DEHDG HK2 LOP 11 THPT CHUYEN THAI NGUYEN 2018 kho tai lieu THCS THPT

SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán – Lớp 11 – Chương trình Nâng cao
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 132

Câu 1.

Tính đạo hàm của hàm số y =
A. y′ =
C. y′ =

−9 x 2 − 4 x + 1

( x + 1)

2

−3 x 2 − 6 x + 1

( x + 1)

2

x ( 1 − 3x )
.
x +1

.

B. y′ = 1 − 6 x 2 .

.

D. y′ =

1 − 6x2

( x + 1)

2

.

Lời giải
Chọn C.

( 1 − 6 x ) ( x + 1) − 1. ( x − 3x
x − 3x 2
y=
⇒ y′ =
2
x +1
( x + 1)

Câu 2.

2

) = −3x

2

− 6x +1

( x + 1)

2

.

 x3 − 8
khi x ≠ 2

Cho hàm số f ( x ) =  x − 2
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số liên
mx + 1 khi x = 2


tục tại x = 2 .
13
A. m =
.
2

B. m =

15
.

2

C. m =

17
.
2

D. m =

11
.
2

Lời giải
Chọn D.
+ Hàm số đã cho xác định tại x = 2 và f ( 2 ) = 2m + 1 .
x3 − 8
+ lim f ( x ) = lim
= lim ( x 2 + 2 x + 4 ) = 12
x→2
x→2 x − 2
x →2
+ Để hàm số liên tục tại x = 2 thì điều kiện cần và đủ là 2m + 1 = 12 ⇔ m =
Câu 3.

11
.
2

Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a 2 , SA = 2a . Tính côsin của góc giữa hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) .
A.

7
.
7

B.

30
.
15

C.
Lời giải

Chọn A.

1
.
2

D.

42
.
7

Gọi H là tâm đáy ABCD . Vì hình chóp đã cho đều nên SH vuông góc với ( ABCD ) .
Kẻ HG vuông góc với AB tại G . Ta chứng minh được SG cũng vuông góc với AB tại G .
·
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) là α = SGH
.
2

a 2
a 14
Trong tam giác vuông SGA vuông tại G , Ta có: SG = SA − GA = 4a − 
=
÷
 2 ÷
2


2

Trong tam giác vuông SHG vuông tại H , ta có: cos α =
Câu 4.

2

HG
2a
7
=
=
.
SG a 14

7

Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin x + cos x tại điểm x =

π2 
A. f ′  ÷ = 2 .
 16 
π2  2 2
′
C. f  ÷ =
.
π
 16 

2

π2
.
16

π2 
B. f ′  ÷ = 0 .
 16 
π2  2
′
D. f  ÷ = .
 16  π
Lời giải

Chọn B.

1

f ( x ) = sin x + cos x ⇒ f ′ ( x ) =
π2 
⇒ f ′  ÷=
 16 
Câu 5.

1
2

π2
16

cos

π2
−
16

2 x

1
2

π2
16

cos x −

sin

)
)

2 x

sin x .

π2
=0.
16

r uuur
Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Đặt a = AA′ ,
uuuu
r
A′B′C ′ . Vectơ AG ′ bằng:
uuuu
r 1 r r r
A. AG ′ = a + 3b + c .
3
uuuu
r 1 r r r
C. AG ′ = a + b + 3c .
3

(
(

1

r uuur r uuur
b = AB , c = AC . Gọi G′ là trọng tâm của tam giác

uuuu
r 1 r r r
B. AG′ = a + b + c .
3
uuuu
r 1 r r r
D. AG′ = 3a + b + c .
3

(
(

)

)


Lời giải
Chọn D.

uuuu
r uuur uuuur r 2 uuuur r 2 1 uuuur uuuur r 1 r r 1 r r r
AG′ = AA′ + A′G′ = a + A′M = a + . A′B ′ + A′C ′ = a + b + c = 3a + b + c .
3
3 2

3
3

(

Câu 6.

)

(

)

(

)

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên ( SAB ) và ( SBC ) cùng
vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SB = a 2 . Tính góc giữa SD và ( ABCD ) .
A. 60o .

B. 30o .

C. 45o .
Lời giải

D. 90o .

Chọn C.

ïì ( SAB ) ^ ( ABCD )
·
Þ SB ^ ( ABCD) , góc giữa SD và ( ABCD ) là ( SD, AD ) = SDA
Ta có ïí
ïï ( SBC ) ^ ( ABCD )
î
·
Xét D SAD vuông cân tại S Þ SDA
= 45o .

Câu 7.

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính khoảng
cách từ điểm A¢đến mặt phẳng ( AB ¢D ¢) .
A.

a
.
3

B.

a 2
.
2

C.

a 2
.

3

D.

2a
.
3


Lời giải
Chọn D.

Gọi O ¢ là trung điểm của B ¢D ¢, kẻ A¢H ^ AO ¢, dễ dàng chứng minh được d ( A¢, ( AB ¢D ¢) ) = A¢H
Xét D AA¢O ¢ vuông tại A¢, có AA¢= 2a, A¢O ¢=

A¢C ¢ a 2
=
2
2

1
1
1
9
2a
=
+
= 2 Þ A¢H =
.
2

2
2
A¢H
A¢A
A¢O ¢ 4a
3

Câu 8.

lim

A.

1 + 5 + 9 +... +( 4n - 3)
bằng
2 + 7 +12 +... +( 5n - 3)

4
.
5

B.

5
.
6

2
.
3

Lời giải

C.

D.

3
.
4

Chọn A.
n
( 2 +( n - 1) .4)
1 + 5 + 9 +... +( 4n - 3)
2 = lim 4n - 2 = 4 .
= lim
Ta có lim
n
2 + 7 +12 +... +( 5n - 3)
5n - 1 5
( 4 +( n - 1) .5)
2
Câu 9.

Cho cấp số nhân un có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 4 , tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 13 ,
tính tổng của năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công bội của cấp số nhân đó là một
số dương.
181
35
A. S5 = 121 .

B. S5 =
.
C. S5 = 141 .
D. S5 = .
16
16
Lời giải
Chọn A.
éq = 3 ( n )
ìï u1 ( 1 + q ) = 4
ê
ïìï u1 + u2 = 4
1+ q
4
ï
Û í
Þ
= Þ ê
Ta có í
3
2
2
ïïî u1 + u2 + u3 = 13 ïï u1 ( 1 + q + q ) = 13 1 + q + q
13 êq =- ( l )
ïî
ê
4
ë

Với q = 3 Þ u1 = 1 Þ S5 =

u1 ( 1- q 5 )
1- q

= 121 .

Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

2 x +1
tại điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 3
x- 1

là:
A. y =-

1
13
x.
3
3

B. y =-

1
12
x+ .
3
3

C. y =-

1
12
x.
3
3

D. y =-

1
13
x+ .
3
3

Lời giải
Chọn D.
Ta có y0 = 3 Þ x0 = 4 , y ¢=

- 3

( x - 1)

2

Þ y ¢( 4) =-

1
3

1
13
x+ .
3
3
2
Câu 11. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được hiển thị bởi công thức v ( t ) = 8t + 3t , trong đó t > 0 , t

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = f ¢( xo ) ( x - xo ) + yo Þ y =-

tính bằng giây và v ( t ) tính bằng mét/giây. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc
chuyển động là 11 mét/giây.
A. 6m/s 2 .
B. 11m/s 2 .
C. 14m/s 2 .
D. 20m/s 2 .
Lời giải
Chọn C.
t = 1
.
v ( t ) = 11 ⇒ 8t + 3t = 11 ⇔ 3t + 8t − 11 = 0 ⇔ 
t = − 11
3

Vì t > 0 nên t = 1 .
Gia tốc: a ( t ) = v′ ( t ) = 8 + 6t ⇒ a ( 1) = 14 .
2

2

Câu 12. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào là dãy số giảm?
1
3n − 1
2
A. un = n .
B. un = n + 2 .
C. un = n .
D. un =
.
2
n +1
Lời giải
Chọn C.
Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta có: un +1 =

1
1
1
=
< n = un .
n +1
n
2
2.2
2

1
là dãy số giảm.
2n

Câu 13. Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu ?
A. m = 3 .
B. m = 4 .
C. m = 2 .
D. m = 5 .
Lời giải
Chọn A.
Các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có

Vậy dãy số ( un ) với un =


5 + m + 17 + m = 2 ( 7 + 2 m ) ⇔ m = 4 .

Câu 14. Kết quả của giới hạn lim
A. +∞ .

3n − 4.2n +1 − 3
là
3.2n + 4n
B. −∞ .

C. 0 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn C.
n

n

n

3
1
1
− 8.  ÷ − 3  ÷

÷
n
n +1
3 − 4.2 − 3
4
2
 4 = 0 = 0
lim
= lim  
.
n
n
n
3.2 + 4
1
1
3.  ÷ + 1
2
Câu 15. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 2,151515... (chu kì 15), a được biểu diễn dưới dạng phân số
m
, trong đó m, n là các số nguyên dương. Tính tổng m + n .

n
A. m + n = 38 .
B. m + n = 104 .
C. m + n = 312 .
D. m + n = 114 .
Lời giải
Chọn B.
15 15 15
15
a = 2,151515... = 2 + 2 + 4 + 6 + ×××+ 2 n + ×××
10 10 10
10
15
15 15 15
15
Do 2 ; 4 ; 6 ; ×××; 2 n ; ×××lập thành một cấp số nhân ( un ) lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 2 ,
10 10 10
10
10
15
1
71
1
a =2+ 2 ×
=
công bội q = 2 nên t có
10 1 − 1
33 .
10
2

10
.
⇒ m = 71; n = 33 ⇒ m + n = 104

Câu 16. Cho tứ diện ABCD có AB = AC , DB = DC . Gọi I là trung điểm của cạnh BC . Hãy chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau
A. DI ⊥ ( ABC ) .
B. ( ABC ) ⊥ ( AID ) . C. CD ⊥ ( ABD ) .
D. AI ⊥ ( BDC ) .
Lời giải
Chọn B .
Do AB = AC , DB = DC nên ta có
 BC ⊥ ( IAD )
 BC ⊥ IA
⇒
⇒ ( ABC ) ⊥ ( IAD ) .

 BC ⊥ ID  BC ⊂ ( ABC )

Câu 17. Cho hàm số y = x 3 − x 2 + 1 . Tìm điểm nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc
nhỏ nhất?
 1 25 
 2 23 
 1 24 
A.  ; ÷.
B.  ; ÷.
C.  ; ÷.
D. ( 0;1) .
 3 27 
 3 27 

 3 27 


Lời giải
Chọn A .
1
Ta có y′ = 3 x 2 − 2 x là hàm số bậc hai có hệ số a = 3 > 0 nên đạt giá trị nhỏ nhất tại x = .
3
1
25
⇒y=
.
3
3
1 
 1
−
Câu 18. Giới hạn lim+  2
÷ bằng
x→2  x − 4
x−2
A. +∞ .
B. −2 .

Với x =

D. −∞ .

C. −3 .
Lời giải

Chọn D .
Ta có
 lim+ ( −x − 1) = −3 < 0
x→2
1 
− x −1

 1
x2 − 4) = 0
−
= lim+ 2
= −∞ .
nên lim+  2
(
xlim
÷
+
x→2  x − 4
x − 2  x →2 x − 4
 →2
2

ví i x > 2 ⇒ x − 4 > 0
Câu 19. Cho hàm số y = 3x 3 + x 2 + 1 , có đạo hàm y′ . Để y′ ≤ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
 9 
 2 
A.  − ;0  .
B.  − ;0  .
 2 

 9 
9
2


C.  −∞; −  ∪ [ 0; +∞ ) .
D.  −∞; −  ∪ [ 0; +∞ ) .
2
9



Lời giải
Chọn B .
2
Ta có y′ = 9 x + 2 x ≤ 0 ⇔

−2
≤ x ≤ 0.
9

Câu 20. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
A.

(x
lim

x →−2

2

− x − 6)

x3 + 2 x 2

2

B. lim

.

x →1

x −1
.
x3 − 1

C. lim +
x → ( −2 )

− x2 − x + 6
x2 − 1
lim
.
D.
.
x →−3
x 2 + 3x
x 2 − 3x + 2

Lời giải
Chọn A .
Ta có

(x
lim

x →−2

2

− x − 6)

x3 + 2 x 2

2

( x + 2 ) ( x − 3)
= lim
x →−2
x2 ( x + 2)
2

2

( x + 2 ) ( x − 3)
= lim
x →−2

x2

2

= 0.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1.

 x2 + x − 2
 x −1

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f ( x ) = 3
m 2 x + 1



khi x < 1
khi x = 1 liên tục tại x = 1 .
khi x > 1


Lời giải
Hàm số xác định với mọi xÎ ¡ .
Ta có : f ( 1) = 3

lim ( m 2 x + 1) = m 2 + 1

x →1+

x2 + x − 2
( x − 1)( x + 2)
= lim−
= lim(
x + 2) = 3
x →1
x →1
x →1−
x −1
x −1
f ( x ) = lim− f ( x) = f (1)
Để hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ xlim
→1+
x →1
lim−

Câu 2.

⇔ m2 + 1 = 3 ⇔ m = ± 2
Tính các giới hạn sau:
2 1+ x − 3 8 − x
.
x →0
x

x2 + x − x
.
x2

a) lim+

x →0

b) lim
Lời giải

a) Ta có:
lim+

x →0

x2 + x − x
x2 + x − x
=
lim
= lim+
2
x →0 + 2
x→ 0
x2
x
x +x+ x
x2

)

(

x2

(

x +x+ x
2

)

= lim+
x→0

(

1
x +x+ x
2

)

2 1+ x − 3 8 − x
2 1+ x − 2
2− 3 8− x
= lim
+ lim
x →0
x →0
x →0
x
x
x

b) Ta có: I = lim

4 1+ x) − 2
4x
4
2 1 + x − 2 = lim (
= lim
= lim
=1
x →0
x →0
x →0
x
2
1
+
x
+
2
x
2
1
+
x
+
2
2
1
+
x
+

2
x →0
x

(

Tính A = lim

Tính B = lim
x →0

(

2− 3 8− x
x
= lim
x
→
0
x
x 4 + 2 3 (8 − x ) + 3 (8 − x) 2

(

= lim
x→0

⇒ I = A+ B =

Câu 3.

)

( 4+2

1
3

(8 − x) + 3 (8 − x) 2

)

)
)

=

1
12

13
12

Tính đạo hàm của các hàm số sau;
x2 + 2
a) y =
2x2 + 1

y = sin x.tan ( −3 x ) .

(

)

= +∞


x3
+ mx 2 − ( 2m + 3) x + 9 ( m là tham số ). Tìm tất cả các giá trị của m sao
3
x1 x2
+ = −4 .
cho phương trình f ' ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa
x2 x1

b) Cho hàm số f ( x ) =

Lời giải
a)

y=

x2 + 2
2x2 + 1

Ta có y ' =

(x

=

=
•

2

+ 2) . 2 x2 + 1 − ( x2 + 2)
'

(

2 x2 + 1

2 x 2 x2 + 1 − ( x2 + 2) .
2x2 + 1
2 x ( 2 x2 + 1 − x2 − 2 )

( 2x

2

+ 1) 2 x 2 + 1

y = sin x.tan ( −3 x ) .

=

)

2

(

2 x2 + 1

)

'

4x

2
2
2 2 x 2 + 1 = 2 x ( 2 x + 1) − 2 x ( x + 2 )
( 2 x 2 + 1) 2 x 2 + 1

( 2x

2 x3 − 2 x
2

+ 1) 2 x 2 + 1


3sin x 
y ' = 2  cos x.tan ( −3 x ) −

cos 2 ( −3 x ) 

2
b. Ta có: f ' ( x ) = x + 2mx − ( 2m + 3)

f ' ( x ) = 0 ⇔ x 2 + 2mx − ( 2m + 3) = 0 ( *)

Với ∆ ' = m 2 + 2m + 3 = ( m + 1) + 2 > 0, ∀m ⇒ f ' ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
2

 x1 + x2 = 2m
Theo hệ thức vi – ét : 
 x1.x2 = − ( 2m + 3)
x1 x2
x12 + x22
2
+
=
−
4
⇔
= −4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = −4 x1 x2
Theo giả thiết
x2 x1
x1 x2
⇔ ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 = 0 ⇔ ( −2m ) − 2 ( 2m + 3 ) = 0
2

Câu 4.

2


1+ 7

( tm )
m =
2
2
⇔ 4m − 4 m − 6 = 0 ⇔ 

1− 7
( tm )
m =

2
1+ 7
1− 7
Vậy m =
hoặc m =
.
2
2
·
·
Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SB = BC = 2a 2, BSC
= 450 , BSA
=α.
a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) .
b) Tính giá trị α để góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 450.


Lời giải
a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) .
·

Tam giác SBC có BC = BS và BSC
= 450 nên
∆SBC vuông cân tại B ⇒ BC ⊥ BS .
 BC ⊥ BS
Khi đó: 
 BC ⊥ SA ( do SA ⊥ ( ABC ) )
⇒ BC ⊥ ( SAB ) .
Vậy BC ⊥ ( SAB )
b) Tính giá trị α để góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và

( SBC )

bằng 450.

Dựng AE ⊥ SB tại E và dựng AF ⊥ SC tại F .
Theo câu a) BC ⊥ ( SAB ) nên BC ⊥ AB
Khi đó: AE ⊥ ( SBC ) ⇒ AE ⊥ SC
Vậy SC ⊥ ( AEF ) ⇒ SC ⊥ EF .
Hai đường thẳng AF và EF lần lượt thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) cùng vuông góc với giao
tuyến SC .
0
·
Nên ( SAC ) , ( SBC )  = ·AFE = 45 .
Ta có ∆AEF vuông tại E (vì AE ⊥ ( SBC ) ⇒ AE ⊥ EF ) có AE = EF .tan 450 = EF .
Xét ∆SAE có AE = SE.tan α , xét ∆SEF có EF = SE.sin 450 =
Suy ra AE = EF ⇔ SE.tan α =
Vậy α = arctan

SE. 2
2

SE. 2
2
2
⇔ tan α =
⇒ α = arctan
2
2
2

2
thì góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 450.
2