đề tài: Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT ………..

HỘI THẢO
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

Chuyên đề:
“Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài
toán dao động cơ”

Nhóm giáo viên: …………..
……………..
Tổ: Lí – Hóa – Công Nghệ
Đơn vị: ……………..
Năm học: …………..

0


Phần MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ.
Trong chương trình thi đại học (nay là kì thi THPT Quốc gia) thì phần Dao động
cơ là một phần quan trọng không thể thiếu trong cấu trúc đề thi, với tỉ lệ số câu
trong đề thi tương đối lớn. Hơn nữa, do thi dưới hình thức trắc nghiệm nên để làm
nhanh được một bài toán cũng là một vấn đề rất được quan tâm. Hình thức thi trắc
nghiệm khách quan đòi hỏi học sinh phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chương
trình và có kỹ năng làm bài, trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng. Bởi vậy, với mỗi
bài toán đề ra, người giáo viên không chỉ hướng dẫn học sinh hiểu bài mà còn phải
tìm cách giải nhanh nhất.
Việc sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều (còn
gọi là phương pháp vectơ quay) để giải các bài tập dao động cơ đã đáp ứng được

điều đó. Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng nắm được thành thạo và nhanh
nhạy phương pháp này do các em thấy lúng túng khi dùng đường tròn lượng giác
và khó tưởng tượng được sự tương tự giữa hai loại chuyển động này. Vì vậy, tôi
đưa ra chuyên đề: “Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ”
nhằm giúp các em giải quyết những khó khăn trên.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Vận dụng các kiến thức vật lí và toán học để đưa ra phương pháp giải một số bài
tập về dao động cơ một cách đơn giản, dễ hiểu và dễ áp dụng. Từ đó xây dựng một
hệ thống bài tập để học sinh có thể vận dụng phương pháp trên.
III. ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG.
Chuyên đề áp dụng cho các đối tượng học sinh lớp 12 và học sinh chuẩn bị thi
THPT quốc gia.
IV. THỜI LƯỢNG CHUYÊN ĐỀ
Chuyên đề được giảng dạy trong 9 tiết.

1


Phần NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT.
* Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao

M

động điều hòa (còn gọi là phương pháp vectơ

x

φ
P

O

quay):
Để biểu diễn dao động điều hòa x=Acos(ωt+φ)
của một vật trên trục Ox, người ta dùng một vectơ
uuuu
r
OM có độ dài bằng A (biên độ), quay đều quanh

Vectơ quay ở thời
điểm t = 0

điểm O ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc
là ω (với O là vị trí cân bằng của vật).
- Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và
uuuu
r
OM là φ (pha ban đầu).
uuuu
r
- Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM sẽ là
(ωt+φ), góc này chính là pha của dao động.
uuuu
r
- Độ dài đại số của hình chiếu vectơ quay OM trên
uuuu
r
trục Ox sẽ là: ch x OM = OP = Acos(ωt + φ)

M
ωt
φ

x

P

O

Vectơ quay ở thời
điểm t bất kì

uuuu
r
Như vậy : Độ dài đại số của hình chiếu trên trục Ox của véctơ quay OM biểu
diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động.
uuuu
r
Nói cách khác: Khi véctơ OM quay đều với tốc độ góc ω quanh điểm O thì
hình chiếu P của điểm M sẽ dao động điều hòa trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ
đạo của M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của M, biên độ bằng độ dài OM, tần số
�
góc đúng bằng tốc độ góc ω và pha ban đầu φ bằng góc xOM
ở thời điểm t=0.
* Chú ý:
Tại thời điểm ban đầu t = 0:
- Nếu vật đi theo chiều âm trục Ox thì
uuuu
r

OM ở trên Ox → φ > 0.
- Nếu vật đi theo chiều dương trục Ox
uuuu
r
thì OM ở dưới Ox → φ < 0.

M
-A

P

O

φ>0
φ<0

P

A

x

M

2


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG.
1. Bài toán tìm thời gian.
1.1. Tìm thời điểm t mà vật đi qua vị trí có li độ x1 (giả sử kể từ thời điểm t=0).

1.1.1. Phương pháp giải.
Phương trình dao động điều hòa có dạng: x=Acos(ωt+φ), trong đó A, ω, φ đã biết.
Để làm bài toán này, ta dùng Phương pháp vetơ quay, và làm theo các bước:
- Vẽ đường tròn, biểu diễn trục Ox, các biên, dựa vào pha ban đầu φ đề bài cho để vẽ
uuuuu
r
vectơ OM 0 tại thời điểm ban đầu t=0.
uuuur
- Khi vật đến li độ x1, ta vẽ vectơ OM1 .
uuuuu
r
- Dựa vào hình vẽ, tìm góc α mà vectơ quay đã quét được khi quay từ OM 0 đến
uuuur
OM1 .
α
.
ω
1.1.2. Ví dụ minh họa.

- Ta có: α = ωt → t =

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2t) cm. Tìm
thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng kể từ lúc t=0?
HD:

M1

- Vì  = 0 nên ban đầu vectơ quay ở OM0
- Vật đi qua vị trí cân bằng O, ứng với vectơ quay
ở OM1 và OM2.

→ Thời điểm lần thứ nhất vật qua vị trí cân bằng
ứng với vectơ quay ở OM1.
- Hình vẽ, góc quét được từ OM0 đến OM1 là:

α
-8

O

M0

x

8

M2

α 1
π
→ Thời điểm cần tìm: t = = s
ω 4
2
* Nhận xét:
Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau:

α=

- Khi vật đến vị trí cân bằng thì x = 0 ↔ 8cos(2t) = 0
� 2t 


1 k
 k. � t   , với k = 0, 1, 2, ...
2
4 2

- Thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng ứng với k = 0 → t =

1
s.
4
3


π
) cm.
6
Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương kể từ lúc t=0?
HD:
- Tại t = 0, vectơ quay ở OM0.
M0
- Vật qua x = 2cm theo chiều dương tương ứng
π 6
O
x
vectơ quay ở OM.
-4
4
2
3π 2

- Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo
chiều dương tương ứng vectơ quay quét được 2
M
vòng (qua x = 2cm 2 lần) và lần cuối cùng quét từ
OM0 đến OM.
3π
→ Góc quét được trong thời gian đó là: α = 2.2 +
2
α 11
→ Thời điểm cần tìm là: t = = s
ω 8
* Nhận xét:
Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau:
- Vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương nên ta có thể viết:
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t +




�
x=4cos(4t  )  2 � 4t   �  2k
�
�
6
6
3
�
�v  4.4.sin(4t   )  0 � sin(4t   )  0
�
6

6
→ Từ đó ta có : 4t 



1 k
   2k � t    , với k = 1, 2, 3, …
6
3
8 2

- Vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương lần thứ 3 ứng với k = 3 → t =

11
s
8

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t +
Tìm thời điểm lần thứ 2015 vật qua vị trí x=2cm kể từ lúc t=0?
HD:
- Tại t = 0, vectơ quay ở OM0.
- Vật qua x = 2cm tương ứng vectơ quay ở OM 1
-4
và OM2.
- Cứ 1 chu kỳ (vectơ quay quay được 1 vòng) thì
vật qua x = 2cm 2 lần.

π
) cm.
6

M1

O

π 6

M0
x
4

M2

4


→ Vật qua x = 2cm lần thứ 2015 kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay phải quét 1007
vòng (qua x = 2cm 2014 lần) rồi quay tiếp từ OM0 đến OM1.
π
→ Góc quét được trong thời gian đó là: α = 1007.2π +
6
1007.2π +

π
6 = 12085 s
24

→ Thời điểm cần tìm là: t = α =
ω
4π

* Nhận xét:
Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau:
- Nếu vật qua li độ x = 2cm theo chiều âm, ta có:



�
x=4cos(4t  )  2 � 4t   �  2k
�
�
6
6
3
�
�v  4.4.sin(4t   )  0 � sin(4t   )  0
�
6
6
 
1 k
  2k � t 
 , với k = 0, 1, 2, 3, …
6 3
24 2
- Nếu vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương, ta có:
→ Từ đó ta có: 4t 





�
x=
4cos(4

t

)

2
�
4

t


�
 2k
�
�
6
6
3
�
�v  4.4.sin(4t   )  0 � sin(4t   )  0
�
6
6
→ Từ đó ta có: 4t 




1 k
   2k � t    , với k = 1, 2, 3, …
6
3
8 2

- Vì tại thời điểm ban đầu t = 0, vật qua li độ x  2 3 cm theo chiều âm nên lần
đầu tiên vật qua li độ x = 2cm sẽ là theo chiều âm. Mặt khác cứ 1 chu kì thì vật qua
x = 2cm hai lần (1 lần theo chiều âm, 1 lần theo chiều dương). Do đó lần thứ 2015
vật qua vị trí x=2cm tương ứng là lần thứ 1008 vật qua x = 2cm theo chiều âm.
1 k
1 1007 12085
 , với k = 1007 → t 


→ Thời điểm cần tìm là: t 
s
24 2
24
2
24
Có thể thấy rằng cách giải này là tương đối dài dòng và dễ nhầm lẫn so với
cách dùng Vectơ quay.
Ví dụ 4: Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k=100N/m, một
đầu treo vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ
vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi

5

buông nhẹ cho vật dao động điều hòa. Lấy g=10m/s 2. Xác định tỉ số thời gian lò xo
bị nén và dãn trong một chu kỳ.
HD:
x
A
- Tần số góc của con lắc:
nén
=

k
= 10 2 (rad/s)
m

M2



l0
O

dãn



M1

O

- Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng:

-A
(A > l )
mg
= 0,05m = 5cm ; A=10cm > ∆ℓ0
k
- Trong 1 chu kì:
+ Thời gian lò xo nén t1 là thời gian để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến

Δl 0 =

0

vị trí cao nhất và lại trở về vị trí lò xo không biến dạng.
π
Δφ
2π
Δl 0 1
= →  = → ∆ =  - 2 =
Ta có: t1 =
, với sin =
ω
A
2
3
6
Δφ
2π
π
=
=

s
→ t1 =
ω 3.10 2 15 2
+ Thời gian lò xo dãn t2 là thời gian để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến
vị trí thấp nhất và lại trở về vị trí lò xo không biến dạng.
2π - Δφ
2π
=
s
Ta có: t2 =
ω
15 2
- Tỉ số thời gian lò xo bị nén và dãn trong một chu kỳ là:

Δt1 1
=
Δt 2 2

* Nhận xét:
Mấu chốt của bài toán ở chỗ: phải hiểu được trong 1 chu kì dao động của vật
thì lò xo bị nén, bị dãn tương ứng khi vật dao động trong phạm vi nào, từ đó dùng
phương pháp vectơ quay ta tìm được khoảng thời gian lò xo bị nén, bị dãn tương
ứng.
Ví dụ 5 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo treo vào một điểm cố định, dao động điều
hòa theo phương thẳng đứng với chu kì 1,2s. Trong một chu kì, nếu tỉ số của thời
gian lò xo dãn với thời gian lò xo nén bằng 2 thì thời gian mà lực đàn hồi ngược
chiều lực kéo về là
A. 0,2 s
B. 0,1 s
C. 0,3 s

D. 0,4 s
HD:
- Chọn chiều dương hướng lên, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng.
- Gọi độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là ∆ℓ0.
6


- Gọi 1; 2 là góc quét ứng vời thời gian lò xo nén và dãn, ta có:
2 .t 2

 2 � 2  2.1
1 .t1

x
nén

- Hình vẽ thấy:
2
A
2  2  1 � 1 
� l 0 
3
2
- Từ hình vẽ có: ∆1 =  - 2 �  

A


6

l0

M2

M1


O

dãn

1
O

-A

- Vì lực kéo về luôn hướng về vị trí cân bằng, còn lực đàn hồi tác dụng lên vật sẽ
hướng thẳng lên nếu lò xo dãn và hướng thẳng xuống nếu lò xo nén. Do đó, lực
đàn hồi ngược chiều với lực kéo khi lò xo bị dãn và li độ của vật trong phạm vi:
A
.
2
- Trong 1 chu kì, góc quét ứng với thời gian lực đàn hồi ngược chiều lực kéo về là:
0 �x �l 0 



→ Thời gian tương ứng là: t1  1  0,2s → Đáp án A.
3


* Nhận xét:
Bài toán này phải vận dụng khá nhiều kiến thức, phải nhớ được đặc điểm của lực
kéo về là luôn hướng về vị trí cân bằng, còn lực đàn hồi sẽ hướng về phần giữa lò xo
nếu lò xo dãn, hướng ra xa hai đầu lò xo nếu lò xo nén.
1.1.3. Bài tập tự giải.
Bài 1 (CĐ 2009). Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 50 N/m, dao động điều
hòa theo phương ngang. Cứ sau 0,05 s thì vật nặng của con lắc lại cách vị trí cân
bằng một khoảng như cũ. Lấy 2 = 10. Khối lượng vật nặng của con lắc bằng
A. 250 g
B. 100 g
C. 25 g
D. 50 g
Bài 2. Vật dao động theo phương trình x = 4cos(t) cm. Kể từ t = 0, vật qua vị trí x
= 2 cm lần thứ 2017 vào thời điểm
A. 2034,25s
B. 3024,15s
C. 3024,5s
D. 3024,25s
Bài 3. Vật dao động với phương trình x=5cos  4πt +  3 cm. Kể từ t = 0, lần thứ
1  2 

2025 vật cách VTCB 2,5 cm là
A. s
B. s
C. s
D. s
Bài 4. Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng 100N/m, một đầu treo
vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ VTCB
kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho vật
dao động điều hòa. Lấy g=10m/s2. Khoảng thời gian mà lò xo bị nén một chu kỳ là

7


π
π
π
s
C.
s
D.
s
3 2
15 2
6 2
5 2
Bài 5. Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên 30cm đầu trên treo vào điểm cố định,
đầu dưới gắn vật nhỏ. Khi hệ cân bằng, lò xo có chiều dài 31cm. Khi con lắc dao
động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A thì khoảng thời gian lò xo bị
nén trong mỗi chu kỳ là 0,05s. Tìm A.
A. 2cm
B. 1,7cm
C. 1,4cm
D. 1cm
Bài 6. Một vật dao động điều hòa với biểu thức li độ x = 4cos  5π 6 - 0,5πt  , trong
đó x tính bằng cm và t giây. Vào thời điểm nào sau đây vật sẽ đi qua vị trí
x = 2 3cm theo chiều âm của trục tọa độ?
4
2
A. 6s

B. 3s
C. s
D. s
3
3
Bài 7. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = Acos(t + ). Trong

A.

π

s

B.

khoảng thời gian 1/60 (s) đầu tiên, vật đi từ vị trí x0 = 0 đến vị trí x = A 3 2 theo
chiều dương và tại điểm cách vị trí cân bằng 2cm thì nó có vận tốc là 40 3 cm/s.
Khối lượng quả cầu là m = 100g. Năng lượng của nó là
A. 32.10-2 J
B. 16.10-2 J
C. 9.10-3 J
D. 48.10-2 J
Bài 8. Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với
tần số 2,5Hz và biên độ 8cm. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên,
gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian khi vật đi qua VTCB và chuyển động ngược
chiều dương. Lấy g=π2. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ thời điểm ban đầu tới
thời điểm lò xo không biến dạng lần thứ nhất là
A. 3/10 s
B. 4/15 s
C. 1/30 s

D. 7/30 s
Bài 9. Lò xo k=25N/m treo thẳng đứng, đầu trên giữ cố định, đầu dưới treo vật
m=100g. Từ VTCB, kéo vật thẳng xuống một đoạn bằng 2cm rồi truyền cho vật tốc
độ 10π cm/s hướng xuống. Chọn gốc thời gian là lúc truyền tốc độ, chiều dương
trục tọa độ hướng thẳng xuống. Cho g=π2=10. Kể từ t=0, tìm thời điểm vật đi qua
vị trí lò xo bị dãn 6cm lần đầu tiên.
A. 10,3 ms
B. 33,3 ms
C. 66,7 ms
D. 100 ms
Bài 10. Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ k=50N/m và vật m=200g. Vật
đang nằm yên ở VTCB thì được kéo thẳng đứng xuống dưới để lò xo giãn tổng
cộng 12cm rồi thả cho nó dao động điều hòa. Lấy g=π2=10. Thời gian lực đàn hồi
tác dụng vào giá treo cùng chiều với lực hồi phục trong một chu kỳ dao động là
1
2
1
1
A. s
B.
s
C.
s
D.
s
3
15
30
15
Câu

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ĐA
D
D
B
B
C
A
A
D
D
D
1.2. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất t để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến vị trí có
li độ x2.
8


1.2.1. Phương pháp giải.
Với bài toán này ta có thể dùng Phương pháp vectơ quay và làm theo các bước:
- Vẽ đường tròn, biểu diễn trục Ox, các biên.
uuuur

- Khi vật đến vị trí x1, vẽ vectơ OM1 .
uuuuu
r
- Khi vật đến vị trí x2 (mất thời gian ngắn nhất), vẽ vectơ OM 2 .
uuuur
- Dựa vào đề bài và hình vẽ, tìm qóc α mà vectơ quay đã quét được khi quay từ OM1
uuuuu
r
đến OM 2 .
α
.
ω
1.2.2. Ví dụ minh họa.

- Ta có: α = ωt → t =

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(t-π/2). Cho
biết, từ thời điểm ban đầu vật đến li độ x= A 3 2 trong khoảng thời gian ngắn
1
s và tại điểm cách VTCB 2cm vật có vận tốc 40π 3 cm/s. Xác định tần
60
số góc và biên độ A của dao động.
HD:
- Theo đề, tại t = 0, véctơ quay ở vị trí OM0.
1
- Sau khoảng thời gian ngắn nhất t  s thì vật
-A
A
60
x

O
nhất là

A 3
đến li độ x 
, vectơ quay ở vị trí OM1.
2
π
- Từ hình vẽ tìm được α = .
3
- Ta có: α = ω.t ↔

α
M1
M0

π
1
 ω. � ω = 20π rad s
3
60

(40. 3)2
→ Biên độ của vật là: A  2 
 4cm
(20)2
2

* Nhận xét: Mấu chốt bài toán ở chỗ: vật đi từ x = 0 (thời điểm ban đầu) đến
A 3

mất khoảng thời gian ngắn nhất thì tương ứng trong khoảng thời gian
2
đó, vectơ quay phải quét từ OM0 đến OM1.
Ví dụ 2: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật m=100g và lò xo nhẹ
x

9


k=100N/m. Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo dãn 4cm
rồi truyền cho nó tốc độ 40π cm/s hướng thẳng lên để nó dao động điều hòa. Lấy
π2=10. Tìm thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò
xo bị nén 1,5cm.
HD:
- Tần số góc của con lắc:  =

k
= 10π (rad/s)
m

mg
= 0,01m = 1cm
k
- Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc O tại vị trí cân bằng của vật, chiều dương
hướng lên.
- Theo đề, khi lò xo dãn 4cm, tức vật có li độ x = -3cm thì vật được truyền tốc độ
40π cm/s hướng thẳng lên. Biên độ của vật được tính là:
- Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: Δl 0 =

v2

(40)2
2
A x  2  3 
 5cm

(10)2
2

x

5

A

M2
- Khi lò xo nén 1,5cm thì vật ở li độ
2,5
x=2,5cm.
l0
O
α
O
- Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động
từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò xo bị nén
1,5cm tương ứng với thời gian vectơ quay
-A M1
quét từ OM1 đến OM2.
2
1
 10.t � t  s

Ta có:   .t �
3
15
Ví dụ 3 (ĐH 2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc
dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con
lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm. Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống,
gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo

chiều dương. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s 2 và 2 = 10. Thời gian ngắn nhất kể
từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là
4
7
3
1
s
s
A. s
B.
C. s
D.
15
30
10
30
HD:
- Tần số góc của con lắc:

10

ω=

2π 2π
=
= 5π rad s
T 0,4

- Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng:
2
gπ
Δl 0 = 2 =
= 0,04m = 4cm
ω
(5π) 2

- Tại t = 0, vật qua vị trí cân bằng theo chiều
dương, tức là vectơ quay ở OM0.

• -8
• -4

l0

• O
x

- Vì A > ∆ℓ0 nên lực đàn hồi có độ lớn cực
M1
tiểu bằng 0 tại vị trí lò xo không biến dạng,
khi đó vật ở li độ x1 = -4cm.

α
→ Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến
-8
8
O
x
-4
khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu
tương ứng với thời gian vectơ quay quét từ
OM0 đến OM1. Ta có:
M0
7
7
  .t �
 5.t � t  s → Đáp án B.
6
30
1.2.3. Bài tập tự giải.
Bài 1 (CĐ 2011). Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 1m dao động điều hòa với
π
biên độ góc
rad tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s 2. Lấy π2 = 10. Thời
20
π 3
gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc
rad là
40
1
1
A. 3s

B. 3 2 s
C. s
D. s
3
2
Bài 2 (ĐH 2013). Vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = Acos4πt (t
tính bằng s). Tính từ t=0, khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn
bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại là
A. 0,083s
B. 0,104s
C. 0,167s
D. 0,125s
Bài 3. Vật dao động điều hòa với tần số 5Hz, biên độ A. Thời gian ngắn nhất để
vật đi từ li độ x1=-0,5A đến li độ x2=0,5A là
A. 1/10 s
B. 1 s
C. 1/20 s
D. 1/30 s
Bài 4. Vật dao động điều hòa với biên độ A. Vật đi từ li độ x=A/2 đến li độ x=-A/2
hết khoảng thời gian ngắn nhất là 0,5s. Tính khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ
VTCB đến li độ x = A 2.
A. 0,25 s
B. 0,75 s
C. 0,375 s
D. 1 s
Bài 5. Vật dao động điều hòa gọi với biên độ A và tần số f. Khoảng thời gian ngắn
11


A 2

A 3
đến li độ x =
là
2
2
5f
5
f
1
A. t =
B. t =
C. t =
D. t =
24
24f
24
24f
Bài 6. Một vật dao động điều hòa dọc theo một đường thẳng. Một điểm M nằm cố
định trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vạt. Tại thời điểm t
thì vật xa M nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là Δt vật gần M nhất.
A
a) Vật cách VTCB một khoảng
vào thời điểm gần nhất là
2
Δt
Δt
Δt
Δt
A. t +
B. t +

C. t +
D. t +
3
6
4
2
b) Vật cách VTCB một khoảng 0,5A vào thời điểm gần nhất là
Δt
Δt
Δt
Δt
A. t +
B. t +
C. t +
D. t +
3
6
4
2
c) Độ lớn vận tốc của vật bằng nửa tốc độ cực đại vào thời điểm gần nhất là
Δt
Δt
2Δt
Δt
A. t +
B. t +
C. t +
D. t +
3
3

6
4
d) Độ lớn vận tốc của vật đạt cực đại vào thời điểm gần nhất là
Δt
Δt
Δt
Δt
A. t +
B. t +
C. t +
D. t +
3
6
4
2
Bài 7. Thời gian ngắn nhất để một vật dao động điều hòa đi từ vị trí có động năng
bằng thế năng đến vị trí có động năng bằng ba lần thế năng là 0,1s. Tần số dao
động của vật là
A. 2,1Hz
B. 0,42Hz
C. 2,9Hz
D. 0,25Hz
Bài 8. CLLX nằm ngang gồm vật m=100g và lò xo k=100N/m. Từ VTCB kéo vật
theo phương ngang một đoạn A, rồi thả ra cho vật dao động điều hòa. Sau khoảng
thời gian ngắn nhất bằng bao nhiêu kể từ lúc thả vật thì động năng vật bằng 3 lần
thế năng đàn hồi lò xo?
1
1
1
2

A.
s
B.
s
C. s
D.
s
15
30
5
15
Bài 9. Vật dao động điều hòa với biên độ 8cm. Trong một chu kì, thời gian dài nhất
vật đi từ vị trí có li độ x 1=4cm theo chiều dương đến vị trí có li độ 4 3 cm là
0,45s. Chu kì dao động của vật là:
A. 2s
B. 5,4s
C. 0,9s
D. 1,8s
Bài 10. CLLX treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo
phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ của con lắc lần lượt là 0,4s và 8cm. Chọn
trục x’x thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời
gian t=0 lúc vật qua VTCB theo chiều dương. Lấy g=π2=10. Thời gian ngắn nhất
kể từ khi t=0 đến lúc lực đàn hồi của lò xo đạt cực đại lần thứ hai là
A. 0,1 s
B. 0,5 s
C. 0,4 s
D. 0,2 s
Câu
1
2

3
4
5
6
7
8
9
10
ĐA
C
A
D
C
B
ABDC
B
B
D
B
nhất vật đi từ li độ x =

12


1.3. Các bài toán sau đây đều có thể quy về dạng bài trên:
1.3.1. Dạng bài và phương pháp giải.
- Bài toán tìm thời điểm vật có vận tốc (v), gia tốc (a), thế năng (Wt), động năng (Wđ),
lực hồi phục (F), lực đàn hồi… nào đó.
→ Có thể tìm li độ x, rồi dùng phương pháp vectơ quay để tìm ra yêu cầu của bài
toán.

- Bài toán tìm số lần vật đi qua li độ x (hoặc v, a, W t, Wđ, F,… → tìm ra li độ x) từ
thời điểm t1 đến t2.
→ Dùng phương pháp vetơ quay, và lưu ý rằng, trong mỗi chu kỳ thì vật qua mỗi vị
trí biên 1 lần còn các vị trí li độ khác 2 lần.
- Bài toán tìm li độ x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F,... → tìm ra li độ x) sau (trước) thời
điểm t một khoảng thời gian t, biết tại thời điểm t vật có li độ x1.
uuuur
OM
→ Dùng phương pháp vetơ quay, biểu diễn
1 khi vật ở li độ x 1, sau đó 1 khoảng
uuuu
r
thời gian là t, vectơ quay quay được góc α, ta biểu diễn vectơ OM lúc đó trên
đường tròn. Sau đó dựa vào hình vẽ để tìm x.
1.3.2. Ví dụ minh họa.
π
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2t - ) cm. Tìm
6
thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8 cm/s?
HD:
- Khi v = -8 cm/s thì vật ở li độ:

M2

M1
π

v
x = A 2 - ( ) 2 = ±4 3cm
ω

-8

- Vì v < 0 nên vectơ quay ở OM1 và OM2
→ Cứ 1 chu kì (vectơ quay được 1 vòng) thì

4 3

O

4 3

8 x
M0

vật có v = -8 cm/s 2 lần.
→ Thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8 cm/s kể từ lúc t = 0 thì vectơ
quay phải quét 1007 vòng (qua v = -8 cm/s 2014 lần) rồi quét tiếp từ OM0 đến
OM2 → Góc quét trong thời gian đó là: α = 1007.2 + 
→ Thời điểm cần tìm là: t =

α 1007.2π + π
=
= 1007,5s
ω
2π

* Nhận xét:
Ta có thể làm theo cách khác như sau:

13


π
- Biểu thức vận tốc là: v = 16π.cos(2t + ) cm/s
3
(Tức là vận tốc có thể biểu diễn theo hàm
cos nên có thể sử dụng vectơ quay cho
trục vận tốc)
- Tại t = 0, vectơ quay ở OM0.

M1

-16π

- Khi v = -8 cm/s thì vectơ quay ở OM1 và OM2.

M0

π
-8π

16π

O

v

M2

- Cứ 1 chu kì (vectơ quay quét được 1 vòng) thì vật có v = -8 cm/s 2 lần.
→ Thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8 cm/s kể từ lúc t = 0 thì vectơ
quay phải quét 1007 vòng (qua v = -8 cm/s 2014 lần) rồi quét tiếp từ OM 0 đến
OM2 → Góc quét trong thời gian đó là: α = 1007.2 + 
→ Thời điểm cần tìm là: t =

α 1007.2π + π
=
= 1007,5s
ω
2π

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2t -

π
) cm. Tìm
3

thời điểm lần thứ nhất vật qua vị trí có động năng bằng thế năng?
HD:
- Ta có : Wđ = Wt
1
A
 ±4 2cm
→ Wt = W  � x = ±
2
2
→ Khi Wđ = Wt thì vectơ quay ở 4 vị trí là
OM1, OM2, OM3, OM4.
- Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí Wđ = Wt

ứng với vectơ quay quét từ OM0 đến OM1
π π π
→ Góc quét tương ứng là: α = - =
3 4 12
→ Thời điểm cần tìm là: t =

α 1
= s
ω 24

M2

M3

4

4 2
α

M1

M4
M0

* Nhận xét:
Vì Phương pháp vectơ quay biểu diễn cho dao động điều hòa có dạng tổng quát
x=Acos(ωt+φ), vì thế ở bài toán này ta phải chuyển điều kiện Wđ = Wt tương ứng khi
đó vật ở li độ x = ±

A

, từ đó ta dùng Phương pháp vectơ quay cho trục li độ x.
2

14


Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(t -

π
) cm. Tìm
4

thời điểm lần thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng?
HD:
- Theo đề Wđ = 3Wt
1
A
→ Wt = W  � x = ±  ±4cm
4
2
4 2
→ Khi Wđ = 3Wt thì vectơ quay ở 4 vị trí là OM 1,
OM2, OM3, OM4.
- Cứ 1 chu kì (vectơ quay quét được 1 vòng) thì
Wđ=3Wt 4 lần.
- Thời điểm vật qua vị trí có Wđ = 3Wt lần thứ 2010 kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay
phải quét 502 vòng (qua vị trí có Wđ = 3Wt 2008 lần) rồi quét tiếp từ OM0 đến
OM2.
π π
11π

→ Góc quét được trong thời gian đó là: α = 502.2π + π - ( - ) = 1004π +
3 4
12
α
11 12059
= 1004 + =
s
ω
12
12
Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa có biên độ A = 5cm và chu kỳ 0,2s.
Tại thời điểm t1, chất điểm có li độ x1 = 2cm đang đi theo chiều dương. Hỏi sau đó
0,05s chất điểm có li độ là bao nhiêu và chuyển động theo chiều nào?
HD:
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính A = 5cm, trục Ox
+
nằm ngang.
M2
- Tại thời điểm t1, vectơ quay ở OM1.
-5
O
x
Δφ 2 x 5
- Sau thời điểm t1 0,05s, vectơ quay quét được
2
→ Thời điểm cần tìm là: t =

α
Δt
π

.2π = , tức là vectơ quay ở OM2.
T
2
M1
→ Tại thời điểm t1+0,05 (s), chất điểm có li độ là
x2. Ta có: x2 = 5.cos(Δφ – α)
2
Với: cos  �   66,420
5
→ x2 = 5.cos(900 – 66,420) = 4,583cm
Hình vẽ thấy tại thời điểm t2 thì chất điểm đang chuyển động theo chiều âm.

góc: Δφ =

15


Ví dụ 5: Một con lắc dao động với phương trình x = 4cos(4t - /3) cm. Xác
định số lần vật qua li độ x = 3cm trong 1,2s đầu tiên.
HD:
M1
- Tại thời điểm ban đầu t=0 vật có
x0=2cm và v0> 0 (vectơ quay ở OM0).
Q
- Trong khoảng thời gian t=1,2s, vectơ
quay quét được góc α = ω.t = 4π.1,2
-4
O
2
3

4
x
= 4π + 0,8π
- Với góc quét 4π (vectơ quay quét được
P
2 vòng), vật qua li độ x = 3cm 4 lần, và
M0
vectơ quay lại trở về OM0.
- Với góc quét 0,8π = 144 0, vectơ quay quét từ OM0 đến OM1, do đó vật đi qua li
độ x = 3cm 2 lần nữa.
- Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = 3 cm trong thời gian 1,2s đầu tiên là 6 lần.
Ví dụ 6: Vật dao động điều hoà với phương trình x=4.cos(2πt)cm
a) Tính số lần vật đi qua vị trí x = -2cm trong 2s và trong 3,25s.
c) Tại thời điểm t vật ở li độ 2cm. Xác định trạng thái dao động (x, v) ở thời điểm
1
(t + 6) s và (t + ) s.
3
HD:
a)
- Trong thời gian t=2s, véctơ quay quét được góc:
α = ω.t = 4π rad.
Vì mỗi vòng quay, vật qua vị trí x=-2cm 2 lần
→ Trong 2s, vật qua vị trí x=-2cm 4 lần.

M1

x

-2
O

M0

H.1

- Trong thời gian t=3,25s, véctơ quay quét được góc:  = ω.t=6,5π rad = 6π + 0,5π.
+ Với góc quét 6π (vectơ quay quét được 3 vòng), vật qua li độ x = -2cm 6 lần, và
vectơ quay lại trở về OM0.
+ Với góc quét 0,5π, vectơ quay quét từ OM 0 đến OM1, do đó vật không đi qua li
độ x = -2cm lần nào nữa.
Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = -2cm trong thời gian 3,25s đầu tiên là 6 lần.
c) Xác định vị trí sau thời gian t:
- Khi t = 6s: Véctơ quay quét góc: α = ω.t = 12π → Véctơ quay đã quay 6 vòng
và trở lại vị trí đầu, do đó x(t+6s) = x(t) = 2cm.
16


- Khi t =

1
2π
s: Véctơ quay quét góc: α = ω.t =
3
3

→ Có hai khả năng:
+ Tại thời điểm t, vật có x=2cm; v>0: Vị trí véctơ ở hai thời điểm t (OM 1) và t +

1
3

1
s (OM2) được biểu diễn như H.2. Từ hình vẽ suy ra: x(t+ ) = 2cm và đang chuyển
3
động theo chiều âm.
M2
2π
O 3 2
H.2

M1
x
4

-4

M2

2π
3

O

2

4

x

H.3

M1

+ Tại thời điểm t, vật có x=2cm và v<0: Vị trí véctơ ở hai thời điểm t (OM 1) và t +
1
1
s (OM2) được biểu diễn như H.3. Từ hình vẽ suy ra: x(t+ ) = -4cm và đang ở
3
3
biên âm.
Ví dụ 7: Vật dao động theo phương trình x=20cos(5πt/3 - π/6)cm. Kể từ lúc t=0
đến lúc vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì lực hồi phục sinh công
âm trong khoảng thời gian là
A. 2013,08 s
B. 1207,88 s
C. 1207,4 s
D. 2415,8 s
HD:
- Tại t=0, vectơ quay ở OM0.
K
- Khi vật ở li độ x = -10cm thì vectơ quay ở
M1
OM1.
γ
- Công của lực hồi phục: A = F.v,
Q x
H

20
-10 O

Hay A = -k.x.v
M0
→ A < 0 thì x.v > 0 (x và v cùng dấu).
→ Bài toán trở thành: Kể từ lúc t=0 đến lúc
P
vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ
2013, tìm thời gian để có x.v > 0.

17


- Cứ 1 chu kì thì vật đi qua x = -10cm theo chiều âm 1 lần, khi đó thời gian mà x.v
> 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc π (quét từ P đến Q và từ K
đến H).
→ Cứ 2012 chu kì thì vật qua x = -10cm theo chiều âm 2012 lần, khi đó thời gian
mà x.v > 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc 2012π (vectơ quay
lại trở về OM0) → Muốn vật qua x = -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì vectơ
quay quét thêm từ OM0 đến OM1, khi đó thời gian mà x.v > 0 tương ứng với thời
gian vectơ quay quét được góc  + γ. Hình vẽ có  = γ = π/6.
- Vậy kể từ lúc t=0 đến lúc vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì thời
gian để có x.v > 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc:
α = 2012π +  + γ
5
 
.t  2012.   � t  1207,4s → Đáp án C
3
6 6
Ví dụ 8 (ĐH 2010): Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên
độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn
Hay ω.t = 2012π +  + γ �

gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là T/3. Lấy 2=10. Tần số dao động của vật là
A. 4 Hz
B. 3 Hz
C. 2 Hz
D. 1 Hz
HD:
M1
M2
- Vì gia tốc biến thiên điều hòa nên ta có thể biểu
diễn gia tốc bằng một véctơ quay.
 100 Aω2 a
-Aω2
-100
- Trong thời gian T/3, véctơ quay quét được góc:
O
2π
∆ = ω.t =
3
M4
M3
→ Các véctơ quay biểu diễn độ lớn của a không
vượt quá 100cm/s2 như hình vẽ.
π
π
→ Từ hình vẽ ta có:  = → A.ω2.cos = 100 → ω = 2π → f=1Hz → Đáp án D.
3
3
Ví dụ 9 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang
với tần số góc  . Vật nhỏ của con lắc có khối lượng 100g. Tại thời điểm t = 0, vật

nhỏ qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Tại thời điểm t = 0,95s, vận tốc v và li
độ x của vật nhỏ thỏa mãn v  x lần thứ 5. Lấy 2  10 . Độ cứng của lò xo là
A. 85 N/m
B. 37 N/m
C. 20 N/m
HD:
- Ta có phương trình dao động của vật là:

D. 25 N/m
M1


M2

A
2

3π A
4 2
M0

x

18


� �
x  A cos �
t  �
2�

�
- Vận tốc v  x (v và x trái dấu nhau) ứng với
trường hợp vật hướng về vị trí cân bằng.
A
2
2
- Khi t = 0,95s: v  � A  x  x � x  �
2
- Vật qua vị trí thỏa mãn v  x tương ứng vectơ quay ở M1 và M2.
- Mỗi chu kì vật qua v  x hai lần, do đó lần thứ 5 thỏa mãn thì vectơ quay quét
được góc:   2.2 

3
4

3
3
k
 .t � 2.2 

.0,95 � k  25 N m → Đáp án D.
4
4
m
Ví dụ 10 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ khối lượng
100g đang dao động điều hòa theo phương ngang, mốc tính thế năng tại vị trí cân
- Ta có:   2.2 

bằng. Từ thời điểm t1 = 0 đến t 2   48  s  , động năng của con lắc tăng từ 0,096J
đến giá trị cực đại rồi giảm về 0,064J. Ở thời điểm t 2, thế năng của con lắc bằng

0,064J. Biên độ dao động của con lắc là
A. 5,7 cm
B. 7,0 cm
C. 8,0 cm
D. 3,6 cm
HD:
- Tại thời điểm t1 = 0:
M0
M1
Wđ  0,096J; Wt  W  Wđ  0,032
Wđ A  x
A


3
�
x

�
Wt
x2
2
2

�

A
- Tại thời điểm t2: Wđ  Wt � x  �
2
Có: sin  

β α

2



A
2

A
2

x

x
x0 1

2

5
 �   ; sin   1 
�   �      
A 2
6
A
2
4
12

t  t 2  t1 



1
2W
�
 20rad / s � W  m2A 2 � A 
 8cm

t
2
m2

→ Đáp án C.
1.3.3. Bài tập tự giải.
Bài 1 (ĐH - 2009). Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g. Con lắc dao
động điều hòa theo một trục cố định nằm ngang với phương trình x = Acost. Cứ

19


sau những khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau.
Lấy 2 =10. Lò xo của con lắc có độ cứng bằng
A. 50 N/m
B. 100 N/m
C. 25 N/m
D. 200 N/m
Bài 2. Vật dao động điều hoà có phương trình x=Acos(2πt-π/3) cm. Sau khoảng
thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm t=0 thì thế năng của vật tăng lên 3

lần so với thời điểm ban đầu?
1
1
1
1
A. s
B.
s
C. s
D. s
6
3
4
12
Bài 3. Vật dao động điều hòa, trong mỗi chu kì, thời gian vật có động năng lớn hơn
3 lần thế năng là 0,2s. Trong mỗi chu kì, thời gian để tốc độ của vật nhỏ hơn 1/2
tốc độ cực đại là
A. 0,3s
B. 0,2s
C. 0,6s
D. 0,4s
Bài 4. Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật 100g và lò xo có độ cứng 100N/m.
Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng để lò xo giãn 3cm rồi truyền cho vật
vận tốc đầu là 20π 3 cm/s. Lấy, g=π2=10. Biết tại thời điểm t=0,05s thì vật đi qua
vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng theo chiều âm và đang chuyển động nhanh
dần. Phương trình dao động của vật là
A. x = 4cos(10πt-π/6) cm
B. x = 4cos(10πt+π/3) cm
C. x = 3 cos(10πt-π/6) cm
D. x = 4cos (10πt+π/6) cm

Bài 5. CLLX treo thẳng đứng. Khi vật ở VTCB thì lò xo dãn ∆ℓ 0. Kích thích cho
con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với chu kì T thì thấy thời gian
mà độ lớn gia tốc của con lắc không lớn hơn gia tốc rơi tự do g tại nơi đặt con lắc
là T/3. Biên độ dao động A của con lắc bằng
A. 2.l
B. 3.l
C. l 2
D. 2.l
Bài 6. Vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại là 3m/s và gia tốc cực đại là
30π (m/s2). Thời điểm ban đầu vật có vận tốc 1,5 3 m/s và thế năng đang giảm.
Hỏi vào thời điểm nào sau đây vật có gia tốc bằng 15π (m/s2)?
A. 0,1 s
B. 0,15 s
C. 0,2 s
D. 0,3 s
Bài 7. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt - π 3)cm . Thời điểm
vật có tốc độ bằng nửa tốc độ cực đại lần thứ 2014 trong quá trình dao động là
A. 402,7s
B. 204,5s
C. 201,3s
D. 405,9s
Bài 8. Vật dao động điều hoà thực hiện 10 dao động trong 5s, khi vật qua VTCB
thì có vận tốc 62,8cm/s. Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí có li độ x= 2,5 3 cm
và đang chuyển động về VTCB. Vật có động năng bằng ba lần thế năng lần thứ hai
kể từ khi bắt đầu chuyển động vào thời điểm
A. 0, 25s
B.1,25s
C. 0,125s
D. 2,5s
Bài 9. Con lắc đơn có chiều dài ℓ=144cm. Từ VTCB kéo vật nặng để dây treo lệch

khỏi phương thẳng đứng một góc nhỏ, rồi thả nhẹ để con lắc dao động điều hòa.
Lấy g=10m/s2, 2=10. Thời điểm đầu tiên kể từ lúc thả vật đến lúc véctơ gia tốc
của vật có phương nằm ngang là
A. 0,8 s
B. 0,2 s
C. 0,6 s
D. 0,3 s
Bài 10. Trong dao động điều hòa, thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp vật đi qua
vị trí động năng bằng thế năng là 0,66s. Giả sử tại thời điểm nào đó vật đi qua vị trí
20


có thế năng Wt, động năng Wđ, và sau đó 1 khoảng thời gian ngắn nhất Δt thì vật
qua vị trí có động năng tăng 3 lần, còn thế năng giảm 3 lần. Tìm Δt.
A. 0,11s
B. 0,22s
C. 0,33s
D. 0,44s
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ĐA

A
B
B
A
D
C
C
C
D
B
II.2. Xác định quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian ∆t.
2.1. Phương pháp giải.
Xét vật dao động điều hòa theo phương trình x=Acos(ωt+φ).
Để tìm quãng đường s mà vật đi được trong khoảng thời gian t (giả sử kể từ thời
điểm t=0), ta có thể dùng phương pháp vectơ quay:
- Tìm góc quét được trong thời gian t: α = ωt.
- Nếu α = k.2π, với k nguyên hoặc bán nguyên (k=0,5; 1; 1,5; 2;…) thì: s=k.4A.
- Nếu k không nguyên, không bán nguyên thì phân tích:
α = k1.2π + β, với k1 nguyên (k1=0; 1; 2;…); β < 2π.
+ Góc quét k1.2π tương ứng với vật đi được quãng đường: s1 = k1.4A.
+ Góc quét β tương ứng với vật đi được quãng đường s 2. Để tìm s2 ta có thể làm theo
các bước:
uuuuu
r
• Vẽ đường tròn, biểu diễn vectơ OM 0 tại t=0.
uuuuu
r
• Sau khi vectơ quay quét được góc k1.2π thì nó trở lại OM 0 , trên đường tròn ta biểu
uuuuu
r

uuuuu
r
diễn góc β là góc quét từ OM 0 đến OM 1 . Dựa vào hình vẽ để tìm s2.
2.2. Ví dụ minh họa.
π
Ví dụ 1: Cho vật dao động điều hòa có phương trình: x=10sin(10t– )cm. Tính
2
quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian

8π
s kể từ thời điểm t = 0.
15

HD:
- Góc quét trong thời gian t =

8π
4
s  4 
15
3
- Với góc quét 4π (vectơ quay lại trở về M0)
thì vật đi được quãng đường tương ứng là:
s1 = 2.4A = 2.4.10 = 80cm
  .t  10.

M1

8π
s:

15
-10
M0

O
O  5

10
x

21


4
(vectơ quay quét từ OM0 đến OM1) thì vật đi được quãng
3
đường tương ứng là: s2 = 20+5 = 25cm
- Với góc quét  

- Vậy quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian

8π
s kể từ thời điểm t = 0
15

là: s = s1 + s2 = 80 + 25 = 105cm
π
Ví dụ 2: Cho vật dao động điều hòa có phương trình: x=8cos(3πt- )cm. Tính
2
quãng đường vật đi được sau

11
s kể từ thời điểm t = 0.
18

HD:
- Tại t = 0: x = 0 và v < 0 → vật chuyển động
theo chiều âm.
11
5π
- Tại t =
s: α = ω.t = π +
18
6
- Từ hình vẽ suy ra quãng đường vật đi được
là: S = 3.8 + 4 = 28cm

-4 α
-8

O

M

x

8

M0

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x=4cos(2πt +

π
)cm.
3

Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75s kể từ lúc t = 0.
HD:
- Biểu diễn vectơ OM0 ở thời điểm t = 0.
- Trong thời gian 3,75s, vectơ quay quét được góc: α = ω.t = 2π.3,75 = 7,5π
→ Phân tích: α = 3.2π + 1,5π

M0

- Góc quét α1 = 3.2π, tương ứng vật đi được
quãng đường là: s1 = 3.4A = 3.4.4 = 48cm.

-4

O

- Góc quét α2 = 1,5π, tương ứng vectơ quay quét từ

+
Δφ x
2
4
M

OM0 đến OM, khi đó vật đi được quãng đường là:

s2 = 12 + ( 2 3  2 ) = 13,46 cm.
- Vậy tổng quãng đường mà vật đi được là: s = s1 + s2 = 61,46 cm.

22


Ví dụ 4: Con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình x = 12cos(50t -

π
)
2

cm. Tìm quãng đường vật đi được trong khoảng
thời gian t =

π
s kể từ lúc bắt đầu dao động.
12

HD:

uuuuu
r
- Ta biểu diễn vectơ quay OM 0 tại thời điểm t=0

s2= 12cos600

-12

0

300

trên vòng tròn.
- Trong khoảng thời gian t =

12

600

N

π
s kể từ lúc bắt đầu
12

dao động, vectơ quay quét được góc: α = ω.t = 50.

M0

π 25π
=
12
6

25π (24 +1)π
π
π
=
= 2.2π + ; Vậy Δφ1 = 2.2π và Δφ2 =

6
6
6
6
- Khi quét góc: Δφ1 = 2.2π thì s1 = 2.4.A = 2.4.12 = 96cm, (quay 2 vòng quanh M0)
π
- Khi quét góc: Δφ2 = , vectơ quay quét từ M0 → N thì: s2 = 12cos600 = 6cm
6
- Quãng đường tổng cộng là: s = s1+ s2 = 96 + 6 = 102cm
- Phân tích góc quét: α =

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = 4cos(4πt+/3)cm.
Tính quãng đường vật đi được:
- trong t=2s từ vị trí ban đầu.
- trong 3,25s kể từ vị trí x= -2 cm ngược chiều dương.
- trong 2,325s từ vị trí cân bằng theo chiều dương.
HD:
- Tại t = 0, vectơ quay ở OM0.
- Trong t=2s: véctơ quay quét được góc :  = 2.4π = 8π
→ Quãng đường dao động điều hòa đi được là: s=4.4.A = 64 cm.
- Trong 3,25s: Véctơ quay quét được góc:
M0

 = 3,25.4π = 13π
→ Quãng đường vật đi là: s = 13.2.A = 104cm
- Trong 2,325s: Véctơ quay quét được góc 
= ω.t = 9,3π = 9π + 0,3π. Biểu diễn véctơ quay
ở vị trí cuối OM1 như hình vẽ (0,3π = 540).

x

-4

2

4

0

30 240

M1

23


→ Từ hình vẽ, tìm được quãng đường đi được
là: s = 9.2.4 + 4.sin300 + 4.sin240 = 75,63cm
Ví dụ 6: Một vật m=1kg dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình
x=Acos(t +). Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng O. Từ vị trí cân bằng ta kéo vật
theo phương ngang 4cm rồi buông nhẹ. Sau thời gian t =

π
s kể từ lúc buông tay
30
M

vật đi được quãng đường dài 6cm. Tính cơ năng của vật.
HD:
- Biên độ dao động: A=4cm.
- Chọn t=0 là lúc buông tay ở biên dương

uuuuu
r
→ vectơ quay ở OM 0 .
→ Sau t =

O

M0
4 x

-2

π
s, vật đi quãng đường 6cm thì vật đến vị trí x=-2cm → vectơ quay ở
30

uuuu
r
2π
OM . Từ hình vẽ ta có: Góc quay: α = ω.t =
3
mω2 A 2
= 0,32J.
2
Ví dụ 7 (ĐH 2014): Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một quỹ đạo thẳng dài
14cm với chu kì 1s. Từ thời điểm vật qua vị trí có li độ 3,5cm theo chiều dương
đến khi gia tốc của vật có độ lớn cực tiểu lần thứ hai, vật có tốc độ trung bình bằng
bao nhiêu?
A. 27,3cm/s
B. 28,0cm/s

C. 27,0cm/s
D. 26,7cm/s
HD:
14
- Ta có: A   7cm .
2
- Lần thứ 2 gia tốc của vật có độ lớn cực tiểu thì
α
3,5
vectơ quay ở OM.
-7
7 x
- Hình vẽ, có: Góc quét từ OM 0 đến OM là:
→ ω = 20 rad/s → Cơ năng của vật là: W =

11
 11
�t   s
6
 12
→ Tương ứng quãng đường vật đi được là:
s = 3,5 + 14 + 7 = 24,5 cm


M

M0

s
Tốc độ trung bình của vật trong thời gian đó là: vTB  �26,7cm s → Đáp án D.

t
24