Cải tiến cách XD hệ thống câu hỏi và bài tập về bất đẳng thức trong chương trình đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.02 MB, 51 trang )
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình.
Chúng tôi, gồm:
1. Nguyễn Tiên Tiến
Sinh ngày: 08 tháng 06 năm 1981.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng.
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 60%.
2. Hoàng Thị Năm
Sinh ngày: 04 tháng 10 năm 1985.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Giáo viên.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 30%.
3. Phùng Thị Hằng
Sinh ngày: 10 tháng 03 năm 1989.
Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình.
Chức vụ: Giáo viên.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân.
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 10%.
I. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG
- Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng
hệ thống câu hỏi và bài tập về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo
hướng phát triển năng lực học sinh.
- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy bộ môn Toán cấp THPT, đặc biệt là lớp 10
và lớp 12.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Giải pháp cũ thường làm
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tôi và dựa vào kết quả lấy phiếu điều tra
đối giáo viên dạy Toán 10 về kinh nghiệm, tình hình giảng dạy về Bất đẳng thức
trong chương trình Đại số 10, tôi xin được đánh giá ưu điểm và hạn chế như sau:
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 1/5
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Giáo viên giảng dạy theo tiến trình trong sách giáo khoa. Cách làm này có
ưu điểm là học sinh dễ theo dõi bài giảng của giáo viên với việc xem sách giáo
khoa. Tuy nhiên, do khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa không trình bày đầy đủ
các dạng bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi và lời giải của các ví dụ mặc
dù được trình bày chi tiết nhưng lại không có sự phân tích để học sinh nhận biết,
thông hiểu từng định nghĩa hoặc đơn vị kiến thức. Đồng thời, học sinh không được
cung cấp thêm ví dụ minh họa để hiểu rõ bản chất của khái niệm toán học hoặc đơn
vị kiến thức đó.
Giáo viên thường sử dụng các ví dụ và bài tập tự luận trong giảng dạy lý
thuyết. Sau khi làm xong ví dụ hoặc bài tập thì học sinh không được cung cấp bài
tập tự luyện để có “cơ hội” thực hành. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan
chưa được xây dựng đủ ở các bốn mức độ và còn nằm rải rác trong các sách tham
khảo, được giảng dạy tách rời với phần tự luận. Điều này vừa mất nhiều thời gian
vừa hạn chế việc rèn kỹ năng làm bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh.
Giáo viên sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong tiết ôn tập, tiết
tự chọn hoặc học thêm buổi chiều và câu hỏi được xây dựng thành chủ đề nhưng
các câu hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, ít liên quan đến nhau và không thành hệ thống.
Cách làm này có ưu điểm là học sinh được tập trung rèn luyện kỹ năng làm bài trắc
nghiệm và dễ nhận dạng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan. Học sinh giải được
bài nào chỉ biết bài đó chứ chưa biết cách đặt vấn đề khai thác hoặc phát triển bài
toán hoặc tìm ra bài toán “họ hàng”. Do đó, học sinh sẽ khó hình dung các yêu cầu
sẽ được đặt ra trước những thông tin, dữ liệu cho trước.
2. Giải pháp mới cải tiến
Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như đánh giá
những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, tôi xây dựng tài liệu dạy
học nội dung Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 với những cải tiến như
sau:
Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức.
Kiến thức được thiết kế như tiến trình trong sách giáo khoa để giáo viên, học
sinh tiện theo dõi, có bổ sung và hệ thống lại bảy phương pháp, kỹ thuật chứng
minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi. Mỗi phương pháp, kỹ thuật chúng
tôi trình bày ba phần: Nội dung phương pháp, Ví dụ tự luận điển hình và Câu hỏi
trắc nghiệm khách quan.
Giải pháp 2: Thiết kế phần ví dụ tự luận điển hình.
Ngoài việc trình bày các kiến thức đã có trong sách giáo khoa (không trình
bày lại cách chứng minh các định lý), thì còn bổ sung một số kiến thức cập nhật
cho thi THPT Quốc gia hiện nay. Ứng với mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 2/5
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
thức đều có những ví dụ minh họa, phân tích hoặc nhận xét, bình luận hoặc lời giải
được trình bày bằng nhiều cách có thể để học sinh hiểu rõ bản chất của phương
pháp hoặc cách tiếp cận vấn đề. Bên cạnh đó, sau mỗi ví dụ tự luận điển hình,
chúng tôi có giới thiệu thêm bài tập tự luyện để học sinh có “cơ hội” thực hành
ngay mà không cần mất nhiều thời gian tìm kiếm trong các tài liệu tham khảo.
Giải pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan.
Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng về bất đẳng thức, kinh nghiệm giảng
dạy ôn thi các kỳ thi, chúng tôi xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan
theo từng phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Việc xây dựng được hệ thống
câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng phương pháp chứng minh bất đẳng thức
một mặt vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu luyện
tập. Bên cạnh đó, chúng tôi còn liên hệ đến một số vấn đề liên quan như giải
phương trình, hệ phương trình hoặc các bài toán có chứa tham số liên quan đến
điều kiện có nghiệm của phương trình, hệ phương trình.
III. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC
1. Hiệu quả kinh tế
Thứ nhất, xét về mặt thời gian. Để biên soạn hệ thống câu hỏi và bài tập cho
một chủ đề hoặc một chuyên đề dạy học, luyện thi thì giáo viên sẽ phải mất rất
nhiều thời gian tìm kiếm, biên tập lại từ các tài liệu trên internet và các sách tham
khảo cho phù hợp với yêu cầu về chuẩn kiến thức, kỹ năng và năng lực học sinh.
Học sinh có nhu cầu tìm kiếm bài tập để tự luyện thì cũng phải tìm kiếm trong
nhiều tài liệu rồi hệ thống lại.
Các sách tham khảo (có liên quan đến chủ đề bất đẳng thức ở lớp 10) tính
đến thời điểm tác giả viết sáng kiến thì các ví dụ và bài tập chủ yếu ở dạng tự luận.
Vì vậy, để xây dựng được hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm khách quan cho
chủ đề bất đẳng thức thì cần phải đầu tư thời gian để xây dựng các phương án
nhiễu.
Như vậy, để có một hệ thống câu hỏi và bài tập về bất đẳng thức bao gồm cả
tự luận và trắc nghiệm khách quan thì đỏi hỏi mất nhiều thời gian tìm kiếm và sắp
xếp, trong khi đó, với sáng kiến này, giáo viên và học sinh có thể sử dụng ngay để
giảng dạy, ôn tập cũng như luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia. Nếu cần thì
giáo viên có thể bổ sung hàng năm để có được tài liệu đa dạng, phong phú về bài
tập cho riêng mình hoặc phù hợp với đối tượng học sinh của từng lớp giảng dạy.
Thứ hai, xét về mặt tài chính. Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo
khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), không kể rất nhiều giờ truy cập internet,
và nhiều giờ để sáng tác các bài toán, tác giả đã phải đọc một số đầu sách tham
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 3/5
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
khảo. Trong khi với tài liệu này, giáo viên chỉ cần in hoặc in sao tài liệu này với
giá không quá 15.000 đồng.
2. Hiệu quả xã hội
Ngay sau khi văn bản số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 28/09/2016 về
việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia và tuyển sinh ĐH, CĐ hệ chính quy năm 2017
được Bộ GDĐT ban hành, trong đó có nội dung bài thi môn Toán thi theo hình
thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi và từ năm 2019 trở đi, nội dung
thi nằm trong Chương trình cấp THPT, các tác giả đã tiến hành xây dựng tài liệu
này và hoàn thiện dần qua các năm học. Nội dung tài liệu đã được các thầy, cô
trong trường sử dụng để giảng dạy chính khóa cũng như trong ôn luyện thi Trung
học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi và bước đầu đã cho thấy tính khả
thi và phổ dụng của sáng kiến.
Nhiều học sinh đã sử dụng tài liệu này để tự học, tất nhiên cần có sự hướng
dẫn của giáo viên và đã đạt được thành tích cao trong học tập. Điều này cho thấy,
nếu sáng kiến tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thì sẽ là tài liệu bổ ích để học sinh
tự học. Từ đó, tạo được hứng thú, sự tự tin trong học tập, góp phần bồi dưỡng năng
lực tự học và nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập của học sinh.
IV. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
1. Điều kiện áp dụng
Sáng kiến này đã được các tác giả triển khai thực hiện từ năm học 2017 –
2018 tại nhà trường và được hoàn thiện dần qua các năm học. Qua thực nghiệm và
tiến hành áp dụng trong hai năm học vừa qua, kết quả tài liệu rất hữu ích trong
công tác giảng dạy của giáo viên và công tác ôn tập của học sinh. Đồng thời, chất
lượng giảng dạy và học tập nội dung bất đẳng thức được nâng lên đáng kể, đặc biệt
là tạo được hứng thú và góp phần bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu cho
học sinh ở các lớp mũi nhọn. Vì vậy, sáng kiến có thể áp dụng cho các trường
THPT trên địa bàn tỉnh và toàn quốc.
2. Khả năng áp dụng
Sáng kiến là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh và được áp
dụng trong giảng dạy ở các trường THPT. Tài liệu này được các đồng nghiệp trong
trường cũng như trên địa bàn huyện đánh giá cao về chất lượng nội dung, phương
pháp và mục tiêu dạy học.
Danh sách những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất cả giáo viên
đều công tác tại trường THPT Gia Viễn B):
Trình độ chuyên
STT
Họ và tên
Chức danh
môn
1 Hoàng Thị Năm
Giáo viên
Cử nhân
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 4/5
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
2 Đào Thị Nụ
Giáo viên
Cử nhân
3 Đặng Đình Phương
Giáo viên
Thạc sỹ
Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự
thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./.
Xác nhận của Ban giám hiệu
Gia Viễn, ngày 15 tháng 05 năm 2019
Người nộp đơn
Nguyễn Tiên Tiến
Hoàng Thị Năm
Phùng Thị Hằng
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 5/5
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
PHỤ LỤC
PHẦN 1. LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Bất đẳng thức
Định nghĩa:
Giả sử a và b là hai số thực, các mệnh đề " a b "," a b "," a b "," a b " được gọi là
những bất đẳng thức. Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Định nghĩa:
Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến) và biến số thỏa mãn điều
kiện T .
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức f , viết là M max f , nếu:
(1) f M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T .
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f M .
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f , viết là m min f , nếu:
(1) f m với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T .
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f m .
Đặc biệt, nếu hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký hiệu
M max f x hoặc M max f x ; nếu hàm số y f x đạt giá trị nhỏ nhất m trên tập D
D
xD
thì ta ký hiệu m min f x hoặc m min f x .
D
xD
Nhận xét
Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f , ta có thể trình
bày lời giải theo các bước dưới đây:
- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T , ta đều có f M ,
trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f .
- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất
cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho f M .
- Bước 3: Kết luận max f M .
II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức, chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:
1. a b và b c a c .
2. a b a c b c .
3. Nếu c 0 thì a b ac bc .
4. Nếu c 0 thì a b ac bc .
5. a b và c d a c b d .
6. a b 0 và c d 0 ac bd .
7. a b 0 và n * a n b n .
8. a b 0 a b .
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 1/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
9. a b 3 a 3 b .
10. a 0, b 0 a b a b và 3 a 3 b 3 a b .
1 1
11. a b 0 .
a b
2
12. a 0, a . Đẳng thức xảy ra khi a 0 .
13. a a a , với mọi a .
14. Với a 0 thì x a a x a .
15. Với a 0 thì x a x a hoặc x a .
(1)
(2)
16. Với mọi a , b , ta có a b a b a b .
Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ab 0 ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi ab 0 .
PHẦN 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THÔNG DỤNG
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày
một số phương pháp, kỹ thuật thông dụng để chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi
như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là các phương pháp và
kỹ thuật:
(1): Sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết;
(2): Sử dụng bất đẳng thức Cô-si;
(3): Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki;
(4): Sử dụng kiến thức hình học;
(5): Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình;
(6): Sử dụng tính chất của hàm số;
(7): Sử dụng dồn biến;
Với mỗi phương pháp, chúng tôi trình bày thống nhất ba phần:
- Nội dung phương pháp: Phần này chúng tôi trình bày nội dung cơ bản của phương pháp đó bằng cách
trực quan, dễ hiểu nhất với mọi đối tượng học sinh.
- Ví dụ tự luận điển hình: Phần này chúng tôi lựa chọn các ví dụ minh họa điển hình cho phương pháp
đó, mặc dù có thể vẫn trình bày theo một cách khác. Mỗi ví dụ đều có sự phân tích để tìm ra lời giải
hoặc làm rõ bản chất của phương pháp trong lời giải.
- Câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Phần này chúng tôi xây dựng các ví dụ trắc nghiệm khách quan mà
lời giải của nó phải sử dụng đến phương pháp đang đề cập. Với mỗi ví dụ, chúng tôi có đề cập đến các
câu hỏi trắc nghiệm khách quan có liên quan nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn rõ nét hơn về việc
xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan.
I. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết
1.1. Nội dung phương pháp
Để chứng minh bất đẳng thức A B theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một
trong các cách sau đây:
- Cách 1: Lập hiệu A B . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất
đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra A B 0 .
- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh
giá vế trái để được A B .
- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh
giá vế phải để được B A .
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 2/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài việc có thể phải sử dụng đến các
tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng thêm các kết quả sau:
(1): x a; b a x b x a x b 0 .
2
f x 0 , với
a 2 b 2 2ab; a 2 b 2 2ab.
(2):
mọi
2
x
sao
f x
cho
xác
định.
Đặc
biệt,
(3): 3 ab bc ca a b c 3 a 2 b2 c 2 , với mọi a , b, c .
1.2. Ví dụ tự luận điển hình
Ví dụ 1.1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x
3x 1
trên đoạn 1;3 .
x2
x2
trên đoạn 1; 2 .
2 x2 1
Lời giải
a) Ta có f x
3 x 2 7
x2
3
7
.
x2
Với mọi x 1;3 , ta có: 1 x 2 5
7
7
7
7
7
7
.
1 x2 5
x2
5
8
Do đó 4 f x , x 1;3 .
5
8
x 3 1;3 .
5
8
Vậy max f x f 1 4 và min f x f 3 .
1;3
1;3
5
2
x2
1 2 x 1 1 1 1
1
2
b) Với x 1; 2 thì x 0; 4 . Ta có
.
.
. 2
2
2
2x 1 2
2x 1
2 2 2x 1
1
1
Với mọi x thuộc đoạn 1; 2 thì 1 2 x 2 1 9 1 2
2x 1 9
1
1
1 1
1
4
2
1 2
0 . 2
. Do đó 0 g x , x 1; 2 .
2x 1
9
2 2 2x 1 9
3
2
Mặt khác g x 0 x 0 1; 2 ; g x x 2 1; 2 .
3
2
Vậy max g x g 2 và min g x g 0 0 ./.
1;2
1;2
3
Ta có f x 4 x 1 1;3 ; f x
Bài tập tự luyện
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x
3x 5
trên đoạn 1;3 .
x2
3x 2
trên đoạn 1;3 .
4x2 1
Ví dụ 1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 4 x 21 x 2 3 x 10 .
Lời giải
2
x 4 x 21 0
Điều kiện: 2
2 x 5 .
x 3 x 10 0
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 3/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Ta có x 2 4 x 21 x 2 3 x 10 x 11 0 , suy ra y 0 .
y 2 2 x 2 7 x 31 2
x 3 7 x x 2 5 x
x 3 5 x x 2 7 x
2
2 2 , suy ra y 2 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 3 5 x x 2 7 x x
1
.
3
1
2 khi x ./.
3
Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Lời bàn
1) Trong lời giải trên, chúng ta đã tiến hành theo ba bước, đó là:
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số xác định.
Bước 2: Từ điều kiện xác định của hàm số, chúng ta chỉ ra được y 0 .
Bước 3: Biến đổi và đánh giá biểu thức y 2 . Suy ra đánh giá y 2 và kết luận về giá trị nhỏ nhất.
2) Từ bất đẳng thức thức y 2 2 ta suy ra được y 2 hoặc y 2 . Nhưng vì chúng ta đã chỉ ra
được y 0 nên y 2 và lúc này chúng ta có ngay giá trị nhỏ nhất. Còn nếu chúng ta chỉ ra được
y 0 thì y 2 và lúc này chúng ta có ngay giá trị lớn nhất.
Bài tập tự luyện
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x x 2 5 x 36 x 2 6 x 7 .
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức g x x 2 5 x 24 x 2 4 x 45 .
x
18
3
3 5
x .
Ví dụ 1.3. a) Chứng minh rằng với mọi x ; thì 2
x 1 25
50
4 2
3
b) Cho a , b , c là ba số không nhỏ hơn và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
4
a
b
c
9
2
2
.
2
a 1 b 1 c 1 10
Lời giải
2
3x 1 4 x 3
x
18
3
3 5
a) Ta có 2
x
0, x ; .
2
x 1 25
50
50 x 1
4 2
1
3
x
18
3
3 5
x , x ; . Dấu bằng xảy ra khi x hoặc x .
3
4
x 1 25
50
4 2
3 3
5
b) Từ giả thiết, ta có 1 a b c a a .
4 4
2
5
5
3 5
Tương tự, ta cũng có b và c . Suy ra a , b , c đều thuộc đoạn ; .
2
2
4 2
a
18
3
b
18
3
c
18
3
a ; 2
b ; 2
c
Áp dụng kết quả ở ý a), ta có: 2
.
a 1 25
50 b 1 25
50 c 1 25
50
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được
a
b
c
18
9
9
2
2
a b c
.
2
a 1 b 1 c 1 25
50 10
Suy ra
2
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 4/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
1
./.
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c
Lời bàn
1) Trong lời giải trên, để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Vậy nếu không gợi ý ở ý a) thì
chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Suy nghĩ để tìm ra câu trả lời như sau:
Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng
đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải
chứng minh.
Thứ hai, giả thiết của bài toán là a b c 1 (các biến số a, b, c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần
a
ma n , trong đó m, n là các hằng số phải đi tìm.
a 1
Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi
1
1
a
3
a
3
, do đó ta cần đánh giá 2
a b c . Khi a thì 2
m 3a 1 . Lúc này, chúng ta
3
3
a 1 10
a 1 10
cần tìm m để bất đẳng thức trên xảy ra.
đánh giá
2
3a 1 3 a 10m a 2 1
a
3
m 3a 1
Xét 2
.
a 1 10
10 a 2 1
Lúc này, ta cần chọn m để 3 a 10m a 2 1 0 nhận a
2
nhân tử 3a 1 ). Giải điều kiện đó ta tìm được m
1
làm nghiệm (mục tiêu là làm xuất hiện
3
6
. Khi đó
25
2
3a 1 4a 3
3
a
3
6
3a 1
0 (do a ).
2
2
4
a 1 10 25
50 a 1
Kỹ thuật nói trên đây được coi là kỹ thuật hệ số bất định.
18
3
một cách đơn giản hơn
a
25
50
bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào?
1
1
a
3
Chúng ta dự đoán được a b c . Với a thì 2
. Sau đó, chúng ta viết phương trình
3
3
a 1 10
2) Khi học về đạo hàm (Giải tích 11), chúng ta có thể tìm ra biểu thức
tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x
x
1 3
tại điểm M ; . Tiếp tuyến đó có phương trình là
x 1
3 10
2
x
3
18
3
18
. Lúc này ta lập hiệu 2
x và biến đổi như ở trên. Phương pháp này được
x
x 1 25
50
25
50
gọi là phương pháp tiếp tuyến.
y
Bài tập tự luyện
5x 1
.
8
b) Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a b c d 1 . Chứng minh rằng
1. a) Chứng minh rằng với mọi x 0;1 , ta luôn có 6 x3 x 2
6 a 3 b3 c 3 d 3 a 2 b 2 c 2 d 2
1
.
8
x x2
2x 1
.
2 x2 2x 1
25
b) Cho các số thực dương a, b, c có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng
2. a) Chứng minh rằng với mọi x 0;1 , ta luôn có
a b c
a b c
2
2
b c a
b c a
2
2
c a b
c a b
2
2
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
6
.
5
Trang 5/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
3. a) Chứng minh rằng
1 x2
4 x 2 3 với mọi x 0;1 .
x
1 1 1
b) Ba số dương a, b, c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 1 . Chứng minh rằng a b c 2 3 .
a b c
1.3. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Câu 1.1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x3 7 x 2 11x 2 trên đoạn 0; 2 .
A. m 11.
B. m 0.
C. m 2.
D. m 3.
Lời giải
Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước.
Xét phương trình x3 7 x 2 11x 2 2 x x 2 7 x 11 0 x 0 0; 2 . Vậy m 2 .
Cách 2: (Biến đổi tương đương, đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
Ta có y x3 7 x 2 10 x x 2 x x 2 x 5 x 2 .
Do x 0; 2 nên x x 2 x 5 0; x 2 2 . Suy ra y 2 .
Đẳng thức xảy ra khi x 0 0; 2 . Vậy m 2 .
Đáp án C.
Bài tập tự luyện
1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 2 x 2 x 2 trên đoạn 0;2 .
A. max f x 2.
0; 2
B. max f x
0; 2
50
.
27
C. max f x 1.
0; 2
D. max f x 0.
0; 2
2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 3 2 x 2 4 x 1 trên đoạn 1;3 .
67
B. max y 2.
C. max y 7.
.
1;3
1;3
27
3
2
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 x 9 x 2 trên đoạn 0;4 .
A. max y
1;3
A. min y 18.
0; 4
B. min y 2.
0; 4
C. min y 25.
0; 4
D. max y 4.
1;3
D. min y 34.
0; 4
Câu 1.2. Cho hàm số y 2 x 3 9 x 2 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng
A. 6.
B. 9.
C. 9.
D. 0.
Lời giải
Điều kiện: 3 x 3 .
Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
Trước hết chúng ta kiểm tra đối với giá trị nhỏ nhất (vì đang cần tìm giá trị nhỏ nhất) trong bốn
số cho trong bốn phương án.
- Kiểm tra phương án B:
Xét phương trình 2 x 3 9 x 2 9 3 9 x 2 9 2 x
9
9 2 x 0
x 2
(điều này không thể xảy ra vì 3 x 3 ).
2
2
9 9 x 9 2 x
9 9 x 2 9 2 x 2
- Kiểm tra phương án A:
Xét phương trình 2 x 3 9 x 2 6 3 9 x 2 6 2 x
6 2 x 0
x 3
2
2 .
2
2
9
9
x
6
2
x
9
9
x
2
x
6
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 6/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x 3 . Thay vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy giá trị
nhỏ nhất của hàm số bằng 6 .
Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
Với mọi x 3;3 , ta có y 2 x 3 9 x 2 2 x 2. 3 6 .
x 3
Đẳng thức xảy ra khi
2
9 x 0
x 3 . Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6 .
Đáp án A.
Lời bàn
1) Chúng ta cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số dựa vào bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Cụ thể như sau:
Ta có y 2 2.x 3. 9 x 2
2
22 32 x 2 9 x 2 9.13 3 13 y 3 13 .
6 13
x
9 x2
6 13
. Vậy max y
.
x
3;3
13
2
3
13
2) Bằng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nói trên, các bạn cũng có thể tìm được giá trị
Hơn nữa: y 3 13
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: y 2 x 3 9 x 2 ; y 3 x 5 16 x 2 .
2 x y 3z 4
Câu 1.3. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
. Gọi M và m lần lượt là
3 x 4 y 3 z 6
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A 2 x 3 y 2 z . Khẳng định nào dưới đây đúng?
41
35
A. m 3M 18.
B. 3m M 18.
C. m 3M .
D. 3m M .
2
2
Lời giải
2 x y 3z 4
2 x y 4 3z
x 2 3z
Ta có:
. Do đó A 4 z .
3 x 4 y 3z 6
3x 4 y 6 3z
y 3z
2
14
2
và 4 A , z 0; .
3
3
3
14
14
2
A 4 x; y; z 2;0;0 và A x; y; z 0; 2; . Vậy M
và m 4 ./.
3
3
3
Vì x, y, z không âm nên 0 z
Đáp án A.
Bài tập tự luyện
2 x y 3z 4
1. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
. Biết rằng biểu thức A 2 x 3 y 2 z đạt
3 x 4 y 3 z 6
giá trị lớn nhất khi x; y; z x0 ; y0 ; z0 . Tính giá trị của biểu thức S 24 x0 6 y0 2019 z0 .
A. S 48.
B. S 1390.
C. S 1358.
D. S 66.
2
x
y
3
z
4
2. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
. Số giá nguyên của biểu thức
3 x 4 y 3 z 6
A 2 x 3 y 2 z là
A. 0.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
2 x y 3z 4
3. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
. Số giá trị nguyên của biểu thức
3 x 4 y 3 z 6
E x 2 y 2 2 x y 3 z 3 là
A. 4.
B. 5.
C. 6.
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
D. 7.
Trang 7/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
2 x y 3z 4
4. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của
3 x 4 y 3 z 6
biểu thức E x 2 y 2 2 x y 3 z 3 . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S .
A. 415.
B. 451.
C. 366.
D. 2025.
2 x y 3z 4
5. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
. Biết rằng biểu thức
3 x 4 y 3 z 6
E x 2 y 2 2 x y 3z 3
nhận giá trị là số nguyên tố
x; y; z x2 ; y2 ; z2 . Giá trị của biểu thức T p x x y y z z
A. 9;10 .
B. 10;11 .
C. 11;12 .
1 2
Câu 1.4. Cho
1
2
1 2
p
khi
x; y; z x1 ; y1 ; z1
hoặc
thuộc khoảng nào dưới đây?
D. 8;9 .
là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biểu thức
p
2
2
F x 2 y 1 2 x my 5 đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó p, q là các số nguyên
q
p
dương và phân số
tối giản. Giá trị của p 2 q 2 pqm bằng
q
A. 74.
B. 286.
C. 1606.
D. 194.
Lời giải
Ta có F 0, x , y . Đẳng thức xảy ra (tức là F 0 ) khi và chỉ khi hệ phương trình
x, y
x 2 y 1 0
có nghiệm m 4 .
2 x my 5 0
Nhưng do F đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương nên m 4 .
2
2
Khi m 4 thì F x 2 y 1 2 x 4 y 5
2
11 9 9
5 x 2 y .
5 5 5
11
9
0 5 x 10 y 11 0 . Vậy, với m 4 thì min F .
5
5
2
2
2
2
Suy ra p 9 , q 5 và p q pqm 9 5 9.5. 4 74 ./.
Đáp án A.
Đẳng thức xảy ra khi x 2 y
Bài tập tự luyện
1. Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Tìm giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của biểu
2
2
thức F x 2 y 1 2 x my 5 là một số dương.
A. m 4.
B. m 10.
C. m 4.
D. m 10.
2
2
2. Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biểu thức F x 2 y 1 2 x my 5 đạt giá
trị nhỏ nhất là số dương khi x, y thỏa mãn điều kiện ax by c 0 . Tỷ số
khoảng nào dưới đây?
A. 1; 2 .
3.
Cho
là
x, y
2
B. 1;0 .
hai số thực
C. 0;1 .
biến
thiên và
m
ab
nhận giá trị thuộc
c
D. 2; 1 .
là
tham số. Biết rằng
biểu
thức
2
F x 2 y 1 2 x my 5 đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi x, y thỏa mãn điều kiện
10 x ay b 0 . Giá trị của P a 2b 3m bằng:
A. 12.
B. 30.
C. 36.
D. 52.
4. Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức E x 2 y 1 2 x my 5
đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương E0 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. E0 0;1 .
B. E0 1;2 .
C. E0 2;3 .
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
D. E0 3;4 .
Trang 8/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
II. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
(Augustin-Louis Cauchy, 1789 – 1857, nhà toán học người Pháp)
2.1. Nội dung phương pháp
ab
ab .
(1) Với hai số không âm a , b bất kỳ, ta luôn có:
2
Đẳng thức xảy ra khi a b .
Các hình thức khác của bất đẳng thức này là
2
a b
a 2 b2
(1.1):
(1.2):
ab .
ab .
2
4
- Hệ quả: +) Nếu a , b là các số không âm và a b S không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất
1
1
bằng S 2 khi và chỉ khi a b S .
4
2
+) Nếu a , b là các số không âm và ab P không đổi thì a b đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2 P khi và chỉ khi a b P .
1 1
4
+) Với a 0, b 0 thì
. Đẳng thức xảy ra khi a b .
a b ab
abc 3
abc .
(2) Với ba số không âm a , b, c bất kỳ, ta luôn có:
3
Đẳng thức xảy ra khi a b c .
Các hình thức khác của bất đẳng thức này là
3
a b c
a 3 b3 c 3
(2.1):
(2.2):
abc .
abc .
3
27
- Hệ quả: +) Nếu a , b, c là các số không âm và a b c S không đổi thì abc đạt giá trị lớn
1 3
1
S khi và chỉ khi a b c S .
nhất bằng
27
3
+) Nếu a , b, c là các số không âm và abc P không đổi thì a b c đạt giá trị nhỏ nhất
bằng 3 3 P khi a b c 3 P .
+) Với a 0, b 0, c 0 thì
1 1 1
9
. Đẳng thức xảy ra khi a b c.
a b c abc
2.2. Ví dụ tự luận điển hình
Ví dụ 2.1. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của f x x
3
với x 0 .
x
3
với x 1 .
x 1
3
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của h x x
với x .
2x 1
2
3
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của p x x
với x 2 .
4x 7
Lời giải
3
3
a) Do x 0 nên ta có f x x 2 x. 2 3 .
x
x
3
Đẳng thức xảy ra khi x x 3 (thỏa mãn điều kiện x 0 ).
x
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của g x x
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 9/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Vậy, f x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi x 3 .
b) Do x 1 nên ta có g x x 1
3
1 2
x 1
x 1 .
3
1 2 3 1.
x 1
3
x 1 3 (thỏa mãn).
x 1
Vậy, g x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 1 khi x 1 3 .
Đẳng thức xảy ra khi x 1
3
6
6
2h x 2 x
2x 1
1.
2x 1
2x 1
2x 1
6
2 6 1
1
1 2 6 1 h x
Do x nên ta có 2h x 2 2 x 1 .
.
2
2x 1
2
c) Ta có h x x
6
6 1
x
(thỏa mãn).
2x 1
2
2 6 1
6 1
Vậy, h x đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi x
.
2
2
3
12
4
12
71
4 p x 4x
4 p x 4x 7
4x 7 7 .
d) p x x
4x 7
4x 7
75
4 x 7 75
4
x
7
15
Từ giả thiết ta có
. Do đó
4
12
71
44
11
4 p x 2
.15 7
p x .
4x 7.
75
4 x 7 75
5
5
12
4
4x 7
Đẳng thức xảy ra khi 75
4 x 7 x 2 (thỏa mãn).
x 2
11
Vậy p x đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi x 2 ./.
5
Đẳng thức xảy ra khi 2 x 1
Lời bàn
Về hình thức thì các biểu thức f x , g x , h x , p x tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị
nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị
nhỏ nhất hay nói cách khác là phải chọn đúng điểm rơi. Cụ thể cả bốn biểu thức cần phải tìm cách đánh
giá f x m1 ; g x m2 ; h x m3 ; p x m4 .
1) Việc đánh giá f x m1 thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà
không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức f x .
2) Việc đánh giá g x m2 ; h x m3 thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu
áp dụng ngay thì vế phải vẫn còn biến số. Vì vậy chúng ta cần điều chỉnh hình thức của biểu thức
3
3
3
6
thành g x x 1
thành 2h x 2 x 1
g x x
1 , còn h x x
1
x 1
x 1
2x 1
2x 1
(nhằm khi đánh giá thì vế phải không còn biến số).
3) Việc đánh giá p x m4 chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà cần có sự
điều chỉnh về hình thức của p x một cách khéo léo hơn thì mới đạt được mục tiêu. Kể cả khi viết
chúng ta viết lại biểu thức p x thành 4 p x 4 x 7
12
7 thì cũng không thể áp dụng luôn bất
4x 7
đẳng thức Cô-si. Vì khi áp dụng thì ta được 4 p x 2
4x 7 .
12
4 3 7 . Đẳng thức xảy ra khi
4x 7
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 10/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
12
2 3 7
x
2 , trong khi điều kiện của biến là x 2 . Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại
4x 7
4
4
12
71
viết 4 p x thành 4 p x
4x 7 7 ?
4x 7
75
4 x 7 75
4
Và số
được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:
75
3
1
12
4
Chúng ta để ý khi x 2 thì
và
, trong khi chúng ta đang cần đánh giá p x m4
4x 7 5
4x 7 5
12
nên ta phải tìm cách ghép m 4 x 7
, với m 0 để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu
4x 7
4 x 7 ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi
12
4
x 2 thì m 4 x 7
. Dễ dàng tìm được m
và chúng ta có lời giải như trên.
4x 7
75
4x 7
Ví dụ 2.2. a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x y 5 . Chứng minh rằng
16 1 81
.
x 4 y 20
16 1 81
. Chứng minh rằng x y 5 .
x 4 y 20
Lời giải
16 1 65 16 y x 65
16 y x
65
81
Ta có x y
2
.
4 .
x
4y 4
x 4y
4
4
x 4y 4
x y 5
16 1 81
40 5
x
;
y
a) Khi x y 5 thì
. Đẳng thức xảy ra khi 2
; .
2
x 4 y 20
x
64
y
9 9
b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn
b) Khi
x y 5
16 1 81
40 5
x; y ; ./.
thì x y 5 . Đẳng thức xảy ra khi 2
2
x 4 y 20
9 9
x 64 y
Bài tập tự luyện
1. Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn x y
2. Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn 3x
3. Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn a
5
4 1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S
.
4
x 4y
5
4
12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 8 y .
y
x
4
9
9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M
2b .
b2
a 1
2.3. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Câu 2.1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x 2
A. m
17
.
4
B. m 10.
2
1
trên đoạn ; 2 .
x
2
C. m 5.
D. m 3.
Lời giải
1 1
1 1
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có y x 2 3 3 x 2 . . 3 .
x x
x x
1
1
Đẳng thức xảy ra khi x 2 x 1 ; 2 . Vậy m 3 .
x
2
Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 11/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì m 3 là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm tra giá trị này
trước.
2
2
1
Ta có x 2 3 x 3 3 x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 ; 2 .
x
2
Đáp án D.
Lời bàn
1
1
1) Trong ví dụ này nếu thay giả thiết x ; 2 thành giả thiết x ; 2 thì cách giải cũng không có gì
2
2
1
thay đổi vì điểm rơi x 1 vẫn thuộc khoảng ; 2 .
2
1
1 4
2) Nếu thay giả thiết x ; 2 thành x ; hoặc x 2;6 chẳng hạn thì kỹ thuật sử dụng bất
2
5 5
đẳng thức Cô-si cũng cần có sự điều chỉnh vì lúc này điểm rơi thay đổi (nó không thể là x 1 nữa).
2 5
1 4
1 16
- Nếu x ; thì x 2 ; và ;10 . Do đó ta cần biến đổi như sau:
x 2
5 5
25 25
64
64 122
64 64
122 157
.
y x2
33 x2.
.
125 x 125 x 125 x
125 x 125 x 125 x 50
4
Đẳng thức xảy ra khi x .
5
2 1
- Nếu x 2;6 thì x 2 4;36 và ;1 . Do đó ta cần biến đổi như sau:
x 3
y
7 2 1 2 1 1 7 2
1
1 1
x x .2 3 3 x 2 . . 5 .
8
x x 8
8
x x
8
Đẳng thức xảy ra khi x 2 .
Bài tập tự luyện
1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x
A. 4.
B.
2
trên khoảng 0; là
x
2
.
2
C. 2 2.
2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2 x 2
A. 2 6.
B.
33
36.
2
D.
2.
3
1
trên đoạn ;1 là
x
2
C. 3 3 3.
D. 3 3 18.
8
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1;3 khi
x
2
A. x 1.
B. x 3.
C. x 3 .
3
3
4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 4 x
trên đoạn 0; 2 là
2
x 1
3. Hàm số f x 3x 2
B. 3 3 6.
C. 3 3 6 4.
2
5. Hàm số f x 3x
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 3 khi
2
2 x 1
A. 4 3.
A. x 0.
B. x
2 3 3
23 3
3
.
C. x
433
23 3
.
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
D. x
2
3
6
.
D. 4 3 4.
D. x 3.
Trang 12/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
4
trên khoảng 0; .
x2
33
A. min y 3 3 9.
B. min y 2 3 9.
C. min y .
D. min y 7.
0;
0;
0;
0;
5
Lời giải
4 3x 3x 4
3x 3 x 4
2 33 . . 2 33 9 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có y 3 x 2
x
2
2 x
2 2 x
Câu 2.2. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 x
Đẳng thức xảy ra khi
3x 4
8
2 x 3 0; . Vậy min y 3 3 9 ./.
0;
2 x
3
Đáp án A.
2
Câu 2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y
A. min y
2; 4
19
.
3
x 3
trên đoạn 2; 4 .
x 1
B. min y 2.
C. min y 3.
2;4
D. min y 6.
2;4
2;4
Lời giải
Hàm số xác định trên đoạn 2; 4 .
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si)
x2 1 4
4
4
Ta có y
x 1
x 1
2.
x 1
x 1
x 1
Với x 2; 4 thì x 1 0 nên theo bất đẳng thức Cô-si, ta có x 1
4
2
x 1
x 1 .
4
4.
x 1
4
x 3 2; 4 . Vậy min y y 3 6 .
2;4
x 1
Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)
x2 3
Nhận thấy với x 2; 4 thì y
0 nên loại ngay phương án B và C.
x 1
19
Kiểm tra phương án D trước (vì 6
).
3
x2 3
Ta có
6 x 2 6 x 9 0 x 3 2; 4 . Vậy min y 6 ./.
2;4
x 1
Suy ra y 6, x 2; 4 ; y 6 x 1
Đáp án D.
2
Câu 2.4. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy x y . Tìm giá trị nhỏ nhất min P của
biểu thức P x y .
A. min P 6.
C. min P 2 3 2.
B. min P 2 2 3.
D. min P 17 3.
Lời giải
Từ giả thiết ta có y x 1 x 2 . Do x 0, y 0 nên suy ra x 1 .
x2
. Do đó
x 1
x2
x2 1 1
1
1
P x
x
2x 1
2 x 1
3.
x 1
x 1
x 1
x 1
Với x 1 thì y x 1 x 2 y
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 13/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Có x 1 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 2 x 1
1
1
2 2 x 1 .
2 2.
x 1
x 1
1
2 2 43 2
2 x 1
x 1 x; y
Suy ra P 2 2 3 . Đẳng thức xảy ra khi
.
2 ;
2
y x 1 x 2
Vậy min P 2 2 3 ./.
Đáp án B.
Bài tập tự luyện
1. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy x 2 y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y là
A. một số hữu tỷ dương nhỏ hơn 5.
B. một số vô tỷ lớn hơn 5.
C. một số hữu tỷ lớn hơn 5.
D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 5.
2
2. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy x y . Biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ nhất bằng
a b , trong đó a, b là các số thực dương. Giá trị của a b bằng
A. 7.
B. 13.
C. 17.
D. 22.
3. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy x 2 y . Biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ nhất khi
x; y x0 ; y0 . Giá trị của 3x0 y0 là
A. một số nguyên dương.
B. một số hữu tỷ dương.
C. một số vô tỷ lớn hơn 1 .
D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 1 .
Khi học về hàm số lôgarit (Giải tích lớp 12) thì bài toán này có thể được phát biểu dưới một hình thức
khác có phần phức tạp hơn nhưng bản chất vấn đề thì không có gì thay đổi. Chẳng hạn:
4. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn ln x ln y ln x 2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất min P của biểu
thức P x y .
A. min P 6.
B. min P 2 2 3.
C. min P 2 3 2.
D. min P 17 3.
Câu 2.5. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2 y 3 xy 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của
P x y.
9 11 19
.
9
18 11 29
.
21
9 11 19
.
9
2 11 3
.
3
A. Pmin
B. Pmin
C. Pmin
D. Pmin
Lời giải
3
3 2y
3 2y
Ta có x 2 y 3 xy 3 x
P
y . Do x 0, y 0 nên 0 y .
2
1 3y
1 3y
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
9 6y
11
2 11 3
.
3P
3y 3y 1
3 2 11 3 P
1 3y
1 3y
3
11
3 y 1 3 y 1
11 2 11 1
Đẳng thức xảy ra khi
x; y
;
(thỏa mãn).
3
2
y
3
3
x
1 3y
Vậy Pmin
11 2 11 1
2 11 3
;
.
khi x; y
3
3
3
Đáp án D.
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 14/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Bài tập tự luyện
3
1. Cho x là số thực thay đổi và luôn thuộc khoảng 0; . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3x2 x 3
thuộc khoảng nào dưới đây?
3x 1
A. 0;1 .
B. 1; 2 .
f x
C. 2;3 .
D. 3; 4 .
2. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2 y 3xy 3 . Biết rằng biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ
a b c
, với a, b, c là các số nguyên dương. Gọi S là tập hợp các giá trị của M a b c ,
3
tính tổng bình phương các phần tử của S .
A. 932.
B. 2560.
C. 1764.
D. 4096.
3. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 2 y 3xy 3 . Biết rằng biểu thức P x y đạt giá trị nhỏ
nhất bằng
nhất khi x; y x0 ; y0 , tính S 3x0 6 y0 .
A. 3 11 6.
B. 3 11 4.
C. 9 11 18.
D. 3 11 3.
Khi học về hàm số mũ, hàm số lôgarit (Giải tích 12) chúng ta có thể gặp bài toán này dưới hình thức
khác. Chẳng hạn như câu 47, mã đề thi 101, THPTQG 2017:
1 xy
3xy x 2 y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu
4. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 3
x 2y
thức P x y .
A. Pmin
9 11 19
.
9
B. Pmin
9 11 19
.
9
C. Pmin
18 11 29
.
21
D. Pmin
2 11 3
.
3
Câu 2.6. Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất
11a 11b 12c
min Q của biểu thức Q
.
8a 2 56 8b 2 56 4c 2 7
22
34
A. min Q
C. min Q 2.
D. min Q 1.
. B. min Q .
9
4 6 3
Lời giải
Từ giả thiết, ta có 8a 56 8 a 7 8 a ab 2bc 2ca 8 a b a 2c .
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
8a 2 56 2 2 a b a 2c 2 a b a 2c 3a 2b 2c .
Tương tự, ta cũng có 8b 2 56 2a 3b 2c .
Lại có 4c 2 7 4c 2 ab 2bc 2ca a 2c b 2c .
a 2c b 2c a b 4c
.
2
2
11a 11b 12c
11a 11b 12c
Q
2.
Suy ra 8a 2 56 8b 2 56 4c 2 7
11a 11b 12c
2
2
2 a b a 2c
3
2 a b b 2c
Đẳng thức xảy ra khi
a; b; c 1;1; .
2
a 2c b 2c
ab 2bc 2ca 7
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
4c 2 7
a 2c b 2c
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 15/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
3
Vậy min Q 2 khi a; b; c 1;1; ./.
2
Đáp án C.
Lời bàn
Khi đánh giá biểu thức 2 2 a b a 2c theo chiều nhỏ hơn hoặc bằng dựa vào bất đẳng thức Cô-si,
chúng ta có 2 cách đánh giá. Đó là, 2 2 a b a 2c 2 a b a 2c 3a 2b 2c và
a b 2 a 2c a b 2 a 2c 3a b 4c .
2
Nếu đánh giá theo cách thứ nhất thì chúng ta có lời giải như trên, còn nếu đánh giá theo cách thứ hai thì
9a 9b 20c
ta có: 8a 2 56 8b 2 56 4c 2 7
.
2
Lúc này, việc đánh giá biểu thức Q chưa đạt được mục đích và dấu đẳng thức xảy ra khi c 0 (vô lý).
Bài tập tự luyện
1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức
11a 11b 12c
thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
8a 56 8b 2 56 4c 2 7
3
3
5
5
A. 0 m .
B. m 2.
C. 2 m .
D. m 3.
2
2
2
2
2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu
Q
2
27 a 27b 60c
thức E
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
8a 56 8b 2 56 4c 2 7
A. 5 m 6.
B. 6 m 7.
C. 7 m 8.
D. 4 m 5.
3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Biết rằng biểu thức
Q
2
11a 11b 12c
2
8a 56 8b 2 56 4c 2 7
thức P 2 p 9n 1945m .
đạt giá trị nhỏ nhất khi a; b; c m; n; p . Tính giá trị của biểu
1956 35
5857
D. P
.
.
2
5
4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Biết rằng khi biểu thức
A. P 1957.
Q
B. P 1954 7.
11a 11b 12c
2
2
2
C. P
đạt giá trị nhỏ nhất thì a
m
c , trong đó m, n là các số nguyên
n
8a 56 8b 56 4c 7
m
dương và phân số
tối giản. Tính giá trị của biểu thức S 2m 5n .
n
A. S 19.
B. S 16.
C. S 7.
D. S 12.
III. Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 – 1889, nhà toán học người Nga)
3.1. Nội dung phương pháp
2
(1) Với bốn số thực a, b, x, y tùy ý, ta luôn có ax by a 2 b 2
x
2
y2 .
a b
(nếu xy 0 ). Có nhiều cách chứng minh bất
x y
đẳng thức này nhưng có lẽ cách đơn giản nhất là sử dụng kết quả
2
2
ax by ay bx a 2 b2 x 2 y 2 .
Dấu bằng xảy ra khi ay bx hoặc
Hình thức khác của bất đẳng thức này là: ax by
a
2
b 2 x 2 y 2 .
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 16/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong mặt phẳng
tọa độ Oxy , nếu xét hai vectơ u a; b và v x; y thì do ta luôn có u.v u . v nên
a
ax by
2
b 2 x 2 y 2 .
2
(2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta luôn có ax by cz a 2 b 2 c 2
x
y2 z2 .
2
a b c
(nếu xyz 0 ).
x y z
Dấu bằng xảy ra khi ay bx; az cx hoặc
Hình thức khác của bất đẳng thức này là ax by cz
a
2
b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 .
Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể trong không gian
với hệ trục tọa độ Oxyz , nếu xét hai vectơ u a; b; c và v x; y; z thì do ta luôn có
u.v u . v nên ax by cz a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 .
3.2. Ví dụ tự luận điển hình
3x 1
Ví dụ 3.1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
.
x2 3
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
2
2
1
1 2
28
2
2
x 3 . x 2 3
3x 1 3.x . 3 3
2
3
3
3
2 21
3x 1
2 21
x
3
3x 1
. x2 3
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x 9.
2
1
3
3
3
x 3
3
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng x 1;1 . khi x 9 ./.
Lời bàn
1) Trong lời giải trên, tại sao ta lại viết 3x 1 3.x
1
. 3 mà không phải là một cách viết khác? Câu
3
trả lời là ở chỗ khi áp dụng bất đẳng thức nào thì cần phải quan sát hình thức, bản chất của bất đẳng
thức đó. Cụ thể, vì mẫu thức có x 2 3 x 2
thì cần phải làm xuất hiện x và
2) Nếu mẫu thức là 2 x 2 5
3
2
nên muốn áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xky
3 như đã phân tích trong lời giải.
2
2x
5
2
chẳng hạn thì ta cần viết 3x 1
3
2
. 2x
1
5
. 5 rồi mới
áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xky.
3) Bằng kỹ thuật như trên, bạn đọc hãy luyện tập thông qua các bài tập sau:
2x 3
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
.
x2 1
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D
1 4x
x2 9
.
4x 3
2x2 1
x5
3x 2 5
.
.
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 17/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Ví dụ 3.2. a) Chứng minh rằng
x 3 5 x 4, x 3;5 .
5 4
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 2 x 5 4 3 x , với x ; .
2 3
Lời giải
a) Đặt F x 3 5 x , với x 3;5 .
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
Với mọi x 3;5 , ta luôn có F 0 .
Có F 2 8 2
x 3 5 x 8 x 3 5 x 16 F 4 .
Dấu bằng xảy ra khi x 3 5 x x 1 3;5 . Vậy, F 4, x 3;5 .
Cách 2: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
43 x 45 x
8 F 4.
Ta có 2 F 2 x 3 2 5 x
2
2
x 3 2
Dấu bằng xảy ra khi
x 1 3;5 . Vậy, F 4, x 3;5 .
5 x 2
Cách 3: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).
Ta có F 1. x 3 1. 5 x 12 12 . x 3 5 x 2. 8 4 .
x3
5 x
x 1 . Vậy, F 4, x 3;5 .
1
1
b) (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).
2
2
5
4
5 4
115
x
2 3 . x x
Ta có A 2. x 3.
.
2
3
2 3
6
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng
2
5
2
4
x
29
3
x .
30
3
115
29
khi x
./.
30
6
Lời bàn
1) Trong ý a) chúng ta có thể áp dụng được cả hai bất đẳng thức Cô-si và Bu-nhi-a-cốp-xki để giải thì
trong ý b) việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ gặp nhiều khó khăn vì rất khó để chọn điểm rơi (tức là
điều kiện để dấu bằng xảy ra). Tuy nhiên, nếu để nguyên biểu thức A 2 x 5 4 3 x và áp dụng
bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki thì không khử được biến x . Do đó, chúng ta cần biến đổi để hệ số của
biến x trong hai số hạng phải đối nhau. Có hai cách để làm điều này, đó là đặt hệ số của biến x làm
nhân tử chung trong từng số hạng (như lời giải trên) hoặc nhân và chia mỗi số hạng cho một số nào đó,
1
1
. 6 x 15
. 8 6x .
ví dụ A
3
2
2) Từ cách 1, ta thấy F 2 8 hay F 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi x 3 hoặc x 5 . Và như vậy, với
mọi x 3;5 thì 2 2 x 3 5 x 4 .
3) Từ bất đẳng thức, người ta có thể đề xuất một số phương trình hoặc hệ phương trình giải được bằng
cách sử dụng các bất đẳng thức. Chẳng hạn, từ kết quả của ý a) và lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy
ra, chúng ta có thể đề xuất các bài toán sau đây:
1. Giải các phương trình: a) x 3 5 x 4 .
b) x 3 5 x x 2 2 x 5 .
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x 3 5 x m có nghiệm.
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 18/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
x 3 5 y 4
3. Giải các hệ phương trình: a)
.
y 3 5 x 4
x 3 5 y x 2 2 y 5
b)
.
2
y 3 5 x y 2 x 5
x 3 5 y 4
4. Giải các hệ phương trình: a) y 3 5 z 4 .
z 3 5 x 4
x 3 5 y z2 2z 5
b) y 3 5 z x 2 2 x 5 .
2
z 3 5 x y 2 y 5
Ví dụ 3.3. a) Cho các số thực x, y thỏa mãn
x2 y2
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
25 16
của biểu thức S x 3 y 4 .
b) Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2 y 2 z 5 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) Ta có S 4
2
P x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 11 .
Lời giải
2
2
y
y2
2 x
x
5. 12. 52 12 169 S 4 13 9 S 17 .
4
5
25 16
12
y
x
y
4 25 x
12. 5 5. 4
25 48 25 48
Đẳng thức xảy ra khi 2
x; y ; ; ; .
2
2
13 13 13 13
x y 1
x2 12 x2 25
25 16
5
25 48
25 48
Vậy, S đạt GTNN bằng 9 khi x; y ; ; đạt GTLN bằng 17 khi x; y ; .
13 13
13 13
2
2
2
b) Ta có P 3 x 1 y 2 z 3 và
x 2 y 2 z 5 0 x 1 2 y 2 2 z 3 6 .
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2
2
2
2
2
2
6 x 1 2 y 2 2 z 3 12 2 22 x 1 y 2 z 3
36 9 P 3 P 1 .
x 1 y 2 z 3
1 2 5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1
2
2 x; y; z ; ; .
3 3 3
x 2 y 2 z 5 0
1 2 5
Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x; y; z ; ; ./.
3 3 3
Bài tập tự luyện
1. Cho các số thực a, b thỏa mãn 2a 3b 1 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A a 2 b 2 4a 6b 13 .
b) a 2 3b 2 4a 18b 10 .
2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 2 4b 2 9c 2 2a 16b 18c 21 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S 2a 4b 9c 11 .
3.3. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
Câu 3.1. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 x 2 .
Khi đó, giá trị của M m bằng
A. 4.
B. 2 2.
C. 2 2 2.
D. 2 2 2.
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 19/46
Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Lời giải
Điều kiện 2 x 2 .
+) Với mọi x 2; 2 , ta có y x 2 ; y 2 x 2 . Suy ra m 2 .
+) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
y 2 1.x 1. 4 x 2
2
12 12 x 2 4 x 2 8 .
x 0
x
4 x2
2
x 2.
1
1
x 2
Do đó M 2 2 . Vậy M m 2 2 2 . /.
Suy ra y 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi
Đáp án D.
Câu 3.2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y 3 x 2 3 2 x . Tổng bình phương của M và m bằng
25
35
25
35
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
3
6
6
3
Lời giải
2
3
2 3
Điều kiện: x . Với điều kiện này thì y 0 . Với mọi x ; , ta có
3
2
3 2
1
5 5
y 2 x 1 2 3 x 2 3 2 x 3 x 2 2 3 x 2 3 2 x .
3
3 3
5
15
15
2
;y
3x 2 0 x .
Suy ra y
3
3
3
3
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2
3
3
4
4
25
.
y
. 2 x 1. 3 2 x 1 2 x 3 2 x
2
3
2
3
6
4
2x
25 5 6
5 6
3 3 2x x 7 2 ; 3 .
Suy ra y
;y
3
6
6
6
1
6 3 2
2
35
5 6
15
Vậy M
và m
. Suy ra M 2 m 2
./.
6
6
3
2
Đáp án B.
Lời bàn: 1) Giả sử m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn
a; b . Khi đó, ta có các kết quả sau đây:
+) Phương trình f x k có nghiệm thuộc đoạn a; b khi và chỉ khi m k M .
+) Bất phương trình f x k có nghiệm thuộc đoạn a; b khi và chỉ khi M k .
+) Bất phương trình f x k có nghiệm thuộc đoạn a; b khi và chỉ khi m k .
+) Bất phương trình f x k nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn a; b khi và chỉ khi m k .
+) Bất phương trình f x k nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn a; b khi và chỉ khi M k .
2) Khi tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x 2 3 2 x , kết hợp với kết
quả nói trên thì chúng ta hoàn toàn giải được các bài toán sau đây:
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
3 x 2 3 2 x m có nghiệm.
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B
Trang 20/46
