luyện thi khảo sat hàm số

Chuyên đề ksh & btp PHẠM HẢI SƠN THPT GIA PHÙ – SƠN LA
CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM VÀ BÀI TOÁN PHỤ
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
1
1
y x
x
= + +
−
(C)
Tìm những điểm trên (C) có hoành độ >1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm
cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
2.
3 2
3y x x mx m= + + +
Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị với m=0
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm nghịch biến trên đoạn có độ dài 1
3.
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
Khảo sát và vẽ đồ thị
Tìm tất cả những điểm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận là nhỏ
nhất

4.
3 2
( ) 3 ( 1) 1y f x mx mx m x= = + − − −
a. xác định giá trị của m để y=f(x) không có cực trị
b. khảo sát vẽ đồ thị khi m=1
c. với giá trị nào của a thì BPT sau có nghiệm
3 2 3
3 1 ( 1)x x a x x+ − ≤ − −
5.
2 2
( 1) 4 4 2
( 1)
x m x m m
y
x m
− + + − −
=
− −
a. khảo sát vẽ đồ thị khi m=2
b. tìm m để hàm số xác định đồng biến trên
(0; )+∞
6. Cho hàm số
3 2
4y x ax= + −
a. khảo sát vẽ đồ thị với a=3
b. tìm giá trị của tham số để phương trình
3 2
4 0x ax+ − =
có nghiệm duy nhất
7. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
Gọi I là tâm đối xứng của (C) và
( )M C∈
tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A,B.
CMR M là trung điểm của đoạn AB và diện tích tam giac IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M
trên (C)
8. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
6 5
2 1
x x
y
x
− +
=
−
Biện luận số nghiệm của phương trình
2
6 5 | 2 1|x x k x− + = −
9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4
4

1
x
y
x
=
+
Tìm giá trị của m để BPT
4
4 0mx x m− + ≥
nghiệm đúng với mọi x
10. Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + −
Từ một điểm x bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số
đã cho
11. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 1y x x= − +
Với những giá trị nào của m thì phương trình
4 2
4
| 2 1| logx x m− − =
có 6 nghiệm phân biệt
12.
3 2
4 3y x mx x m= − − +
a. CMR
m∀
hàm số luân có cực đại cực tiểu. Đồng thời CMR hoành độ cực đại và cực tiểu luân trái
dấu

Chuyên đề ksh & btp PHẠM HẢI SƠN THPT GIA PHÙ – SƠN LA
b. Phương trình
3 2
4 3 1x x x− = −
có bao nhiêu nghiệm ?
13. Cho
3
2
( 1) ( 3) 4
3
x
y m x m x= + − + − −
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên (0;3)
b. Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị khi m=0
c. Chứng tỏ đồ thị khảo sát ở mục b, nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
14. Hãy xác định khoảng tăng giảm, điểm cực đại cực tiểu của hàm số
3
( )
x
f x x e
−
= ×
Hãy tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1x
y
x
+
=
biết rằng mỗi một trong

các tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ giới hạn một tam giác có diện tích
1
2
15. cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
a. khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số đã cho
b. tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc với tiệm cận
xiên của nó
16. Cho hàm số
3
1y x x= + −
(C)
a. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi
0
x
là một nghiệm của pt:
3
1 0x x+ + =
CMR
0 0
0x x− <

c. Từ (C) hãy vẽ đồ thị
3
| | 1y x x= + −
17.
2
1
x
y
x
=
+
a. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Tìm trên đồ thị 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng y = x+1
18. Cho hàm số
4 2
( ) 2y f x x mx m= = + +
a. khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hs khi m = -1
b. tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f(x)>0 với mọi x. Với các giá trị của m tìm được ở trên,
CMR
' '' ''' (4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x f x f x f x f x f x= + + + + >
với mọi x.
19.a. khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số
3
3
1
y x
x
= − + +
−

Từ đó suy ra đồ thị hàm số
2
4
| 1|
x x
y
x
− +
=
−
b. Chứng minh rằng đường thẳng
2y x m= +
luân cắt (C) tại hai điểm có hoành độ
1 2
;x x
. Tìm giá
trị của m sao cho
2
1 2
( )d x x= −
dạt giá trị bé nhất.
20. cho hàm số
2
4 1
2
x x
y
x
+ +

=
+
a. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. tìm các giá trị của m để đường thẳng (
m
d
):
2y mx m= + −
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của (C).
21. a. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
+
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), trục hoành và đường thẳng x = 1
Chuyờn ksh & btp PHM HI SN THPT GIA PH SN LA
b. tỡm nhng giỏ tr ca t phng trỡnh
2sin 1
sin 2
x
t
x
+
=
+

cú ỳng hai nghim thuc on
[ ]
0,

22. Cho hm s
2
2 2
1
x kx k
y
x k
+ +
=
+
(1)
a. kho sỏt v v th vi k = 0
b. CMR vi mi
2k
, th hm s (1) luụn tip xỳc vi mt ng thng c nh ti mt im
c nh
c. xỏc nh k hm s (1) ng bin trờn khong
(1, )+
23. cho hm s
1
1
mx m
y
x m
+
=

+
1. vi m = 2
a. kho sỏt v th hs;
b. tỡm trờn th nhng im cú tng khong cỏch ti hai tim cn nh nht
2. CMR
1m

th hm s luõn tip xỳc vi mt ng thng c nh
24. Cho hm s
4 2
2 2 1y x mx m= + +
cú th (
m
C
)
a. kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1
b. chng minh rng
( )
m
C
luụn luụn i qua hai im c nh A,B khi m thay i.
c. tỡm m cỏc tip tuyn vi th
( )
m
C
ti A v ti B vuụng gúc vi nhau
25. Cho hm s
2
2 1
1

x x
y
x
+ +
=
+
(1)
a. kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
b. tỡm nhng im trờn trc tung sao cho t ú cú th k c hai tip tuyn vi th hm s (1) v
hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau.
c. tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr bộ nht ca biu thc:
2
2cos | cos | 1
| cos | 1
x x
A
x
+ +
=
+
26. kho sỏt s bin thiờn v v th (G) ca hm s
3 2
3 9 3y x x x= + +
CMR trong s mi tip tuyn ca (G) thỡ tip tuyn ti im un cú h s gúc nh nht.
27. kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
3 2
6 9y x x x= +
Xỏc nh tt c cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng cú phng trỡnh y = mx ct th hm s
ti ba im phõn bit: O(0,0); A v B. chng t rng khi m thay i trung im I ca on AB luụn
nm trờn mt ng thng song song Oy

28: Cho h/s
3 2 2 3 2
y x 3 x 3(1 )xm m m m= + + +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 1 .
b) Tìm k để phơng trình :
3 2 3 2
x 3x 3 0k k + + =
có ba ngh phân biệt
29: Cho h/s
4 2 2
y x ( 9)x 10m m= + +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 1 .
b) Tìm m để h/s (1) có 3 điểm cực trị ?
30: Cho h/s
2
(2 1)x
y
x 1
m m
=

(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) khi m = -1 .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và 2 trục tọa độ .
c) Tìm m để đồ thị h/s (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x ?
Chuyờn ksh & btp PHM HI SN THPT GIA PH SN LA
31: Cho h/s
2

x x
y
x 1
m m+ +
=

(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = -1 .
b) Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng .
32: Cho h/s
3 2
y x 3x m= +
(1)
a) Tìm m để đồ thị h/s (1) có 2 điểm phân biệt đx với nhau qua gốc tọa độ .
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 2 .
33: a) Khảo sát h/s
2
x 2x 4
y
x 2
+
=

(1)
b) Tìm m để đờng thẳng d
m
: y = mx + 2 2m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm phân biệt ?
34: Cho h/s
2
x 3x 3

y
2(x 1)
+
=

(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1)
b) Tìm m để đờng thẳng d : y = m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1
35: Cho h/s
3 2
1
y x 2x 3
3
= +
(1) có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1)
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và CMR : là tiếp tuyến của (C) có hệ số
góc nhỏ nhất .
36: Cho h/s
3 2
y x 3 x 9x 1m= + +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 2 .
b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị h/s (1) thuộc đờng thẳng y = x + 1
37: Gọi (C
m
) là đồ thị h/s
1
y x+
x

m=
(*)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m =
1
4
.
b) Tìm m để h/s (*) có cực trị và k/c từ ĐCTiểu của (C
m
) đến TCXiên (C
m
) bằng
1
2
38: Gọi (C
m
) là đồ thị h/s
2
x ( +1)x+m+1
y
x+1
m+
=
(*)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 1 .
b) CMR : Với m đồ thị (C
m
) luôn có ĐCĐ, ĐCT và k/c giữa 2 điểm đó bằng
20
39: Gọi (C
m

) là đồ thị h/s
3 2
1 1
y x x
3 2 3
m
= +
(*)
Chuyờn ksh & btp PHM HI SN THPT GIA PH SN LA
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 2 .
b) Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song
song với đt: y = 5x
40: a)Khảo sát h/s
3 2
y 2x 9x 12x 4= +

b) Tìm m để phơng trình :
3
2
2 x 9x 12 x m + =
có 6 nghiệm phân biệt
41: Cho h/s
2
x x 1
y
x+2

+
=

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s .
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với TCXiên của (C)
42: Cho h/s
3
y x 3x 2= +

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s .
b)Gọi d là đờng thẳng qua A(3 ; 20) có hệ số góc k . Tìm k để đờng thẳng d cắt (C) tại 3 điểm
phân biệt ?
43: Cho h/s
2 2
x 2( +1)x + m + 4m
y
x + 2
m+
=
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) khi m = - 1 .
b) Tim m để đồ thị của h/s (1)có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với
gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O .

44: Cho h/s
3 2 2 2
y 3 3( 1) 3 1x x m x m= + +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) khi m = 1 .
b) Tim m để đồ thị của h/s (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cách

đều gốc tọa độ O .

45: Cho h/s
2x
y
x+1
=

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s .
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến tại M cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A, B và OAB có
diện tích bằng
1
4
.
46. Cho hm s
3 2 2 3
3 3( 1) 3y x mx m x m m= + + +
a. kho sỏt s bin thiờn v th hm s ng vi m = 0
b. chng minh rng vi mi m hm s ó cho luụn cú cc i v cc tiu; ng thi chng minh
rng khi m thay i cỏc im cc i v cc tiu ca th hm s luụn luụn chy trờn hai ng
thng c nh.
47. Cho hm s
1
1
x
y
x
+
=

a. kho sỏt s bin thiờn , v th hm s ó cho.