SKKN một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG bài TOÁN xét TÍNH đơn điệu của hàm số TRONG kỳ THI THPT QUỐC GIA

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và
các ngành khoa học. Đồng thời môn toán là một môn học rất khó có tính liên tục
(giáo dục đồng tâm) nếu chúng ta không khéo trong phương pháp giảng dạy thì rất
khó tạo được hứng thú cho các em học tốt và say mê học toán.
Trong chương trình môn học ở bậc Trung học phổ thông nói chung và lớp
12 nói riêng, môn toán chiếm số giờ rất lớn. Việc nâng cao hiệu quả của dạy và học
môn toán là yêu cầu bức xúc hiện nay, là giáo viên đang giảng dạy tôi luôn suy
nghĩ, tìm tòi và học hỏi phải làm như thế nào để các em thích thú với môn học vừa
khó vừa khô như thế.
Trong quá trình giảng dạy môn toán, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo,
từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho
chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết, học sinh còn gặp nhiều
khó khăn ở một số nội dung trong chương trình môn toán. Nhiều học sinh học về
các chủ đề liên quan đến hàm số còn yếu, trong đó có nội dung về sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số. Học sinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong
quá trình giải toán. Đặc biệt năm học 2018- 2019, là năm học thứ 3 thực hiện thi
trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi THPT Quốc gia, nhiều nội dung đề thi nằm
trong chương trình lớp 12 với các câu hỏi phát huy khả năng vận dụng kiến thức
của học sinh. Nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số là nội dung
quan trọng được đề cập nhiều trong đề thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018 đề
thi minh họa năm 2019 và trong các đề thi thử ở các trường THPT trên toàn
quốc với mức độ từ dễ đến khó.
Từ thực tiễn giảng dạy và ôn thi TNTHPT Quốc gia nhiều năm, cùng với
kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác nhiều chuyên
đề về hàm số. Trong SKKN này tôi xin chia sẻ : ‘‘Một số phương pháp giải
dạng bài toán xét tính đơn điệu của hàm số trong kỳ thi THPT Quốc gia ”.
Đây là một nội dung quan trọng, hay trong chương trình giải tích lớp 12 nên đã
có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say

sưa nghiên cứu và học tập. Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận và quy lạ về
quen đối với bài toán này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho
người đọc. Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, làm
các em hiểu sâu hơn về bài toán và yêu thích chủ đề về tính đơn điệu của hàm số
trong giải tích lớp 12.
1.2. Mục đích nghiên cứu

1


Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm
được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, đồng thời giúp cho học sinh một số
kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các
bài toán, hình thành cho các em thói quen tìm tòi tích lũy và rèn luyện tư duy
sáng tạo, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Tập trung nghiên cứu về định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của hàm
số, nghiên cứu về cách tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và mối quan hệ giữa
sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong phạm vi của đề tài, tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như:
phương pháp thống kê - phân loại; phương pháp phân tích - tổng hợp - đánh giá;
phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải... và một số
phương pháp khác như phương pháp quy lạ về quen, sử dụng máy tính để hổ trợ
tìm đáp án trong câu hỏi trắc nghiệm khách quan.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung của giải tích
12 [1]. Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,
liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy
bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến
khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính
tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt
những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng
vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời
giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt. Trong quá trình giảng
dạy nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong giải tích lớp 12 tại
Trung tâm GDNN - GDTX Lang Chánh, tôi thấy kỹ năng giải bài toán của học
sinh còn yếu, đặc biệt là những bài toán thiết lập mối liên hệ giữa tính đơn điệu
của hàm số y=f(x) và đồ thị y=f’(x), bài toán chứa tham số. Do đó cần phải cho
học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài
giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình
thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ năng
làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được
trong kiểm tra, đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số là nội dung không thể
thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Học sinh thường gặp khó khăn khi gặp những
bài toán chứa tham số hoặc những bài toán với yêu cầu đọc hiểu đồ thị. Với tình
hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán, người
giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố
đặc trưng của bài toán để tìm lời giải, học sinh phải được làm quen với việc đọc
hiểu đồ thị.
Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán về sự
đồng biến, nghịch biến của hàm số cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp
học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo

của bản thân, tự tin giải quyết được những câu khó trong đề thi, chuẩn bị tốt cho
kỳ thi THPT Quốc gia.
Vậy với đề tài này, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày
càng vận dụng tốt các kiến thức để đưa ra những phương pháp nhằm giải quyết
bài toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số một cách chính xác và nhanh

3


nhất. Đặc biệt là áp dụng những phương pháp để làm những câu hỏi dưới hình
thức trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số.
2.3. Các phương pháp thực hiện
2.3.1. Một số kiến thức cần nhớ
a) Một số nhận xét từ định nghĩa về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
*) Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị đi lên từ trái sang phải trên
khoảng đó
y

x
O

a

b

*) Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải
trên khoảng đó
y

O

a

b

x

b) Mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm
*) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K
Nếu f’(x) 0 với x K và f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng
biến trên K.
Nếu f’(x)0 với x K và f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số
nghịch biến trên K.
c) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
*) Tìm tập xác định
*) Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm và những điểm mà đạo hàm không
xác định.
*) Lập bảng biến thiên
*) Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
d) Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x) và đồ thị hàm
số y=f’(x)
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía
trên trục hoành trên khoảng đó. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì
đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía dưới trục hoành trên khoảng đó

4


2.3.2. Các phương pháp
a) Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Trong phương pháp này giáo viên cần ôn lại các bước tìm khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số; giáo viên cần cho học sinh làm quen với nhiều loại hàm
số; giáo viên cần xây dựng các ví dụ đa dạng, có ví dụ ở dạng tự luận, có ví dụ ở
dạng trắc nghiệm để học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm
số và dấu của đạo hàm là một phần quan trọng trong nội dung này và trong kỳ
thi THPT Quốc gia.
Ví dụ 1: Hàm số y 
A.  1; �

x2
đồng biến trên các khoảng:
1 x
B. R
C.  �;1 và  1; �

D. R \  1 .

3

HD: y '  (1  x) 2 >0 với mọi x R \ {1} . Đáp án C
Ví dụ 2: Các khoảng đồng biến của hàm số y  x 3  3x 2  3 là:
A.  1;3
B.  �; 0  và  2; �
C. ( ;0)  (2;) D.  0; 2 
HD: y’=3x2-6x. Đáp án B
Ví dụ 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?
A. y   x3  1

C. y 

B. y  x 2  x

x
x2

D. y  2 x  cos x

HD: Đáp án D
Trong 3 ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy
tắc xét tính đơn điệu của hàm số mà còn cho học sinh nắm vững định nghĩa hàm
số đồng biến, nghịch biến. Đó là học sinh phải nhận thức được rằng hàm số
đồng biến, nghịch biến trên K thì phải xác định trên K và chỉ có khái niệm hàm
số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, không có khái niệm hàm số đồng biến,
nghịch biến trên hợp các khoảng.
Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) có tập xác định là R và đạo hàm f’(x)=x(x-1)2(x+2).
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=g(x)=f(x2-2).
HD: g’(x)=2xf’(x2-2)=2x3(x2-2)(x2-3)2. Lập bảng xét dấu g’(x)
x
y’

 



-

3

0



-

2

0

0
+ 0

- 0



3

2

+

0

+

Vậy hàm số y=g(x) đồng biến trên các khoảng ( 2 ;0) và ( 2 ;)
hàm số y=g(x) nghịch biến trên các khoảng ( ; 2 ) và (0; 2 )
Trong ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy tắc
xét tính đơn điệu của hàm số, cách xét dấu biểu thức mà còn cho học sinh nắm
vững cách tính đạo hàm của hàm hợp.

5


b) Phương pháp 2: Dựa vào đồ thị của hàm số để xác định tính đơn điệu.
Trong phương pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu đồ thị,
biết thiết lập được mối liên hệ giữa khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
và đồ thị của nó. Từ đó học sinh sẽ hiểu sâu và nhận biết, vận dụng vào bài toán
dễ dàng hơn; học sinh sẽ có động lực nghiên cứu, đam mê và yêu thích nội dung
này.
Ví dụ 5: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 1. Tìm khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số?
y
HD: Qua hình 1 ta thấy: đồ thị hàm
số đi lên trên khoảng ( ; 1) và
4
(1;) ; đồ thị đi xuống trên khoảng
(-1;1).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( ; 1) và (1;) .
-1 O 1
x
Hàm số nghịc biến trên khoảng
(-1;1).
(hình 1)
Ví dụ 6: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào sai?
A. f (c)  f (a) với cC. f (b)  f (d ) với d>b

B. f (a)  f (0)  f (b)
D. f (a)  f (e)  f (b) với ay

a

O

b

x

(hình 2)
HD: Đáp án D
Ví dụ 7: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm
số f(x) trên đoạn [-2;3] biết f(3)+55f(1)=55f(0)+f(-2).
y
- 2 -1 O 1
x
HD: f(3)+55f(1)=55f(0)+f(-2) nên
f(3)-f(-2)=55(f(0)-f(1))>0  f(3)>f(-2)>f(- 2 )=f(0)
Dựa vào đồ thị ở hình 3 của hàm số y=f(x) ta lập bảng
biến thiên của hàm số f(x) trên đoạn [-2;3]

(hình 3)

6


x

-2

 

y’

-1

0

- 0

+ 0

f(-2)

1
-

0

3

+

+

f(0)

f(3)

y

f ( x)  f (3) .
Do f(3)>f(-2)>f(0) nên xMax
  2;3 

Trong 3 ví dụ này, học sinh phải nhận thức được đồ thị đi lên trên khoảng K thì
ứng với hàm số đồng biến trên K và đồ thị đi xuống trên khoảng K thì ứng với
hàm số nghịch biến trên K. Ngoài ra thông qua ví dụ giúp học sinh nắm vững
định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên K.
c) Phương pháp 3: Khai thác từ đồ thị của hàm số y=f’(x)
Thông qua giải pháp này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích,
quy lạ về quen, từ đồ thị hàm số y=f’(x) đã cho xác định được dấu của f’(x) và
thông qua đó xác định được khoảng đồng biế, nghịch biến. Trong giải pháp này,
giáo viên nên đưa ra các ví dụ từ mức độ đơn gian đến phức tạp để học sinh sẽ
nhận dạng được, hiểu sâu hơn, tự tin khi gặp bài toán tương tự.
Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình 4. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
y
A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;1)
B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;2)
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1)

-2

O

2

x

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)
(hình 4)
HD: Từ đồ thị ở hình 4, ta lập được bảng xét dấu của f’(x)
x
f’(x)

-2

 

-

0

0
+

0

2
-

0



+

Đáp án D
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:

7


- Tìm nghiệm của f’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x) và trục hoành.
- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên trục hoành
(f’(x)>0) và dưới trục hoành (f’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu f’(x)
Ví dụ 9: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình 5, đặt g(x)=f(x)+4x. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;2)

y

B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (   ;2)
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2;+  )

-1

O

2

x

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;+  )
-4
(hình 5)
HD: g’(x)=f’(x)+4. Từ đồ thị ở hình 5, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)
x

-1

 

g’(x)

+

0

2
+

0



-

Đáp án B
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x) và đường thẳng y=-4.

- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên đường thẳng
y=-4(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=-4 (g’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu g’(x)
Ví dụ 10: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình 6, đặt g(x)=f(x+1)-2x. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
y
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0;3)
2
B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (   ;2)
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2;+  )
D. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1;+  )

O

3

x

(hình 6)

8


HD: g’(x)=f’(x+1)-2. Từ đồ thị ở hình 6, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)
x

-1

 

g’(x)

-

2

0

-



0

+

Đáp án C
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x+1) và đường thẳng y=2.
- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x+1) nằm phía trên đường thẳng
y=2(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=2 (g’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu g’(x)
Ví dụ 11: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình 7, đặt g(x)=f(2-x). Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng
A. (1;3)

y

B. (   ;-2)
C. (2;+  )
D. (-2;1)

-1

O 1

4

x

(hình 7)
HD: g’(x)=-f’(2-x). Từ đồ thị ở hình 7, ta có
2  x   1

x  3

 
g’(x)>0  
1  2  x  4
 2  x  1

Đáp án D
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm g’(x),
- Tìm x để g’(x)>0 hay f’(2-x)<0
Ví dụ 12: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
1

2

cong như hình 8, đặt g(x)=f(x)- x 2  x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;3)
B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (-1;1)

9


C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-  ;1)
D. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;3)
y
2

-1

O 1

3

x

-2
(hình 8)
HD: g’(x)=f’(x)-(x-1). Từ đồ thị ở hình 8, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)
x

-1

 

g’(x)

-

0

1
+

0

3
-



0

+

Đáp án B
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x) và đường thẳng y=x-1. Các nghiệm là x=-1, x=1, x=3.
- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên đường thẳng
y=x-1(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=x-1 (g’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu g’(x)
Ví dụ 13: Cho hàm số f(x) xác định trên  , liên tục trên đoạn [a;d] và có đồ thị

hàm số f’(x) là đường cong như hình 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên
đoạn [a;d] (af ( x)  f (a)
A. xMax
 a ;d 

y

f ( x )  f (b)
B. xMax
 a ; d 
f ( x )  f (c )
C. xMax
 a ; d 
f ( x)  f (d )
D. xMax
 a ; d 

a

O b c

d

x

(hình 9)
HD: Từ đồ thị ở hình 7, ta có bảng biến thiên

10

x

a

 

f’(x)

+

0

b
-

0

c

d

+

f(a)

0



-

f(d)

f(x)
Mặt khác từ đồ thị ta lại có:
b

d

f ' ( x)dx  f ' ( x)dx  0  f (b)  f (a)  f (d )  f (b)  0  f (d )  f (a)
a

b

Đáp án D
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
- So sánh f(a) và f(d)
Như vậy qua các ví dụ ở giải pháp 3, học sinh đã được rèn luyện kỹ năng lập
bảng biến thiên của hàm số khi biết đồ thị của hàm số y=f’(x). Qua đó học sinh
sẽ xác định được khoảng đồng biến, nghịch biến. Đồng thời học sinh sẽ được
phát triển tư duy quy lạ về quen, tư duy biện chứng.
d) Phương pháp 4: Sử dụng bài toán chứa tham số để đào sâu kiến thức về
tính đơn điệu của hàm số.
Với giải pháp này, học sinh phải nắm được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của
hàm số và dấu của đạo hàm. Đồng thời hình thành và phát triển tư duy trừu
tượng, quy lạ về quen, kỹ năng phân tích khi giải quyết bài toán.

Ví dụ 14: Hàm số y=x3+3x2+(m-2)x+1 đồng biến trên R khi và chỉ khi giá trị m
thỏa mãn
A. m<5

B. m 5

C. m 5

D. mọi m thuộc R

HD: y’=3x2+6x+m-2 0, x  R  '0
Đáp án B
1
3

Ví dụ 15: : Hàm số y= x3+x2+(m+1)x+1 đồng biến trên khoảng (1;+  ) khi và
chỉ khi giá trị m thỏa mãn
A. m<-4
B. m -4

C. m   4

D. m 4

HD: y’=x2+2x+m+1 0, x  (1;)  x 2  2 x  1  m, x  (1;)

11


Xét hàm số f(x)=x2+2x+1 trên khoảng (1;+  )

Đáp án B
Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để hàm số y 

sin x  2
đồng
3 sin x  m


2

biến trên khoảng (0; ) ?
m
3


2

HD: Điều kiện sin x  . Do x thuộc (0; ) nên sinx thuộc (0;1). Vậy
 m 0
m
 (0;1)  
3
 m 3
(6  m) cos x

Ta có y '  (3 sin x  m) 2  0, x  (0; 2 )  m  6

Vậy số giá trị m nguyên dương là 3
Như vậy, qua các ví dụ trong giải pháp 4, học sinh phải nắm được điều kiện cần
và đủ để một hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. Đồng thời học

sinh cũng rèn luyện được kỹ năng khi giải toán.
e) Phương pháp 5: Vận dụng kiến thức về tính đơn điệu của hàm số để giải
quyết một số bài toán.
Thông qua giải pháp này để tạo hứng thú cho học sinh, học sinh thấy được mối
liên hệ giữa tích phân và đời sống xã hội, học sinh cảm thấy không nhàm chán
khi học nội dung này. Cũng qua đó rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích,
tổng hợp, quy lạ về quen.

2

Ví dụ 17: Chứng minh sinxHD: Xét hàm số f(x)=x-sinx

2


2

Ta có f’(x)=1-cosx>0 với x  (0; ) nên f(x) đồng biến trên khoảng (0; )

2

Áp dụng định nghĩa hàm số đồng biến ta có f(x)>f(0), x  (0; ) hay

2

sinx3
2
3

2
Ví dụ 18: Cho phương trình log 3 (cos x  3 cos x  m)  2(cos x  3 sin x) 2m  8 (1)

với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình (1) có
nghiệm thực?
A. 6
B. 5
C. 7
D. 4
3
2
HD: Đăt t= cos x  3 cos x  m , phương trình trở thành log3t+2t=2

12


Xét hàm số f(x)=log3t+2t. Ta có f’(x)=

1
 2  0, t  0 nên hàm số f(x) đồng
t ln 3

biến trên khoảng (0;+  )  phương trình log3t+2t=2 có nhiều nhất một nghiệm.
Mặt khác t=1 là nghiệm nên ta có duy nhất t=1.
Vậy bài toán quy về xét phương trình cos 3 x  3 cos 2 x  m 1 .
Đáp án C
f) Phương pháp 6: Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số thông qua buổi thảo luận.
Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ cho
từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 5 nhóm và năng lực học tập ở

các nhóm là tương đương nhau.
Nhóm 1: Giải quyết các bài toán vận dụng quy tắc tìm khoảng đồng biến, nghịch
biến.
Nhóm 2: Giải quyết các bài toán dựa vào đồ thị hàm số để xác định khoảng đồng
biến, nghịch biến.
Nhóm 3: Giải quyết các bài toán dựa vào đồ thị của hàm số y=f’(x) để xác định
khoảng đồng biến, nghịch biến.
Nhóm 4: Giải quyết các bài toán có chứa tham số về sự đồng biến, nghịch biến .
Nhóm 5: Giải quyết các bài toán bằng cách vận dụng kiến thức về tính đơn điệu
của hàm số.
Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:
- Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm
khác.
- Tiếp theo, các nhóm khác đưa ra câu hỏi đối với nhóm vừa trình bày, đế
xuất cách giải của nhóm.
- Giáo viên nhận xét và đưa ra kết luận cuối cùng, yêu cầu toàn bộ học sinh
ghi nhận.
- Giáo viên có thể trao thưởng cho các nhóm hoàn thành tốt nhiệm vụ, có thể
thưởng điểm cao hoặc những món quà ý nghĩa để khích lệ học sinh.
- Giáo viên nhận xét từng học sinh trong sự chuẩn bị và tiếp thu kiến thức.
Buổi thảo luận tiếp theo thì yêu cấu của các nhóm được đổi cho nhau.
2.3.3. Một số bài tập tham khảo
Câu 1: Hàm số y= x3-3x+3 đồng biến trên

13


A. R

B. (-1;1)

C. R\{-1;1}

D. (-  ;-1) và (1;+  )

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ?
A. y=x3-x2-10x+1

B. y=-x3+x2-10x+1

C. y=x4+x2+2

D. y=

x2
x 1

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên (0;+  )
A. y=x3-3x2+2

B. y=-x3-3x+1

C. y=x4+2x2+2

D. y=

1
đồng biến trên
x

Câu 4: Hàm số y=xA. R

x2
x

B. (-  ;0) và (0;+  )

C. R\{-1;1}

D. (-  ;-1) và (1;+  )

Câu 5: Hàm số y=  x 2  2 x  3 đồng biến trên
A. R

B. (-1;3)

Câu 6: Hàm số y=

x
đồng biến trên
x 1

A. (-1;1)

A. (-2;0)

C. (-  ;-1)

D. (1;+  )

x 2  2x  2
nghịch biến trên
x 1

B. R

Câu 8: Hàm số y=

D. (1;3)

2

B. R

Câu 7: Hàm số y=

C. (-1;1)

C. (-  ;-2)

D. (-2;-1) và (-1;0)

x  m 1
nghịch biến trên các khoảng xác định của nó khi m
x 1

bằng
A. m=-3

B. m=-4

C. m=0

D. m=-2017

1

Câu 9: Hàm số y= x3+(m-2)x2+(m-2)x+1 đồng biến trên R khi và chỉ khi giá trị
3
m thỏa mãn
A. 2 m 3
B. m>3
C. m<2
D. m R\{2;3}
3
2
Câu 10: Hàm số y=x -3mx +1 nghịch biến trên khoảng (0;2) khi m bằng
A. m=-1
B. m=1
C. m=-2
D. m=-3
1
3

Câu 11: Hàm số y= x3-x2-(m+1)x+1 đồng biến trên khoảng (3;+  ) khi và chỉ
khi giá trị m thỏa mãn
A. m 2
B. m>2
Câu 12: Hàm số y 
khi và chỉ khi:

C. m 2

D. m  2

xm
luôn đồng biến trên các khoảng  �; 1 và  1; �
x 1
2

14


m  1
�

A. �
B. m �R
C. 1 �m �1
D. 1  m  1
m 1
�
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 nghịch biến
trên R?
A. m � �; 2  � 3; �
B. m � �; 2 � 3; �
C. m � 2;3
D. m �[3; �)
Câu 14: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số?

y
4

O

2

x

Câu 15: Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
y
A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-2;0)
B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;3)
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1)

-2

O

3

x

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;3)

2.4. Kết quả thực hiện
Kết quả vận dụng của bản thân:
Tôi đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm với những
mức độ khác nhau giữa các lớp ở các khoá học khác nhau.

Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 ở
Trung tâm GDNN - GDTX Lang Chánh. Trong quá trình học đề tài này, học
sinh thực sự thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở
ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã
học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Kết quả, học sinh tích cực tham
gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận
dụng tốt ở từng bài toán cụ thể. Qua các bài kiểm tra về nội dung này và các bài
thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, tôi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và
đạt kết quả tốt. Cụ thể như sau:

15


G
SL
0

%
0

Lớp 12 (Sỉ số 19)
K
TB
Y
SL
%
SL
%
SL
%

10
52,7
7
36,8
2
10,5

Kém
SL
%
0
0

Tôi đã đưa đề tài này ra Hội đồng chấm để trao đổi, thảo luận và rút kinh
nghiệm. Đa số các đồng nghiệp đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo
được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bản chất
hình học cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trong dạy học giải bài tập toán nói chung và dạy học giải bài tập toán tích
phân nói riêng, việc xây dựng các bài toán riêng lẻ thành một hệ thống theo một
trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải toán sẽ giúp học
sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển tư duy
học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học toán.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu
hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp.
Mỗi dạng toán tôi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm
những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. Tuy nhiên, vẫn còn một
số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có động cơ,
hứng thú trong học tập.

Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp phát
triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học
sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận
dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến
thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào
là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần
dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác
phong tự học tự nghiên cứu. Đề tài có thể phát triển và xây dựng thành hệ thống
đề thành sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề
tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị
Đối với trường:

16


Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ
trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng
bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán.
Đối với ngành giáo dục:
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời
viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Lang Cháng ngày 22 tháng 4 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

XÁC NHẬN ĐƠN VỊ

NGƯỜI THỰC HIỆN

Lê Văn Lâm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

17


[1].

SGK giải tích 12_NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.

[2].

Sách BT giải tích 12_ NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.

[3].

Bồi dưỡng giải tích 12.

[4].

Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017- NXB Giáo

dục Việt Nam
[5]. Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT năm 2017 và năm
2018

18