Chuyên đề liên quan KSHS- Hàm trùng phương

THPT Phạm Thái Bường -
HÀM TRÙNG PHƯƠNG
y=ax
4
+bx
2
+c ( a ≠ 0 )
1/. MXĐ : D= R
2/. y’= 4ax
3
+2bx
y’’= 12ax
2
+2b
3/. Hàm số có 3 cực trò ⇔ y’=0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ab < 0
Hàm số có 1 cực trò ⇔ y’=o có 1 nghiệm phân biệt ⇔ ab ≥ 0
4/.Hàm số có 2 điểm uốn ⇔ y’’=o có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ab<0
hàm số không có điểm uốn ⇔ y’’=o vô nghiệm hoặc nghiệm kép ⇔ab≥0
5/. Đồ thò hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
6/. Hàm số luôn luôn có 1 cực trò trên trục tung
7/. Tọa độ giao điểm của đồ thò và trục hoành là nghiệm hệ phương trình :
4 2
y ax bx c
y 0

= + +

=

⇒ax
4

+bx
2
+c =0 (1)
⇔
2
2
X x 0
aX bX c 0 (2)

= ≥

+ + =

* Đồ thò hsố cắt Ox tại 1 điểm ⇔ (1) có 1 nghiệm
⇔ (2) có nghiệm kép bằng 0 ⇔
a 0
c 0
a 0
0
 =



=



≠




∆ =



*Đồ thò hàm số cắt Ox tại 2 điểm pbiệt ⇔ (1) có 2 nghiệm
⇔ (2) có đúng 1 nghiệm dương ⇔
(2) có1 nghiệm kép dương
(2) có2nghiệmtráidấu



⇔
0
S 0
P 0

∆ =



>



<

( nếu a có chứa tham số , xét trường hợp a =0 )
*Đồ thò hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm
⇔ (2) có 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm bằng 0, 1 nghiệm dương

⇔
0
P 0
S 0
∆ >


=


>

1
THPT Phạm Thái Bường -
*Đồ thò hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm p⇔ (2) có 2 nghiệm
dương ⇔
a 0
0
P 0
S 0
≠


∆ >


>


>


*Đồ thò hàm số và Ox không cắt nhau (không có điểm chung )
⇔(1) vô nghiệm ⇔
(2)vônghiệm
(2) có2 nghiệm âm phân biệt



⇔
a 0
0
0
P 0
S 0
 ≠



∆ <



∆ >



>





<


Bài 1 : Cho hàm số : y= x
4
-mx
2
+2m+5 (C
m
)
a/. Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m= -2
b/. Đònh m để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
c/. Tính diện tích hình phẳng bởi (C) và đường thẳng y=4
Bài 2 : cho hsố : y=x
4
+2(m-2)x
2
+m
2
-5m+5 (C
m
)
a/. Đònh m để hàm số (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
b/. Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m=1
c/. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua A (

2,1)
Bài 3: Cho hàm số : y= (m+1) x
4
-4mx
2
+2 (C
m
)
a/.Khảo sát hàm số và vẽ (C) khi m=1
b/. Dùng đồ thò (C) , biện luận theo k số nghiệm phương trình :
2(x
2
-1)
2
- k =0
c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y =2
Bài 4 : Cho hàm số y= ax
4
+bx
2
+c
a/. Tìm a,b c biết đồ thò cắt trục Oy tại điểm có tung độ bẵng 4, cắt trục Ox tại điểm có
hoành độ bằng -2 và tại điểm x=-1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6
b/. KSHS với a,b,c vừa tìm được và vẽ (C)
c/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
d/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 5: a/. KSHS : y=- x
4
+5x
2

-4
b/. Đònh m để phương trình : x
4
-5x
2
-m
2
+
3
. m =0 có 4 nghiệm pbiệt
Bài 6 : y=x
4
-mx
2
+4m -11
a/. KSHS với m=4 và vẽ (C)
b/. Dùng đồ thò (C) , biện luận theo a số nghiệm phương trình :
x
4
-4x
2
+5-a=0
2
THPT Phạm Thái Bường -
c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và y=5
Bài 7: y= x
4
+ax
2
+b

a/. Xác đònh a,b để đồ thò nhận điểm I (
3 4
; )
3 9
làm điểm uốn
b/. KSHS với a,b tìm được ở câu a
c/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành .
Bài 8: y=x
4
-x
2
+1 đồ thò (C)
a/. KSHS
b/. Tìm A ∈ Oy kẻ đến (C) được 3 tiếp tuyến
c/. Biện luận theo m số nghiệm phương trình :-x
4
+x
2
+m =0
HD: ptdt d qua A , hsg k : y= kx +n ( A (0,n) )
ĐKTX ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm
4 2
3
x x 1 kx n (1)
4x 2x k (2)

− + = +

− =


⇒ 3x
4
-x
2

+n -1 =0
YCBT ⇔
0
P 0
S 0
∆ >


=


>

⇔ A(0,1)
Bài 9 : y=x
4
+mx
2
-(m+1) (C
m
)
a/. Tìm giá trò của m để các tiếp tuyến với (C
m
) tại M
1

, M
2
vuông góc với nhau
b/. KSHS với m= -2
Bài 10 : y= mx
4
+ ( m
2
-9 ) x
2
+10
a/. KSHS khi m=1
b/. Tìm m để hàm số có 3 cực trò
Bài 11 : y= x
4
-2mx
2
+ m
3
- m
2
( C
m
)
a/. KSHS khi m=1
b/. Đònh m để (C
m
) tiếp xúc Ox tại 2 điểm phân biệt
HD bài 11 :
phương trình hoành độ giao điểm của (C

m
) và Ox
x
4
-2mx
2
+m
3
-m
2
=0 (1) ⇔
2
2 3 2
X x 0
X 2mX m m 0 (2)

= ≥

− + − =

Ycbt ⇔ (2) có nghiệm kép dương ⇔ m=2
Bài 12 : y=-x
4
+2(m+1) x
2
-2m -1 (C
m
)
a/.Đònh m để (C
m

) cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng
b/. Gọi (C) là đồ thò khi m=0 .Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến với đồ thò (C) .
HD: a/. ÷
2 1 1 2
X ; X ; X ; X− −
⇒ 9X
1
=X
2
⇒10X
1
=X
1
+X
2
y=-x
4
+2(m+1)x
2
-2m-1
2
2
X x 0
X 2(m 1)X 2m 1 0

= ≥
⇔

− + + − − =


3
THPT Phạm Thái Bường -
X
1
=
1
(m 1)
5
+
X
2
=
9
(m 1)
5
+ ⇒m=4 hoặc m=
4
9
−
b/. M(0,a) ∈Oy
ptđt (d) : y=kx+a
d tiếp xúc (C) ⇔Hệ phương trình sau có nghiệm

4 2
3
x 2x 1 kx a (1)
4x 4x k (2)

− + − = +


− + =

⇒ 3x
4
-2x
2
-1-a =0 (*)
Ycbt ⇔ (*) phải có nghiệm x=0 ; x=0 là nghiệm của (*) ⇒ a= - 1
Vậy : M(0; - 1)
Bài 13 : y= x
4
- 5x
2
+4
a/. KSHS
b/. Tìm m để đường thẳng y =m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt
c/. Tìm m để (C) chắn trên đường thẳng y=m 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau
HD: b/.
9
m 4
4
− < <
b/. Với điều kiện trên : x
1
<x
2
<x
3
<x

4
⇒x
1
= - x
4
; x
2
= x
3
ycbt ⇔ x
4
= 3 x
3
⇔m=
7
4
Bài 14: y= (1-m ) x
4
-mx
2
+2m -1 (C
m
)
a/. Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trò
b/. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x =1
c/. KSHS với m tìm được ở câu b , đồ thò (C)
d/. Đònh m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
e/. Dùng đồ thò( C) , biện luận theo k số nghiệrm phương trình :
x
2

. (x
2
-2) -3k=0
Bài 15: y = -x
4
+2mx
2
+m+1 (C
m
)
a/. KSHS khi m = - 1
b/. Với những giá trò nào của m thì (C
m
) luôn luôn lồi ?
c/. Khi m=1 tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
0;2
Bài 16: y= kx
4
+ (k-1)x
2
+ (1-2k)
a/. Đònh k để đồ thò của hàm số chỉ có 1 cực trò
b/. KSHS khi k=
1
2
có đồ thò (C)
c/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) qua gốc toạ độ
Bài 17: y =
4

2
x 5
3x
2 2
− +
4
THPT Phạm Thái Bường -
a/. KSHS và vẽ (C)
b/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y=
5
2
c/. Viết pttt của (C) qua A(
5
0; )
2
Bài 18 : y= m
2
x
4
-mx
2
-1 (C
m
)
a/. KSHS khi m=1 , đồ thò (C)
b/. Viết pttt với đồ thò (C) biết tiếp tuyến // đường thẳng 2x +y -1=0
c/. Tìm m để hàm số đã cho chỉ có 1 cực trò
Bài 19 : y = x
4
-2(m+2)x

2
+2m+3 (C
m
)
a/. Đònh m để đồ thò (C
m
) của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số cộng
b/. KSHS
c/. Tuỳ theo giá trò của k , biện luận số nghiệm phương trình :
x
4
-10x
2
+k =0 bằng phương pháp đồ thò và bằng phép tính
Bài 20 :
Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ 2m + m
4

1) Tìm m để hàm số có ba điểm cực tri, và 3 điểm cực trò của đồ thò tạo thành một tam giác
dều.
2) Khảo sát khi m = 1. Tìm trên đồ thò các điểm mà tiếp tuyến tại đó còn có hai điểm chung
với đồ thò ( k
o
kể tiếp điểm).
Bài 21 :
Cho hàm số :

( )
( )
4 2 2
y mx m 9 x 10 1= + − +
1/. Khảo sát hàm số khi m= 1
2/. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị ĐHKB-2002
Bài 22: : Cho hàm số :
( )
4 2
y x mx m 1 1= − + −
1/. Khảo sát hàm số khi m=8
2/. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hồnh tạI 4 điểm phân biệt có
hồnh độ lập thành cấp số cộng
Bài 23: Cho hàm số
4 2
1 5
y x 3x
2 2
= − +
( C )
Cho điểm M trên (C ) có hồnh độ x= a với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C )
tại M cắt (C ) tại hai điểm khác với M .
Giải : Phương trình tiếp tuyến tại M có hồnh độ x=a là :
y=( 2a
3
-6a).(x –a)+
4 2
1 5
a 3a
2 2

− +
=
2 4 2
3 5
2a(a 3)x a 3a
2 2
− − + +
PThđgđ của © và D;
4 2 2 4 2
1 5 3 5
x 3x 2a(a 3)x a 3a
2 2 2 2
− + = − − + +
( )
( )
2
2 2
x a . x 2ax 3a 6 0⇔ − + + − =
Ycbtthì phương trình x
2
+2ax+3a
2
-6=0 phải có hai nghiệm phân biệt khác a
2 2
2 2 2
a 3a 6 0
3 a 3
a 2a 3a 6 0
a 1


 ′
∆ = − + >
− < <

⇔ ⇔
 
+ + − ≠
≠ ±



5