ĐÁP án và đề VDC TOÁN số 36 HHKG KHỐI TRÒN XOAY mặt cầu 03 a

Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

ĐỀ VDC TOÁN SỐ 36 - HHKG - KHỐI TRÒN XOAY 03
(Đề gồm 4 trang – 30 Câu – Thời gian làm bài 55 phút)
Video chữa đề: V102041 (chưa hoàn thành) Video bài giảng: V002050 (chưa hoàn thành)
Câu 1: (2) Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 2. Diện tích mặt cầu tương ứng bằng:
32
A. 16 .
B. 8 .
C.
.
D. 16 .
3
Câu 2: (2) Cho mặt cầu (S) có diện tích bằng 36 thì thể tích của khối cầu (S) tương ứng bằng:
256
A. 48 .
B.
.
C. 64 .
D. 36 .
3
Câu 3: (3) Cho khối cầu (S) và khối hình trụ (T). Biết diện tích toàn phần của (T) gấp 6 lần của (S) ; thể tích (T)
bằng 12 lần (S). Tỉ lệ giữa đường cao của hình trụ (T) và bán kính hình trụ (T) tương ứng bằng:
A. 2 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 4: (3) Cho khối cầu (S) và khối lập phương (H) có cùng thể tích. Tỉ lệ diện tích khối cầu (S) so với diện
tích toàn phần của (H) tương ứng bằng:

3

6 .

6

B.

3

.



C.

3

.



.
6
3

Câu 5: (3) Cho khối cầu (S) có bán kính R , có thể tích V1, diện tích mặt cầu là S1; hình trụ (T) có bán kính đáy
A.

D.

3

R, có thể tích V2, diện tích toàn phần là S2; hình nón (N) có bán kính đáy R, có thể tích V3, diện tích toàn phần
S3. Biết rằng S1 = S2 = S3. Hãy chọn dãy sắp xếp đúng về thể tích của các hình ?
A. V1  V2  V3 .

B. V2  V1  V3 .

C. V3  V1  V2 .

D. V1  V2  V3 .

Câu 6: (2) Cho một chỏm cầu có bán kính cầu là 6 và chiều cao chỏm cầu bằng 3. Thể tích chỏm cầu là:
A. 36 .
B. 72 .
C. 45 .
D. 48 .
Câu 7: (2) Cho một chỏm cầu có bán kính cầu là 6 và chiều cao chỏm cầu bằng h. Thể tích chỏm cầu bằng 72
. Giá trị chiều cao h tương ứng bằng:
A. 8 .
B. 4 .
C. 2 3 .
D. 2 .
Câu 8: (3) Cho một khối cầu (S) có tâm I và bán kính R  6 . Một mặt phẳng (P) cách tâm I một đoạn bằng 3
V
chia khối cầu (S) thành hai phần có thể tích lần lượt là V1 và V2 (trong đó V1  V2 ). Khi đó tỉ lệ thể tích 1
V2
tương ứng bằng:
5

5
10
11
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
9
27
27
27
Câu 9: (3) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 6, một đường thẳng d cách tâm I một đoạn bằng 4 và cắt
mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B. Diện tích tam giác IAB bằng:
A. 8 5 .
B. 16 5 .
C. 4 5 .
D. 6 7 .
Câu 10: (3) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 6, một mặt phẳng (P) cách I một đoạn bằng 4 cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn (C). Diện tích xung quanh của mặt nón (N) có đỉnh I và đáy là đường tròn (C)
tương ứng bằng:
A. 6 5 .

B. 8 5 .

C. 24 .

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

D. 12 5 .
Trang 1


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

Câu 11: (4) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 6, đường thẳng d cách tâm I một đoạn bằng 8. Qua d
dựng hai mặt phẳng (P) và (Q) tiếp xúc với (S) lần lượt tại hai tiếp điểm A và B. Độ dài đoạn AB bằng:
A. 2 13 .

C. 6 3 .

B. 3 7 .

D. 4 5 .

Câu 12: (4) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 6, đường thẳng d cách tâm I một đoạn lớn hơn 6. Qua d
dựng hai mặt phẳng (P) và (Q) tiếp xúc với (S) lần lượt tại hai tiếp điểm A và B. Biết độ dài AB bằng 8. Góc tạo
bởi hai mặt phẳng tương ứng là:
A. 96,38 .

C. 83,62 .

B. 48,19 .

D. 44,51 .

Câu 13: (3) Cho hình nón (N) có bán kính đáy r và chiều cao h thỏa mãn: h  2r  12 . Một mặt cầu (S) tiếp xúc
với tất cả các đường sinh của hình nón và tiếp xúc với đáy nón, có tâm cầu nằm trong hình nón. Diện tích mặt
cầu (S) tương ứng bằng:





A. 72 3  5 .





B. 36 5  5 .





C. 60 4  3 .





D. 54  18 5  .

Câu 14: (3) Bạn Linh có một chiếc phễu hình nón có đường kính đáy là 18cm và độ dài đường sinh là 15cm.
Bạn dự định dùng chiếc phễu để đựng một quả bóng bàn hình cầu sao cho toàn bộ quả bóng nằm trong phễu

(không phần nào của quả bóng cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn Linh có thể đựng được quả bóng có đường kính
lớn nhất bằng bao nhiêu?
A

B

S

A. 12 cm

B. 24 cm

C.

9
cm
2

D. 9 cm

Câu 15: (3) Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 6 và có tâm I. Một hình nón có đỉnh S trùng với tâm I của mặt cầu
(S), có chiều cao của nón h  6 3 và có bán kính đáy nón r = R = 6. Thể tích phần chung của hình nón và hình
cầu tương ứng bằng:





A. 144  72 3  .





B. 144  81 3  .





C. 144  60 3  .

D. 18 3 .

Câu 16: (3) Cho mặt cầu đường kính AB  2 R . Mặt phẳng  P  vuông góc AB tại I ( I thuộc đoạn AB ), cắt
mặt cầu theo đường tròn  C  . Tính AI theo R để khối hình nón đỉnh A , đáy là hình tròn  C  có thể tích lớn
nhất?

R
4R
2R
.
C. h 
.
D. h 
.
3
3
3
Câu 17: (4) Cho hình nón (N) nội tiếp mặt cầu (S), mặt cầu (S) có thể tích V. Thể tích lớn nhất của hình chóp

tương ứng bằng:
A. h  R .

64 R3
A.
.
243

B. h 

B.

40 R 3
.
81

C.

16 R3
.
9 3

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

D.

32 R3
.
81
Trang 2

Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

Câu 18: (3) Cho khối cầu (S) có bán kính bằng 6 và có tâm I. Một khối nón (N) có góc ở đỉnh bằng 600 và có
đỉnh nón trùng với tâm cầu (S). Thể tích phần chung của khối nón (N) và khối cầu (S) là:





A. 144  81 3 





B. 144  64 3 





C. 144  72 3 





D. 72  12 3 

Câu 19: (3) Cho khối cầu (S) có bán kính bằng 6 và có tâm I. Một khối nón (N) có góc ở đỉnh bằng 600 , chiều
cao rất lớn, có đỉnh nón là điểm A nằm trên mặt cầu (S), trục nón chứa I. Thể tích phần chung của khối nón (N)
và khối cầu (S) là:
A. 96

B. 126



C. 144



D. 72  12 3 

Câu 20: (4) Cho hình nón (N) có bán kính đáy r và chiều cao h . Một mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cả các đường
sinh của hình nón và tiếp xúc với đáy nón, có tâm cầu nằm trong hình nón và bán kính R  6 . Thể tích của khối
nón (N) lớn nhất bằng:
A. 576 .
B. 288 2 .
C. 144 3 .
D. 254 .
Câu 21: (4) Cho mặt cầu (S) và hình trụ (T) có cùng thể tích V. Gọi diện tích mặt cầu là S1 và diện tích toàn
phần của hình trụ là S2. Tỉ số S2/S1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

3
3

.
C. .
D. 2 3 .
2
2
Câu 22: (4) Cho hình trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có thể tích V, điều kiện nội tiếp là hai đường
tròn đáy của hình trụ (T) nằm trên mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của hình trụ (T) tương ứng bằng:
A. 1.

B.

3

4 R3
8 R3
4 R3
8 R3
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3 3
3 3
Câu 23: (3) Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 6 và có tâm I. Một hình trụ có đường cao đi qua tâm I của mặt cầu
(S), có chiều cao vô cùng lớn, bán kính đáy r = 4. Thể tích phần chung của hình trụ và hình cầu bằng:

A.

432  172 5
864  160 5
 .
 .
C. 120 2 .
D.
3
3
Câu 24: (4) Cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có bán kính lần lượt là R1 = 6 và R2 = 8, có khoảng cách hai tâm bằng
10. Thể tích phần chung của hai hình cầu giới hạn bởi hai mặt cầu trên tương ứng bằng:
7236
736
8736
A.
.
B.
.
C.
.
D. 125 3 .
125
15
375
A. 170 .

B.

Câu 25: (3) Cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có bán kính lần lượt là R1 = 10 và R2 = 12 có khoảng cách hai tâm

bằng 14. Biết rằng hai mặt cầu này cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nằm trong khoảng
nào dưới đây ?

 17 
;9 
2 

A. 

 19 

 2

B.  9;

 17 

 2

C.  8;

 15 
D.  ;8 
2 

Câu 26: (4) Cho hai quả cầu (S1) và (S2) có bán kính R1 = 2R2 = 12 và một hình nón (N). Biết rằng quả cầu (S1)
tiếp xúc với đáy và các đường sinh của nón (N), quả cầu (S2) tiếp xúc với các đường sinh của nón (N) và tiếp
xúc với quả cầu (S1). Thể tích hình nón (N) tương ứng bằng:
A. 4800 .
B. 4608 .

C. 5418 .
D. 4720 .
Câu 27: (4) Cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có cùng tâm I và bán kính lần lượt là R1 = 6; R2 = 3. Từ một điểm S
nằm trên mặt cầu (S1) ta vẽ n tia tiếp xúc với mặt cầu (S2) và cắt (S1) tại điểm thứ hai lần lượt là A1 , A2, …, An.
Gọi thể tích của khối đa diện SA1A2…An là V. Hãy tính giới hạn lim V ?
n

A. 72 .

B. 81 .

C. 48 .

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

D. 36 .
Trang 3


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

Câu 28: (4) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R  6 , một điểm A cách I một đoạn IA  12 . Từ A kẻ hai
 bằng:
tiếp tuyến đến (S) có các tiếp điểm lần lượt là M và N. Giá trị lớn nhất của sin MAN
A. 1/ 2 .
B. 2 / 2 .
C. 1 .
D. 3 / 2 .

Câu 29: (4) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R  12 , một điểm A cách I một đoạn IA  m . Từ A kẻ hai
tiếp tuyến đến (S) có các tiếp điểm lần lượt là M và N. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m   20; 20
 không vượt quá 1200 ?
để góc MAN
A. 6 .
B. 11 .
C. 8 .
D. 7 .
Câu 30: (4) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R  12 , một điểm A cách I một đoạn IA  m . Từ A kẻ hai
tiếp tuyến đến (S) có các tiếp điểm lần lượt là M và N. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để góc
  90 ?
MAN
A. 4 .

B. 7 .

C. 5 .

D. 11 .

---------- Hết ----------

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 4


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

ĐÁP ÁN.

1A
2D
11B 12C
21B 22A

3B
13A
23D

4C
14D
24B

5A
15A
25C

6C
16C
26B

TDM ECorp

7D 8B
9A
10D
17D 18C 19B 20A
27B 28D 29D 30C

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 5


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT NHỮNG CÂU VD VDC:
Câu 3: (3 - B) Cho khối cầu (S) và khối hình trụ (T). Biết diện tích toàn phần của (T) gấp 6 lần của (S) ; thể tích
(T) bằng 12 lần (S). Tỉ lệ giữa đường cao của hình trụ (T) và bán kính hình trụ (T) tương ứng bằng:
A. 2 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
 Giải:
 Gọi bán kính mặt cầu (S) mà R ; chiều cao và bán kính hình trụ (T) lần lượt là h và r.


6.(4 R 2 )  2 r 2  2 rh
12 R 2  r 2  rh

Ta có: 


4 3
3
2
R )   r 2h
16 R  r h

 12.(
3




16R3
Từ (2) suy ra: h  2 ; thế vào (1) ta được:
r




(1)
(2)

16 R 3
16 R 3
h
2

r

 r 3  12 R 2 r  16 R 3  0  r  2 R  h  4 R   2
2
r
r
r
Chọn đáp án B.
12 R 2  r 2  r.

Câu 4: (3 - C) Cho khối cầu (S) và khối lập phương (H) có cùng thể tích. Tỉ lệ diện tích khối cầu (S) so với diện
tích toàn phần của (H) tương ứng bằng:
A.

3

6 .

B.

3

6



.

C.

3


6

.

D.

3


3

.

 Giải:



Ta có:

4 3
R
3
R  a3   3
3
a
4

Tỉ lệ diện tích là:

S( S )
S( H )

4 R 2 2


6a 2

3

2

2
2  3 3 

R
.  
. 
. Chọn đáp án C.
  3
3  4 
6
a

Câu 5: (3 - A) Cho khối cầu (S) có bán kính R , có thể tích V1, diện tích mặt cầu là S1; hình trụ (T) có bán kính
đáy R, có thể tích V2, diện tích toàn phần là S2; hình nón (N) có bán kính đáy R, có thể tích V3, diện tích toàn
phần S3. Biết rằng S1 = S2 = S3. Hãy chọn dãy sắp xếp đúng về thể tích của các hình ?
A. V1  V2  V3 .
B. V2  V1  V3 .
C. V3  V1  V2 .
D. V1  V2  V3 .
 Giải:
 Cùng diện tích, suy ra: 4 R 2  2 R 2  2 R.h   R 2   R.l


h  R
Suy ra: 4 R  2 R  2h  R  l  
l  3R



Suy ra thể tích các khối là: V( S ) 



Suy ra: V( S )  V1  V(T )  V2  V( N )

4 3
1
2 2
R ; V(T )   R 2 .h   R3 ; V( N )   R 2 . l 2  R 2 
 R3
3
3
3
 V3 . Chọn đáp án A.

Câu 7: (2 - D) Cho một chỏm cầu có bán kính cầu là 6 và chiều cao chỏm cầu bằng h. Thể tích chỏm cầu bằng
72 . Giá trị chiều cao h tương ứng bằng:
A. 8 .
B. 4 .
 Giải:
 Công thức thể tích chỏm cầu:

C. 2 3 .

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

D. 2 .

Trang 6


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán




TDM ECorp

h  1,8 ( Loai )

h
64
h


2
Vc hom_ cau   h  R   
  h  6     h  17,8 ( Loai vi h  2 R  12) .
3
3
3



h  2 (TM )
Chọn đáp án D.

2

Câu 8: (3 - B) Cho một khối cầu (S) có tâm I và bán kính R  6 . Một mặt phẳng (P) cách tâm I một đoạn bằng
V
3 chia khối cầu (S) thành hai phần có thể tích lần lượt là V1 và V2 (trong đó V1  V2 ). Khi đó tỉ lệ thể tích 1
V2
tương ứng bằng:
5
5
10
11
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
9
27
27
27
 Giải:
 Mặt phẳng (P) sẽ chia khối cầu (S) thành hai chỏm cầu. Chỏm cầu nhỏ có chiều cao là:


h  R  d  I ;( P)   6  3  3

(S)
I

3
(P)
3
V1






3

Suy ra thể tích chỏm cầu nhỏ là: V1   .32  6    45
3

4 3
4 3
.R  V1 
.6  45  243
Suy ra thể tích phần còn lại là: V2 
3
3
V
45
5
Suy ra tỉ lệ: 1 
.

V2 243 27

Chọn đáp án B.

Câu 9: (3 - A) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 6, một đường thẳng d cách tâm I một đoạn bằng 4 và
cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B. Diện tích tam giác IAB bằng:
A. 8 5 .
 Giải:


B. 16 5 .

C. 4 5 .

D. 6 7 .

Dễ dàng tính được: AB  2 HA  2. IA2  IH 2  2. 62  42  4 5

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 7


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

(S)
I

4
d

A



Suy ra diện tích tam giác IAB là: SIAB 

H

B

1
1
AB.IH  .4 5.4  8 5 . Chọn đáp án A.
2
2

Câu 10: (3 - D) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 6, một mặt phẳng (P) cách I một đoạn bằng 4 cắt mặt
cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Diện tích xung quanh của mặt nón (N) có đỉnh I và đáy là đường tròn (C)
tương ứng bằng:
A. 6 5 .
 Giải:


C. 24 .

B. 8 5 .

D. 12 5 .

Dễ dàng tính được bán kính đường tròn (C) là: r  A  IA2  IH 2  62  42  2 5

(S)
I

4
(P)
A

H

B



Hình nón (N) có đường sinh đúng bằng bán kính mặt cầu (S) là: l  R  6



Suy ra diện tích xung quanh của hình nón (N) là: S   rl   .2 5.6  12 5 . Chọn đáp án D.

Câu 11: (4 - B) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 6, đường thẳng d cách tâm I một đoạn bằng 8. Qua d
dựng hai mặt phẳng (P) và (Q) tiếp xúc với (S) lần lượt tại hai tiếp điểm A và B. Độ dài đoạn AB bằng:
A. 2 13 .
B. 3 7 .
C. 6 3 .
D. 4 5 .
 Giải:
 Gọi C là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d; đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng hình vẽ
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 8


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

(P)
A
6

d

I

H

C

(S)

B
(Q)


Suy ra: IC  8; IA  IB  6



Ta có: IH .IC  IA2  IH .8  62  IH 



Suy ra độ dài cung AB là: AB  2. AH  2. IA2  IH 2  3 7 . Chọn đáp án B.

9
2

Câu 12: (4 - C) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = 6, đường thẳng d cách tâm I một đoạn lớn hơn 6. Qua
d dựng hai mặt phẳng (P) và (Q) tiếp xúc với (S) lần lượt tại hai tiếp điểm A và B. Biết độ dài AB bằng 8. Góc
tạo bởi hai mặt phẳng tương ứng là:
A. 96,38 .

C. 83,62 .

B. 48,19 .

D. 44,51 .

 Giải:
 Gọi C là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d; đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng hình vẽ
(P)
A
6

(S)

4
d
C

I

H
4

B
(Q)

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 9


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp



AH 4
 
AIC  41,81  
ACI  90  
AIC  48,19
AI 6
ACB  2 
ACI  2.48,19  96,38
Suy ra: 



Suy ra góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng là: 180  96,38  83, 62



Chọn đáp án C.



AIC 
Ta có: sin 

Câu 13: (3 – A) Cho hình nón (N) có bán kính đáy r và chiều cao h thỏa mãn: h  2r  12 . Một mặt cầu (S) tiếp
xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và tiếp xúc với đáy nón, có tâm cầu nằm trong hình nón. Diện tích
mặt cầu (S) tương ứng bằng:





A. 72 3  5 .







B. 36 5  5 .





C. 60 4  3 .



D. 54  18 5  .

 Giải:
 Hình vẽ minh họa:
S

l

M
R

I
R

A

r

O

SI IM

hR R
hr
12.6
12


 R


SA OA
l
r
r  l 6  6 5 1 5
12 2
 Suy ra diện tích mặt cầu (S) là: S  4 R 2  4 (
)  72 3  5 . Chọn đáp án A.
1 5
Câu 14: (3 - D) Bạn Linh có một chiếc phễu hình nón có đường kính đáy là 18cm và độ dài đường sinh là
15cm. Bạn dự định dùng chiếc phễu để đựng một quả bóng bàn hình cầu sao cho toàn bộ quả bóng nằm trong
phễu (không phần nào của quả bóng cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn Linh có thể đựng được quả bóng có đường
kính lớn nhất bằng bao nhiêu?


Ta có:



A



B

S

A. 12 cm

B. 24 cm

C.

9
cm
2

D. 9 cm

 Giải:
 Gọi  P  là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón. Khi đó  P  cắt hình
cầu (quả bóng) theo thiết diện là đường tròn lớn. Quả bóng có đường kính lớn nhất khi và chỉ khi đường
tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác SAB như hình vẽ.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 10


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

H

9

A

TDM ECorp

B
R

I

R
M
15

S




Dễ thấy hai tam giác SIM và SAH đồng dạng nhau. Suy ra:
IM SI
R hR
l2  r2  R
R
152  9 2  R
9

 


 
R
HA SA
r
l
l
9
15
2
Suy ra đường kính cầu là: 2 R  9 . Chọn đáp án D.

Câu 15: (3 – A) Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 6 và có tâm I. Một hình nón có đỉnh S trùng với tâm I của mặt
cầu (S), có chiều cao của nón h  6 3 và có bán kính đáy nón r = R = 6. Thể tích phần chung của hình nón và
hình cầu tương ứng bằng:





A. 144  72 3  .





B. 144  81 3  .





C. 144  60 3  .

D. 18 3 .

 Giải:

h6 3
(S)
R=6
I

B

r=6

H A



 IH  IB.cos 30  6 cos 30  3 3
Góc ở đỉnh nón sẽ là 600. Suy ra: 
 HA  IA  IH  6  3 3


 HB  IB sin 30  6 sin 30  3



Phần chung được chia thành một khối nón và một chỏm cầu.



1
Khối nón có bán kính đáy: HB  3; chiều cao: IH  3 3  thể tích V1   .(3)2 .3 3  9 3
3

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 11


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp



Chỏm cầu có bán kính cầu: R  6 và chiều cao chỏm cầu: 6  3 3




63 3 
Suy ra thể tích chỏm cầu: V2   .(6  3 3) 2 .  6 
  (144  81 3)
3





Suy ra thể tích phần chung của hình cầu và hình nón:



V  V1  V2  9 3  (144  81 3)  144  72 3  . Chọn đáp án A.





Câu 16: (3 - C) Cho mặt cầu đường kính AB  2 R . Mặt phẳng  P  vuông góc AB tại I ( I thuộc đoạn AB ),
cắt mặt cầu theo đường tròn  C  . Tính AI theo R để khối hình nón đỉnh A , đáy là hình tròn  C  có thể tích
lớn nhất?
A. h  R .

B. h 

R
.
3

C. h 

4R
.
3

D. h 

2R
.
3

 Giải:
 Gọi O là trung điểm AB , M là điểm bất kì trên đường tròn  C 
(S)
M
R
A

B
x

I




Gọi AI  x là chiều cao của nón. Suy ra: IB  2 R  x
Tam giác AIB vuông tại I, hệ thức lượng để xác định đường cao (còn là bán kính của đường tròn (C) và
cũng là bán kính đáy nón): IA.IB  IM 2  r 2  x(2 R  x)



Thể tích khối nón có đỉnh là A và đáy là đường tròn (C) được tính:
1
1


V   .IM 2 . AH   .x(2 R  x).x  .  2 Rx 2  x3  với x   0; 2 R 
3
3
3




Ta khảo sát thể tích theo biến x sẽ được thể tích lớn nhất Vmax 



Chọn đáp án C.

32 R 3
4R
khi AI  x 
3
81

Câu 17: (4 – D) Cho hình nón (N) nội tiếp mặt cầu (S), mặt cầu (S) có thể tích V. Thể tích lớn nhất của hình
chóp tương ứng bằng:
A.

64 R3
.
243

B.

40 R 3
.
81

C.

16 R3
.
9 3

D.

32 R3
.
81

 Giải:
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 12


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán



TDM ECorp

Hình vẽ minh họa:
S

R
M

(S)

h

I
R
r

A

O






l
SM SI
R
l 2 r 2  h2
2





R


 r 2  2hR  h 2
Gọi M là trung điểm của SA, ta có:
SO SA
h l
2h
2h
1 2
1

Thể tích hình nón: V(N)   r h   (2 Rh  h 2 )h  (2 Rh 2  h3 )  f (h) ; với chiều cao: h  [0; 2 R ]
3
3
3
 h0
32 R 3

V

Khảo sát hàm số trên: f '(h)  (4 Rh  3h 2 )  0  
.
Khi
đó:
( N ) _max
h  4R
81
3
3


Chọn đáp án D.

Câu 18: (3 - C) Cho khối cầu (S) có bán kính bằng 6 và có tâm I. Một khối nón (N) có góc ở đỉnh bằng 600 và
có đỉnh nón trùng với tâm cầu (S). Thể tích phần chung của khối nón (N) và khối cầu (S) là:





A. 144  81 3 







B. 144  64 3 



C. 144  72 3 





D. 72  12 3 

 Giải:
 Chia phần không gian chung thành khối nón (N1) có tam giác IAB và chỏm cầu (K) có tam giác AMB
(S)
A
6
300
I

M

H
B





Chiều cao khối nón là: IH  6.cos 30  3 3 và bán kính khối nón là: r  HA  6 sin 30  3
1
1
Suy ra thể tích khối nón là: V( N1 )   .HA2 .IH   .32.3 3  9 3
3
3
Chiều cao chỏm cầu: HM  IM  IH  6  3 3

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 13

Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

2
63 3 

  144  81 3 
   . 6  3 3  6 
3






HM

Suy ra thể tích chỏm cầu (K) là: V( K )   .HM 2  6 
3




Suy ra thể tích chung là: V  V( N1 )  V( K )  9 3  144  81 3   144  72 3 



Chọn đáp án C.









 





Câu 19: (3 - B) Cho khối cầu (S) có bán kính bằng 6 và có tâm I. Một khối nón (N) có góc ở đỉnh bằng 600 ,
chiều cao rất lớn, có đỉnh nón là điểm A nằm trên mặt cầu (S), trục nón chứa I. Thể tích phần chung của khối
nón (N) và khối cầu (S) là:
B. 126

A. 96

C. 144





D. 72  12 3 

 Giải:

 Chia phần không gian chung thành khối nón (N1) có tam giác ABC và chỏm cầu (K) có tam giác BMC
(S)
B

A

6

300

M

H

I

C


Tam giác ABM vuông tại B, suy ra: AB  AC.cos 30  12.cos 30  6 3



Suy ra chiều cao hình nón (N1) là: AH  AB.cos 30  6 3.cos 30  9



Bán kính đáy của hình nón (N1) là: HB  AB.sin 30  6 3 sin 30  3 3
1
1

Suy ra thể tích khối nón là: V( N1 )   .HB 2 . AH   .(3 3) 2 .9  81
3
3
Chiều cao chỏm cầu (K) là: HM  AM  AH  12  9  3
HM 
3

2
Suy ra thể tích chỏm cầu (K) là: V( K )   .HM 2  6 
   .3  6    45
3 
3








Suy ra thể tích chung là: V  V( N1 )  V( K )  81  45  126 .



Chọn đáp án B.

Câu 20: (4 – A) Cho hình nón (N) có bán kính đáy r và chiều cao h . Một mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cả các
đường sinh của hình nón và tiếp xúc với đáy nón, có tâm cầu nằm trong hình nón và bán kính R  6 . Thể tích
của khối nón (N) lớn nhất bằng:
A. 576 .

 Giải:
 Hình vẽ minh họa:

B. 288 2 .

C. 144 3 .

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

D. 254 .

Trang 14


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

S

l

M
R

I
R

r

O





A

SI IM
hR
R
R2h
2


 r 
Ta có:
SA OA
h  2R
h2  r 2 r
 2  R2h
 R2 h2
.h 
.
Thể tích khối nón (N) là: V( N )  .r h  .
3
3 h  2R
3 h  2R
Khảo sát nhanh theo biến là chiều cao h  2 R hoặc vận dụng BĐT CÔ SI ta có:


 R 2 h2
 R2 
4R 2   R2 
4R2
V( N ) 
.

. h  2R 

.
(
h

2
R
)

 4R 


3 h  2R
3 
h  2R 
3 
h  2R

 8 R 3
  R2 
4R2
4R 2

.  (h  2 R ) 
 4R  
.  2. (h  2 R )
 4R  

3 
h  2R
3 
h  2R
3



 R2 



Suy ra: V( N ) 



Dấu "=" xảy ra khi: h  2 R 



Suy ra giá trị nhỏ nhất của thể tích khối nón là: V( N ) _ min 

4R2
 h  4R
h  2R

8 R 3 8 .63

 576 khi h  4 R
3
3

 Chọn đáp án A.
Câu 21: (4 – B) Cho mặt cầu (S) và hình trụ (T) có cùng thể tích V. Gọi diện tích mặt cầu là S1 và diện tích toàn
phần của hình trụ là S2. Tỉ số S2/S1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
A. 1.

B.

3

3
.
2

C.

3
.
2

D. 2 3 .

 Giải:





4 R 3
3r 2 h
2
3
Giả thiết cho:
 r h  R 
3
4
2
Có diện tích mặt cầu: S1  4 .R và diện tích toàn phần của hình trụ: S2  2 .r 2  2 rh
r 3
r 2
r
3
3
3
3
2
2
(
)

3(
)

3(
) 1
2

r

rh
r

rh



 S2  
S2 2 .r  2 rh
2 r  h 
2 h
h
h

  

 .
 .
Suy ra:
r
3r 2 h 2 9 r.h 2
S1
4 .R 2
8.R 6
9
 S1 
8.(
)

h
4
3



 S  2 t 3  3t 2  3t  1
2 (t  1) 2 (2t  1)
Đặt  2   .
 f (t ) . Khảo sát nhanh hàm số: f '(t )  .
t
9
t2
 S1  9



S 
1
3 S 
3
Giá trị nhỏ nhất của hàm số:  2   min f (t )  f ( )    2   3 . Chọn đáp án B.
2
2  S1  min
2
 S1  min

3

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 15


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

Câu 22: (4 – A) Cho hình trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có thể tích V, điều kiện nội tiếp là hai
đường tròn đáy của hình trụ (T) nằm trên mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của hình trụ (T) tương ứng bằng:

4 R3
A.
.
3 3
 Giải:
 Hình vẽ minh họa:

8 R3
C.
.
3 3

4 R3
B.
.
3

O

D.

8 R3
.
3

M
r
R
(S)

I
h/2

O'





h2
h2
 r 2  R2 
4
4
2
h
h3
Thể tích hình trụ: V(T )   r 2 h   ( R 2  )h   ( R 2 h  )  f (h) ; với chiều cao: h  [0; 2 R ]
4

4
2
3h
2R
4 R 3
2
Khảo sát hàm số trên: f '(h)   ( R 
. Khi đó: V(T ) _max 
)0h 
4
3
3 3
Chọn đáp án A.
Bán kính cầu: R  r 2 

Câu 23: (3 – D) Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 6 và có tâm I. Một hình trụ có đường cao đi qua tâm I của mặt
cầu (S), có chiều cao vô cùng lớn, bán kính đáy r = 4. Thể tích phần chung của hình trụ và hình cầu bằng:
A. 170 .

B.

432  172 5
 .
3

C. 120 2 .

D.

864  160 5

 .
3

 Giải:
 Hình vẽ minh họa:

h
R=6

r=4

I

(S)


Phần chung được chia thành một hình trụ và hai chỏm cầu (hai chỏm cầu này bằng nhau).

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 16


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp



Hình trụ có bán kính đáy r = 4 và chiều cao: h  2 R 2  r 2  2 62  42  4 5



Suy ra thể tích: V1   r 2 .h   .(4) 2 .4 5  64 5

h
 62 5
2
62 5
432  176 5
 Suy ra thể tích một chỏm cầu: V2   (6  2 5)2 (6 
)

3
3
 Suy ra tổng thể tích phần chung của hình trụ và hình cầu ban đầu là:
432  176 5
864  160 5
 V1  2V2  64 5  2.

 . Chọn đáp án D.
3
3
Câu 24: (4 – B) Cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có bán kính lần lượt là R1 = 6 và R2 = 8, có khoảng cách hai tâm
bằng 10. Thể tích phần chung của hai hình cầu giới hạn bởi hai mặt cầu trên tương ứng bằng:


Hai chỏm cầu có bán kính cầu R = 6 và chiều cao mỗi chỏm cầu bằng: R 

A.

7236
.
125

B.

736
.
15

C.

8736
.
375

D. 125 3 .

 Giải:
 Hình vẽ minh họa:
(S2)

(S1)

A
R1

R2
H

I2

I1

chỏm cầu 1
chỏm cầu 2



Hai hình cầu có phần chung là hai chỏm cầu chập vào nhau.
Nhận thấy: I1A = R1 = 6; I2A = R2 = 8 ; I1I2 = 10. Suy ra: I1I 2 A vuông tại A.



Suy ra: I1 H 



Xét chỏm cầu thứ nhất: có bán kính cầu R1 = 6 và có chiều cao chỏm cầu: h1  R1  I1 H  6  3,6  2, 4



Suy ra thể tích chỏm cầu 1 là: V1   h12 ( R1 

R12 62

 3, 6  I 2 H  6, 4
I1I 2 10



h1
2, 4 3744
)   (2, 4) 2 (6 
)
3
3
125
Xét chỏm cầu thứ nhất: có bán kính cầu R2 = 8 và có chiều cao chỏm cầu: h2  R2  I 2 H  8  6, 4  1, 6



Suy ra thể tích chỏm cầu 2 là: V2   h22 ( R2 



h2
1, 6 7168
)   (1, 6) 2 (8  ) 
3
3
375
7168 3744 736


Suy ra thể tích chung của hai mặt cầu: V  V1  V2 
. Chọn đáp án B.
375
125
15

Câu 25: (3 – C) Cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có bán kính lần lượt là R1 = 10 và R2 = 12 có khoảng cách hai tâm
bằng 14. Biết rằng hai mặt cầu này cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nằm trong khoảng
nào dưới đây ?

 17 
;9 
2 

A. 

 19 

 2

B.  9;

 17 

 2

C.  8;

 15 
D.  ;8 
2 

 Giải:
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 17


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán



TDM ECorp

Hình vẽ minh họa:
(S2)

(S1)

A
R1

A
R2

r
H

H

I1

I2

I1

I2

Đường tròn giao tuyến (C)



Xảy ra hai trường hợp, ta xét đủ (tất nhiên chỉ có 1 trường hợp thỏa mãn).
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Suy ra:
 I I  I H  I H  R 2  r 2  R 2  r 2  I I  102  r 2  122  r 2  14  r  8, 4
1 2
1
2
1
2
1 2
 
2
2
2
2
 I1 I 2  I 2 H  I1 H  R2  r  R1  r  I1 I 2  122  r 2  102  r 2  14  VN

 17 
 Suy ra: r  8, 4   8;  . Chọn đáp án C.
 2
Câu 26: (3 - B) Cho hai quả cầu (S1) và (S2) có bán kính R1 = 2R2 = 12 và một hình nón (N). Biết rằng quả cầu
(S1) tiếp xúc với đáy và các đường sinh của nón (N), quả cầu (S2) tiếp xúc với các đường sinh của nón (N) và
tiếp xúc với quả cầu (S1). Thể tích hình nón (N) tương ứng bằng:
A. 4800 .

B. 4608 .
C. 5418 .
D. 4720 .
 Giải:
 Hình vẽ minh họa:
S

M
R2

I2

N
I1

R1

A

O



Ta có: I1 I 2  R1  R2  18



Theo định lí TA_LET ta có:



Suy ra đường cao của nón là: SO  SI1  I1O  SI1  R1  36  12  48




Ta có: sin MSI
2



Suy ra thể tích hình nón (N) là: V 

 SI  18
R2 SI 2 1

  2
R1 SI1 2  SI1  36

R2
6 1
1
OA
1
   sin   tan  

 r  OA  SO tan   48.
 12 2
SI 2 18 3
2 2 SO

2 2

 r 2h
3



 (OA) 2 .SO
3

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.



 (12 2) 2 .48
3

 4608 . Chọn đáp án B.
Trang 18


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán

TDM ECorp

Câu 27: (4 - B) Cho hai mặt cầu (S1) và (S2) có cùng tâm I và bán kính lần lượt là R1 = 6; R2 = 3. Từ một điểm S
nằm trên mặt cầu (S1) ta vẽ n tia tiếp xúc với mặt cầu (S2) và cắt (S1) tại điểm thứ hai lần lượt là A1 , A2, …, An.
Gọi thể tích của khối đa diện SA1A2…An là V. Hãy tính giới hạn lim V ?
n

A. 72 .
B. 81 .
C. 48 .
D. 36 .
 Giải:
 Khi n tiến ra vô cùng thì khối đa diện được coi như một hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu (S1) và
có đường cao nằm trên đường thẳng SI như hình vẽ.
S
α
M
R2

I
O

A



Ta có: SM  SI 2  IM 2  R12  R22  62  32  3 3  l  SA  2.SM  6 3



Ta có: sin  



Suy ra chiều cao hình nón là: h  SO  SA2  OA2  (6 3)2  (3 3) 2  9



Suy ra thể tích hình nón là: V 

IM R2 3 OA OA

 

 OA  r  3 3 .
SI
R1 6 SA 6 3

 r 2h
3



 (3 3)2 .9
3

 81 . Chọn đáp án B.

Câu 28: (4 - D) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R  6 , một điểm A cách I một đoạn IA  12 . Từ A kẻ
 bằng:
hai tiếp tuyến đến (S) có các tiếp điểm lần lượt là M và N. Giá trị lớn nhất của sin MAN
A. 1/ 2 .
 Giải:

B.

2 /2.

C. 1 .

D.

3 / 2.

M
(S)
R
A

α

I

N

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 19


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán




TDM ECorp

Góc tạo bởi hai tiếp tuyến AM và AN lớn nhất khi mặt phẳng (AMN) chứa tâm I của mặt cầu (S).
IM
R
6

    30 .
Ta có: sin  
AI AI 12

3
. Chọn đáp án D.
2
Câu 29: (4 - D) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R  12 , một điểm A cách I một đoạn IA  m . Từ A kẻ
hai tiếp tuyến đến (S) có các tiếp điểm lần lượt là M và N. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
 không vượt quá 1200 ?
m   20; 20 để góc MAN




 lớn nhất bằng 2  60  sin MAN
Khi đó ta có góc MAN



A. 6 .
 Giải:



 sin 60 

max

C. 8 .

B. 11 .

D. 7 .



Góc tạo bởi hai tiếp tuyến AM và AN lớn nhất khi mặt phẳng (AMN) chứa tâm I của mặt cầu (S).



  120    60  sin   IM  R  12  sin 60  3  m  8 3
Ta có: MAN
AI AI m
2



mZ
 m  14;15;...; 20  có 7 giá trị nguyên. Chọn đáp án D.
Kết hợp với điều kiện: 8 3  m  20 

Câu 30: (4 - C) Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R  12 , một điểm A cách I một đoạn IA  m . Từ A kẻ
hai tiếp tuyến đến (S) có các tiếp điểm lần lượt là M và N. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để góc
  90 ?

MAN
B. 7 .

A. 4 .
 Giải:

C. 5 .

D. 11 .

M
(S)
R
A

  45

I

N

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 20


Tuyển tập 110 đề VDC của khóa học online TDMEC2020_IM1B – Môn Toán




TDM ECorp

Góc tạo bởi hai tiếp tuyến AM và AN lớn nhất khi mặt phẳng (AMN) chứa tâm I của mặt cầu (S).
IM
R 12



Khi đó ta gọi 2  MAN
và tính được: sin  
max
AI AI m







Với hai tiếp tuyến AM và AN ở vị trí bất kì thì góc giữa chúng luôn biến thiên nằm trong đoạn:  0; 2 



   0; 2  thì luôn tồn tại vô số cặp tiếp tuyến AM và AN thỏa mãn. Các tiếp
Với mỗi giá trị góc MAN

tuyến này quay tròn quanh AI tạo thành mặt nón.



12 1

 m  12 2
m
2
Để ý tới điều kiện tồn tại tiếp tuyến từ A tới (S) là: AI  m  R  12



mZ
 m  12;13;14;15;16  có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Suy ra: 12  m  12 2 



Chọn đáp án C.



Từ đó suy ra: 90   0; 2   90  2    45  sin  

---------- Hết ----------

Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.

Trang 21