skkn một số SAI lầm THƯỜNG gặp KHI TÍNH TÍCH PHÂN

Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH
TRƯỜNG THPT SỐ 1 QUẢNG TRẠCH

---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

1


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

Tên đề tài:

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH
TÍCH PHÂN

Người thực hiện : Võ Tố Như
Tổ

: Toán

Năm

: 2018 – 2019

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

2


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Tích phân, một chuyên đề hầu như không thể thiếu trong đề thi tốt nghiệp
THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm. Nhưng đối với học sinh THPT tích
phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định
nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân và sự đa dạng của chúng
Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là:
tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích
phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít
học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm
số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi

biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong
quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai
Nhằm giúp học sinh ôn luyện thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học ,
Cao đẳng được tốt hơn, tôi đã tìm tòi và biên soạn ra một số kinh nghiệm khi giải
toán Tích phân.
.II. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đổi mới phương pháp dạy học là sự thay đổi từ các phương pháp dạy học tiêu
cực đến các phương pháp tích cực, sáng tạo. Đó phải là một quá trình áp dụng
phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

3


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học
sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
Trong chương trình giải tích 12 mới hiện nay, chương Tích phân chiếm vị trí
khá quan trọng và thường có trong các đề thi tốt nghiệp ,Đại học và Cao đẳng. Phần
lớn học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đề để tìm lời giải. Chính vì thế mà
tôi đã tìm tòi, biện soạn vấn đề này nhằm giúp học sinh đi đúng hướng và tìm ra lời
giải nhanh, gọn và tối ưu nhất .

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Đây là vấn đề quan trọng đối với học sinh phổ thông. Qua thực tế giảng dạy
tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi đã hệ thống lại : “ Một số
sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân” bằng cách tuyển chọn các ví dụ,
các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh, rút kinh nghiệm qua
các lời giải đúng của bài toán.. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm
nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết
quả cao trong quá trình học tập nói chung.

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

4


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân

PHẦN II: NỘI DUNG
I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Nếu F là một
nguyên hàm của f trên K thì hiệu số:
F ( b) − F ( a)

được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là :
b

∫ f ( x ) dx
a

II. NỘI DUNG CỤ THỂ.
Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

5


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
Bài tập minh hoạ:
2

Bài 1:

Tính tích phân: I =

dx

∫ (x + 1)

−2

2

dx
* Biến đổi sai: I = ∫
2 =
− 2 (x + 1)

2

d ( x + 1)

∫ ( x + 1)

−2

2

=-

1
x +1

2
−2

1
3

=- -1 = -

2

4
3

* Nguyên nhân :
1

Hàm số y = ( x + 1) 2 không xác định tại x= -1 ∈ [ − 2;2] suy ra hàm số không liên tục
trên [ − 2;2] nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.
* Lời giải đúng
1

Hàm số y = ( x + 1) 2 không xác định tại x= -1 ∈ [ − 2;2] suy ra hàm số không liên tục
trên [ − 2;2] do đó tích phân trên không tồn tại.
* Chú ý :
b

Khi tính

∫

f ( x)dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên [ a; b] không? nếu có

a

thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận
ngay tích phân này không tồn tại.

* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

6


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
5

1

3

dx
1/ ∫
4 .
0 (x − 4)

2/ ∫ x( x 2 − 1) 2 dx .
−2

π
2

1

− x 3 .e x + x 2
dx
x3
−1

3/ ∫ 14 dx
0 cos x

4/ ∫

π

Bài 2

Tính tích phân

I=

dx

∫ 1 + sin x
0

1+ t2
2dt
x
1

* Biến đổi sai: Đặt t = tg thì dx =
;
=
2
1 + t 2 1 + sin x (1 + t ) 2
⇒

2dt
dx =
−2
∫
∫ 1 + sin x (1 + t ) 2 = ∫ 2(t + 1) d(t+1) =

−2
dx
⇒ I= ∫
= tg x + 1
1 + sin x
0
2
π

π
0

2 +c
t +1

−2
2

= tg π + 1 - tg 0 + 1
2

π
2

do tg không xác định nên tích phân trên không tồn tại
* Nguyên nhân:
Đặt t = tg

x
x
x∈ [ 0; π ] tại x = π thì tg không có nghĩa.
2
2

* Lời giải đúng:

x π
d − 
dx
dx
π
2 4
x π
 −π
=∫ 
= tg  −  π0 = tg − tg 
I= ∫
=∫

π
1 + sin x
4

x π
2 4
 4
0
0
1 + cos x −  0 cos 2  − 
2

2 4
π

π

π


 = 2.


* Chú ý :

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

7


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục
và có đạo hàm liên tục trên [ a; b] .
*Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
π

π

dx
1/ ∫
sin x
0

dx
1 + cos x
0

2/ ∫

4

Bài 3

Tính I =

∫

x 2 − 6x + 9 dx

0

* Biến đổi sai:
4

I=

∫
0

4

x 2 − 6x + 9 dx = ∫
0

( x − 3) 2 dx = ∫ ( x − 3) d ( x − 3) = ( x − 3)
4

2

0

2
4

0

=

1 9
− = −4
2 2

* Nguyên nhân :
Phép biến đổi ( x − 3) = x − 3 với x ∈ [ 0;4] là không tương đương.
2

* Lời giải đúng:
4

I=

∫

x 2 − 6x + 9 dx

0

4

4

3

4

0

0

0

3

2
= ∫ ( x − 3) dx = ∫ x − 3 d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3)

2
(
x − 3)
=-

2

3
0

2
(
x − 3)
+

2

4

3

=

9 1
+ =5
2 2

* Chú ý :
2n

( f ( x ) ) 2n

= f ( x)

( n ≥ 1, n ∈ N )

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

8


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
b

b

2n
I = ∫ ( f ( x) )

∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [ a; b]

=

2n

a

rồi dùng tính chất tích

a

phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
* Một số bài tập tương tự:
π

1/ I =

3

∫

1 − sin 2 x dx ;

2

1
 2

 x + 2 − 2  dx
x



2/ I =

0

x 3 − 2 x 2 + x dx

0

∫

3/ I =

∫

1
2

π
3

4/ I =

∫
π

tg 2 x + cot g 2 x − 2 dx

6

0

Bài 4

Tính

I=

∫x

−1

2

dx
+ 2x + 2

* Biến đổi sai:
0

I=

d ( x + 1)

∫ ( x + 1)

−1

2

+1

= arctg ( x + 1)

0
−1

= arctg1 − arctg 0 =

π
4

* Nguyên nhân sai lầm :
Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2 t ) dt
với x=-1 thì t = 0
với x = 0 thì t =

Khi đó I =

π
4

∫
0

π
4

(1 + tg t )dt =
2

tg t + 1

π
4

∫ dt = t
0

Giáo viên: Võ Tố Như

π
4
0

=

π
4

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

9


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
* Chú ý :
Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học
sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham
khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000
đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không

b

được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng

1

∫1+ x

2

dx ta

a

dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;
b

∫
a

1
1− x2

dx thì đặt x = sint hoặc x = cost

*Một số bài tập tương tự:
8

1/ I =

∫
4

1

2x 3 + 2x + 3
dx
2/ I = ∫
x2 +1
0

x 2 − 16
dx

x

1

3/ I =

3

∫
0

x 3 dx
1 − x8

Bài 5

Tính

I=

1
4

∫
0

x3
1 − x2

dx

* Biến đổi sai: Đặt x= sint , dx = costdt

∫

x3
1 − x2

dx = ∫

sin 3 t
dt
cos t

Đổi cận: với x = 0 thì t = 0

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

10


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
với x=

1
thì t = ?
4

* Nguyên nhân :
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 − x 2 thì thường đặt x = sint nhưng đối với

tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =

1
không tìm được chính
4

xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt t = 1 − x 2 ⇒ dt =

x
1 − x2

dx ⇒ tdt = xdx

Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
1
4

I =∫
0

15

4

x3
1− x

2

15
4

1

15
4

=

dx

(1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t 
∫
∫

t
3 

2

1
thì t =

4

2

3

1

15
4

1

 15 15 15  2 33 15 2
− =
= 
−
−
 3
4
192
192
3



* Chú ý : Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 − x 2 thì thường đặt x = sint hoặc
gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tgt nhưng cần chú ý đến cận của
tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo
phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.

* Một số bài tập tương tự:

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

11


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
7

1/ I =

2

x3

∫

1 + x2

0

2/ I =

dx

∫x
1

dx
x2 + 1

1

Bài 6

Tính

x2 −1
dx
I= ∫
4
−1 1 + x

1 

1
1 − 2 
1
2
x 

x =
dx

* Biến đổi sai: thường mắc: I = ∫ 1
∫
2
2
1


−1
−
1
+x
x +  − 2
x2
x

1


Đặt t = x+ ⇒ dt = 1 −
1
x



1
x2

1−



dx


Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
2

2

dt
1
1
−
)dt =(ln t + 2 -ln t − 2 )
I=∫ 2
= ∫(
2 t− 2
−2 t − 2
−2 t +

= ln

2+ 2
2− 2

− ln

−2+ 2
−2− 2

= 2 ln

2
−2

= ln

t+ 2
t− 2

2
−2

2+ 2
2− 2

1
1− 2
x2 −1
x
=
* Nguyên nhân :
là sai vì trong [ − 1;1] chứa x = 0 nên không thể
4
1
1+ x
2
+
x
x2

chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng:
xét hàm số F(x) =

F’(x) =

1
2 2

ln

1
2 2

x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 + 1

(ln

x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 +1

Giáo viên: Võ Tố Như

*

)′ =

x2 −1
x4 +1

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

12


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
1

Do đó I =

x2 −1
1
x2 − x 2 +1
dx
ln
=
∫ 4
2 2 x2 + x 2 + 1
−1 1 + x

1
−1

=

1
2

ln

2− 2
2+ 2

*Chú ý :Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng
trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .

PHẦN III:KẾT LUẬN

Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý
nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh
nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về
vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ
động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ được kiến
thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các
trường đại học, cao đẳng , THCN.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB
Trẻ )
2. Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB
Giáo Dục)

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

13


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
3. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Đoàn Quỳnh Chủ biên – NXB GD – 2008)
4. Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà
Nội – 2005)
5. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và Nguyễn
Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)

MỤC LỤC

Trang

PHẦN I : MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề

1

II. Cơ sở lý luận

1

III. Cơ sở thực tiễn

2

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

14


Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân
PHẦN II : NỘI DUNG
I. Nội dung cụ thể

3

PHẦN III: KẾT LUẬN
I. Kết luận

11

II. Tài liệu tham khảo

11

Giáo viên: Võ Tố Như

*

Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

‫٭‬

15