matran dekiemtra 45 lan 2 toan 11 hk2 kho tai lieu THCS THPT

KIỂM TRA 1 TIẾT LẦN 2 HKII
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, HÀM SỐ LIÊN TỤC,
VETƠ TRONG KHÔNG GIAN, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC,
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
LỚP 11A1
1. Mục đích
Đánh giá khả năng nắm bắt và vận dụng kiến thức của học sinh sau khi học xong các giới hạn
của hàm số, hàm số liên tục, vectơ trong không gian, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng.
2. Yêu cầu
− Tìm được giới hạn của hàm số.
− Xét được tính liên tục của hàm số và chứng minh phương trình có nghiệm.
− Chứng minh được hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
− Xác định được góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
MA TRẬN KHUNG
Mức độ nhận thức
Chủ đề

Tổng
Nhận biết
TNKQ TL

Chủ đề 1:Giới
hạn của hàm số.
- Số câu
hỏi
- Số điểm:
Chủ đề 2:Hàm
số liên tục.
-

Câu
1,2
2

Câu
1a
1

5%
Câu
10, 11

5%

Thông hiểu
TNK
TL
Q
Câu
3,4, 5
3

Vận dụng thấp
TNKQ
TL

Vận dụng cao
TNKQ TL

Câu 6,7

Câu
1b
1

Câu
8,9
2

7,5%

2

7,5%
Câu
12

5%
Câu 2 Câu 13,
14

TNK
Q

TL

9

2

5%
Câu 15

22,5%

12,5%

Số câu
hỏi
- Số điểm:
Chủ đề 3:Vectơ
trong không
gian.
- Số câu
hỏi
- Số điểm:
Chủ đề 4:Hai
đườngthẳng
vuông góc.
- Số câu
hỏi
- Số điểm:
Chủ đề 5:Đường
thẳng vuông góc
với mặt phẳng.
- Số câu
hỏi
- Số điểm

2

1

1

2

1

6

1

5%
Câu 16

2,5%
Câu
17

10%

5%

2,5%

15%

10%

1

1

2,5%
Câu 18

2,5%

Tổng câu
Tổng điểm

6
15%

2
5%
Câu 19

1

1

2,5%

2

2,5%

1

5%

5%

Câu
20

Câu
3a

Câu
3b

Câu
3c

1

1

1

1

1

3

2,5%

12,5
%
2
22,5
%

7,5%

7,5
%
1
7,5

2,5%

27,5%

20
50%

6
50%

6
15%

5
12,5%

2

15%

3
7,5%


BẢNG MÔ TẢ ĐỀ THI
Chủ đề

Câu

Mức
độ

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1
Câu 2
Câu 3

1
1
2

Câu 4

2

Câu 5

2

Chủ đề 1: Giới hạn của hàm số.

Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9

Chủ đề 2: Hàm số liên tục.

Câu 10
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14

Chủ đề 3: Vectơ trong không gian.
Chủ đề 4: Hai đườngthẳng vuông
góc.
Chủ đề 5: Đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng.
Chủ đề 1: Giới hạn của hàm số.
Chủ đề 2: Hàm số liên tục.
Chủ đề 3: Vectơ trong không gian.
Chủ đề 4: Hai đườngthẳng vuông
góc.
Chủ đề 5: Đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng.

3

3
4

Mô tả
NB: Tính giới hạn của hàm đa thức tại điểm x0
NB: Tính giới hạn của hàm đa thức tại vơ cực
TH: Tìm giới hạn một bên tại
TH: Tìm giới hạn tại

x = x0 của hàm phân thức
x=x

0 của hàm phân thức
TH: Tìm giới hạn tại
VDT: Tìm tham số a khi biết giới hạn hữu hạn tại
vô cực
VDT: Tìm tham số a khi biết giới hạn hữu hạn tại
vô cực
VDC: Tìm hai số nguyên dương a, b khi biết

giới hạn hữu hạn tại
4

x = x0

x0 thỏa mãn điều kiện k

VDC: Tìm hai số thực a, b khi biết giới hạn hữu

x

1
1
2
3
3

hạn tại 0 thỏa mãn điều kiện k
NB: Tính chất hàm số liên tục
NB: Tính chất hàm số liên tục
TH: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
VDT: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm
VDT: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm
thuộc khoảng (a;b)

x

Câu 15
Câu 16
Câu 17
Câu 18
Câu 19

4
1
2
1
3

VDC: Tìm tham số m để hàm số tại điểm 0

NB: Tính chất vectơ
TH: Phân tích vectơ theo hai vectơ cho trước
NB: Tính chất hai đường thẳng vuông góc
VDT: Tính góc giữa hai vectơ

Câu 20

2

TH: Tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

PHẦN 2: TỰ LUẬN
Câu 1a
1
NB: Tính giới hạn tại điểm bằng phép thế
Câu 1b
3
VDT: Tính giới hạn dạng vô định ∞-∞
Câu 2

2

Câu 3a

1

Câu 3b

2

Câu
3C

3

TH: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm

x0

NB: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng
TH: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng
VDT: Xác định và tính góc giữa đường thẳng với
mặt phẳng


Câu 1.

Câu 2.

lim ( −2 x3 + 3 x 2 − 1)

Tính
A. +∞.

x →−∞

B. −2.

D. −∞.

C. 0.

[
]
Cho k nguyên dương, trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
lim x k = +∞

A. x →+∞
[
]
Câu 3.

.

.

Tính giá trị của
A. A = −1.

1
=0
k
C. x →+∞ x
.

1
=0
k
D. x →−∞ x
.

B. A = −∞.

C. A = +∞.

D. A = 2.

B. 2.

C. −3.

D. 4.

B. +∞ .

1
C. 2 .

3
D. 2 .

C. a = −2.

D. a = 3 .

C. 2 .

D. 3 .

B.

A = lim+
x →1

lim x k = −∞

x →−∞

lim

.

lim

2x +1
.
x −1

[
]
Câu 4.

2x2 + x − 3
Tính x →1 1 − x
.
A.  −5.
lim

[
]
Câu 5.

x 2 − 3x + 2

lim
x→2
2 x − 4 bằng :
−

1
2.

A.
[
]
Câu 6.

Giới hạn x →∞
A. a = 1.
[
]

Câu 7.

)

(

lim 2 x + 4 x 2 − ax + 1 = 1

Tìm a để
A. 0 .

lim

x →+∞

. Khi đó:

B. a = 4.

(

x 2 + ax + 2 − x

) bằng 0 ?

B. 1 .

[
]
Câu 8.

Câu 9.

ax 2 + ( b − a ) x − b
lim
x −1
Tìm hai số nguyên dương a, b để x →1
bằng 3 thỏa mãn 2a = b ?
A. a = 1; b = 2 .
B. a = 1; b = 3 .
C. a = 2; b = 1 .
D. a = 3; b = 1 .
[
]

Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết

A. 2 .
B. −6 .

)

(

lim ax − x 2 + bx + 2 = 3

x →+∞

C. 7 .

, thì tổng a + b bằng
D. −5 .

[
]
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số
.

[ a; b] thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm.

f ( x)

liên tục trên

f ( x)

không liên tục trên

C. Phương trình

f ( x) = 0

[ a; b] thì phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm trên ( a; b )

có nghiệm trên

( a; b )

thì hàm số f liên tục trên

[ a; b] .


D. Hàm số liên tục
[
]
Câu 11.

Cho các hàm số
là sai ?

trên

y = f ( x)

và

[ a; b] có f ( a ) . f ( b ) ≤ 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm.
y = g ( x)

là hai hàm số liên tục tại điểm x 0. Khẳng định nào

A. Hàm số

y = f ( x) + g ( x)

cũng liên tục tại điểm x0.

B. Hàm số

y = f ( x) − g ( x)

cũng liên tục tại điểm x0.

C. Hàm số

y = f ( x ) .g ( x )
y=

D. Hàm số
[
]

Câu 12.

f ( x)

f ( x)

g ( x)

cũng liên tục tại điểm x0.

cũng liên tục tại điểm x0.

 x2 − 5x
khi x > −1
f ( x) =  3
 x − 4 x − 1 khi x ≤ −1 . Kết luận nào sau đây không đúng?
Cho hàm số
A. Hàm số liên tục tại x = −1.
B. Hàm số liên tục tại x = 1.
C. Hàm số liên tục tại
[
]

x = −3.

D. Hàm số liên tục tại x = 3.

1 − m2 ) x 5 − 3x − 1 = 0
(
m
Câu 13. Tìm để phương trình
luôn có nghiệm?
m∈ R .
B. m = 1 .
C. m = −1 .
A.
[
]

D. m = ±1 .

3
2
Câu 14. Phương trình 2 x + 3 x + mx − 2 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (-1;1) khi:
A. −3 < m < −1.
B. −3 < m < 1.
C. m < −3 hoặc m > −1 . D. −3 < m < 3.

[
]

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

 x −2
khi x ≠ 4

x
+
5
−
3
f ( x) = 
mx − 5

khi x = 4

x =4
2
Cho hàm số
. Hàm số liên tục tại 0
thì giá trị của m bằng
A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1 .
[
]
Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Khẳng định nào sau đúng?
uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AG
=
AB
+
AC
+
AD
4AG
=
AB
+ AC + AD .
A.
.

B.
uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
C. 2 AG = AB + AC + AD .
D. 3AG = AB + AC + AD .
[
]
Cho tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uur uuur uuur
uur uuur uuur
A. AI = AC + AD .
B. BI = BC + BD .
uur 1 uuur 1 uuur
uur 1 uuur 1 uuur
AI = AC + AD
BI = BC − BD
2
2
2
2
C.
.
D.
.
[
]
Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc
với ∆ cho trước?

A. 1 .
[
]
Câu 19.

D. Vô số.

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB
và CD . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AB .
A. 30° .
[
]

Câu 20.

C. 3 .

B. 2 .

B. 45° .

C. 60° .

D. 90° .

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A.

AB ⊥ ( SAD )

[
]

.

B.

BD ⊥ ( SAC )

.

C.

AC ⊥ ( SBD )

.

D.

SO ⊥ ( ABCD )

.


ĐỀ
PHẦN TRẮC NGHỆM (5 điểm, gồm 20 câu từ câu 1 đến câu 20)
Câu 1.

[1D4-1] Tính
A. +∞.

lim ( −2 x3 + 3x 2 − 1)

x →−∞

.

B. −2.

C. 0.

D. −∞.

Lời giải
ChọnA.
3 1

lim ( −2 x 3 + 3 x 2 − 1) = lim x3  −2 + − 3 ÷ = +∞
x →−∞
x x 


x →−∞

(Do
Câu 2.

Câu 3.

lim x3 = −∞

x →−∞

3 1 

lim  −2 + − 3 ÷ = −2 < 0
x x 

và
)
x →−∞

[1D4-1] Cho k nguyên dương, trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
1
1
lim k = 0
lim k = 0
lim x k = +∞
lim x k = −∞
A. x →+∞
.
B. x →−∞
.
C. x →+∞ x
.
D. x →−∞ x
.
Lời giải
Chọn B.
2x +1
A = lim+
.
x →1 x − 1

[1D4-2] Tính giá trị của
A. A = −1.

B. A = −∞.

C. A = +∞.

D. A = 2.

Lời giải
ChọnC.
lim ( 2 x + 1) = 3 > 0 lim+ ( x − 1) = 0
; x →1
và x − 1 > 0 khi x > 1 .
2x +1
A = lim+
= +∞
x →1 x − 1
Do đó,
.

Ta có:

Câu 4.

x →1+

2 x2 + x − 3
[1D4-2] Tính x →1 1 − x
.

A.  −5.
B. 2.
lim

C. −3.

D. 4.

Lời giải
ChọnA.

( x − 1) ( 2 x + 3) = lim 2 x + 3 = −5
2 x2 + x − 3
= lim
x →1
x →1
x →1
1− x
− ( x − 1)
−1

lim
Ta có:
Câu 5.

x 2 − 3x + 2
lim
[1D4-2] x → 2 2 x − 4 bằng :
A.

−

1
2.

1
C. 2 .
Lời giải

B. +∞ .

3
D. 2 .

Chọn C.
Ta có
Câu 6.

lim
x→2

x −1 1
x 2 − 3x + 2 = lim ( x − 2 ) ( x − 1)
= lim
=
x→2
2
x
−
2

(
)
x
→
2
2
2.
2x − 4

[1D4-3] Giới hạn
A. a = 1.

)

(

lim 2 x + 4 x 2 − ax + 1 = 1
x →∞

B. a = 4.

. Khi đó:
C. a = −2.

D. a = 3 .


Lời giải
Chọn B.
1

a
x
lim 2 x + 4 x 2 − ax + 1 = lim
= lim
=
x →−∞
x →−∞
4
2 x − 4 x 2 − ax + 1 x →−∞ 2 + 4 − a + 1
2
x x
Ta có
.
a
lim 2 x + 4 x 2 − ax + 1 = = 1 ⇒ a = 4.
4
Vậy x →−∞

)

(

)

(

Câu 7.

a−

ax − 1

[1D4-3] Tìm a để
A. 0 .

lim

x →+∞

(

x 2 + ax + 2 − x

) bằng 0 ?

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn A.

lim

x →+∞

Ta có:
Để

Câu 8.

lim

x →+∞

(

(



2
a
+

÷


ax + 2
x

÷= a
x 2 + ax + 2 − x = lim 
=
lim
÷
2
x →+∞
 x + ax + 2 + x  x →+∞  1 + a + 2 + 1 ÷


÷
x x2



)

)

x 2 + ax + 2 − x = 0 ⇔ a = 0

ax 2 + ( b − a ) x − b
x −1
[1D4-4] Tìm hai số nguyên dương a, b để x→1
bằng 3 thỏa mãn 2a = b ?
A. a = 1; b = 2 .
B. a = 1; b = 3 .
C. a = 2; b = 1 .
D. a = 3; b = 1 .
Lời giải
Chọn A.
lim

ax 2 + ( b − a ) x − b
( x − 1) ( ax + b ) = 3 ⇔ lim ax + b = 3
lim
= 3 ⇔ lim
(
)

x →1
x
→
1
x →1
x −1
x −1
Ta có:

⇔ a + b = 3 ⇔ a + b = 3 (1)
Mà 2a = b ⇔ 2a − b = 0 (2)
a + b = 3
a = 1
⇔

b = 2
Từ (1) và (2) suy ra 2a − b = 0
Câu 9.

(

)

lim ax − x 2 + bx + 2 = 3
x →+∞
a
b
0
[1D4-4] Cho và là các số thực khác . Biết
, thì tổng a + b

bằng
A. 2 .
B. −6 .
C. 7 .
D. −5 .
Lời giải
Chọn D

b 2
lim  ax − x2 + bx + 2 ÷ = lim x a− 1+ +
÷.
x x2 ÷
x→+∞ 
 x→+∞ 

Ta có
lim  ax − x2 + bx + 2 ÷ = ∞.

Do đó nếu a≠ 1 thì x→+∞ 
Vậy a= 1. Khi đó

−bx − 2
b
lim  x − x2 + bx + 2 ÷ = lim
=− .
2
x→+∞ 
 x→+∞ x + x2 + bx + 2

b
− = 3 ⇔ b = −6.
2
Vậy: Do đó a+ b = −5.
Câu 10. [1D4-1]Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số
.

[ a; b] thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm.

f ( x)

liên tục trên

f ( x)

không liên tục trên

C. Phương trình

f ( x) = 0
f ( x)

D. Hàm số liên tục

[ a; b] thì phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm trên ( a; b )

có nghiệm trên

trên

( a; b )

thì hàm số f liên tục trên

[ a; b] .

[ a; b] có f ( a ) . f ( b ) ≤ 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm.
Lời giải

Chọn D.

f ( a) . f ( b) ≤ 0
[ a; b ] .
Vì
thì phương trình có nghiệm thuộc đoạn
Phân tích phương án:
A. Sai vì thiếu điều kiện

f ( a ) . f ( b) < 0

.

0;3]
f x = x−2
B và C. Sai (xét hàm ( )
không liên tục trên [
nhưng có nghiệm trên đó).
(Lưu ý các loại mệnh đề : thuận, đảo, phản, phản đảo)

Câu 11.

y = f ( x)

[1D4-1] Cho các hàm số
định nào là sai ?

và

y = g ( x)

là hai hàm số liên tục tại điểm x 0. Khẳng

A. Hàm số

y = f ( x) + g ( x)

cũng liên tục tại điểm x0.

B. Hàm số

y = f ( x) − g ( x)

cũng liên tục tại điểm x0.

C. Hàm số

y = f ( x ) .g ( x )
y=

D. Hàm số

f ( x)
g ( x)

cũng liên tục tại điểm x0.

cũng liên tục tại điểm x0.
Lời giải

Chọn D.
y=
Hàm số

f ( x)
g ( x)

cũng liên tục tại điểm x0 nếu

g ( x0 ) ≠ 0

.

 x − 5x
khi x > −1
f ( x) =  3
 x − 4 x − 1 khi x ≤ −1 . Kết luận nào sau đây không đúng?
[1D4-2] Cho hàm số
A. Hàm số liên tục tại x = −1.
B. Hàm số liên tục tại x = 1.

x = −3.
D. Hàm số liên tục tại x = 3.
C. Hàm số liên tục tại
Lời giải
Chọn A.
2

Câu 12.

Theo định lý ta có hàm số đã cho liên t ục trên môi khoảng
số liên tục tại các điểm x = 1 , x = −3 , x = 3 .
Chứng minh hàm số không liên tục tại x = −1 .

( −∞; −1)

và

( −1; +∞ )

nên hàm


Ta có

f ( −1) = 2

,

lim f ( x ) = lim+ ( x 2 − 5 x ) = 6

x →−1+

x →−1

suy ra

lim f ( x ) ≠ f ( 1)

x →−1+

. Vì vậy hàm số

không liên tục tại x = −1 .
Câu 13.

1 − m 2 ) x 5 − 3x − 1 = 0
(
m
[1D4-3] Tìm để phương trình
luôn có nghiệm?
m∈ R .
B. m = 1 .
C. m = −1 .
D. m = ±1 .
A.
Lời giải
Chọn A.
1
−3 x − 1 = 0 ⇔ x = −
2

3
+ Khi 1 − m = 0 ⇔ m = ±1 thì phương trình trở thành
2
+ Khi 1 − m ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 thì:

Hàm số

y = f ( x) = ( 1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1

liên tục trên R và

lim f(x). lim f(x) < 0

x→−∞

x→+∞

( 1 − m ) x − 3x − 1 = 0 luôn có nghiệm khi m ≠ ±1 .
( 1 − m ) x − 3x − 1 = 0 luôn có nghiệm
Vậy m ∈ R thì phương trình
2

5

Nên phương trình

2

5

3
2
Câu 14. [1D4-3] Phương trình 2 x + 3 x + mx − 2 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (-1;1) khi:
A. −3 < m < −1.
B. −3 < m < 1.
C. m < −3 hoặc m > −1 . D. −3 < m < 3.

Lời giải
Chọn C.

3
2
Xét hàm số f ( x ) = 2 x + 3x + mx − 2 . Do f(x) liên tục trên đoạn [ −1;1] nên để phương
trình

2 x 3 + 3 x 2 + mx − 2 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( −1;1) thì :
f (−1). f (1) < 0 ⇔ ( −1 − m)(3 + m) < 0 ⇔ m < −3 ∪ m > −1 . Chọn C.

Câu 15.

 x −2
khi x ≠ 4

x
+
5
−
3
f ( x) = 
 mx − 5

khi x = 4

2
[1D4-4] Cho hàm số
. Để hàm số liên tục tại x0 = 4 thì giá
trị của m bằng
A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có

f ( 4 ) = 4m −

lim f ( x ) = lim
x→4

x→4

5
2

x −2
= lim
x + 5 − 3 x→4

Để hàm số liên tục tại
Câu 16.

x0 = 4

(

thì

x −2

)(

x+5 +3

x−4

) = lim (
x →4

lim f ( x ) = f ( 4 ) ⇔ 4m −
x→4

x+5 +3
x +2

)=3

2.

5 3
=

2 2 ⇔ m =1.

[1H3-1] Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Khẳng định nào sau
đây đúng?
uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AG
=
AB
+
AC
+
AD
4AG
=
AB
+ AC + AD .
A.
.
B.
uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
C. 2 AG = AB + AC + AD .
D. 3AG = AB + AC + AD .

Lời giải
Chọn D.
Câu 17.

Câu 18.

uuu
r uuur uuur
uuur
G là trọng tâm của tam giác BCD , A là điểm bất kì, ta luôn có: AB + AC + AD = 3 AG .
[1H3-2] Cho tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uur uuur uuur
uur uuur uuur
AI
=
AC
+
AD
A.
.
B. BI = BC + BD .
uur 1 uuur 1 uuur
uur 1 uuur 1 uuur
AI = AC + AD
BI = BC − BD
2
2
2
2
C.

.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
uuur uuur
uur
uur 1 uuur 1 uuur
AC + AD = 2 AI ⇔ AI = AC + AD
2
2
Ta có:
.

[1H3-1] Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng
vuông góc với ∆ cho trước?
A. 1 .

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

D. Vô số.

Chọn D.
Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với ∆ , các đường thẳng đó cùng
nằm trong một mặt phẳng vuông góc với ∆ .
Câu 19.

[1H3-3] Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AB và CD . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AB .
A. 30° .

B. 45° .

C. 60° .
Lời giải

D. 90° .

Chọn D.

MN ⊥ AB ⇒ ( AB; MN ) = 90°
Do ∆ACD = ∆BCD nên NA = NB ⇒ ∆ABN cân tại N nên
.
Câu 20. [1H3-2] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A.

AB ⊥ ( SAD )

.

B.

BD ⊥ ( SAC )

.

C.

AC ⊥ ( SBD )

Lời giải
Chọn A.

.

D.

SO ⊥ ( ABCD )

.


 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( SAC )

BD
⊥
SO

B. Ta có:
.
 AC ⊥ BD
⇒ AC ⊥ ( SBD )

C. Ta có:  AC ⊥ SO
.
 SO ⊥ BD

⇒ SO ⊥ ( ABCD )

SO
⊥
AC

D. Ta có:
.


PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm, gồm 3 câu từ câu 1 đến câu 3)
ĐỀ 1:
Câu 1: (1,25 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1 + x + x 2 + x3
1+ x
a. x →0
lim

b.

lim

x →+∞

(

4 x2 + x + 1 − 2 x

)

 4x + 5 − 5
nêú x > 5

f ( x) =  x − 5
2x

nêú x ≤ 5

25

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số
tại x =  5
Câu 3: (2,75 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a 3 , cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABCD) và SA = a 2 .
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ ( SAB )
b) Chứng minh rằng: BD ⊥ ( SAC ) .
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) .

Hướng dẫn
Câu 1: (1,25 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1 + x + x 2 + x3
lim
=1
1+ x
a. x →0
lim

x →+∞

b. Ta có:

 1
1
x 1 + ÷
1+
x +1
1
x


x
= lim
= lim
=
4 x 2 + x + 1 + 2 x x →+∞ x 4 + 1 + 1 + 2 x x →+∞ 4 + 1 + 1 + 2 2
x x2
x x2
.

 4x + 5 − 5
nêú x > 5

f ( x) =  x − 5
2x

nêú x ≤ 5

25
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số
tại x =  5

lim f ( x ) = lim
x → 5+
x → 5+
=

4x + 5 − 5
x−5

lim
x → 5+ ( x − 5 )

4 x − 20

(

4x + 5 + 5

)

4
2
lim
=
5
x → 5+ 4 x + 5 + 5
2x 2
2
lim f ( x ) = lim
=

f ( 5) =
25 5
−
−
x →5
x →5
5
và
=

lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 5 )

−
Ta có x→5

x→5+

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại x = 5

Câu 3: (2,75 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a 3 , cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABCD) và SA = a 2 .
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ ( SAB )


b) Chứng minh rằng: BD ⊥ ( SAC ) .
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) .
3a)
* Vẽ hình
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )


BC
⊥
SA

*

 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( SAC )

BD
⊥
SA

3b)
3c) Ta có:

)

(

· , ( ABCD ) = SCA
·
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SC

Xét ∆SAC vuông tại A, ta có:

·
tan SCA
=

SA
1
·
=
⇒ SCA
= 300
AC
3

ĐỀ 2:
Câu 1: (1,25 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a.

lim
x →1

x2 − x + 1
x +1

b.

(

lim x − x 2 + x + 1

x →−∞

)

( x − 5) 2 + 3 khi x ≤ 5

f ( x) =  x − 5
khi x > 5

x =5
2
x
−
1
−
3

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số
tại 0
Câu 3: (2,75 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a 3 , cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABCD) và SA = a 6 .
a) Chứng minh rằng:

CD ⊥ ( SAD )

b) Chứng minh rằng: BD ⊥ ( SAC ) .
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) .
Hướng dẫn
Câu 1: (1,25 đểm) Tìm các giới hạn sau:
a.

lim
x →1

x2 − x + 1 1 −1 +1 1
=
=
x +1
1+1
2



1 1 
1 1 
lim  x − x 1 + + 2 ÷
=
lim
x
1
+
1
+
+ ÷ = −∞

x →−∞
x →−∞ 
x x ÷
x x2 ÷




b. Ta có:

.
( x − 5) 2 + 3 khi x ≤ 5

f ( x) =  x − 5
 2 x − 1 − 3 khi x > 5
x =5

Câu 2: (1,0 đểm) Xét tính liên tục của hàm số
tại 0

f (5) = 3


lim f ( x) = lim+

x → 5+

x →5

x −5
2x −1 − 3

( x − 5)( 2 x − 1 + 3)
x →5
2x −1 − 9
( 2 x − 1 + 3)
= lim+
=3
x →5
2

= lim+

lim− f ( x) = lim− ( x − 5) 2 + 3 = 3
x →5
x →5
Vì

f (5) = lim+ f ( x) = lim− f ( x) = 3
x →5

x →5

nên hàm số f(x) liên tục tại tại x0 = 5

Câu 3: (2,75 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a 3 , cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABCD) và SA = a 6 .
CD ⊥ ( SAD )

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh rằng: BD ⊥ ( SAC ) .
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) .
3a)
* Vẽ hình
CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( SAD )

CD
⊥
SA


*

 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( SAC )

BD
⊥
SA
3b) 
3c) Ta có:

(

)

· , ( ABCD ) = SCA
·
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SC

Xét ∆SAC vuông tại A, ta có:

·
tan SCA
=

SA
·
= 1 ⇒ SCA
= 450

AC