SKKN phân loại các dạng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (oxy)

HỌ VÀ TÊN: PHẠM THỊ THƯƠNG HIỂN
MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN LOẠI CÁC DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ (OXY).

3


I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Lý do chọn đề tài, sáng kiến, giải pháp.
Viết phương trình đường thẳng là phần toán hay và khó, là phần kiến thức quan
trọng trong toán học nói chung và toán trong chương trình THPT nói riêng.
Qua thực tế giảng dạy nội dung này ở chương trình toán học trung học phổ
thông cụ thể là chương trình toán lớp 10, tôi nhận thấy đại đa số học sinh đều e
ngại, thấy sợ phần kiến thức này, chỉ có một số rất ít học sinh học được và yêu
thích phần hình học hệ trục tọa độ. Nguyên nhân là nội dung của phần kiến thức
này là rất nhiều, rất khó tuy nhiên trong chương trình toán THPT lại chỉ có 6 tiết
chính khóa và 4 tiết tự chọn nên không thể đòi hỏi các em các kỹ năng cao về
các phương pháp và phân loại các dạng viết phương trình đường thẳng trong mặt
phẳng tọa độ Oxy. Là một giáo viên dạy toán tôi luôn tâm huyết làm thế nào đó
để các em có thể tiếp cận cách viết phương trình đường thẳng một cách tự nhiên
dể dàng, từ đó không ngừng sáng tạo đưa ra những cách giải quyết hay độc đáo.
Trên thị trường thực tế không thiếu các sách tham khảo hay viết về phần viết
phương trình đường thẳng tuy nhiên hầu hết đều chú trọng đến học sinh khá
giỏi, người đọc đuợc, hiểu được đều phải có một trình độ nhất định, thường các
em học sinh đều hiểu một cách thụ động nên nhiều khi gặp các bài tập mới lạ
các em thường không khả năng tự giải quyết.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các bài toán viết phương trình đường

thẳng trong mặt phẳng rất đa dạng, đó là những bài toán tương đối khó đối với
học sinh phổ thông. Khi giải các bài toán này nếu áp dụng các phép biến đổi
thông thường học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải toán và làm bài tập
trắc nghiệm. Vì thế mà học sinh không làm được bài, hoặc rất dài dòng trong lời
giải, mất nhiều thời gian có thể dẫn đến kết quả sai hoặc bế tắc trong quá trình
hoàn thành lời giải bài toán. Khi đó việc phân biệt các phương pháp giải để giải
quyết các bài toán. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
Thông qua đề tài nghiên cứu: Phân loại các dạng viết phương trình đường
thẳng trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tôi mong muốn chia sẽ một số kinh
nghiệm cá nhân nhằm giúp học sinh khắc phục những khó khăn khi làm các bài
tập về phương trình đường thẳng, tích cực chủ động hơn trong việc tiếp thu, lĩnh
hội kiến thức.
2. Điểm mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp.
2.1. Điểm mới của đề tài.
Đã có nhiều tài liệu viết về cách viết phương trình đường thẳng trong mặt
phẳng nhưng đại đa số lại viết cho đối tượng học sinh khá giỏi học sinh các lớp
chuyên chọn. Chưa nhìn thấy đuợc những khó khăn trong quá trình tiếp cận của
học sinh. Qua thực tế giảng dạy với phương pháp đặt học sinh làm trung tâm,
qua quá trình trao đổi với người học tôi đi đến kết luận:
Người học yếu về viết phương trình đường thẳng do những nguyên nhân sau:
Nguyên nhân khách quan:
- Do hệ thống kiến thức vừa dài lại vưa khó trong khi trong phân phối thời lượng
lại quá ngắn
4


- Do chất lượng đầu vào còn thấp
- Chưa tìm ra phương pháp phù hợp
Nguyên nhân chủ quan:
- Khả năng tự học của học sinh còn thấp

- Đa số học sinh cho rằng đây là phần toán khó, chỉ có trong đề thi ở câu khóa
hay phân loại nên thường ít quan tâm
- Giáo viên dạy chưa tâm huyết với nội dung này
2.2. Sáng kiến của đề tài.
Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học sinh biết cách viết phương trình tổng
quát của đường thẳng trong mặt phẳng. Từ đó học sinh không còn áp lực với các
bài toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng các em làm bài có hiệu
quả hơn
2.3. Giải pháp của đề tài.
- Người giáo viên lên lớp phải có sự chuẩn bị chu đáo, công phu trong các
tình huống đã được lường trước. Muốn làm được điều đó đòi hỏi chúng ta phải
bắt tay giải các bài toán đó trước tránh cho chúng ta tính ỷ lại hay sao chép máy
móc.
- Học sinh được tiếp cận với vấn đề một cách tự nhiên, đặt ra các vấn đề cần
giải quyết qua từng ví dụ và định hướng suy luận của giáo viên. Từ đó rèn luyện
kỹ năng quan sát phân tích, tìm tòi và nghiên cứu của các em.

5


II. NỘI DUNG
1. Thực trạng
1.1 Về phía giáo viên
Sử dụng tương đối tốt các kĩ năng về tình toán và phân dạng các cách viết
phương trình mặt phẳng.
Tuy nhiên bài toán viết phương trìnhđường thẳng trong mặt phẳng nhiều nội
dung nên việc giải các bài toán đó còn gặp nhiều khó khăn và chưa thật sáng tạo.
Tài liệu thư viện chưa đủ nhiều nên tài liệu tham khảo còn hạn chế
1.2. Về phía học sinh
Đa số học sinh chưa chủ động trong quá trình học tập và tự luyện, các em còn

chưa nhận dạng đầy đủ các dạng toán, ngại khó
Điều kiện học tập còn khó khăn các em rất ít có máy tính casio để thực hành
tính toán hoặc tiếp cận với các kiến thức mới.
1.3. Điều tra cụ thể
Qua điều tra tôi nhận thấy rằng: hầu hết kỉ năng giải toán của các em còn yếu,
chỉ dừng lại ở mức độ vận dụng thấp. Cụ thể:
Lớp
TSH Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
S
SL TL
SL TL
SL TL
SL TL
SL TL
10A1 43
6
13,9
22 51,2
10 23,3
4
9,3
1
2,3
0
%
%

%
%
%

6


2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Kiến thức cơ bản cần biết.
a. Phương trình tổng quát.
Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a2 + b2  0 được gọi là phương
trình tổng quát của đường thẳng.
 Nhận xét:
r
+ Phương trình đường thẳng đi qua M(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến n = (a; b):
a(x – x0) + b(y – y0) = 0
r
+ Nếu : ax + by + c = 0 thì  có: vectơ pháp tuyến n = (a; b) và vectơ chỉ
r
phương u = (b; –a)
Các trường hợp đặc biệt
Cho : ax + by + c = 0 (1)
� c�
c
0;  �

�
b�
�
b

 Nếu a = 0 thì (1): y =
   Oy tại
�c �
c
 ;0�
�
a �
�
a
 Nếu b = 0 thì (1): x =
   Ox tại
 Nếu c = 0 thì (1) trở thành: ax + by = 0  đi qua gốc toạ độ O.
x
y
c
c

1


a
b0
 Nếu a, b, c  0 thì (1)  0
(2) với a0 = a , b0 = b .
(2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
b. Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa
Trong mặt phẳng Oxy, cho  đi qua M0(x0; y0) và có vectơ chỉ phương
r
u  (u1;u2)

. Phương trình tham số của :
�x  x0  tu1
�y  y  tu
2
� 0
(1)
 Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên 
Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng
u2
r
u
 Cho  có vectơ chỉ phương u  (u1;u2) với u1  0 thì  có hệ số góc k = 1
 Phương trình  đi qua M0(x0; y0) và có hệ số góc k: y – y0 = k(x – x0)
c. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Xét 2 đường thẳng:
1: a1x + b1y + c1 = 0 và 2: a2x + b2y + c2 = 0
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của phương trình:
�
a1x  b1y  c1  0
(I )
�
a2x  b2y  c2  0
�


7


 1 cắt 2  (I) có 1 nghiệm
 1 // 2  (1) vô nghiệm

 1  2  (1) có vô số nghiệm.
d. Góc giữa 2 đường thẳng
 Hai đường thẳng 1, 2 cắt nhau tạo thành 4 góc (1  2). Góc nhọn trong 4
góc đó được gọi là góc giữa 1
+ 1  2  (1, 2) = 900
+ 1 // 2  (1, 2) = 00

�,  


và  . Kí hiệu ( ,  ) hoặc 1 2 .
2

1

2

00  ( 1,  2)  900
 Cho 1: a1x + b1y + c1 = 0; 2: a2x + b2y + c2 = 0
Đặt  = (1, 2).
r r
a1a2  b1b2
n1.n2
r r
r r
n1 . n2
a12  b12 . a22  b22
cos(n1,n2)
cos =
=

 cos =
2.2. Phân loại các dạng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
(Oxy).
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d khi biết một vectơ pháp tuyến
(A; B) và một điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng d.
a. Cách viết:
d

Phương trình của đường thẳng d có vectơ pháp tuyến (A; B) và một điểm M(x0;
y0) thuộc đường thẳng d là:
A(x – x0) + B(y – y0) = 0
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Phương trình của đường thẳng d có vectơ pháp tuyến (1; -2) và một
điểm M( 3; -5) thuộc đường thẳng d là:
(x – 3) – 2(y + 5) = 0
 x – 2y – 13 = 0.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; 2); B(3; 4); C(4; 1). Viết phương trình
đường cao AH của tam giác ABC.
Giải
Đường cao AH của tam giác ABC vuông góc với BC nên nhận vectơ (1; -3) làm
vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường cao AH là:
(x – 1) – 3(y – 2) = 0
8


 x – 3y + 5 = 0.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d khi biết một vectơ chỉ phương (a;
b) và một điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng d.

a. Cách viết:
d

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương (a; b) nên nhận vectơ (b; -a) làm vectơ
pháp tuyến.
Phương trình của đường thẳng d có vectơ pháp tuyến (b; -a) và một điểm M(x0;
y0) thuộc đường thẳng d là:
b(x – x0) - a(y – y0) = 0
b. Ví dụ:
Ví dụ 3: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( 1; 5) và có vectơ chỉ
phương (1; -2).
Giải
Ta có: (1; -2) suy ra (2; 1).
Phương trình của đường thẳng d đi qua M( 1; 5) và có vectơ pháp tuyến
(2; 1) là:
2(x – 1) + (y – 5) = 0  2x + y – 7 = 0.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M, N.
a. Cách viết:
N
M
Tính tọa độ vectơ .
Đường thẳng d nhận làm vectơ chỉ phương, khi đó ta viết phương trình đường
thẳng d theo dạng 2.
b. Ví dụ:
Ví dụ 4: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( 1; 5) và N(2; 6).
Giải
Ta có: (1; 1) suy ra (1; -1).
Phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; 5) và có vectơ pháp tuyến (1; -1) là:
(x – 1) – (y – 5) = 0
 x – y + 4 = 0.

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( x0; y0 ) và song song
với đường thẳng d’: ax + by + c = 0 cho trước.
a. Cách viết:
9


Cách 1:
Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của d’.
Do d song song d’ nên d nhận làm vectơ pháp tuyến.
d
d
d’

Khi đó ta viết phương trình đường thẳng d theo dạng 1.
Cách 2: Vì d song song với d’ nên d có dạng: ax + by + m = 0.
M(x0; y0) thuộc d nên ta có: ax0 + by0 + m = 0, từ đó suy ra m.
b. Ví dụ:
Ví dụ 5: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( -1; 5) và d song song
với d’: 3x + 2y – 17 = 0.
Giải
Đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến = (3; 2).
Do d song song d’ nên d nhận = (3; 2) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường thẳng d đi qua M( -1; 5) và có vectơ pháp tuyến (3; 2) là:
3(x + 1) + 2(y – 5) = 0
 3x + 2y – 7 = 0.
Ví dụ 6: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( -1; 3) và d song song
với trục hoành Ox.
Giải
Do d song song với Ox nên d có dạng: y + m = 0
Đường thẳng d đi qua M( -1; 3) nên ta có:

3+m=0
 m = – 3.
Vậy d có phương trình: y – 3 = 0.
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( x0; y0 ) và d vuông gốc
với đường thẳng d’: ax + by + c = 0 cho trước.
a. Cách viết:
d’

d

Cách 1: Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của d’.
Do d song song d’ nên d nhận làm vectơ chỉ phương.
Khi đó ta viết phương trình đường thẳng d theo dạng 2.
Cách 2: Vì d song song với d’ nên d có dạng: bx – ay + m = 0.
M(x0; y0) thuộc d nên ta có: bx0 – ay0 + m = 0, từ đó suy ra m.
b. Ví dụ:
10


Ví dụ 7: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( -1; 2) và d vuông gốc
với trục tung.
Giải
Trục tung Oy có vectơ pháp tuyến = (1; 0).
Do d vuông gốc Oy nên d nhận = (1; 0) làm vectơ chỉ phương suy ra d có
vectơ pháp tuyến = (0; 1)
Phương trình đường thẳng d đi qua M( -1; 2) và có vectơ pháp tuyến (0; 1) là:
0(x + 1) + 1(y – 2) = 0  y – 2 = 0.
Ví dụ 8: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( 3; 2) và d vuông gốc
với d’: 3x – 2y – 10 = 0.
Giải

Do d vuông gốc với d’ nên d có dạng: 2x – 3y + m = 0
Đường thẳng d đi qua M( 3; 2) nên ta có:
2.3 – 3.2 + m = 0 m = 0.
Vậy d có phương trình: 2x – 3y = 0.
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( x0; y0 ) và d có hệ số
gốc k cho trước.
a. Cách viết:
Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M( x0; y0 ) và d có hệ số
gốc k cho trước là:
y = k(x – x0 ) + y0.
b. Ví dụ:
Ví dụ 9: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( 1; 2) và d có hệ số góc
k=3
Giải
Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M( 1; 2 ) và d có hệ số
gốc k = 3 là:
y = 3(x – 1 ) + 2 3x – y – 1 = 0.
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( x0; y0 ) và d tạo với Ox
một góc α (00 < α < 900) cho trước.
a. Cách viết:

Đường thẳng d tạo với Ox một góc α (00 < α < 900) khi đó d có hệ số gốc
k = tanα.
Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M( x0; y0 ) và d có hệ số
gốc k cho trước là: y = k(x – x0 ) + y0.
11


b. Ví dụ:
Ví dụ 10: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( 1; -2) và d tạo với Ox

một góc α = 300.
Giải
1
�tan 300  �
3
d tạo với Ox một góc α = 300 nên d có hệ số góc k =
Phương trình của đường thẳng d đi qua M( 1; -2) và d tạo với Ox một góc
α = 300 là:
1
� 1
� 1
y

(
x

1)

2
y

x

2
�
�
3
3
3
�

��
1
1
1
�
�
y


(
x

1)

2
y


x

2
�
�
3
3
3
�
�
Dạng 8: Viết phương trình đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
a. Cách viết:

d

A

I

B

Xác định trung điểm Iucủa
uu
r đoạn thẳng AB.
Tìm tọa độ của vectơ AB
Vì d là trung trực của AB nên d vuông gốc với AB.
uuu
r
AB
Đến đây ta quy về dạng 1 với đường thẳng d qua I và nhận
làm vectơ pháp
tuyến.
b. Ví dụ:
Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB với A(1; 2), B(3; 3). Viết phương trình đường
trung trực d của đoạn thẳng AB.
Giải
5
Đoạn thẳng AB có trung điểm I(2; 2 ).
uuu
r
AB
Đường trung trực d của AB đi qua I và nhận
= (2; 1) làm vectơ pháp tuyến

có phương trình là:
5
2( x  2)  ( y  )  0 � 4 x  2 y  13  0
2
Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d (M không
thuộc d)
a. Cách viết:
Viết phương trình đường thẳng d’ qua M vuông gốc với d (dạng 2).
Hình chiếu H của M trên d là giao điểm của d và d’.
M
12
d
H


b. Ví dụ:
Ví dụ 12: Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2) trên đường thẳng
d: 3x + 4y + 7 = 0.
Giải
Gọi d’ qua M, d’ vuông gốc với d nên d’ có dạng: 4x - 3y + m = 0
Và: 4.1 – 3.2 + m = 0  m = 2
Vậy d’ có phương trình: 4x - 3y + 2 = 0.
H là hình chiếu vuông gốc của M trên d khi đó H là giao điểm của d và d’, tọa
độ của H là nghiệm của hệ phương trình sau:
� 29
x
3x  4 y  7  0 �
�
� 25
��

�
4
x

3
y

2

0
�
�y  22
� 25
29 22
;
25
25 ).
Suy ra H(
Dạng 10: Tìm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d (M không thuộc d)
a. Cách viết:
M

d
H
M’

Viết phương trình đường thẳng d’ qua M vuông gốc với d (dạng 2).
Hình chiếu H của M trên d là giao điểm của d và d’.
Khi đó H là trung điểm của MM’.
b. Ví dụ:

Ví dụ 13: Tìm M’ đối xứng với M(1; 3) qua đường thẳng
d: 3x - y + 7 = 0.
Giải
Gọi d’ qua M, d’ vuông gốc với d nên d’ có dạng: x + 3y + m = 0
Và: 1 + 3.3 + m = 0  m = -10
Vậy d’ có phương trình: x + 3y - 10 = 0.
H là hình chiếu vuông gốc của M trên d khi đó H là giao điểm của d và d’, tọa
độ của H là nghiệm của hệ phương trình sau:

13


11 37
;
Suy ra H( 10 10 ).

� 11
x
�
3x  y  7  0
�
� 10
��
�
�x  3 y  10  0 �y  37
� 10

16
�11 1  xM '
�


xM ' 
�
�
�10
�
2
5
��
�
�37  3  yM '
�y  22
M'
5
�
2
H là trung điểm của MM’ nên ta có: �10
16 22
;
5
5 ).
Vậy M’(
Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua các cạnh của tam giác hoặc
hình chữ nhật hoặc hình vuông...
a. Cách viết:
Vận dụng kiến thức hình học phẳng như tính chất quan hệ song song, quan hệ
vuông gốc, các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng bất kì trong
mặt phẳng…
b. Ví dụ:
Ví dụ 14: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết M(1;2); N(3;5);

P(-1; 0) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, AC.
Giải
A

M

P

C
B

N

Trong tam giác ABC có AB qua M và AB song
uuu
r song với NP (vì N, P lần lượt là
trung điểm của BC, AC). Do đó ABr nhận NP  (4; 5) làm vectơ chỉ phương
nên AB có một vectơ pháp tuyến là n  (5; 4) .
AB có phương trình: 5( x  1)  4( y  2)  0 � 5 x  4 y  3  0
Trong tam giác ABC có BC qua N và BC song
uuur song với MP (vì M, P lần lượt là
trung điểm của BA, AC). Do đó BCr nhận MP  ( 2; 2) làm vectơ chỉ phương
nên BC có một vectơ pháp tuyến là n  (1; 1) .
BC có phương trình: x – y + 2 = 0
14


Trong tam giác ABC có AC qua P và AC song
uuuu
r song với MN (vì M, N lần lượt là

trung điểm của BA, BC). Do đórAC nhận MN  (2;3) làm vectơ chỉ phương nên
AC có một vectơ pháp tuyến là n  (3; 2) .
AC có phương trình: 3x – 2y + 3 = 0
Ví dụ 15: Cho tam giác ABC biết A(1;2); B(3;4); C(6; 0). Lập phương trình các
đường: đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường trung trực d của cạnh AB
của tam giác ABC.
Giải
Trong tam
uuurgiác ABC có đường cao AH qua A và AH vuông gốc với BC. Do đó
AH nhận BC  (3; 4) làm vectơ pháp tuyến.
AH có phương trình: 3( x  1)  4( y  2)  0 � 3 x  4 y  5  0

7
;1
2
Trong tam giác ABC có đường trung tuyến BM qua B(3;4) và M(
) với M là
uuuu
r 1
BM  ( ; 3)
2
trung điểm AC. Do đó BM nhận
làm vectơ chỉ phương khi dó BM
r
có một vectơ pháp tuyến là n  (6;1) .
BM có phương trình: 6( x  3)  ( y  4)  0 � 6 x  y  22  0
Trong tam giác ABC có đường trung trực d của cạnh
uuu
rAB qua I(2; 3) với I là
trung điểm AB và d vuông gốc với AB. Do đó d nhận AB  (2;2) làm vectơ pháp

tuyến.
Trung trực d của AB có phương trình: 2( x  2)  2( y  3)  0 � x  y  5  0
Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(3; 2),
đường cao BH : x + y + 2 = 0, đường phân giác trong CN : x - 2y - 1 = 0. Lập
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Giải
B

N

A
H

Trong tam giác ABC có cạnh AC vuông gốc với đường cao BH.
Do đó AC có dạng: x – y + m = 0.
AC lại qua A(3;2) nên ta có: 3 – 2 + m = 0  m = -1
Vậy AC có phương trình: x – y – 1 = 0.
15

C


C là giao điểm của AC và CN nên tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình:
�x  2 y  1  0 �x  1
��
�
�x  y  1  0
�y  0
Vậy C(1;0).
Gọi A’ đối xứng với A qua CN khi đó A’ thuộc BC.

Gọi d qua A, d vuông gốc với CN nên d có phương trình: 2x + y – 8 = 0.
Gọi I là giao điểm của d và CN khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ phương
� 17
x
�
�x  2 y  1  0
� 5
��
�
2x  y  8  0 � 6
�
y
� 5
trình:
17 6
;
Vậy I( 5 5 ). I là trung điểm của AA’ nên ta có:
17 3  x A '
19
�
�

x

A
'
�
�
�5
�

2
5
�
�
�
�6  2  y A '
�y  2
� A' 5
�5
2
19 2
;
5
5 ).
Suy ra A’(
uuuur 14 2
A ' C ( ; )
5 5 nên BC có một
BC qua C và A’ nên
BC
có
vectơ
chỉ
phương
r
vectơ pháp tuyến là n(1; 7) , BC có phương trình: x – 7y – 1 = 0.
B là giao điểm của BC và BH nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:
� 13
x
�

�x  y  2  0
�
8
��
�
�x  7 y  1  0 �y  3
� 8
13 3
;
8
8 ).
Vậy B(
uuu
r 37 19
AB(  ;
)
8
8
nên AB có một vectơ pháp tuyến là
rAB có vectơ chỉ phương
n(19; 37) , BC có phương trình: 19x – 37y + 17 = 0.
Ví dụ 17: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có
A(3; 3), đường chéo BD : x + y - 4 = 0. Lập phương trình các cạnh của hình
vuông ABCD.
Giải
Trong hình vuông ABCD có cạnh A đối xứng với C qua BD.
Đường chéo AC vuông góc với BD nên AC có dạng: x – y + m = 0.
16

AC qua A nên ta có: 3 – 3 + m = 0  m = 0
Vậy AC: x – y = 0.
Gọi I là giao điểm của AC và BD khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ phương
�x  y  0
�x  2
�
�
�
x y 40
�
�y  2
trình:
Do đó I(2; 2)
� 3  xC
2
�
�
2 � �xC  1
�
�
3

y
yC  1
C
�
�
2
2
I là trung điểm AC nên ta có: �

Vậy C(1; 1).
Buu
u
rthuộc BD nên ta ucó
uu
r B(t; -t + 4)
AB  (t  3; t  1); CB  (t  1; t  3)
Do ABCD là hình vuông nên
uuu
r uuu
r
t 1
�
AB.CB  0 � (t  3)(t  1)  (t  1)(t  3)  0 � t 2  4t  3  0 � �
t 3
�
Vậy B(1; 3) hoặc B(3;1)
+) Với B(1; 3), D đối xứng với B qua
uuu
r I nên D(3; 1)
Cạnh AB qua A(3; 3)rnhận vectơ AB  (2;0) làm vec tơ chỉ phương nên AB có
một vectơ pháp tuyến n  (0;1) . ABuucó
u
r phương trình: y - 3 = 0
Cạnh CB qua B(1; 3) rnhận vectơ CB  (0;2) làm vec tơ chỉ phương nên CB có
một vectơ pháp tuyến n  (1;0) . CBuucó
ur phương trình: x - 1 = 0
Cạnh CD qua D(3; 1) rnhận vectơ CD  (2;0) làm vec tơ chỉ phương nên CD có
một vectơ pháp tuyến n  (0;1) . CDuucó
u

r phương trình: y - 1 = 0
Cạnh DA qua A(3; 3) rnhận vectơ DA  (0;2) làm vec tơ chỉ phương nên DA có
một vectơ pháp tuyến n  (1;0) . CB có phương trình: x - 3 = 0
+) Với B(3; 1), D đối xứng với B qua
uuurI nên D(1; 3)
Cạnh AD qua A(3; 3) rnhận vectơ AD  (2;0) làm vec tơ chỉ phương nên AD có
một vectơ pháp tuyến n  (0;1) . ADuucó
ur phương trình: y - 3 = 0
Cạnh CD qua D(1; 3) rnhận vectơ CD  (0;2) làm vec tơ chỉ phương nên CD có
một vectơ pháp tuyến n  (1;0) . CDuucó
u
r phương trình: x - 1 = 0
Cạnh CB qua B(3; 1) rnhận vectơ CB  (2;0) làm vec tơ chỉ phương nên CB có
một vectơ pháp tuyến n  (0;1) . CB có phương trình: y - 1 = 0
17


uuu
r
BA
 (0;2) làm vec tơ chỉ phương nên BA có
Cạnh BA qua A(3; 3) rnhận vectơ
một vectơ pháp tuyến n  (1;0) . BA có phương trình: x - 3 = 0

Ví dụ 18: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD hai
đường chéo BD : 2x + 3y - 14 = 0 và AC: 2x – 3y + 4 = 0. Lập phương trình một
cạnh d của hình chữ nhật ABCD biết cạnh đó qua M(3; 2).
Giải
r
n

Theo bài ra d qua M(3; 2), gọi  (a; b) là một vectơ pháp tuyến của d khi đó
durcó dạng: a(x – 3) + b(y – 2) = 0.
n1  (2;3) là vectơ pháp tuyến của BD
uu
r
n2  (2; 3) là vectơ pháp tuyến của AC
Theo tính chất hình chữ nhật ABCD có:
rur
r uu
r
nn1
nn2
b0
2a  3b
2a  3b
�

� 2a  3b  2a  3b � �
r r  r r �
a0
n n1
n n2
13 a 2  b 2
13 a 2  b 2
�
+) Với b = 0 khi đó d có phương trình: x – 3 = 0
+) Với a = 0 khi đó d có phương trình: y – 2 = 0
3. BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1: Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng: 2x – 3y + 1 = 0,
cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 3x – y – 13 = 0 . Viết phương trình đường

thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1).
Bài 2: Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD , biết phương trình chứa 2 đường
chéo là d1 : 7x – 4y  2  0 và d2 : 2x  5y – 7  0 . Viết phương trình đường
thẳng chứa cạnh hình chữ nhật, biết đường thẳng đó đi qua điểm M(-3;5).
Bài 3:Cho tam giác ABC có trung điểm AB, AC lần lượt là I(1;3) và J(-3;1).
Điểm A thuộc Oy , và đường thẳng BC đi qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A,
phương trình đường thẳng BC và đường cao vẽ từ B ?
Bài 4 (ĐHD09): Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm AB. Đường trung
tuyến, đường cao xuất phát từ đỉnh A lần lượt là: 7x – 2y – 3 = 0, 6x – y – 4 = 0.
Viết phương trình đường thẳng AC.
Bài 5: Lâp phương trình các cạnh của  ABC, biết đỉnh A(3 ; 1) và hai đường
trung tuyến xuất phát từ B, C có phương trình lần lượt là: 2x– y +1= 0, y – 3= 0.
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trục tâm H(3; 2), phương trình các
đường thẳng AB và AC lần lượt là: 4x  y  3 = 0, x + y  7 = 0. Viết phương
trình đường thẳng chứa cạnh BC.

18


III.KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài.
Việc phân loại các dạng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng đã đem
lại hiệu quả cao trong việc học tập và rèn luyện của học sinh.
Học sinh đã nắm được các dạng cơ bản, rèn luyện nhiều các kĩ năng làm bài tập
và ứng dụng.
Áp dụng trong hình học 10 phần phương trình
Qua điều tra tôi nhận thấy rằng: Sau khi áp dụng việc phân dạng viết phương
trình đường thẳng học sinh đã học tập tiến bộ. Cụ thể:
Lớp
TSH Giỏi

Khá
TB
Yếu
Kém
S
SL TL
SL TL
SL TL
SL TL
SL TL
10A1 43
14 32,6
22 51,2
6
13,9
1
2,3
0
0
0
%
%
%
%
2. Kiến nghị, đề xuất
Sau khi thực nghiệm đề tài này tôi xin đưa ra một số kiến nghị sau:
Cần phát huy tốt việc phân loại các dạng bài tập để học sinh học tập dễ dàng và
hứng thú hơn.
Do khả năng và thời gian có hạn, kết quả của sáng kiến chỉ dừng lại ở bước đầu,
nhiều vấn đề chưa được đi sâu, không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong

được góp ý để hoàn thiện đề tài.

19


IV. Tài liệu tam khảo
[1] Giải toán hình tọa độ phẳngOxy Hứa Lâm Phong
[2] Tổng ôn tập đề thi THPT Quốc gia NXB ĐHQGHN
[3] Tạp chí toán học và tuổi trẻ NXB GD

20


MỤC LỤC
I.
Lý

do

chọn

đề

tài

………………………………………………
Trang 3
II.
Nội

dung……….

………………………………………………
Trang 5
1.Thực

trạng……….

……………………………………………..Tra
ng 5
2.Nội

dung

đề

tài.

…………...

……………………………………Trang 6
2.1 Kiến

thức

cơ

bản

cần

biết..

…………………………………..Trang 6

21


2.2 Phân loại các dạng viết phương trình đường
thẳng

trong

mặt

phẳng

Oxy………………….
……………………………………...Trang 7
Dạng

1………………………..

…………………………………….Trang 7
Dạng

2………………………..

……………………………………Trang 8
Dạng

3………………………..

……………………………………Trang 8
Dạng

4………………………..

……………………………………Trang 8
Dạng

5………………………..

…………………………………….Trang 9

22


Dạng

6……………………..

………………………………….…..Trang 10
Dạng

7………………………..

………………………………..….Trang 10
Dạng

8………………………..

…………………………………...Trang 11
Dạng

9...……………………..

……………………………………Trang 11
Dạng

10……………………..

…………………………………….Trang 12
Dạng

11……………………..

…………………………………….Trang 13
3.Bài

tập

tham

khảo…………...

…………………………………Trang 17

23

III.KẾT

LUẬN………………..

………………………….………Trang 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………..
……………………..Trang 19
MỤC

LỤC…………………..

……………………………………Trang 20

24


ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
THPT NGUYỄN TRÃI
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................

25