GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, hệ PHƯƠNG TRÌNH, CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG ĐẲNG PHÁP cấp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG
ĐẲNG PHÁP CẤP

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy môn toán tôi thấy việc giải phương trình ,hệ
phương trình ,chứng minh bất đẳng thức .Nếu sử dụng các phương pháp
thông thường có khi gặp khó khăn thậm chí không giải quyết trọn vẹn.
Nhưng nếu đưa được về cùng bậc thì việc giải quyết lại rất thuận tiện vì việc
biến đổi khá dể dàng . Sau đây là một số ví dụ minh họa đó củng là phương
pháp giải .
B.NỘI DUNG
I,PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP:
Ở lớp 11việc giải phương trình lượng giác đẳng cấp chỉ nói cho bậc 2 .Thực
ra ta có phương pháp chung cho bậc n là các số nguyên dương.
-Phương trình đẳng cấp bậc nhất:
Dạng : asinx +bcosx = 0 (ab

≠

0 ) (1)
1

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(1)

⇔

tan x = -

b
a

(là phương trình cơ bản )

-Phương trình đẳng cấp bậc hai:
Dạng : asin 2 x + bsinxcosx + c cos 2 x = d (2)
(2)
⇔

⇔

asin 2 x + bsinxcosx + c cos 2 x = d(sin 2 x + cos 2 x)

(a – d) sin 2 x + bsinxcosx + (b – d) cos 2 x = 0

Đây là phương trình mà học sinh đả biết cách giải .
-Phương trình đẳng cấp bậc ba:
Dạng : a sin 3 x + bsin 2 xcosx + c sinxcos 2 x +dcos 3 x = 0 (3)
Xét cos x = 0
Nếu cosx

⇔

x=

π

2

+kπ

⇒

(3) trở thành

±a

=0 (xét trực tiếp )

≠ 0 (Chia hai vế cho cos 3 x )

(3 ) ⇔ a tan 3 x + b tan 2 x + ctan x + d = 0
Đây là phương trình bậc 3 mà ta đả biết cách giải .
Bằng cách tương tự ta giải được phương trình đẳng cấp bậc n ( n ∈ N * )
Ví dụ:

Giải phương trình : 2cos 3 x = sin x (1)
Giải

Nếu không cân bằng bậc thì việc giải sẻ gặp khó khăn , ta làm như sau :
2

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(1)

⇔

2co 3 x = sin x (sin 2 x + cos 2 x )

⇔ sin 3 x + sinxcos 2 x - 2 cos 3 x = 0 (2)

Nếu cosx = 0

⇒

(2) Trở thành :

Chia 2 vế của (2) cho cos 3 x

⇒

±

1 = 0 (vô lí )
(2) ⇔ tan 3 x + tan x – 2 = 0 ⇔

( tan x -1) (tan 2 x + tan x + 2) = 0 (tan 2 x + tan x + 2 > 0)
⇔ tan x - 1 = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔x =

Đáp số : x =

π
4

π
4

+ kπ

+ k π (k ∈ Z)

II,HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP:

1, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 2 ẩn:

a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1 (1)
 2
2
a2 x + b2 xy + c2 y = d 2 (2)

Dạng :

Phương pháp giải :
Ta giải hệ bằng cách khử số hạng tự do ở vế phải để đưa hệ về phương trình
đẳng cấp bậc 2 :

3

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
x
y

x
y

2
2
Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 0 ⇔ y [A( ) + B + C ] = 0

Đây là một phương trình quen thuộc .

 x 2 + 4 xy − 2 y 2 = 3
Ví dụ1; Giải hệ phương trình :  2
2
2 x − xy + 3 y = 4
Giải

4 x 2 + 16 xy − 8 y 2 = 12(1)
Hệ đả cho ⇔  2
2
6 x − 3 xy + 9 y = 12(2)
Trừ theo vế ta được :

 x

x



2
2

2 x 2 − 19 xy + 17 y 2 = 0 ⇔ y  2( ) − 19 + 17  = 0 ⇔
y
 y


y = 0

 2t 2 − 19t + 17 = 0(t = x )
y

2
 x = 3
Nếu : y = 0 hệ trở thành  2
( hệ vô nghiệm)
2 x = 4

4

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
t = 1
Nếu 2t 2 − 19t + 17 = 0 ⇔  17
t =
2

*Với t =1 ⇔x = y

2

3x = 3
Hệ ⇔  2
4 x = 4

⇔x = ± 1

⇔Hệ có 2 nghiệm ( 1; 1) và (-1; -1)

*Với t =

17
17 y
⇔x =
Thay vào hệ ta có
2
2

17 2
 289 2
y
+
4.
y − 2 y2 = 3
 4
2

 289 y 2 − 17 y 2 + 3 y 2 = 4
 2
2
⇔ y2 =

4
⇔y = ±
139

⇔ Hệ có 2 nghiệm (

Đáp số

2
139

17
2
17 2
;
) và (−
;−
)
139 139
139 139

Hệ có 4 nghiêm :
5

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
( 1; 1) ;(-1; -1) ; (

17
2
17 2
17 2
;
) (
;
) và (−
;−
)
139 139 139 139
139 139

Ta có thể đưa một hệ phương trình về một hệ đẳng cấp để việc giải thuận
tiện :
Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình

 x 3 + x( y − z ) 2 = 2
 3
2
 z + z ( x − y ) = 16
 y 3 − y ( z − x ) 2 = 30

Giải
Hệ ⇔

 x( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz = 2

2

2
2
 y ( y + y + z ) − 2 xyz = 30
 z ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz = 16

 x( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz = 2(1)

2
2
2
⇔ ( y − z )( y + y + z ) = 14(2)
( z − x)( x 2 + y 2 + z 2 ) = 14(3)

6

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Từ hệ đả cho ta có xyz ≠ 0
(2) và (3)

Hệ ⇔

⇒

y = 2 z − x Thay vào hệ ban đầu ta có :

2 x 3 − 2 x 2 z + z 2 x = 2(4)


3
2
2
3
−2 x + 6 x z − 9 xz + 5 z = 14 (5)
 y = 2z − x


Lấy (5) – (4).7 ta được

2 x3 − 2 x 2 z + z 2 x = 2
 3
5 z − 16 x z 2 + 20 x 2 z − 16 x 3 = 0 (*)

Hệ ⇔

 y = 2z − x
(*) là phương trình đẳng cấp ( x ≠ 0)

⇒ (*) ⇔

z

5t 3 − 16t + 20t − 16 = 0 (t = x )
⇔t − 2 = 0 (Vì 5t 2 − 6t + 8 > 0)

2 x 3 − 2 x 2 z + z 2 x = 2

 y = 3x
z = 2x



⇔

⇔ (t − 2)(5t 2

⇔t = 2

⇒

− 6t + 8) = 0

z = 2 x Ta có hệ

( x; y; z ) = (1;3; 2)

7

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

( x; y; z ) = (1;3; 2)

Đáp số

III; CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN
Khi chưng minh bất đẳng thức có điều kiện việc đưa hai vế bất đẳng thức
về cùng bậc rất có hiệu quả .Sau đây là một số ví dụ minh họa .

Ví dụ1:
Biết x + y = 2 Chứng minh rằng

x 4 + y 4 ≥ x3 + y 3 (1)

Chứng minh

(1) ⇔ 2( x

4

+ y 4 ) ≥ 2( x 3 + y 3 )

⇔

2( x 4 + y 4 ) ≥ ( x + y )( x 3 + y 3 )

2
y
y
2
⇔ ( x − y )( x − y ) ≥ 0 ⇔ ( x − y ) [( x + ) + 3
]≥0
2
4
3

3

2

⇔

( x − y ) 2 ≥ 0 (Điều phải chứng minh)
Đẳng thức xẩy ra ⇔ x =
Ví dụ2:

Biết

y =1

x+ y+ z =3

8

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Chứng minh rằng :

x 4 + y 4 + z 4 ≥ x 3 + y 3 + z 3 (2)
Chứng minh

(2) ⇔ 3( x 4

+ y 4 + z 4 ) ≥ 3( x3 + y 3 + z 3 )

⇔

3( x 4 + y 4 + z 4 ) ≥ 3( x + y + z ) x 3 + y 3 + z 3 )

⇔

( x − y )( x 3 − y 3 ) + ( y − z )( y 3 − z 3 ) + ( z − x)( z 3 − x 3 ) ≥ 0 (3)
Ta có

b 2
b2
(a − b)(a − b ) = (a − b) [(a + ) + 3 ] ≥ 0 ⇔
2
4
3

( a − b) 2 ≥ 0

3

2

⇒ (3) Được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra ⇔ x =
Ví dụ3:

y = z =1

Cho x > 0, y > 0 .

x3 + y 3 = x − y

x2 + y2 < 1

Chứng minh :

(3)

Chứng minh:
Vì x > 0, y > 0

⇒

x3 + y 3 = x − y > 0

⇒

(3) ⇔
9

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

( x − y )( x 2 + y 2 ) ≤ x 3 + y 3

⇔ y (2 y 2

− xy + x 2 ) > 0

2
y
7
y
2
⇔ 2 y − xy + x > 0 ⇔ ( x − ) +
> 0 ( Điều phải chứng
2
4
2

2

minh )
Ví dụ 4: Biết phương trình : x 3 − x 2 + ax + b = 0 Có 3 ngiệm phân biệt.
Chứng minh rằng

a 2 + 3b > 0

(4)

Chứng minh
Gọi x;y;z là 3 nghiệm của phương trình :

x 3 − x 2 + ax + b = 0

Theo vi ét ta có

x + y + z = 1


 xy + yz + zx = a
 xyz = −b

⇒ (4) ⇔ ( xy +

yz + zx ) 2 − 3 xyz > 0

( xy + yz + zx) 2 > 3 xyz

⇔ ( xy +

⇔

yz + zx) 2 > ( x + y + z )3xyz
10

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
⇔ ( xy −

Ta có

yz ) 2 + ( yz − zx) 2 + ( zx − xy 2 > 0

( xy − yz ) 2 + ( yz − zx) 2 + ( zx − xy 2 = 0

Điều này không xẩy ra vì

⇔x

= y= z=0

x, y, z phân biệt ⇒ Điều phải chứng minh

Ví dụ 5:
Biết

x + y ≥ 2 Chứng minh rằng :

x 4 + y 4 ≥ x 3 + y 3 (5)

Chứng minh
(5) ⇔ 2( x 4

Ta có

⇒

+ y 4 ) ≥ 2( x 3 + y 3 )

(6)

y 2
y2
x + y = ( x + y )[( x − ) + 3 ] > 0
2
4
3

3

x+ y ≥ 2

⇔( x +

y ( x3 + y 3 ) ≥ 2( x3 + y 3 ) (7)Ta chứng minh

2( x 4 + y 4 ) ≥ ( x + y )( x 3 + y 3 )

⇔ ( x3

− y 3 )( x − y ) ≥ 0

⇔

y 2
y2
( x − y ) [(x − ) + 3 ] ≥ 0 (Đúng) (8 )
2
4
2

11

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Từ (6),( 7) ,(8) ⇒

x 4 + y 4 ≥ x3 + y 3

.Đẳng thức xẩy ra khi

x = y =1

Áp dụng phương pháp tương tự mời các bạn giải các bài tập sau :
BÀI TẬP:
1; Giải phương trình

2 sin 4 x + 4sin 2 x cos 2 x = 3
2; Giải hệ phương trình

 x 2 − 4 xy + y 2 = 1
 2
3; Giải hệ phương trình
 y − 3 xy + = 4
3x 2 + 8 xy − 4 y 2 = 38
 2
2
5 x − 9 xy − 3 y = 15
4;Cho

x, y ∈ R +

Chứng minh rằng
5; Biết

và

x3 + y 3 = 2

x2 + y2 ≤ 2

x + y ≥ 2 Chứng minh rằng :

x n +1 + y n +1 ≥ x n + y n

(n ∈ N ) .
12

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

C.KẾT LUẬN
Trên đây là một số ví dụ về phương pháp giải phương trình hệ, phương
trình ,chứng minh bất đẳng thức có điều kiện bằng cách đưa về cùng bậc.
Ngoài ra nó còn ứng dụng vào giải nhiều dạng bài toán khác hẹn các bạn một
dịp khác. Chúc các bạn thành công trong quá trình học tập và rèn luyện.

Nhận xét của tổ chuyên môn:

Người trình bày :

Nguyễn Quang Minh

13

Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán*