0,5 

2

203π
 2 2

∫0  − 5 x + 0, 4 ÷ dx = 1500 ≈ 425,5 (l)

0,5

Bài tập 2: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là
một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của
thùng) bằng 3m , được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như
hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt

dầu) là 0,6m . Biết thể tích V của dầu có trong thùng là V = aπ + b 3(m3 ), (a, b ∈ ¤ )
. Tính T = a + b.

.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

x2 y2
+
=1
Theo đề bài ta có phương trình của Elip là 1 4
.
4 25

9


Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip.

1 2 π
Gọi S1 là diện tích của Elip ta có S1 = π ab = π . = .
2 5

5

Gọi S 2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN .
Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt
1
dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là y = .
5

x

2

2

y
1
=1
4 1 2
− x Do đường thẳng y =
4
ta có y =
5
5 4
.
4 25
3
cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là −
4

Mặt khác từ phương trình 1

+

3
4

3

4

4

4 1
1
4 4 1
3
3
2
−x − ÷
dx = ∫
− x 2 dx −
và
nên S2 = ∫ 
÷
5 4
5
5 3 4
10
4
3
−
−
3
4

−

I=

π
3

3
4

1 1

∫ 2 . 2 cos

−

1
1
1
− x 2 dx . Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt .
4
2
2

∫

Tính I =

2

td t =

π

3

Vậy S2 =

1
8

π
3

1  2π
3
+
÷.
2 ÷
 3


∫ ( 1 + cos 2t ) dt = 8 

−

π
3

4 1  2π
3
3 π
3
+

−
= −

÷
.
÷
5 8 3
2  10 15 20

π π
3
2
3
+
)= π +
3. .
5 15 20
5
20

Thể tích của dầu trong thùng là V = 3( S1 − S 2 ) = 3( −
2
5

Suy ra a = , b =

3
11
. Vậy T = .
20

20

Bài tập 3: Vật thể hình đĩa bay (UFO) có thiết diện qua tâm đối xứng và hình
chiếu mặt trên theo phương thẳng đứng như hình vẽ. Hãy tính thể tích của vật
thể này biết AB = EF = 10 m, GH = 6 m , CD = 8 m [2]. .
G

A

C

D

B

F

E
H

A. 112π m3 .

B.

556
π m3 .
3

C.

337
π m3 .
3

D.

118
π m3 .
3

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

10


y
4
M
3
x
O

4

5

Khi đó phương trình đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 16 (1)
x2 y 2
+
= 1 (2)

25 9
y2
2
2
2
Từ (1) ⇒ x = 16 − y (3). Từ (2) ⇒ x = 25(1 − ) (4). (C) cắt (E) tại bốn điểm phân
9
175 9
biệt, tọa độ giao điểm tại góc phần tư thứ nhất là M 1 (
; )
16 4
4
256π 3
2
(m )
Thể tích của khối cầu V1 = 2.π ∫ (16 − y )dy =
3
0
3
y2
Thể tích khối Ôvan V2 = 2.π ∫ 25(1 − )dy = 100π (m3 )
9
0

phương trình đường Elip ( E ) :

Thể tích phần chung của hai khối
9
3
4

y2
V = 2.π ∫ (16 − y 2 )dy + 2.π ∫ 25(1 −
)dy =73π (m3 )
3
9
0
9
4
337
π (m3 ).
Vậy thể tích của vật thể là V = V1 + V2 − V3 =
3

Bài tập 4: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu
bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường
cong trong hình vẽ là các đường Parabol) [4].
0, 5m

2m

5m
0, 5m

19m

0, 5m

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

y

O

x

Ta có

11




2
Gọi ( P1 ) : y = ax + c là Parabol đi qua hai điểm A  ; 0 ÷, B ( 0; 2 )
 2 
19

2

8

 19 
8 2
0 = a.  ÷ + 2
a = −
⇔
x +2
361 ⇒ ( P1 ) : y = −
Nên ta có hệ phương trình sau: 

 2
361
2 = b
b = 2


 5
2
Gọi ( P2 ) : y = ax + c là Parabol đi qua hai điểm C ( 10; 0 ) , D  0; ÷


2

1
5
2


a
=
−
0
=
a
.
10
+
(
)


1
5
40
2 ⇔ 
⇒ ( P2 ) : y = − x 2 +
Nên ta có hệ phương trình sau: 

40
2
5 = b
b = 5
 2

2
19
 10  1 2 5 
8 2
 
2 
V
=
5.2
−
x
+
dx
−
−
x + 2 ÷dx  = 40m3
Ta có thể tích của bê tông là:

 ∫0 
÷

∫
0
2
 361
 
  40

Bài tập5: Một hình xuyến dạng cái phao có
kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình
đó theo R và r.

A.

C. V = π2r2R.
D. V = π2rR2.
Hướng dẫn giải
Xét hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm ( O;R)
và bán kính r xung quanh trục Ox.
V = 2π2r2R.

⇒ Phương

B.

V = 2π2rR2.

trình đường tròn

y = R + r2 − x2
x2 + (y − R)2 ⇔ 
2
2
y = R − r − x

2 
2
r 



⇒ V = π ∫  R + r2 − x2 ÷ −   R − r2 − x2 ÷ ÷ dx

−r 

 ÷
r
= 4πR ∫ r2 − x2dx
−r





Đặt x=rsint

π

2
x = rsint ⇔ dx = rcostdt ⇒ V = 4πR ∫ (rcost)2
−π
2

π
π
2
2
sin2t

= 2πr2R ∫ (1+ cos2t)dt = 2πr2R(t +
= 2π2r2R → Đáp án A
2
π

π
−
 − 2
2

12


Bài tập 6: Một khối cầu có bán kính là 5 ( dm ) , người ta cắt bỏ hai phần của khối
cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một
khoảng 3 ( dm ) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà
chiếc lu chứa được.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x − 5) 2 + y 2 = 25 . Ta thấy
nếu cho nửa trên trục Ox của ( C ) quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính
bằng 5. Nếu cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi nửa trên trục Ox của ( C ) , trục Ox
, hai đường thẳng x = 0, x = 2 quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay
chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.
Ta có ( x − 5) 2 + y 2 = 25 ⇔ y = ± 25 − ( x − 5) 2
⇒ Nửa trên trục Ox của ( C ) có phương trình y = 25 − ( x − 5) 2 = 10 x − x 2
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay khi cho ( H ) quay quanh Ox là:
2


x3 
52π
V1 = π ∫ ( 10 x − x ) dx = π  5 x 2 − ÷ =
3 0
3

0
4
500π
Thể tích khối cầu là: V2 = π .53 =
3
3
500π
52π
− 2.
= 132π ( dm3 )
Thể tích cần tìm: V = V2 − 2V1 =
3
3

2

2

Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể
52π
3
d
3
4
52
Vậy thể tích của chiếc lu là V = Vc − 2V1 = π .53 − 2 π = 132π
3
3
R

5

2
2
2
tích V1 = π ∫ ( R − x ) dx = π ∫ ( 25 − x ) dx =

Bài tập tương tự
Bài tập 7: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết
rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách
nhau 40m , biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân
trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như
hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện
tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu)

13


A. 20m3

B. 50m3

C. 40m3

D100m3

Bài tập 8: Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước
hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a.
2.3.3. Một số bài toán liên quan đến vật lý .
DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG

Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi
được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ
giữa s(t) và v(t)
Đạo hàm của quãng đường là vận tốc
s′ ( t ) = v( t )

Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường

s( t ) = ∫ v( t ) dt

Từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t ∈  a; b là:
b

∫ v( t) dt = s( b) − s( a)
a

Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t)
Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc
v′ ( t ) = a( t )

Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc

v( t ) = ∫ a( t ) dt

Bài tập 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời
điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v( t) = −5t + 10( m/s) , trong
đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp
phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?[8].
 Phân tích bài toán
Ta có nguyên hàm của vận tốc v( t) = −5t + 10

chính là quãng đường s( t) mà ô tô đi được sau
thời gian t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh.

14


Vào thời điểm ô tô bắt đầu đạp phanh ứng với t = 0 . Vào thời điểm ô tô dừng lại
thì
v( t ) = 0 ⇔ −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2 .
Từ đây ta tính được quãng đường xe đi được từ lúc t = 0 đến t = 2 theo công
2

thức ∫ v( t) dt .
0

Hướng dẫn giải
Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm t0 , ô tô có vận tốc v0 = 10( m/ s) .

Suy ra v( t0 ) = −5t0 + 10 = 10 ⇔ t0 = 0 .

Khi ô tô dừng lại tại thời điểm t1 thì vận tốc v1 = 0( m/ s) . Suy ra
v( t1 ) = −5t1 + 10 = 0 ⇔ t1 = 2.

Ta có mối liên hệ giữa 2 đại lượng biến thiên quãng đường đi được S( t) và vận

tốc v( t) là: Nguyên hàm của vận tốc v( t ) chính là quãng đường đi được S( t ) .
Suy ra quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là tích phân của
hàm v( t ) khi thời gian t từ 0s đến 2s.
2
 t2

2
2
= 10m.
∫ v( t ) dt = ∫ ( −5t + 10) dt =  −5 + 10t ÷
÷
2
0
0

0

Bài tập 2: Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là 72 m/s bắt đầu từ độ
cao 2m. Hãy xác định chiều cao của viên đạn sau thời gian 5s kể từ lúc bắn.
Phân tích bài toán
Để xác định được chiều cao của viên đạn tại thời điểm bất kì, ta cần tìm công
thức quãng đường s(t) mà viên đạn đi được.
Xem như tại thời điểm t0 = 0 thì viên đạn được bắn lên. Theo giả thiết ta có
s( 0) = 2 và v( 0) = 72.
Ta biết rằng trong chuyển động ném đứng từ dưới lên thì gia tốc trọng trường có
2
giá trị âm tại mọi thời điểm t, nghĩa là a( t ) = −9,8m/ s .
Vận tốc v(t) là nguyên hàm của a(t) nên ta có v( t) = ∫ −9,8dt , kết hợp điều kiện
vận tốc ban đầu là v( 0) = 72 ta suy ra dạng của v( t) .

Tiếp tục có s(t) là nguyên hàm của v(t), kết hợp điều kiện vị trí ban đầu S( 0) = 2
ta tìm được phương trình của s(t). Từ đây ta tính được s(5)
Hướng dẫn giải
Ta có vận tốc của viên đạn tại thời điểm t là
v( t ) = ∫ −9,8dt = −9,8t + C1

Do v( 0) = 72 nên v( 0) = −9,8.0+ C1 = 72 ⇔ C1 = 72 ⇒ v( t ) = −9,8t + 72.
Độ cao của viên đạn tại thời điểm t là

15


s( t ) = ∫ v( t ) dt = ∫ ( −9,8t + 72) dt = −4,9t2 + 72t + C2

Vì s( 0) = 2 nên s( 0) = −4,9.0 + 72.0 + C2 = 2 ⇔ C2 = 2 ⇒ s( t ) = −4,9t + 72t + 2 .
Vậy sau khoảng thời gian 5s kể từ lúc bắn, viên đạn ở độ cao 239,5 mét.
2

2

DẠNG 2: BÀI TOÁN VỀ CÔNG CỦA LỰC TÁC DỤNG VÀO VẬT
• Giả sử f(x) là lực tác dụng lên vật tại vị trí x, đường
đi của lực tác dụng(quỹ đạo của vật được tác dụng
lực) tương ứng với trục tọa độ Ox. Khi đó, công
toàn phần sinh ra trong cả quá trình chuyển động
của vật từ vị trí x = a đến vị trí x = b là:
b

W = ∫ f ( x) dx
a

Ví dụ: Một lực 40N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên từ
10cm đến 15cm. Hãy tính công sinh ra khi kéo lò xo từ
độ dài từ 15cm đến 18cm [4].
 Phân tích bài toán
Khi một lò xo bị biến dạng (bị nén hoặc kéo giãn) thì lò
xo sẽ sinh ra một lực gọi là lực đàn hồi, lực đàn hồi này
chống lại sự biến dạng, giúp lò xo trở về lại hình dạng tự nhiên ban đầu.
Theo định luật Hooke: “Khi một lò xo bị biến dạng (nén
hoặc giãn) với một độ dài x (x > 0) so với độ dài tự nhiên
của lò xo thì lò xo sinh ra một lực đàn hồi có độ lớn bằng
f ( x) = kx , trong đó k là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng ) của
lò xo.
Dùng giả thiết để suy ra hàm số f ( x) = kx . Khi đó, công sinh ra khi kéo căng lò
xo từ 15cm đến 18cm được tính theo công thức
0,08

W=

∫ f ( x) dx

0,05

Hướng dẫn giải
Ban đầu, lò xo có độ dài tự nhiên 10cm. Dùng một lực 40N kéo giãn lò xo có
độ dài 15cm thì lò xo bị kéo dãn một đoạn có độ dài 5cm = 0,05m. Vậy ta có
f ( 0,05) = 40 ⇔ 0,05.k = 40 ⇔ k = 800. Suy ra f ( x) = 800x .
Vậy công sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15cm đến 18cm là
0,08

x2
W = ∫ 800xdx = 800.
2
0,05

0,08

= 1,56J

.
2.3.4. Một số bài toán liên quan đến sự tăng trưởng .
Cho hàm số f ( x) biểu diễn cho sự tăng (hay giảm) số lượng của một đối tượng
nào đó (số người, vi khuẩn, vi trùng, lượng nước chảy...)
0,05

16

Giá trị f ( x) là số lượng của đối tượng đó tại thời điểm x .

Đạo hàm f ′ ( x) chính là tốc độ tăng (hay giảm) của đối tượng đó tại thời điểm x
.
Số lượng tăng thêm (hoặc giảm đi) của đối tượng trong khoảng x∈  a; b là:
b

∫ f ( x) dx
a

Bài tập 1: Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của
thành phố A sẽ tăng với tốc độ v( x) = 10+ 2 2x + 1 (người/tháng).
Dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới.
Phân tích bài toán
Giả thiết cho v( x) = 10 + 2 2x + 1 hàm biểu thị cho tốc độ tăng dân số trong tháng

thứ x . Vậy nguyên hàm của v( x) chính là hàm số f ( x) biểu thị cho dân số của
thành phố sau x tháng kể từ bây giờ.
Đề bài yêu cầu tính số dân tăng thêm của thành phố trong vòng 4 tháng tới. Theo
lý thuyết đã nêu thì số dân tăng thêm đó được tính theo công thức.
4

∫ v( t) dt = f( 4) − ( 0)
0

Chú ý rằng ta có thể tính bằng 2 cách. Cách 1 là tìm nguyên hàm f ( x) , sau đó
tính hiệu số f( 4) −

( 0) . Cách 2 là tính trực tiếp tích phân

4

∫ v( t) dt .
0

Hướng dẫn giải
Gọi f ( x) là dân số của thành phố sau x tháng kể từ bây giờ.
Tốc độ thay đổi của dân số là v( x) = 10 + 2 2x + 1 .

(

)

Suy ra f ( x) = ∫ 10 + 2 2x + 1 dx = 10x + 2∫ 2x + 1dx .
Mà

∫

2x + 1dx =

1
3
1
1
2d 2x + 1 =
2 +C.
2
x
+

1
2
x
+
1
(
) (
) 3(
)
2∫

Do đó f ( x) = 10x +

3
2
2
x
+
1
(
) 2 +C.
3

Số dân trong 4 tháng tới là:
f( 4) −

( 0) = 10.4+ 23 ( 2.4+ 1)

3
2


2

+ C −  0 + + C ÷ ≈ 57 người
3



Bài tập 2: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình
bởi hàm số B′ ( t ) =

1000

( 1+ 0,3t)

2

, t ≥ 0 , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi

ml nước tại ngày thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước.
Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới

17


3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và
thay nước mới cho hồ bơi [4].
Phân tích bài toán
Để biết được sau bao nhiêu ngày phải thay nước mới cho hồ bơi thì ta cần xác

định sau bao nghiêu ngày thì số lượng vi khuẩn phát triển đến 3000 con trên mỗi
ml nước. Như vậy ta phải xác định hàm số B(t) biểu thị cho số lượng phát triển
của vi khuẩn tại ngày thứ t.
Ta biết rằng tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình
bởi hàm số B′ ( t ) =

1000

( 1+ 0,3t)

2

. Suy ra nguyên hàm của B′ ( t) là hàm số B(t) biểu

thị cho số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t.
Khi đó, kết hợp với điều kiện số lượng vi khuẩn lúc đầu B(0) = 500 con, ta tìm
được một mô hình B(t) biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t.
Từ đây ta có thể tính số lượng vi khuẩn tại thời điểm tùy ý và xác định được
người bơi có an toàn hay không ? Có nên thay nước cho hồ bơi hay không ?
Hướng dẫn giải
Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên
hàm của B’(t).
B( t ) = ∫

1000

dt = 1000∫ ( 1+ 0,3t ) dt = −
−2

( 1+ 0,3t)

2

1000
+C .
0,3( 1+ 0,3t )

Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước nên
B( 0) = 500 ⇔ −

1000
11500
+ C = 500 ⇔ C =
3 .
0,3( 1+ 0,3.0)

Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là
B( t ) = −

1000
11500
+
3 .
0,3( 1+ 0,3t )

Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an
toàn; và người bơi không an toàn khi
B( t ) ≥ 3000 ⇔ −
⇔−

1000
11500
+
≥ 3000
3
0,3( 1+ 0,3t )

1000
2500
≥−
⇔ 1+ 0,3t ≥ 4 ⇔ t ≥ 10 .
3
0,3( 1+ 0,3t )

Vậy vào ngày thứ 10 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 3000 con và hồ bơi không còn
an toàn, cần phải thay nước mới.
Bài tập 3: Trong một đợt xả lũ, một nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút
3
với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm t giây là v( t) = 10t + 500( m / s) . Hỏi sau
thời gian xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là
bao nhiêu ?
Phân tích bài toán

18


3
Trong 40 phút, nhà máy thủy điện xả lũ với tốc độ v( t) = 10t + 500( m / s) .

Nguyên hàm của v′ ( t) chính là hàm số f ( t) biểu thị cho lượng nước đã xả tại

thời điểm t.
Lượng nước xả được trong thời gian 40 phút (ứng với 2400 giây) bằng tích phân
2400

∫ v′ ( t) dt
0

Như vậy, bằng phép tính này ta đã xác định được lượng nước đã thoát ra.
Hướng dẫn giải
Lượng nước lũ đã xả trong khoảng thời gian 40 phút (2400 giây) sẽ bằng
2400

L=

∫

0

v′ ( t ) dt =

2400

∫ ( 10t + 500) dt = ( 5t
0

2

+ 500t

)

2400
0

( )

= 3.107 m3 .

Vậy trong khoảng thời gian 40 phút, nhà máy đã xả một lượng nước là 30
triệu khối, tức là hồ chứa nước đã thoát đi 30 triệu khối nước.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến này ở lớp 12B2 tôi nhận thấy:
- Các em học sinh chăm chú nghe giảng, tìm hiểu bài toán và giải bài tập, bước
đầu hình thành nên lối tư duy khoa học hơn, sâu sắc hơn.
- Giờ học sôi nổi, nhiều học sinh tỏ ra có hứng thú với các tiết dạy, tinh thần học
tập của học sinh cả lớp được nâng lên .
- Một số học sinh khá còn sáng tạo thêm các bài tập dựa vào bài toán gốc cho cả
lớp cùng làm, phong trào thi đua học tập của lớp ngày một nâng cao.
Kết quả đó còn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra khi tôi tiến hành
dạy đề tài ở lớp 12B2. So sánh giữa các lớp chưa học và các lớp đã được học đề
tài, cho thấy hiệu quả của đề tài và tính thiết thực trong việc đổi mới phương
pháp dạy học.
Sau khi thực hiện quá trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải và cho các em
tự luyện tập ở nhà tôi tiến hành cho học sinh lớp 12B2 làm bài kiểm tra 45 phút
(với mức độ đề tương đương với đề đã cho lớp 12A2 năm học 2017- 2018).
Kết quả làm bài của học sinh được thống kê ở bảng sau.
Giỏi
Khá
TB

Yếu
Số
Lớp
HS
SL
(%)
SL
(%)
SL
(%)
SL
(%)
12A2
42
8
15
19
0
0
Bản thân tôi và các đồng nghiệp ở trường trung THPT Triệu Sơn 4 nhận
thấy khi áp dụng sáng kiến dạy học bài tập chương III giải tích 12 thì hiệu quả
giảng dạy giảng dạy của giáo viên được nâng lên từ đó góp phần vào việc nâng
cao chất lượng giáo dục của các lớp mà mình phụ trách nói riêng và của nhà
trường nói chung.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Kết luận

19

Phát triển năng lực tư duy, rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến
thức Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế là vấn đề cấp thiết
hiện nay. Làm được điều đó các em mới phát huy hết được khả năng của mình,
có hứng thú, niềm đam mê với môn toán, có những ý tưởng hay trong giải toán
cũng như trong quá trình giải quyết các vấn đề mà các em sẽ gặp trong cuộc
sống.
Người thầy cần xác định được tầm quan trọng của toán học đối với cuộc
sống và các khoa học khác từ đó trang bị cho học sinh nền tảng kiến cần thiết,
nền tảng có vững vàng thì các em mới có đủ nội lực để tiếp nhận kiến thức mới,
có cơ sở để phát triển, sáng tạo những gì đã học và áp dụng vào thực tế cuộc
sống .
- Kiến nghị
Việc viết và báo cáo SKKN trong quá trình dạy học sẽ tạo điều kiện để giáo
viên được trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm để có phương pháp giảng
dạy và giáo dục tốt hơn. Đây thực sự là việc làm bổ ích đối với mỗi giáo viên.
Do vậy trong những năm học tiếp theo, mặc dù không phải là nhiệm vụ bắt
buộc nhưng các trường THPT và Sở GD&ĐT Thanh Hóa vẫn nên tiếp tục triển
khai và khuyến khích giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm để chia sẻ những
kinh nghiệm bổ ích trong mà mình đã tích lũy được với đồng nghiệp để cùng
nhau thực hiện tốt công việc của mình từ đó nâng cao chất lượng giáo dục.
Đề tài được tích luỹ nhiều năm trực tiếp giảng dạy tại các lớp12 của
trường THPT Triệu Sơn 4, các ví dụ được chọn lọc, tham khảo từ nhiều nguồn
tài liệu khác nhau trong một số đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường
THPT, tạp chí Toán học tuổi trẻ, các diễn đàn dạy học toán trên mạng internet...
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài không tránh khỏi
những hạn chế. Rất mong được sự đóng góp quý báu của bạn đọc, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Lê Thị Hương

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Bài tập trắc nghiệm các dạng toán ứng dụng thực tế - Đặng Việt Đông www.
toanmath.com;
[2]. Các bài toán thực tiễn trong đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 -Trần Văn
Tài www.toanmath.com;
[3]. Đề thi thử đại học của một số trường THPT trong các năm gần đây; các
trang mạng liên quan đến dạy học toán như www. Moon.Vn; Thư viện trực
tuyến Violet; www.diendantoanhoc.net;
[4]. Nguyên hàm tích phân và những bài toán thực tế
[5]. Một số biện pháp tạo hứng thú học tập cho học sinh - Giasunhanvan.com
[6]. Nguyễn Thị Thu Thủy, Trường THPT Trưng Vương Thành phố Hà Nội
“Tạo hứng thú học toán 10- Trung học phổ thông thông qua vận dụng các bài tập
liên quan đến các môn học khác và các bài toán thực tế”- đề tài khoa học năm
2014;
[7]. Nghị quyết số 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào
tạo; Những điểm mới trong mục tiêu đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục phổ
thông – thuvienphapluat.VN;
[8]. Sách giáo khoa giải tích 12 NC - Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy -Nhà
xuất bản Giáo Dục – tháng 7 năm 2006.

[9]. Đề thi thử khảo sát chất lượng lớp 12 của một số trường THPT trong tỉnh
Thanh Hóa – nhóm TOÁN THPT THANH HÓA.


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 4.

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Một số kinh nghiệm trong
công tác chủ nhiệm lớp ở
trường THPT
Phát triển năng lực tư duy cho
học sinh thông qua việc khai
thác các tính chất hình học để
tìm lời giải cho một số bài
toán tọa độ trong mặt phẳng
-chương III hình học 10
Tạo hứng thú học tập cho học
sinh lớp 10B3 trường THPT
Triệu Sơn 4 thông qua việc
giải quyết một số bài toán có

nội dung liên quan đến thực
tiễn khi dạy học bài tập
chương III hình học 10”

2.

3.

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
Sở GD&ĐT
C
2012-2013
Thanh Hóa
Sở GD&ĐT
Thanh
Hóa

C

2015- 2016

Sở GD&ĐT
Thanh
Hóa

C

2016- 2017

----------------------------------------------------